Bárbara Cánovas Conesa

Transcripción

1 1 Junio 018 a) Enuncia el teorema de Bolzano y justifica razonadamente que la gráfica de la función f(x) = x 15 + x + 1 corta al eje OX al menos una vez en el intervalo [-1,1]. b) Calcula razonadamente el número exacto de puntos de corte con el eje OX cuando x recorre toda la recta real. Teorema de Bolzano.- si f(x) es continua en el intervalo [a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo, entonces existe al menos, un punto c (a, b) tal que f(c) = 0. Nuestra función es f(x) = x 15 + x + 1, cuyo dominio son todos los números reales, por tanto es continua en el intervalo [ 1, 1]. Ahora estudiamos el signo en los extremos del intervalo: f( 1) = 1 < 0 f(1) = > 0 Por lo tanto, como se cumple Bolzano, podemos asegurar que la función corta al menos una vez en el intervalo dado (c, 0). Estudiamos el crecimiento de la función: f (x) = 15x f (x) > 0 x R Como la función es creciente para cualquier valor real, la función sólo puede cortar una vez al eje OX, que es el punto dado en el apartado anterior (c, 0) Calcula razonadamente las siguientes integrales π a) (x 1) cos x dx 0 b) Nota: en la integral b) puede ayudarte hacer el cambio de variable e x = t e x dx e x +e x (a) Primero calculamos la integral indefinida y lo hacemos por partes: (x u = x 1 1) cos x dx dv = cos x dx Volvemos a integral por partes Por lo que la integral indefinida queda: du = x dx v = sen x u = x x sen x dx dv = sen x dx I = (x 1) sen x x sen x dx du = dx v = cos x I = (x 1) sen x [x( cos x) cos x dx] = (x 1) sen x + x cos x sen x + C I Por último calculamos la integral definida: = (x ) sen x + x cos x + C I = [(x ) sen x + x cos x] 0 π = (0 π) (π) = π (b) Hacemos el cambio de variable que nos indican: e x = t e x dx = dt tdx = dt dx = dt t t t + t dt t = 1 t + t dt La resolvemos como una integral irracional: 1 t + t = 1 (t 1)(t + ) = A t 1 + B t + = A(t + ) + B(t 1) (t 1)(t + ) { t = 1 A = 1 t = B = 1

2 EvAU _ Matemáticas CC _ CLM Por último deshacemos el cambio de variable: 1 1 I = t 1 t + dt = 1 Ln t 1 1 Ln t + = Ln t 1 t + I = Ln ex 1 e x + a) iscute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a R x + y az = x + ay + z = } x + y 5z = 6 b) Resuélvelo razonadamente para el valor a = Lo discutimos en base al teorema de Rouché Fröbenius: la condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas sea compatible (tenga solución) es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada. Por tanto, estudiamos los rangos de las dos matrices. Primero estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes, en función del parámetro k: 1 a M = 1 a 1 = a 9a + 1 M =0 1 5 Estudiamos el rango de la matriz ampliada cuando a = : 1 M = Por último, estudiamos el rango de la matriz ampliada cuando a = 7: 1 7 M = a a = 7 9a + 1 = 0 { a R {, 7}: Rg(M) = a = = 0 a = : Rg(M ) = 6 C 1, C, C = 10 0 a = 7: Rg(M ) = 6 Por tanto, según Roché-Frobenius: a R {, 7}: Rg(M) = Rg(M*) = = nº incógnitas SC a = : Rg(M) = Rg(M*) = nº incógnitas SCI a = 7: Rg(M) = Rg(M*) = SI Para a =, el sistema es compatible indeterminado, lo resolvemos por Gauss: x + y z = 1 x + y + z = } ( 1 1 x + y 5z = ) E 1 E ( E 1 E 0 1 ) La segunda y la tercera ecuación son la misma, por tanto: x + y λ = z = λ { y = + λ x = 7λ Soluc. ( 7λ, + λ, λ) y λ =

3 ado el plano x + y + z 15 = 0 y el punto A(,,1): Junio 018 a) Calcula la distancia del punto A al plano b) Calcula razonadamente el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al plano sea igual que la distancia del punto A al plano. Para calcular la distancia del punto A al plano podemos calcular la recta perpendicular a dicho plano y que pase por dicho punto. espués hallamos el punto intersección entre la recta y el plano. Por último, la distancia del punto a la recta será la misma que la del módulo del vector formado por los puntos A y P. A r P El vector director de la recta es el mismo que el normal del plano, por tanto, la ecuación paramétrica de la recta r será: x = + λ d r (,,): (,1,) r { y = + λ z = 1 + λ El punto intersección lo calculamos sustituyendo el punto genérico de la recta r en la ecuación del plano: ( + λ) + ( + λ) + (1 + λ) 15 = 0 λ = 1 P = (, 5, ) Por tanto, la distancia entre el punto y el plano será: d(a, ) = AP = 1 + ( 1 ) + 1 d(a, ) = u El lugar geométrico de los puntos del espacio que están a la misma distancia del plano que el punto A, serán dos planos, los dos paralelos al plano : El primero pasa por el punto A β x + y + z + = 0 A=(,,1) + + = 0 = β x + y + z = 0 El segundo pasa por el punto simétrico a A. Por tanto, primero tenemos que calcular dicho punto, para ello sabemos que el punto P calculado en el apartado anterior es el punto medio del segmento formado por el punto A y su punto simétrico con respecto al plano : P = (, 5, ) = ( + x + y,, 1 + z ) A = (,, ) β = x + y + z + = 0 A =(,,) = 0 = 1 β x + y + z 1 = 0 a) Una planta industrial tiene tres máquinas. La máquina A produce 500 condensadores diarios, con un % de defectuosos, la máquina B produce 700 con un % de defectuosos y la C produce 800 con un % de defectuosos. Al final del día se elige un condensador al azar. a1) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuoso. a) Si es defectuoso, calcula razonadamente la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A. b) Lanzamos un dado perfecto cinco veces. Sea X la variable "Número de múltiplos de tres que pueden salir". b1) Calcula razonadamente la media y la desviación típica de la variable X. b) Calcula razonadamente la probabilidad de obtener cuatro o más múltiplos de tres.

4 EvAU _ Matemáticas CC _ CLM Para responder a las preguntas del apartado a), hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos: - A = que el condensador escogido al azar haya sido fabricado por la máquina A - B = que el condensador escogido al azar haya sido fabricado por la máquina B - C = que el condensador escogido al azar haya sido fabricado por la máquina C - = que el condensador escogido al azar sea defectuoso - = que el condensador escogido al azar sea no defectuoso Para calcular la probabilidad de que el condensador elegido al azar sea defectuoso, usamos el teorema de la probabilidad total: P() = P() P( A) + P(B) P( B) + P(C) P( C) = P() = Para calcular la probabilidad de que siendo defectuoso, haya sido fabricado por la máquina A, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes: P(A ) = P(A ) P() = P( A) P(A) P() = ,5 0, 0,5 P(A ) = ,0 A B C 0,97 0,0 0,96 0,0 0,98 En el apartado b) empleamos la distribución Binomial. Siendo X = número de múltiplos de que pueden salir : {(,6)}, sigue una distribución binomial: Bin (5, p) La media de una distribución binomial es: μ = n p Calculamos la probabilidad de éxito: la probabilidad de obtener un múltiplo de tres en cada uno de los cinco lanzamientos es, según el principio multiplicativo para sucesos independientes: Por tanto la media será: p = 6 p = 1 Y la desviación típica: μ = 5 0. μ = 5 σ = n p q = 5 1 (1 1 ) σ = 1. 9 La probabilidad de obtener cuatro o más múltiplos de será: X~Bin (5, 0. ) P(X ) = 1 P(X < ) = 1 [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = )] Tabla 1 ( ) P(X ) = a) Prueba que cualquiera que sea la constante a la función f(x) = x 5x + 7x + a cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [1,]. b) Calcula razonadamente un punto del intervalo abierto (1,) cuya existencia asegura el teorema de Rolle. c) Calcula razonadamente los puntos de la gráfica f(x) = x 5x + 7x donde la recta tangente tenga la misma pendiente que la recta y = x +. Teorema de Rolle.- sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b) y que verifica que f(a) = f(b), entonces existe al menos, un punto c (a, b) tal que f (c) = 0.

5 Bárbara Cánovas Conesa 5 Junio 018 f(x) es continua para todos los números reales independientemente del valor de a, puesto que es una función polinómica: om f(x) = R f (x) = x 10x + 7, siendo derivable para todos los números reales. f(1) = + a = f() Por tanto, la función cumple el teorema de Rolle independientemente de la constante a. Es decir, c (1,)/f (c) = 0 c = 1 f (c) = c 10c + 7 c 10c + 7 = 0 { c = 7 Sólo nos sirve la segunda solución puesto que es la única que pertenece al intervalo (1,). La pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada de la función en dicho punto. En nuestro caso nos dice que la pendiente tiene que ser igual a la de la recta y = x +, es decir tiene que valer, por tanto: x = f (x) = x 10x + 7 f (x)= x 10x + 7 = x 10x + = 0 { x = 1 adas las funciones f(x) = x e x y g(x) = x e x, calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de esas funciones. Lo primero que calculamos son los puntos de corte entre las dos gráficas para saber entre qué valores de x va a estar definida la integral. Para ello igualamos las dos funciones: e x 0 x e x = x e x e x (x x ) = 0 { x x = 0 x( x) = 0 { x 1 = 0 x = Ahora tenemos que ver qué función está por encima en el intervalo (0,), para lo cual calculamos la imagen para x = 1 de cada función y vemos cuál es mayor: f(1) = x e x = e g(1) = x e x = 1 e Con lo que la función f(x) está por encima. Por tanto, el área del recinto encerrado por ambas gráficas será igual a: A = x e x x e x dx 0 Primero calculamos la integral indefinida, lo hacemos por partes: (x x ) e x u = x x dx dv = e x dx du = x dx v = e x = (x x )( e x ) + e x ( x) dx = (x x ) e x dx 0 I = (x x )( e x ) ( e x )( x) dx Volvemos a integral por partes e x u = x ( x) dx dv = e x dx Por lo que la integral indefinida queda: du = dx v = e x I = (x x )( e x ) + [( x)( e x ) ( e x )( ) dx] = (x x )( e x ) + ( x)( e x ) + e x + C I = x e x + C Por último calculamos la integral definida: A = [x e x ] 0 = ( 1 1 e) (0 e ) = u e

6 EvAU _ Matemáticas CC _ CLM 6 a) Encuentra los valores del parámetro a R para que la siguiente matriz tenga inversa: a A = ( 0 a 1 ) a 0 b) Para a = calcula razonadamente A 1 y comprueba el resultado c) Para a = 0 calcula razonadamente el valor de los determinantes A 1 y A Para que una matriz tenga inversa tiene que cumplir dos condiciones, la primera que sea cuadrada y la segunda que su determinante no sea nulo. La primea condición la cumple al ser una matriz cuadrada de orden. Estudiamos el determinante en función del parámetro a: a a A = 0 a 1 = a 7a + A =0 1 = 1 a 7a + = 0 { a a 0 = A 1 a R {1, } Por tanto, la matriz A tendrá inversa para todos los valores de a excepto el 1 y /. Para a =, la matriz A tendrá inversa, que es igual a: A 1 = A (Adj. A)t A = ( ) 0 Para comprobar que esta matriz es la inversa de A, sabemos que: Por tanto, sí es la matriz inversa. Para a = 0, la matriz inversa será: A = ( 0 1 ) 0 0 A = 0 0 Adj. A = ( ) (Adj. A) t = ( 1) { / A 1 A = I ( 0 1/) ( ) = ( 0 1 0) A = Adj. A = ( 0) 1 1 A 1 = (Adj. A) t = ( 0 1 ) { ( / A 1 = ( 1 1/ ) A 1 = 1 Para calcular el determinante A nos valemos de la propiedad de los determinantes que nos dice que si multiplicamos cada elemento de una línea de la matriz A por un número, el determinante de esa matriz queda multiplicado por ese número: α A = α n A siendo n el orden de la matriz A. Es decir, siendo la matriz A de orden : A = A = 8 1 A = ados los vectores u = (0,1,1), v = (1,1, 1) y w = (,0,) a) etermina el valor de R tal que el vector u λv sea perpendicular a w b) Son linealmente dependientes los vectores u, v y w? Razona la respuesta c) Encuentra razonadamente las ecuaciones implícitas o cartesianas de la recta que pase por el punto P (,0,) y que sea perpendicular simultáneamente a los vectores u y v. ) Primero calculamos el vector u λv : u λv = (0,1,1) λ(1,1, 1) u λv = ( λ, 1 λ, 1 + λ) Para que sea perpendicular al vector w, su producto escalar tiene que ser nulo, por tanto: (u λv ) w = 0 ( λ, 1 λ, 1 + λ) (,0,) = 0 λ =

7 Si los vectores son linealmente dependientes su producto mixto será nulo: Los vectores son linealmente independientes [u, v, w ] = = Junio 018 La recta pedida tendrá como vector el resultante del producto vectorial u v, puesto que nos dicen que tiene que ser perpendicular a dichos vectores. Cogiendo el punto que nos dan, partimos de la ecuación continua y de ella a la implícita: d r = (,1, 1) } r x P = (,0,) = y 1 = z u v = i j k = (,1, 1) x = y 1 1 r { x = z 1 x + y = 0 r { x + z = 0 a) El 60% del censo de una ciudad son mujeres. Las preferencias de las mujeres por los tres partidos que se presentan son: el 0% vota a A, el 50% a B y el resto a C; mientras que entre los hombres las preferencia son: el 10% vota a A, el 60% a B y el resto a C. Elegida al azar una persona del censo, calcula razonadamente la probabilidad de: a1) Ser hombre y votante de C. a) Si resultó ser votante de B, que sea mujer. b) Las notas que se han obtenido por 1000 opositores han seguido una distribución normal de media,05 y desviación típica,5. b1) Cuántos opositores han superado el 5? Razona la respuesta. b) Si tenemos que adjudicar 0 plazas, calcula razonadamente la nota de corte. Para responder a las preguntas del apartado a), hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos: - M = ser mujer - H = ser hombre - A = votar al partido A - B = votar al partido B - C = votar al partido C Nos piden la probabilidad de ser hombre y votar al partido C, para calcularla usamos la probabilidad condicionada: P(C H) = P(H C) P(H) P(H C) = P(C H) P(H) = P(H C) = 0. 1 Para calcular la probabilidad de que siendo de matemáticas, sea de la estantería B, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes: P(M B) = P(M B) P(B) = 0,6 P(B M) P(M) P(B M) P(M) + P(B H) P(H) = P(M B) = M 0, 0,5 0, A B 0, 0,1 A 0,6 H B 0, C C

8 8 EvAU _ Matemáticas CC _ CLM En el apartado b) empleamos la distribución Normal. Si designamos la variable X = notas obtenida por los opositores, sigue una distribución normal: N (μ, σ) X~N (. 05,. 5) Para saber cuántos opositores han superado la nota de 5, primero tenemos que calcular la probabilidad de obtener más de un 5: P(X > 5) Tipificamos X μ P ( σ > 5.05 ) = P(Z > 0.8).5 Si nos fijamos en la curva de la distribución normal tipificada vemos como, al ser el área debajo de la curva igual a 1: P(Z > 0.8) = 1 P(X 0.8) Buscamos en la Tabla P(X > 5) = 0. 5 Para saber el número de opositores, simplemente multiplicamos la probabilidad por el número total de opositores: = 5 opositores 0,8 Queremos hallar el valor k, tal que P(Z k) = 0.. Como en la tabla que tenemos no nos aparece la probabilidad de 0., buscamos la contraria 0.67: P(X k) = 0. 1 P(X < k) = 0.67 P(X < k) = 0.67 Tipificamos = 0.67 Es decir, la nota de corte está en Buscamos en la Tabla k.05.5 = 0. k = X μ P ( < σ k.05 ).5