f' x =1-e Crecimiento f' x >0 1-e >0 -e >-1 e <1 <1 e >1

Transcripción

1 Solucions modlo 6 d 009 Sa f:r R la función dfinida por f =+ -. Opción A Ejrcicio 1 [0 7 puntos] Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f, así como los trmos rlativos o locals d f [0 puntos] Dtrmina los intrvalos d concavidad y convidad d f c) [0 7 puntos] Dtrmina las asíntotas d la gráfica d f. d) [0 puntos] Esboza la gráfica d f f' =1- Crciminto f' >0 1- >0 - >-1 <1 <1 >1 0 > >0 Crciminto R/>0 (significa para todo ) Dcrciminto R/<0 0 Mínimo rlativo y absoluto n =0 f 0 =0+ =1 0,1 (d dcrciminto pasa a crciminto) - - f'' = Como simpr f'' >0 >0 al sr una ponncial, la función simpr s conva ( )n todo R. c) 1 f = Como sta función no s anula n l dnominador, no tin asíntotas vrticals. 1 1 Como lim + = + = +0= + +, f() no tin asíntotas horizontals n lim + + = lim -+ - lim -+ =- +, indtrminación Como, + = lim (-)(1- * * = - (1- )= - (- )= * * lim [, aplicando L'Hôpital] = lim = f() no tin asíntotas horizontals n - La rcta y=m+n s asíntota oblicua si f() m= lim + y n= lim f() m + f() Como m= lim = lim 1+ = lim = , y n= lim f() m = lim f() m = lim + = lim La rcta y = 1.+0 = s asíntota oblicua n + f() 1 + Como m= lim = lim 1+ = lim , y n= lim f() m = lim f() m = lim + = lim lim f() no tin asíntotas oblicuas n - d) Un sbozo d la gráfica s 1

2 fhl Ejrcicio g = Sa f:r R y g:r R las funcions dfinidas por f = + y [1 punto] Dtrmina los puntos d cort d las graficas d f y g. Esboza dichas gráficas. [1 puntos] Calcula l ára dl rcinto limitado por dichas graficas f = + - si <0 -= --=0 =1+8=9 + si 0 += +-=0 =1+8=9 1+ = =>0 No stá n l intrvalo studiado 1± 9 1± Si <0, = = 1- = =-1<0 f -1 = = -1, -1+ = =1>0 f 1 =1 +1= 1, -1± 9-1± Si 0, = = 1- = =-1<0 No stá n l intrvalo studiado Ambas ramas son parábolas Si <0, la abscisa dl vértic s f ()=0; -1=0, d dond =1/ Si 0, la abscisa dl vértic s f ()=0; +1=0, d dond = -1/ Un sbozo d las gráficas s A= d- + d = = A=- -1= u Ejrcicio - 1 S considran las matrics A= y B=A-kI, dond k s una constant I la matriz idntidad d -1 ordn

3 [0 7 puntos] Dtrmina los valors d k para los qu B no tin invrsa [0 puntos] Calcula B -1 para k = -1 c) [1 puntos] Dtrmina la constants αy βpara las qu s cumpl A +αa=βi - 1 k 0 --k 1-10 k -1-k -1 B= - = B ( significa" ist al mnos") B 0 --k 1 B = -1-k = -1. +k k -= +k. 1+k -=+k+k+k -=k +k+1 -+ k= =-+ -± 1 -- k= =-- Si B =0 k +k+1=0 =16-=1>0 k= R- --, -+ B 0 Eist B - t - 1 t - B = =1-+1=- 0 B =. adj B B= B = B t -1 adj B = B =. = c) α α 11-α -+α A +αa=. + α. = + = α -α -8+α -α 1 0 β 0 βi=β. = β 11-α=β -+α=0 α= 11- =β β=-1 α= 8+α=0 α=8 α= -=β β=-1 β=-1 -α=β Ejrcicio -y=- =1 Sa la rcta r dfinida por y la rcta s dfinida por -z=- y-z=- [1 punto] Estudia la posición rlativa d r y s [1 puntos] Halla la cuación dl plano qu contin a s y s parallo a s S studiará, primramnt, si son parallas analizando si hay proporcionalidad ntr sus vctors dirctors, d sr así vrmos si tinn un punto común y si llo s cumpl la rcta srá coincidnt. En l caso d qu no ista la proporcionalidad s studiará si tinn un punto común y si no s cortan son rctas qu s cruzan. =λ y=+ r y=+λ v = r 1,1,1 z=+ z=+λ No son coincidnts ni parallas =1 0 1 v = s 0,1, z=+y r y=μ S 1, 0, z=+μ λ=1 +1=μ μ= Punto común +λ=μ No s cortan +1=+μ μ= μ=1 +λ=+μ Las rctas r y s s cruzan

4 Es un plano gnrado por l vctor dirctor d s, por l d r y por un punto S d la rcta s y l punto gnérico G dl plano r s v = 1,1,1-1 y z- v = 0,1, 1 =0 SG=, y, z - 1, 0, = -1, y, z z y=0-1 -y+ z- =0 -y+z-=0 Opción B Ejrcicio 1 [ puntos] D todos los triángulos cuya bas y altura suman 0 cm., qué bas tin l d ára máima?. A B B+H=0 H=0-B da 1 1 A= B 0-B = 0 B-B A'= =. 0-B A=.B.H db da 1 A'=0 0-B=0 B=0 B=10 A'= =. - =-1<0 Máimo db B=10 cm. H=0-10=10 cm Ejrcicio [ puntos] Calcula un númro positivo a, mnor qu, para qu l rcinto limitado por la parábola d cuación y = y las dos rctas d cuacions y = y y = a, tnga un ára d 8 C unidads cuadradas. = =± = =- =a =± a = a =- a y = a

5 a a 8 1 = d- a d- d =d-a d- d 0 0 a 0 0 a 1 a 1 = -a - =. -0 -a. a a 0 0 a 1 8 a. a 1-8.a. a 1 16.a. a.a. a =8-a. a- + = - = - - =- a. a=1 a. a =1 a.a=1 a =1 a= 1=1 Ejrcicio +y=m+1 Sa l sistma d cuacions +my+z=1 m+y-z=m [1 puntos] Dtrmina los valors d m para los qu l sistma s compatibl [1 punto] Rsulv l sistma n l caso m = A = 1 m 1 =-m+m-1+1=0 A = =1 0 ranga = m 1 m 1-1 m R rang A = A/B = C1 C B = 1 m 1 =m +m+1-m -1-m=0 A/B = 1 m 1-m=0 m=1 Si m=1 1-m =0 1+m. 1-m m=-1 m R- 1 rang A/B = m=1 rang A/B =1 A/B = C C 1 1 =1-m m 1 m 1 m =1-m m B = 1 =m-1-m+1=0 A/B = =10 m -1 m m R rang A/B = A/B = C C B = m =m-m-1+1=0 A/B = = m m R rang A/B = m R rang A =rang A/B =<Númro d incognitas Sistma Compatibl Indtrminado y+z=1 z=1+y +y= =-y -λ, λ, 1+λ Ejrcicio +y+z=1 Sa l punto P(,, -1) y la rcta r dfinida por -y-z=1 [1 puntos] Halla la cuación dl plano qu pasa por P y contin r

6 [1 puntos] Halla l punto d r qu stá más crca d P Podrmos hallar un haz d planos dtrminados por la rcta r y calcularmos l qu contnga a punto P qu s l plano pdido Haz d planos +y+z-1+λ-y-z-1 = λ =0 --1+λ =0 -λ=0 λ= +y+z-1+. -y-z-1 =0 -y-6z-=0 -y-z-1=0 Es l punto R d mínima distancia ntr P y r, para llo por P hallarmos un plano prpndicular a r, qu tndrá como vctor dirctor l d sta rcta qu s prpndicular al vctor formado por P y l punto G qu gnra l plano y l producto scalar d stos dos s nulo. Hallarmos, dspués l punto d cort dl plano y la rcta +y+z=1 y+6z=0 y+z=0 y=-z -z+z=1 =1 -+y+z=-1 =1 r y=-λ v = r 0, -,1 z=λ PG=, y, z -,, -1 = -, y-, z+1 v PG v PG=0 0, -,1 -, y-, z+1 =0 -. y- +z+1=0 -y+6+z+1= 0 y-z-7=0 7. -λ-λ-7=0 -λ-λ-7=0 -λ-7=0 -λ=7 λ=- r r = R y=-. - = R 1,, - 7 z=- 6