ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015"

Transcripción

1 ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno del ángulo entre v y w y entre v y w. (b) Obtener los cosenos directores de v. (c) Obtener la componente de v en la dirección de w y su proyección vectorial.. (a) Encontrar vectores de IR de módulo 4 y perpendiculares al vector i j. (b) Encontrar 4 vectores de IR 3 de módulo 4 y perpendiculares al vector i j. 3. Hallar el área del paralelogramo generado por los vectores (,, ) y (0, 4, 3). 4. Considerar el triángulo de la figura (a) Obtener sus ángulos internos (en radianes). (b) Calcular su área. (c) Calcular la longitud de sus lados. (d) Calcular la longitud de sus alturas. (e) Calcular la longitud de sus medianas. 5. Demostrar las siguientes identidades vectoriales a b + ( a b) = a b a + b + a b = a + b 6. Con relación a la figura de la derecha, demostrar que si F = F entonces r F + r F = 0 7. Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores v = (,, 0) v = (0,, 0) v 3 = (, 5, 5) 8. Considerando v = (,, ) y w = (3, 4, 0). Encontrar un vector en el plano definido por v y w que bisecte el ángulo comprendido entre ellos. 9. Sean a y b vectores perpendiculares. Qué condiciones deben cumplirse para que a + b sea perpendicular a a b? 0. Calcular el triple producto de los vectores (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c).. Mostrar que, en general, el vector c = a b + b a es un vector que bisecta el ángulo comprendido entre a y b. En qué casos no sucede? B. Rectas y Planos. Hallar la ecuación paramétrica y las ecuaciones simétricas de la recta en los siguientes casos: (a) Pasa por P = (,, 4) en la dirección de v = (,, ). (b) Pasa por los puntos P = (,, 0) y P = (,, ).. Obtener la ecuación cartesiana y la ecuación paramétrica del plano en los siguientes casos: (a) Pasa por los puntos P = (3,, ), P = (0,, ) y P 3 = (, 4, 0). (b) Pasa por el punto P = (, 5, ) y es perpendicular al vector v = (,, 4).

2 (c) Contiene a las rectas r (t) = (,, 0) + t(,, ) y r (s) = (, 0, ) + s(,, 0). (d) Es paralelo al plano 4x y + z = 0 y contiene al punto (, 6, ). 3. Verificar si los puntos P = (,, 3), P = (0, 5, 4) y P 3 = (6, 9, 0) se encuentran en el plano determinado por el vector normal N = (,, 3) y el punto P = (8, 7, 0). 4. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P = (4, 0, 7) y es perpendicular al plano 3x y + 8z + 4 = Hallar las coordenadas del punto intersección del plano 5x y + z = 0 y la recta dada por x 4 = y + 3 = z 7 6. Sean a, b y c números reales no nulos. Demostrar que la ecuación del plano que intersecta a los ejes coordenados x, y y z en los puntos (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c) respectivamente es: 7. Demostrar que la recta x 3 = y + 3 = z + 4 x a + y b + z c =. está contenida en el plano x y + z = Calcular la distancia del punto a la recta y la distancia del punto al plano según corresponda: a) b) 9. Encontrar la distancia entre la recta del ejercicio 7 y el punto (,, 3). 0. Determinar la distancia entre los siguientes planos π : 4y 3z + x = 6 π : 8y 6z + x = 3. Determinar la distancia entre los siguientes planos π : 4y + x 4z = 4 π : y x z =. Calcular la distancia entre las siguientes rectas r : x = y + = z 3. Calcular la distancia entre las siguientes rectas r : x = y = z + r : r : x + 3 = y = z + x + = y 3 = z 3 4. Un tetraedro regular tiene sus vértices ubicados en los puntos: (0, 0, 0) (,, ) (,, ) (0, 4 3, 3 ) (a) Encontrar la distancia entre de sus aristas que no se cruzan. (b) Calcular su altura. C. Algunas Respuestas Ej A.3: 6 Ej A.4: a) 0.83,.3, 0.99 b) 59 c) 4, 6, 3 d) 86, 354, 8 e) Ej A.7: 0 Ej B.5: ( 5, 7, 5 ) Ej B.8.a: Ej B.8.b: 5 Ej B.9: 6 Ej B.0: Ej B.: 7 Ej B.3: Ej B.4: a) b) , 35 0,

3 ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias - 05) Práctica : Superficies. Sistemas de coordenadas. Mapas de contorno y Gráficas de Funciones A. Superficies. Trazar la gráfica de la ecuación x = 3 en IR, IR, IR 3.. Dibujar el conjunto de puntos que cumplen simultáneamente x = 6 e y = 3 en IR y IR Identificar cada superficie con la ecuación correspondiente: a) z = x + y b) z = x + y c) z = x a) y = z b) z = y c) z = x a) 3 y = x + z b) 3y = x + z c) y + 3 = x + z a) z = x y b) z = y x c) z = x y 4. Realizar la gráfica de cada superficie cuadráticas a) y = z + x b) z = x + y c) y = z x a) z = x + y + b) z = x + y c) z = x + y a) Cono z = x + y b) Paraboloide Circular x + y = 9z c) Elipsoide (y + ) + (z ) + x = 4 d) Paraboloide Elíptico y = 4x + 9z e) Esfera (x ) + y + z = 4 f) Paraboloide Hiperbólico y = z x 5. Describir todas las trazas de cada superficie cuadrática: a) z = x y b) z = x + y c) x + y z = 6. Graficar el conjunto de puntos que satisface x + y = en IR y en IR En cada caso trazar la gráfica de las superficies cilíndricas a) x + y = 4 b) x + (y ) = c) x = z d) y = x e) z = x f) z = 4x 3 g) z = sin y B. Sistemas de Coordenadas. Completar las siguientes tablas Cartesianas Cilíndricas Esféricas (, 45, ) (,, ) (,, ) (0, 45, 0) (, π/6, 0) Cartesianas Cilíndricas Esféricas (0, 3, 4) (, π/, 4) (, π, π/3) (3, π/6, 4) (, 3π/4, ). Graficar las siguientes curvas del plano y expresarlas en coordenadas polares: a) x + y = b) x + (y ) = c) x + (y ) = 4 d) x = e) y = 0 3. Expresar en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas las siguientes superficies del espacio. Utilizar el eje de simetría más adecuado a la situación. a) x + y + z = 9 b) x + z = y c) y + z = + x d) x + y z = e) x = y f) y + z = 4

4 4. Expresar en coordenadas cartesianas e identificar las superficies escritas en coordenadas cilíndricas. a) r cos θ = 4 b) r + z = c) r + z = 4 5. Expresar en coordenadas cartesianas e identificar las superficies escritas en coordenadas esféricas a) cos φ = b) ρ = cos θ sin φ c) ρ + 4 cos φ = 0 C. Mapas de Contornos y Gráficas de Funciones. En cada caso graficar 7 curvas de nivel comenzando en el f(x, y) = c 0 indicado y con el f indicado. a) f(x, y) = y x c 0 = 3 f = d) g(x, y) = y + x c 0 = g = b) p(x, y) = x + y + c 0 = 3 p = e) w(x, y) = ln(x + y) c 0 =.5 w = 0.5 c) r(x, y) = y c 0 = 3 r = f) k(x, y) = sin x c 0 = k = /7. Asociar cada mapa de contorno con la gráfica de la función correspondiente. 3. En cada caso graficar 4 superficies de nivel comenzando en el f(x, y, z) = c 0 y con el f indicado. a) f(x, y, z) = x + y + z c 0 = 0 f = b) g(x, y, z) = x + y z c 0 = g = 4. (a) Hallar y graficar la curva de nivel de f(x, y) = x + y y + 5 que pasa por el punto (, ). (b) Hallar y graficar la curva de nivel de f(x, y) = x + y y + 5 que pasa por el punto (0, ). (c) Expresar a la circunferencia x + y = como curva de nivel 0 de 3 funciones distintas. (d) Decidir cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la curva de nivel 0 de la función f(x, y) = e xy x. (, 0) (0, ) (, 0) (, ) 5. Considerar una función f(x, y) y dos constantes c y c distintas. Es posible que las curvas de nivel f(x, y) = c y f(x, y) = c tengan algún punto en común?

5 A. Límites para funciones de varias variables. Demostrar las siguientes desigualdades. ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias - 05) Práctica 3: Límites y Continuidad. (a) x x + y (b) x x + y (c) x y x + y (d) x x + y (e) sen (u) u. Estudiar la existencia de los límites de las siguientes funciones en el origen. (a) f(x, y) = x x + y (b) g(x, y) = x x + y (c) h(x, y) = x3 x + y Cuáles de esas funciones podrían definirse en (0,0) de manera que resulten continuas? 3. Comprobar que los siguientes límites no existen estudiando trayectorias rectilíneas o parabólicas adecuadas. (a) 3y x x + 3(y 5) x y (x,y) (0,0) 7x + 3y (b) (x,y) (0,5) (y 5) + x (c) (x,y) (0,0) 3x y + (x y) (d) (x,y) (0,0) x + 4y xy + 5x y (e) xy + y 3 (x,y) (0,0) 3x + y 4 4. Estudiar la existencia del siguiente límite utilizando la familia de curvas indicada 5x 5 y (x,y) (0,0) y x 4 las curvas de la forma y = x 4 + x n para distintos valores de n N 5. Utilizar coordenadas polares para estudiar la existencia de los siguientes límites. (a) (x,y) (0,0) x 4 y x y (x + y ) + y (b) (x,y) (0,0) x + y (c) (x,y) (0,0) x ln(x + y ) 6. Calcular los siguientes límites utilizando adecuadamente el teorema del Sandwich. (a) (x,y) (,0) xy y x + y ( 4x (d) y ln + 7y ) (x,y) (0,0) x + 5y (b) (e) (x,y) (0,0) sen (xy) ( (c) x + 7y 4) ( sen x + y (x,y) (0,0) xy x + x 3 + xy 5 + y 4 sen (x y ) (x,y) (0,0) x + y 4 (f) (x,y) (,) x y 7. Pueden definirse las siguientes funciones en el origen de manera que resulten continuas en todo IR? (a) f(x, y) = x4 y x 4 + y (b) g(x, y) = x + y ( ) 3 x + y sen x + y 8. En cada caso, determinar el conjunto donde la función es continua. (a) t(x, y) = xy x + y (x, y) (0, 0) (x, y) = (0, 0) (b) h(x, y) = { 5x + y y x y < x )

6 ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias - 05) Práctica 4: Diferenciación (Primera Parte) A. Derivadas Parciales. Calcular las derivadas parciales de f(x, y) = xy sin(y) + (3y 5x).. Calcular w x + w y + w z siendo w = ex+y ln(zy). Hasta el 7 de abril 3. Estudiar la existencia de las derivadas parciales de g(x, y) = y /3 x en todos los puntos (x, y) IR { y 4. Mostrar que f(x, y) = y x x y no es continua en (0, 0), existe f x (0, 0) y no existe f y (0, 0). 0 x = y { xy 5. Mostrar que g(x, y) = y x x y no es continua pero existen ambas derivadas parciales en (0, 0). 0 x = y 6. Estudiar la existencia de las derivadas parciales de las siguientes funciones para todo (x, y) IR. { (a) f(x, y) = 3 y x 0 y y x y + y 3 (b) g(x, y) = x(y ) 0 en otro caso B. Diferenciabilidad ( ) x sin. Sea f(x, y) = x + y (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) (a) Calcular f x (x, y) para todo (x, y) del dominio. (b) Mostrar que f x no es continua en (0, 0) pero f si es diferenciable en (0, 0). (c) Encontrar la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función en (0, 0).. Mostrar que f(x, y) = cos x + y tiene derivadas parciales continuas en todo (x, y) IR. Es diferenciable en el origen? En caso afirmativo, calcular la ecuación del plano tangente a la gráfica de f(x, y) en el punto (0, 0). 3. Justificar por qué la gráfica de la función f(x, y) = xy + arctan(x + y) admite plano tangente en el origen. Calcular la ecuación del plano tangente. 4. Mostrar que g(x, y) del ejercicio A.5 tiene derivadas parciales pero no es diferenciable en (0, 0). 5. Dada f(x, y) = 3x y x 3 x + y 4, definir f(0, 0) de modo que resulte continua y estudiar su diferenciabilidad. 6. Considerar h(x, y) = x y. En el esquema de la derecha se ve que el plano tangente a la gráfica de la función en cada punto P 0 = (x 0, y 0, h(x 0, y 0 )) es normal al vector P 0. Demostrarlo analíticamente. 7. Encontrar los valores de α para que { αy + x y + α (x, y) (0, 0) f(x, y) = α (x, y) = (0, 0) admita ambas derivadas parciales en (0, 0). Es diferenciable en (0, 0)? 8. Demostrar que si f(x, y) es una función diferenciable en el (0, 0) entonces también lo es la función g(x, y) = xf(x, y) + y f(x, y) 9. Sea f : IR IR tal que f(x, y) xy para todo (x, y). Demostrar que f es diferenciable en el origen.

7 C. Derivadas de orden superior. Calcular las derivadas parciales segundas de f(x, y, z) = z ln(xy). Verificar la igualdad de las derivadas cruzadas correspondientes. 3 w. Calcular x t + 3 w x t + w t siendo w = x t Existe alguna función f C tal que f x (x, y) = x + y y f y (x, y) = e x+y? 4. El mapa de contornos de la derecha corresponde a una función f(x, y) C. Determinar si las siguientes derivadas son positivas o negativas en P. f x (P ) f y (P ) f xx (P ) f yy (P ) f xy (P ) 5. Sea f(x, y) = { ( y x arctan x) x 0 0 x = 0 a) Calcular f x (x, y) y f y (x, y) en todo (x, y). b) Mostrar que f xy (0, 0) = 0 y f yx (0, 0) =. D. Derivadas direccionales. Calcular las derivadas direccionales en los puntos y direcciones indicadas. (a) f(x, y) = x 3 + 3y, en cualquier punto (x, y) y en la dirección dada por θ = π/3 x si y 0 (b) f(x, y) = y en (0, 0) y en las direcciones u = (, 0), v = (0, ) y w = (, ). 0 si y = 0 (c) f(x, y, z) = e z (xy + z ), P 0 = (0,, 0), en la dirección que va de P = (0, 4, 8) a Q = (, 9, 7).. Mostrar que f(x, y) = 3 xy es continua y que las derivadas parciales existen en el origen pero que las derivadas direccionales en todas las demás direcciones no existen. Es f diferenciable en el origen? xy 3. Considerar f(x, y) = x + y si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) (a) Hallar D u f(0, 0) siendo u una dirección unitaria arbitraria. (b) Es diferenciable en el origen? (c) Encontrar, si existe, una dirección unitaria u para la cual D u f(0, 0) f(0, 0) u.

8 A. Regla de la cadena ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias - 05) Práctica 5: Diferenciación (Segunda Parte). Mostrar que toda función de la forma z = f(x + cy), con c constante y f C (IR), cumple cz x z y = 0.. Sea f(x, y) una función con derivadas parciales continuas y positivas. Es f(t, t 3 ) una función creciente? 3. Mostrar que si y = f(x at) + g(x + at), donde a es una constante y f, g C (IR), entonces a y xx = y tt. 4. Dadas f(x, y) C (IR ) y (r, θ) las coordenadas polares. [ ] f (a) Mostrar que (r, θ) + [ ] f r r (r, θ) = xyf(x, y) θ (b) Mostrar que f rr (r, θ) = cos θf xx (x, y) + sin θ cos θf xy (x, y) + sin θf yy (x, y) (c) Encontar fórmulas similares para f θθ (r, θ) y f rθ (r, θ). 5. Sean f, g C (IR). Si se define F (x, y) = f(x + g(y)) entonces F x.f xy = F y.f xx. 6. Sean g(x, y) = x + y, x(t) = 8t, y(t) = 3t. Calcular dg dt (0). 7. Sea f(u, v) C (IR ) que cumple f uu + f vv = 0. Mostrar que las siguientes funciones cumplen la misma ecuación (a) h(x, y) = f(ax + by, bx ay) (b) d(x, y) = f(x y, xy) 8. Si f(x, y) = (x + xy +, y + ) y g(u, v) = (u + v, u, v), encontrar la matriz jacobiana de (g f)(, ). 9. Considerar f(x, y) = e x+y i + sin(y + x) j g(u, v, w) = (u + v + 3w 3 ) i + (v u ) j Calcular la matriz jacobiana de (f g)(,, ). 0. Sea g : IR IR una función derivable y f(x, y) = g( x + y ). Mostrar que ( ) xy f(x, y) = g x + y para (x, y) (0, 0). Tomando f(x, y, z) = x + y + z y (r, θ, z) las coordenadas cilíndricas, mostrar que f r = r r + z y f θ = 0 para todo r > 0. Sea w = g(u, v) diferenciable en (, 5) tal que g(, 5) = (3, ), y sea G(x, y) = g(x, y + x ). Calcular G(, 3). 3. Sea w(x, y) = f(x y, y x ) donde f : IR IR es una función tal que f(u, v) = uv i + (u v ) j y f( 4, 0) = Encontrar el punto Q = (, 3, a) perteneciente al plano tangente a la gráfica de la función w en (x 0, y 0 ) = (, 4). 4. Considerar H(x, y) C (IR ) y x(t), y(t) dos funciones tales que x (t) = H y (x(t), y(t)) y (t) = H x (x(t), y(t)) Mostrar que H (x(t), y(t)) es constante. 5. Las dimensiones de una caja rectangular varían según x = 3t, y = t, z = t 3. Calcular la velocidad con la que está cambiando su volumen para t =. 6. Sean F (x, y, u, v) = x 3 e uv + vy u(x, y) = x y v(x, y) = xy 3 f(x, y) = F (x, y, u(x, y), v(x, y)). Calcular F x f (x, y, u, v) y (x, y). x

9 B. Vector Gradiente f. El mapa de contornos de la derecha corresponde a una función f(x, y) diferenciable. (a) Dibujar el vector gradiente f(x, y) en los puntos indicados. (b) Encontrar P tal que f(p ) sea paralelo a (, ). (c) Determinar el signo de D u f(x, y) en todos los puntos indicados siendo u = (, ).. Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto indicado xy cos y = z 3 ze xy P 0 = (4, 0, ) 3. Encontrar una función que tenga al elipsoide x + 9y + 5z = como superficie de nivel en el punto (, 0, 0) y calcular su dirección de máximo crecimiento a partir de dicho punto. 4. Mostrar que el vector v = (0,, ) es normal a la superficie S en el punto (0,, ). S = { (x, y, z) IR 3 : x + y + z = 4 } 5. La función T (x, y, z) = 0(xe y + ze x ) indica la temperatura en cada punto de un depósito de agua. Al considerar el punto P = (0, 0, ) dentro del depósito: (a) Cuál es la razón de cambio de la temperatura al desplazarnos hacia el punto Q = (, 3, )?. (b) Qué dirección debemos tomar para que la temperatura disminuya lo más rápidamente posible? (c) Encontrar 3 direcciones en donde la derivada direccional tome el valor. (d) Cuál es el valor de la máxima razón de cambio posible? (e) Existe alguna dirección en donde la derivada direccional tome el valor 0? 6. Encontrar la distancia entre el plano π : 5x + 70y + z = y (a) El plano tangente a la gráfica de la función f(x, y) = 35 6 e xy 5 4x en el punto (, 0). (b) El plano tangente a la superficie 9x + 63y = + 9z en el punto ( 6, 6, 0 ). 7. Sea f(x, y) una función diferenciable en IR tal que el plano tangente a la gráfica de f(x, y) en el punto P = (, ) es: x + 3y + 4z =. Calcular la derivada direccional de f en la dirección v = i + 4 j. 8. Dada f(x, y, z) = g(xy)g(yz) siendo g C (IR) tal que g () 0, mostrar que la dirección de máximo crecimiento de f en el punto (,, ) es paralela al vector (,, ). 9. Encontrar los puntos de la superficie x + xy + y = z e z+ en los que se puede asegurar que los planos tangentes son paralelos al plano x 7y =.

10 A. Funciones Implícitas ANALISIS MATEMATICO II (Ciencias - 05) Práctica 6: Funciones Implícitas. Funciones Inversas. Polinomio de Taylor. Mostrar que la ecuación x 4 y + 3y 7 = 3 xy 3 permite definir y en función de x en un entorno del punto (0, ). Calcular y (x) en x = 0.. Sea u(x, y, z) = xe x+y + cos(zy)x + z y. (a) Mostrar que la ecuación u(x, y, z) = permite definir a x como función de (y, z) en las cercanías del punto (,, 0). Encontrar x y (, 0) y x z (, 0). (b) Es F (t) = x(t 3 + t, t 3 + t 5 ) una función creciente para valores cercanos a t = 0? 3. Considerar F (x, y, z, u, v) = yzv 3 + x u y G(x, y, z, u, v) = xy + v + z 3 u + (a) Calcular la matriz jacobiana (F, G) (x, y, z, u, v) (b) Analizar si es posible asegurar el despeje u = u(x, y, z) v = v(x, y, z) del sistema { F (x, y, z, u, v) = 0 G(x, y, z, u, v) = 0 en las cercanías de los puntos P = (4,,,, ), Q = (, 0, 0, 0, 0) o W = (, 0, 5, 0, 0). En los casos posibles calcular las derivadas de u y v respecto de la variable x en los puntos correspondientes. (c) Qué par de variables pueden definirse en función de las otras tres en las cercanías del punto P? (d) En las cercanías de qué puntos (x,, z,, ) es posible asegurar el despeje de las variables (y, v)? 4. Sea g(x, y) = F (x, y + 5x, x 3y). Qué condiciones debe cumplir la función F para asegurar que la ecuación g(x, y) = c define implícitamente a y como una función y = y(x) en las cercanías de un punto (x 0, y 0 )? 5. Considerando el sistema de ecuaciones { v + 6w + (u w) 5 = 4 w + u 3 v + w = u + Analizar si se cumplen las condiciones para asegurar que u y w pueden despejarse como funciones de v en las cercanías del punto (u, v, w) = (, 3, 0). En caso afirmativo calcular w (3). 6. (a) Encontrar z 0 de tal manera que el punto (,, z 0 ) pertenezca a la intersección de las superficies x + y + z = 9 x + zy 4 zx = (b) Justificar por qué puede despejarse a x e y como funciones de z en alguna vecindad del punto encontrado. (c) Considerar la función vectorial r(z) = x(z) i + y(z) j + z k definida para valores cercanos de z 0. Calcular d r dz (z 0).

11 B. Funciones Inversas. Encontrar todos los puntos en los que se pueda asegurar que F (x, y) = (e x cos(y), e x sin(y)) es localmente inversibles de clase C. Es F inyectiva en todo su dominio?. Analizar si { u = 3x + y 3 v = 3y + x 3 permite despejar a (x, y) como funciones de (u, v) en alguna vecindad de (x 0, y 0 ) = (, 0). En caso afirmativo, calcular la matriz jacobiana inversa en el punto correspondiente. 3. En cada caso, encontrar todos los puntos donde puede asegurarse que las transformaciones son localmente invertibles: { u = x y u = x = cosh u cos v (a) v = xy (b) x x + y v = y x + y (c) { u = x xy v = xy (d) y z = sinh u sin v = z C. Polinomio de Taylor. Hallar el polinomio de Taylor de segundo orden para las funciones en los puntos indicados: (a) f(x, y) = sin(xy) P = (0, 0) (b) g(x, y, z) = ze xy Q = (0, 0, ). (a) Calcular el polinomio de Taylor de grado de la función h(x, y) = x y centrado en (, ). (b) Usando el inciso anterior aproximar (0.95).0. Demostrar que el error cometido es menor a / Utilizar la fórmula de Taylor para desarrollar xy + x y en potencias de x, y. 4. Sea r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) 0 fijo y r(x, y, z) = (x, y, z). Obtener la aproximación cuadrática alrededor del origen para V (x, y, z) = r r 0 5. Estimar el error cometido al reemplazar cos(x) cos(y) por ( x y ) para x, y π Mediante un polinomio de Taylor de orden, calcular 0.99e 0.0. Dar la expresión para el residuo correspondiente. 7. La ecuación e xyz + z = + e define a z como función de (x, y) en una vecindad de (,, ). Usando un polinomio de primer orden aproxima z(.0, 0.99).

Tarea 1 - Vectorial 201420

Tarea 1 - Vectorial 201420 Tarea - Vectorial 040. Part :. - 3... Hacer parametrización de la curva de intersección del cilindro x + y = 6 y el plano x + z = 5. Encontrar las coordenadas de los puntos de la curva donde la curvatura

Más detalles

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas,

Más detalles

que corresponde al dominio definido por el paralelogramo de vértices (0, 2), (2, 1), (1, 6) y (3, 5).

que corresponde al dominio definido por el paralelogramo de vértices (0, 2), (2, 1), (1, 6) y (3, 5). 74 MÉTOOS NUMÉRICOS Informática de Sistemas - curso 9/1 Hojas de problemas Tema I - Cálculo diferencial e integral en varias variables I.1 Representación de funciones de dos variables 1. ibuja el plano

Más detalles

5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de

5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de Hallar el dominio de las siguientes funciones: x 3 a) x +ln(x ) b) ln x + 6 x + c) x x d) ln x x + e) cos x + ln(x 5π) + 8π x Graficar la función sen(x π ). Hallar para que valores de x es 3 Hallar las

Más detalles

S n = 3n + 2 n + 4. ln(1 + a n ) (3) Decidir, para cada una de las siguientes series, si es convergente o divergente.

S n = 3n + 2 n + 4. ln(1 + a n ) (3) Decidir, para cada una de las siguientes series, si es convergente o divergente. CÁLCULO HOJA 1 INGENIERO TÉCNICO EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS GRUPO DE MAÑANA, MÓSTOLES, 2008-09 (1) De la serie a n se sabe que la sucesión de sumas parciales viene dada por: S n = 3n + 2 n + 4. Encontrar

Más detalles

Parcial I Cálculo Vectorial

Parcial I Cálculo Vectorial Parcial I Cálculo Vectorial Febrero 8 de 1 ( Puntos) I. Responda falso o verdadero justificando matematicamente su respuesta. (i) La gráfica de la ecuación cos ϕ = 1, en coordenadas esféricas en R3, es

Más detalles

Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables

Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables 1 María José Arroyo Shirley Bromberg Patricia Saavedra Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa ÍNDICE 1 Geometría

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

4 Integrales de línea y de superficie

4 Integrales de línea y de superficie a t e a PROBLEMA DE ÁLULO II t i c a s 1 o Ings. Industrial y de Telecomunicación URO 2009 2010 4 Integrales de línea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1 Integra

Más detalles

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1

Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 .5. Coloquio 1/08/03. Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 1. Hallar a de manera que sea máximo el flujo de campo F (x,y,z)= (x,y,z) a través del borde ( con tapas!) del cilindro elíptico descripto

Más detalles

DEPARTAMENTO DE GEOMETRIA ANALITICA SEMESTRE 2016-1 SERIE ÁLGEBRA VECTORIAL

DEPARTAMENTO DE GEOMETRIA ANALITICA SEMESTRE 2016-1 SERIE ÁLGEBRA VECTORIAL 1.-Sea C(2, -3, 5) el punto medio del segmento dirigido AB. Empleando álgebra vectorial, determinar las coordenadas de los puntos A y B, si las componentes escalares de AB sobre los ejes coordenados X,

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

OCW-Universidad de Málaga, (2014). Bajo licencia. Creative Commons Attribution- NonComercial-ShareAlike 3.

OCW-Universidad de Málaga,  (2014). Bajo licencia. Creative Commons Attribution- NonComercial-ShareAlike 3. OCW-Universidad de Málaga, http://ocw.uma.es (014). Bajo licencia Creative Commons Attribution- NonComercial-ShareAlike 3.0 Spain Matemáticas III Relación de ejercicios Tema 1 Ejercicios Ej. 1 Encuentra

Más detalles

1. Extremos de funciones 2. 2. Parametrización, Triedro de Frenet 21. 3. Coordenadas curvilíneas 34. 4. Integrales de trayectoria y de línea 41

1. Extremos de funciones 2. 2. Parametrización, Triedro de Frenet 21. 3. Coordenadas curvilíneas 34. 4. Integrales de trayectoria y de línea 41 Índice general 1. Extremos de funciones. Parametrización, Triedro de Frenet 1 3. Coordenadas curvilíneas 34 4. Integrales de trayectoria y de línea 41 5. Integrales Iteradas 5 6. Teoremas Integrales 57

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

1 Función real de dos variables reales

1 Función real de dos variables reales Cálculo Matemático. Tema 10 Hoja 1 Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica Cálculo Matemático. Tema 10: Funciones de dos variables. Curso 008-09 1 Función real de dos variables reales Hasta el momento

Más detalles

2.1.5 Teoremas sobre derivadas

2.1.5 Teoremas sobre derivadas si x < 0. f(x) = x si x 0 x o = 0 Teoremas sobre derivadas 9 2. f(x) = x 3, x o = 3 a. Determine si f es continua en x o. b. Halle f +(x o ) y f (x o ). c. Determine si f es derivable en x o. d. Haga la

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

Funciones de varias variables: continuidad derivadas parciales y optimización

Funciones de varias variables: continuidad derivadas parciales y optimización Titulación: Ingeniero en Telecomunicación. Asignatura: Cálculo. Relación de problemas número 4. Funciones de varias variables: continuidad derivadas parciales y optimización Problema 1. Determinar el dominio

Más detalles

COORDENADAS CURVILINEAS

COORDENADAS CURVILINEAS CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

1 El plano y el espacio Euclídeos. Operaciones

1 El plano y el espacio Euclídeos. Operaciones Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. (Tema 8 Hoja 1 Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e Industrial (Esp. en Hidrología Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 8: Cálculo diferencial

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

De acuerdo con sus características podemos considerar tres tipos de vectores:

De acuerdo con sus características podemos considerar tres tipos de vectores: CÁLCULO VECTORIAL 1. ESCALARES Y VECTORES 1.1.-MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Existen magnitudes físicas cuyas cantidades pueden ser expresadas mediante un número y una unidad. Otras, en cambio, requieren

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: 1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =

Más detalles

Funciones de varias variables reales

Funciones de varias variables reales Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,

Más detalles

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión:

Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión: Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)

Más detalles

Introducción a la geometría. del plano y del espacio. Curvas.

Introducción a la geometría. del plano y del espacio. Curvas. UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Introducción a la geometría del plano y del espacio. Curvas. Ramón Bruzual Marisela Domínguez

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación

Más detalles

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 1. Verificar las identidades siguientes: 1) P (3, 3), Q( 1, 3), R(4, 0) Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 2) O( 10, 2), P ( 6, 3), Q( 5, 1) 2. Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles.

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

FUNCIONES DE VARIABLE REAL CAPÍTULO II. FUNCIONES DE VARIABLE REAL SECCIONES A. Dominio e imagen de una función. B. Representación gráfica de funciones. C. Operaciones con funciones. D. Ejercicios propuestos. 47 A. DOMINIO E IMAGEN

Más detalles

3. Funciones de varias variables

3. Funciones de varias variables Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 17 3. Funciones de varias variables Función real de varias variables reales Sea f una función cuyo dominio es un subconjunto D de R n

Más detalles

ALGEBRA LINEAL GUÍA No. 4 - VECTORES Profesor: Benjamín Sarmiento

ALGEBRA LINEAL GUÍA No. 4 - VECTORES Profesor: Benjamín Sarmiento ALGEBRA LINEAL GUÍA No. 4 - VECTORES Profesor: Benjamín Sarmiento VECTORES EN R n.. OPERACIONES CON VECTORES VECTORES EN R 2 : Un vector v en el plano R 2 = XY es un par ordenado de números reales .

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular

Más detalles

Aplicaciones de vectores

Aplicaciones de vectores Aplicaciones de vectores Coordenadas del punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos. Ejemplo: Hallar las coordenadas del

Más detalles

MATE1207 Primer parcial - Tema A MATE-1207

MATE1207 Primer parcial - Tema A MATE-1207 MATE7 Primer parcial - Tema A MATE7. Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.

Más detalles

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES CAPÍTULO V. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de derivada. B. Reglas de derivación. C. Derivadas sucesivas. D. Funciones implícitas. Derivación logarítmica. E. Ecuaciones paramétricas.

Más detalles

Modelo1_2009_Enunciados. Opción A

Modelo1_2009_Enunciados. Opción A a) Duración: hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la. e) Se permitirá el uso de calculadoras que

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1).

(a) El triángulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la siguiente forma: (0 t 1); y = 0. { x = 1 t y = t. (0 t 1). INTEGRALES DE LÍNEA. 15. alcular las siguientes integrales: (a) (x + y) ds donde es el borde del triángulo con vértices (, ), (1, ), (, 1). (b) x + y ds donde es la circunferencia x + y ax (a > ). (a)

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones

Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Matemática III Guía Nº3 Primer Semestre 015 Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones Problemas Propuestos 1. Sea f : R R

Más detalles

FUNCIONES Y SUPERFICIES

FUNCIONES Y SUPERFICIES FUNCIONES Y SUPERFICIES Sergio Stive Solano Sabié 1 Octubre de 2012 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com FUNCIONES Y SUPERFICIES Sergio Stive Solano Sabié 1 Octubre de 2012 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com

Más detalles

CAPÍTULO III. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CAPÍTULO III. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO III. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Derivadas parciales. Derivadas direccionales. 2. Diferenciabilidad. 3. Plano tangente. 4. Derivación de funciones compuestas.

Más detalles

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla. GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla GradoenIngenieríadelas Tecnologías de Telecomunicación EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II CURSO 2015-2016 Índice general 1. Derivación de funciones

Más detalles

Matemáticas. Segundo de Bachillerato. I.E.S. Los Boliches. Departamento de Matemáticas

Matemáticas. Segundo de Bachillerato. I.E.S. Los Boliches. Departamento de Matemáticas Matemáticas. Segundo de Bachillerato. I.E.S. Los Boliches. Departamento de Matemáticas Relación. Geometría en el espacio (II) 1. Estudiar la posición relativa de los siguientes conjuntos de planos: (a)

Más detalles

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.

Más detalles

Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.

Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química. Matemáticas I. 2010-2011. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. 1.1.-

Más detalles

x R, y R Según estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber:

x R, y R Según estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber: Apéndice A Coordenadas A.1 Coordenadas en el Plano R A.1.1 Cartesianas (x, y) Dotar al plano bidimensional R de coordenadas cartesianas D es establecer una biyección entre el conjunto de puntos del plano

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA 3: Derivadas parciales y diferenciación.

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA 3: Derivadas parciales y diferenciación. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS SOLUCIONES ) 3-1. Calcular, para las siguientes funciones. a) fx, y) x cos x sen y b) fx, y) e xy c) fx, y) x + y ) lnx + y )

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Incidencias. Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Incidencias. Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Junio de 04 (Incidencias Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Junio Incidencias 04 Sea f la función definida por f(x) = x + ln(x)

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta.

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Desigualdades 1.1. Introducción. Intervalos Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. 1 0 1 5 3 Sean a y b números y supongamos que

Más detalles

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II 1 Desarrollos de Taylor en varias variables Vamos ahora a generalizar los desarrollos de Taylor que vimos para funciones de una variable.

Más detalles

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el LA PARABOLA Señor... cuando nos equivoquemos, concédenos la voluntad de rectificar; y cuando tengamos razón... no permitas que nos hagamos insufribles para el prójimo. Marshall En la presente entrega,

Más detalles

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2014-2015 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Después

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'.

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'. .- Dada la función: f(x) = x 9 x a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'..a.- Lo primero que hacemos es buscar el dominio,

Más detalles

JAVIER ORDUÑA FLORES Red Tercer Milenio

JAVIER ORDUÑA FLORES Red Tercer Milenio 1 Geometría analítica JAVIER ORDUÑA FLORES Red Tercer Milenio GEOMETRÍA ANALÍTICA GEOMETRÍA ANALÍTICA JAVIER ORDUÑA FLORES RED TERCER MILENIO AVISO LEGAL Derechos Reservados 2012, por RED TERCER MILENIO

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn.

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. 1. VECTORES INDICE 1.1. Definición de un vector en R 2, R 3 (Interpretación geométrica), y su generalización en R n...2 1.2. Operaciones con vectores y sus propiedades...6 1.3. Producto escalar y vectorial

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA

EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO CCNN BLOQUE : GEOMETRÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Halle el punto P simétrico del punto P ( 3, 4, 0) respecto del plano Л que contiene a la recta s : x = y 2 = z 1 y al

Más detalles

Unidad V: Integración

Unidad V: Integración Unidad V: Integración 5.1 Introducción La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral

Más detalles

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide: .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

1. Definición y representaciones gráficas

1. Definición y representaciones gráficas Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas ANÁLISIS MATEMÁTICO II (CiBEx - Física Médica) 2014 Segundo Semestre GUÍA Nro. 3: FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES 1. Definición y representaciones

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie

4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie NOTAS DE CLASE CÁLCULO III Doris Hinestroza Diego L. Hoyos 1 Índice general 1. Funciones Vectoriales 5 1.1. El Espacio R n............................ 5 1.2. Funciones Vectoriales........................

Más detalles

1. ESCALARES Y VECTORES

1. ESCALARES Y VECTORES 1. ESCLRES Y VECTORES lgunas magnitudes físicas se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc. Estas magnitudes

Más detalles

EJERCICIOS DE PUNTOS EN EL ESPACIO

EJERCICIOS DE PUNTOS EN EL ESPACIO EJERCICIOS DE PUNTOS EN EL ESPACIO 1.- Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas

Más detalles

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 Una función real de variable real es una aplicación f : D R, donde D es un subconjunto de R denominado dominio de f. La función f hace corresponder

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) PROGRAMA DE ASIGNATURA GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) PROGRAMA DE ASIGNATURA GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) PROGRAMA DE ASIGNATURA GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 I. FUNDAMENTACIÓN En esta disciplina se estudian las operaciones

Más detalles

2 t, y t = 2 sin 2t, z t = 3e 3t. ( 2 sin 2t) + z. t = 0. = f u (2, 3)u s (1, 0) + f v (2, 3)v s (1, 0) = ( 1)( 2) + (10)(5) = 52

2 t, y t = 2 sin 2t, z t = 3e 3t. ( 2 sin 2t) + z. t = 0. = f u (2, 3)u s (1, 0) + f v (2, 3)v s (1, 0) = ( 1)( 2) + (10)(5) = 52 TALLER : Regla de la cadena, derivadas direccionales y vector gradiente Cálculo en varias variables Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín Escuela de matemáticas 1. Use la regla de la cadena

Más detalles

CÁLCULO II Funciones de varias variables

CÁLCULO II Funciones de varias variables CÁLCULO II Funciones de varias variables Facultad de Informática (UPM) Facultad de Informática (UPM) () CÁLCULO II Funciones de varias variables 1 / 36 Funciones de varias variables Función vectorial de

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

Bachillerato Internacional Matemáticas II. Curso 2014-2015 Problemas

Bachillerato Internacional Matemáticas II. Curso 2014-2015 Problemas Bachillerato Internacional Matemáticas II. Curso 04-05 Problemas REGLAS DE DERIVACIÓN. Reglas de derivación Obtener la derivada de las siguientes funciones:. y = (x 7x + ). y = (4x + 5). y = (x 4x 5x

Más detalles

SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una

SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una SUPERFICIES El objetivo de este tema es el estudio de superficies regulares en el espacio. Definiremos de forma rigurosa lo que es una superficie, veremos formas de expresar una superficie, esencialmente

Más detalles

1. Definición de campo vectorial

1. Definición de campo vectorial Universidad Nacional de La Plata Facultad de iencias Exactas ANÁLII MATEMÁTIO II (ibex - Física Médica) 214 egundo emestre GUÍA Nro. 6: AMPO VETORIALE 1. Definición de campo vectorial Durante el curso

Más detalles

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos / Criterios de evaluación O.7. Concepto y propiedades de los vectores O.7. Operaciones con vectores:

Más detalles

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z GEOMETRÍA Junio 94. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1. Razónalo. [1,5 puntos]. Dadas las ecuaciones de los

Más detalles

1. Funciones de varias variables

1. Funciones de varias variables Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Funciones de varias variables

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 ( Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 ( Modelo 3) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 11 ( Modelo 3) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 del 11 [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida por f(x) ax 3 + bx +cx, determina

Más detalles

1 FUNCIONES DE R N EN R.

1 FUNCIONES DE R N EN R. 1 FUNCIONES DE R N EN R. 1. Idea de función. Si A R N, una función f : A R es una regla que asigna a cada punto x A un número f( x ) R. Ejemplos: Si x R 2 podemos considerar la función f( x )=(distancia

Más detalles