Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto. cos x. (x + 3) x = 1 x = 3

Transcripción

1 BLOQUE IV Análisis Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. de 7 Halla el dominio de definición de las funciones siguientes: a) y = log ( ) b) y = cos a) y = log ( ); > 0 8 < ; Dom = ) π = + πk, k é Z π 3π b) y = ; cos = 0 Dom = Á + πk; + πk, k é Z cos 3π = + πk, k é Z Representa las funciones: a) y = + 3 b) y = log ( + 3) a) y = + 3. Estudiamos la parábola y = + 3: Cortes con los ejes = 0, y = 3 y = = 0 = = Vértice y = ( ) + ( ) 3 = 4 Su representación es: = = 3 y = + 3 y = Así, los valores positivos quedan igual, y para los negativos tomamos sus opuestos. b) y = log ( + 3) 8 Dom = ( 3, +@) 5 Hallamos algunos puntos y vemos que: log ( + 3) y Su gráfica es: 5 3

2 Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. de 7 3 Esta es la gráfica de la función f () = ln A partir de ella, representa: a) y = f () + b) y = f ( ) c) y = f () a) y = f () + 8 Trasladamos f () unidades hacia arriba b) y = f ( ) 8 Trasladamos f () unidades hacia la derecha c) y = f () 8 Es la simétrica de f () respecto al eje O Si y = f () pasa por el punto (, 3), di un punto de: a) y = f () + 4 b) y = f ( + 4) c) y = f () d) y = f () a) (, 3 + 4) = (, ) b) ( 4, 3) = (, 3) c) (, 3 ) = (, 6) d) (, 3) 5 Representa: y = Ent(), é [, 3) y = Ent(), é [, 3) 3

3 Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. 3 de 7 6 Una población de insectos crece según la función: y = + 0,5 e 0,4 ( = tiempo en días; y = número de insectos en miles). a) Cuál es la población inicial? b) Calcula cuánto tarda en llegar a insectos. a) = 0 8 y = + 0,5 e 0 =,5 8 Población inicial: 500 insectos. b) y = = + 0,5 e 0,4 8 9 = e 0,4 ln 8 8 0,4 = ln 8 8 = 0,5 0,4 = 7,3 Tarda entre 7 y 8 días. 7 A partir de las funciones: f () = e ; g() = sen ; h() =, hemos obtenido, por composición, las funciones: p() = sen ; q() = e sen ; r() = e Eplica el procedimiento seguido. p() = sen 8 p() = g[h()] 8 p = g h q() = e sen 8 q() = f [g()] 8 q = f g r() = e 8 r() = h[ f ()] 8 r = h f 3 b si < 8 En la función: f () = 3 si = + 9 si > a) Calcula b para que tenga ite en =. b) Después de hallar b, eplica si f es continua en =. 3 b si < a) f () = 3 si = + 9 si > Para que tenga ite en =, debe cumplirse: f () = f () 8 f () = 3 b = 6 b f () = + 9 = b = 5 8 b = b) Para que sea continua en =, debe ser f () = f (). 8 f () = 3 f () = 3 = 5 8 Como f ()? f (), f no es continua en =

4 BLOQUE IV Análisis Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. 4 de Prueba, utilizando la definición, que la función derivada de f () = es f'() =. f'() = h f () = 3( + h) 5 f ( + h) = 3 + 3h f ( + h) f () = = f ( + h) f () 3h 3 = : h = h 3 3 f'() = = h 8 0 f ( + h) f () h 3h 0 Halla la recta tangente a la curva y = + 5, que es paralela a la recta + y + 3 = 0. Pendiente de + y + 3 = 0: m = El valor de la derivada en el punto de tangencia debe ser igual a. f () = + 5 f'() = = 8 = 3 f (3) = = 6 8 Punto de tangencia: P(3, 6) Ecuación de la recta tangente buscada: y = 6 ( 3) 8 y = 9 Halla los puntos singulares de f () = Con ayuda de las ramas infinitas, di si son máimos o mínimos y representa la función. f () = f'() = f'() = = ( + 4) = 0 = 0 8 f (0) = 5 = 8 f () = = = 8 f ( ) = = Los puntos singulares son (0, 5), (, ) y (, ). Ramas infinitas: Máimos: (, ) y (, ) Mínimo: (0, 5) 8 +@ ( ) ( ) 0 4

5 Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. 5 de 7 Halla la función derivada de las siguientes funciones: ln a) f () = tg b) f () = c) f () = arc tg d) f () = e π arc sen e) f () = f) f () = + ln + tg ln a) f'() = b) f'() = = tg c) f'() = d) f'() = e) f'() = f ) f'() = = Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las funciones siguientes: a) y = 3 b) y = 4 a) f () = 3 8 f'() = 3 ; 3 = = 0 = Estudiamos el signo de f' para saber dónde crece y dónde decrece la función: f crece en ) «(, +@). f decrece en (, ). f' > 0 f' < 0 f' > b) f () = 8 f'() = = + 4 f'() = 0 8 = 0 No tiene solución. f' es positiva para cualquier valor de. f es creciente en todo su dominio: Á {0}

6 Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. 6 de 7 4 En la función y = estudia: a) Las asíntotas y la posición de la curva con respecto a ellas. b) Los máimos y los mínimos relativos. c) Representa su gráfica. y = a) Asíntotas verticales: = 0 8 =, = 3 Posición de = Posición de = 3 = +@ f () f () 8 +@ 3 Asíntota horizontal: 8 ±@ = 8 y = Posición: 8 +@ f () > f () < b) Máimos y mínimos: ( 4 + 3) ( 4) f'() = = ( 4 + 3) ( 4 + 3) f'() = = 0 = 0 8 f (0) = 0 8 P(0, 0) es mínimo relativo = 8 f ( ) = 3 8 Q (, 3) es máimo relativo. c) 3

7 Resoluciones de la autoevaluación del libro de teto Pág. 7 de 7 5 Cuál de estas funciones tiene asíntota oblicua? a) y = b) y = + c) y = Hállala y sitúa la curva con respecto a ella Tiene asíntota oblicua y = = +. La asíntota es y =. Posición: 8 +@ curva > asíntota curva < asíntota 6 Calcula a y b de modo que la función y = 3 + a + b tenga un punto singular en (, ). Si y = 3 + a + b tiene un punto singular en (, ), la curva pasa por ese punto y su derivada es igual a 0 en él. (, ) é (, f ()) 8 = 3 + a + b 8 a + b = 7 f'() = 0 en = 8 f'() = 3 + a 8 0 = 3 + a 8 + a = 0 a + b = 7 8 a =, b = 7 + a = 0 La función es y = Esta es la gráfica de f', la función derivada de f. a) Di para qué valores de es f creciente y para cuáles f es decreciente. b) Tiene f algún punto de tangente horizontal? Justifícalo. a) f es creciente cuando f' > 0 8 f crece si < y decrece si >. b) Tiene un punto de tangente horizontal en =, porque en ese punto f' = 0.