3) Halla el punto de la curva y=x 3-3x 2 +6x-4 en el que la recta tangente tiene pendiente mínima. Calcula la ecuación de dicha recta tangente.

Transcripción

1 CURSO 4-5. Septiembre de 5. ) De la siguiente función f, se pide: a) Dominio. b) Derivada. c) Continuidad y discontinuidades. + f()= ln ) De la función del problema anterior, se pide. a) Asíntotas verticales. b) Su comportamiento en +. 3) Halla el punto de la curva y= en el que la recta tangente tiene pendiente mínima. Calcula la ecuación de dicha recta tangente. 4) Encuentra el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y= -3- e y=-4. 5) Discute según sea el valor del parámetro y resuelve, en su caso, el sistema: +y+z= +y+z= +y+z= +y+z= 6) Dadas las matrices A y B, halla: a) Y=3 A A'- I, donde A' e I son, respectivamente, la traspuesta de A y la matriz unidad de orden. b) La matriz X tal que A X= B. A = 3 5 B = 7) Resuelve la ecuación: = 8) Si A(,,), B(-,3,), C(,,) y D(,,), halla el punto P de la recta AB tal que el triángulo CPD sea rectángulo con hipotenusa PC. Todos los ejercicios valen lo mismo. --

2 CURSO 4-5. Ejercicio : De la siguiente función, se pide: a) dominio; b) derivada; c) continuidad y discontinuidades. + f()= ln a) Dom(f)=(-,) (,+ ): (+)/ > +> >- b) + f()= ln = ln(+)- ln f'()= - + = + - = --4 (+) =- +4 (+) c) La función es continua en su dominio, ya que es derivable en él. Además, en = presenta una discontinuidad de salto infinito: lím f() = lím ln + = ln + = ln(+ ) = + Aplicamos las propiedades de los logaritmos (ya se ha justificado este modo de proceder en Derivadas, en este mismo blog). También puede hallarse la derivada directamente. Aplicamos la regla del límite de la composición. --

3 CURSO 4-5. Ejercicio : De la función del problema anterior, se pide: a) asíntotas verticales; b) su comportamiento en +. a) Las rectas =- y = son asíntotas verticales de la función (esta última por el cálculo hecho en el apartado c del problema anterior): lím - >- f() = lím - >- + ln = ln + 4 = ln + = - b) La función tiene en + una rama parabólica en la dirección del eje OX: + = lím f() = lím + + ln + = + lím ln + = lím + ln = m= lím + f() ln = + lím + + = ln + = ln + = - = lím + = lím = lím = ' = lím + + -(+) 4 = - lím + 3 = + lím - = - + = Aplicamos la regla del límite de la composición. Como sale la indeterminación /, aplicamos L'Hôpital. Para obtener dicha indeterminación hemos aplicado la regla del límite de la composición al numerador. 3 Ya que a +a +a + +a n n ~ a n n en + y en -. También puede hacerse sacando factor común en numerador y denominador la respectiva máima potencia de, simplificando a continuación. O por L'Hôpital. -3-

4 CURSO 4-5. Ejercicio 3: Halla el punto de la curva y= en el que la recta tangente tiene pendiente mínima. Calcula la ecuación de dicha recta tangente. a) Como la pendiente de la recta tangente coincide con la derivada, ésta debe ser mínima: m=y'=3-6+6 Como la condición necesaria de etremo relativo es que la derivada valga cero, derivamos, igualamos a cero y resolvemos la ecuación: m'= 6-6 = 6=6 = Para aplicar el criterio de la derivada segunda, derivamos de nuevo y calculamos el valor de la derivada segunda en =: Por último: m"=6 m"()=6> m es mínima en = = y=-3+6-4= P(,) b) Como, evidentemente, la pendiente de la recta tangente en el punto P(,) es m=3-6+6=3, su ecuación eplícita es: y-=3(-) y=3-3 También puede aplicarse el criterio de la variación del signo de la derivada primera. -4-

5 CURSO 4-5. Ejercicio 4: Encuentra el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y= -3- e y=-4. º) Resolvemos el sistema que forman las funciones que limitan por arriba y por abajo el recinto cuya área queremos hallar: y= -3- y=-4-3- = = = 5± 5+4 5±7 = =- = =6 º) Averiguamos entre - y 6 qué función está por encima y qué función está por debajo: 3º) Calculamos el área: y y - -4 A = 6 ( ) d = 6 (6+5- ) d = = (36+9-7) = = = Representación gráfica: y= = 343 = O 6 y= -3- Como el cálculo de una primitiva es trivial, lo hacemos directamente. -5-

6 CURSO 4-5. Ejercicio 5: Discute según sea el valor del parámetro y resuelve, en su caso, el sistema: +y+z= +y+z= +y+z= +y+z= Aplicamos el método de Gauss: ~ - ~ ~ -- ~ - -= = -= +-3= -± 4+ Estudiamos los distintos casos: ±4 = ~ =-3 = º) Si =-3, el sistema es compatible determinado: y+z=-3-4y=4-4z=4 =-3-y-z y=- z=- =- y=- z=- º) Si =, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de dos parámetros: +y+z= =-y-z =-α-β y=α z=β 3º) En los demás casos el sistema es incompatible. ªf 4ªf. ªf-ªf; 3ªf-ªf; 4ªf- ªf. 3 4ªf+ªf. 4 4ªf+3ªf. Los pasos 3 y 4 se pueden hacer a la vez. 5 Si 3--, el sistema es incompatible (caso 3º). Estudiamos primero los demás casos. -6-

7 CURSO 4-5. Ejercicio 6: Dadas las matrices A y B, halla: a) Y=3 A A'- I, donde A' e I son, respectivamente, la traspuesta de A y la matriz unidad de orden ; b) la matriz X tal que A X= B. A = 3 5 B = a) Calculamos la matriz Y: Y=3 A A'- I= = = = = b) Aplicamos el método de Gauss para resolver la ecuación matricial A X=B: Comprobación: 3 5 ~ ~ 3-3 ~3 ~ ~ X= A X= = = =B También puede resolverse dicha ecuación hallando primero la inversa de A por el método de Gauss o por determinantes y despejando X: A X=B X=A - B ªf 3. ªf-5 ªf. 3 ªf-ªf. 4 ªf /3. -7-

8 CURSO 4-5. Ejercicio 7: Resuelve la ecuación: = = = = 4+ = 3 (4+) 3 Por tanto: (4+) 3 = (4+) 3 - = (4+ -)= (solución doble) = +4-= -4± 6+4-4± 5 = = = -± 5 ªc+ªc+3ªc+4ªc. ªf-ªf; 3ªf-ªf; 4ªf-ªf. 3 El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. -8-

9 CURSO 4-5. Ejercicio 8: Si A(,,), B(-,3,), C(,,) y D(,,), halla el punto P de la recta AB tal que el triángulo CPD sea rectángulo con hipotenusa PC. Como la recta AB pasa por el punto A(,,) y tiene por vector direccional [AB ]=(-,,), sus ecuaciones paramétricas son: =-α y=+α z= Como el punto P pertenece a la recta AB, satisface su ecuación: B A P D P(-α,+α,) C Si el triángulo CPD es rectángulo con hipotenusa PC, los vectores [DP ] y [DC ] son perpendiculares: [DP ] [DC ] [DP ] [DC ]= (-α,-+α,) (,-,)= -α+-4α= 6α=3 α=/ P(,,) También puede calcularse el parámetro α aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo PCD. -9-