Fundamentos Matemáticos y Físicos para Informática Gráfica. Mallas de Triángulos (2015)

Transcripción

1 Fundamentos Matemáticos y Físicos para Informática Gráfica Mallas de Triángulos (2015)

2 Presentación de la asignatura Objetivos globales de la asignatura: Introducción/recordatorio de algunos conceptos matemáticos básicos empleados en varias asignaturas del máster. Herramientas básicas de análisis numérico para modelado y simulación de procesos físicos. Bloques de la asignatura: Mallas de triángulos (José Miguel Espadero) Matemáticas (Ana Isabel Muñoz) Física (Alicia Salazar)

3 Mallas de triángulos: Objetivos Conceptos fundamentales y conexiones entre diversas áreas de informática gráfica. Porqué usar mallas de triángulos en problemas de procesamiento de geometría? Principales algoritmos con mallas de triángulos Implementación eficiente de algoritmos con mallas de triángulos. Ejemplos de estructuras de datos populares.

4 Mallas de Triángulos : Bibliografía Botsch et al, Polygon Mesh Processing, 2010 Kettner, Using generic programming for designing a data structure for polyhedral surfaces, SCG98 Campagna et al, Directed Edges - A Scalable Representation for Triangle Meshes, Journal of Graphics Tools 4(3), 1998 Botsch et al, OpenMesh - A generic and efficient polygon mesh data structure, OpenSG 2002

5 Mallas de Triángulos: Contenidos Representación de superficies. Estructuras de datos y formatos de fichero. Problemas comunes en mallas de triángulos Operaciones con mallas de triángulos: Análisis y Reparación Medidas de calidad Simplificación Deformación y Análisis Numérico

6 Representación de superficies

7 Representación de superficies

8 Funciones Paramétricas e Implícitas PMP 2 En matemáticas se emplean dos tipos de fórmulas para representar superficies Paramétricas o explícitas: Funciones que han de ser evaluadas en ciertos puntos. 2 f :ℝ ℝ f (t)=(cos(t ), sin(t )) circle=f (t )/t [0, 2 π] Implícitas: Funciones que han de ser resueltas. F :ℝ 2 ℝ F (x, y)= x 2 + y 2 1 circle={(x, y)}/ F (x, y)=0 r

9 Funciones Paramétricas e Implícitas Cada tipo de representación tiene sus aplicaciones Paramétrica: Permite conseguir fácilmente una serie de puntos situados sobre una superficie. Implícita: Permite decidir fácilmente si un punto pertenece o no a una superficie. En computación se suelen emplear más las funciones paramétricas al ser más directas de programar. Sin embargo, es difícil encontrar una función con forma de cordero no?

10 Funciones definidas a trozos Para representar superficies complejas, se emplean representaciones definidas a trozos (piecewise) Ejemplo de paramétricas a trozos: { 2 f 1 (t)=[t,t ] f 2 (t )=[t,6] f 3 (t )=[t,10 t ] si t (, 2) si t=2 si t ( 2,6 ] f (t)=f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t ) El dominio de nuestro ejemplo es ( ], y lo hemos dividido en tres trozos.

11 Aproximación mediante funciones lineales a trozos (2D) Para evitar el uso de funciones complejas, se suelen usar aproximaciones lineales. Se aporta el valor en una serie de puntos conocidos, y se interpola entre ellos de forma lineal. Xi Yi p0 0 0 p1 1 3 p p p p5 5 0 El dominio es [x0.. X5]. Cada trozo es un intervalo [ xi.. xi+1]. A mayor número de intervalos, menor error de aproximación.

12 Superficies lineales a trozos (3D) En superficies 3D, los intervalos se definen como parches poligonales. Una malla de triángulos impone que cada parche sea triangular, y las funciones polinomios de grado 1. La ventaja es que cada trozo es muy fácil de procesar por el hardware de computador. X Y Z p0 x0 y0 z0 p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 p3 x3 y3 z

13 Mallas Poligonales: Propiedades Mallas poligonales son un buen compromiso Permiten representar topología arbitraria. Permiten acceso eficiente a vértices, facetas, etc... Permiten decidir el error de aproximación mediante refinamiento faceta más pequeña = menor error.

14 Podemos hacer incluso corderos

15 Porqué usar parches triangulares? Mensaje del día Al emplear mallas de triángulos se reduce al máximo la complejidad de cada parche Todos los parches tienen mismo número de vértices, facilitando paralelismo. Se obliga a que cada parche sea convexo, permitiendo múltiples optimizaciones. Se evitan indefiniciones en plano teórico (ej. la normal por cada parche es única). Montones de algoritmos y propiedades matemáticas definidas para mallas de triángulos, que nos permiten mucho más que simplemente pintar.

16 Propiedades: Quasi-regularidad

17 Propiedades: Semi-regularidad

18 Otros tipos de mallas comunes Mallas de Quads, y mallas poligonales genéricas Mallas de tetraedros (volumétricas) Contenedores de información Parámetros para renderizado (color, normal) Parámetros físicos (masa, temperatura) Además, las mallas pueden ser contempladas como otras estructuras matemáticas Grafos (para toma de decisiones) Sistemas de ecuaciones (para simulación)

19 Mallas poligonales superficiales (Quads)

20 Mallas volumétricas (tetraedros) Partición del espacio con elementos no planos

21 Mallas como contenedores de información Parámetros para render Colores por vértice o por faceta Coordenadas de textura Mapas de normales (Bump mapping) Parámetros físicos Modelos masa-muelle Elementos finitos Imágenes médicas

22 Parámetros Render: Mapas de textura

23 Mapas de normales (Bump mapping)

24 Simplificación avanzada con normales

25 Modelos Masa-Muelle Malla sirve de base para un modelo físico de simulación donde cada vértice tiene una masa, y cada arista un muelle.

26 Mallas de Triángulos: Contenidos Representación de superficies. Estructuras de datos y formatos de fichero. Problemas comunes en mallas de triángulos Operaciones con mallas de triángulos: Análisis y Reparación Medidas de calidad Simplificación Análisis Numérico

27 Estructuras de datos para Mallas PMP 3 Almacenamiento separado Geometría (posiciones de vértices) Topología (conectividad entre vértices) Almacenamiento depende de las operaciones que deseemos realizar sobre las mallas. Lista de vértices por faceta Lista de facetas vecinas por faceta Lista de aristas/facetas incidentes sobre un vértice Existen varios formatos de fichero sencillos y multitud de formatos propietarios.

28 Formato STL: Lista coordenadas por facetas Faceta 3 posiciones 3D 9 floats/faceta = 36 b/faceta 72 b/vértice Sin conectividad Sopa de triángulos Generalmente, sólo es útil para render.

29 STL: Código de ejemplo class Point3D { float X; float Y; float Z }; class TriangleSTL { Point3D Vertex1; Point3D Vertex2; Point3D Vertex3 }; class TriangleList : vector<trianglestl>;

30 Formato STL: Ejemplo de fichero solid facet outer loop vertex vertex vertex endloop endfacet facet outer loop vertex vertex vertex endloop endfacet endsolid

31 OFF, OBJ: Vértices indexados Vértice Posición 3D Faceta 3 índices a vértice 3 floats/vertice + 3 int/faceta 36 b/vértice Almacenamiento compacto. Sin información de vecindad. Útil para render y transformaciones geométricas simples.

32 Vértices Indexados: Código ejemplo class Point3D { float X; float Y; float Z }; class Triangle { int Vertex1; int Vertex2; La opción int facilita depurar código, Pero también sirven las opciones: Point3D *Vertex1; Point3D &Vertex1; int Vertex3 }; class MeshCoordinates : vector<point3d>; class MeshConectivity : vector<triangle>;

33 Formato de fichero OBJ (sencillo) v v v v v=vértice f=faceta, l=polilinea,... f f f El primer vértice tiene índice 1

34 Formato de fichero OFF OFF Número de Vértices, Facetas, Aristas Número de vértices en esta faceta El primer vértice tiene índice 0

35 Aviso: Vamos a intercambiar horario con la asignatura RVI durante la semana que viene. RVI será: Martes 29, de 19 a 21 Jueves 1, de 17 a 19 FMFIG será: Lunes 28, de 19 a 21 Martes 29, de 17 a 19

36 Mallas con info de aristas Vértice Arista Posición 3D 2 indices a vértice Faceta 3 índices a vértice Vertex Edges Triangles x0 y0 z0 v01 v02 v00 v01 v02 x1 y1 z1 v11 v12 v10 v11 v floats/vertice + 2 int/arista + 3 int/faceta 44 b/vértice Almacenamiento redundante info aristas puede re-construirse si necesario. Sin información de vecindad. Útil para algoritmos basados en aristas (corte por planos, masa-muelle), pero hay mejores alternativas.

37 Código ejemplo malla con info de aristas class Point3D { float X;float Y;float Z}; class Edge { int v0; int v1; }; class Triangle {int v0; int v1; int v2; }; class MeshCoordinates : vector<point3d>; class MeshEdges : vector<edge>; class MeshTriangles : vector<triangle>;