a) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo absolutos de f (x). 4. (SEP 04) Sabiendo que una función f (x) tiene como derivada

Transcripción

1 Matemáticas II - Curso - EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE ACCESO COMUNIDAD DE MADRID (JUN ) Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máima (JUN ) Dada la función f ( ), se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P ( a, f ( a)), donde < a < b) Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal respectivamente c) Determinar el valor de a (, ) para el cual la distancia entre el punto A y el punto P ( a, f ( a)) es el doble de la distancia entre el punto B y el punto P ( a, f ( a)) ( ) (JUN ) Se considera la función f ( ) a) Calcular las asíntotas, el máimo y el mínimo absolutos de f () b) Calcular f ( ) d (SEP ) Sabiendo que una función f () tiene como derivada 5 f '( ) ( ) ( 8 7), a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f b) Hallar los máimos y mínimos relativos de f c) Es el punto = un punto de infleión de f? Justificar razonadamente la respuesta 6 (SEP ) Sea la función f ( ) ( ) a) Hallar sus máimos y mínimos relativos y sus asíntotas b) Dibujar la gráfica de la función, utilizando la información obtenida en el apartado anterior, teniendo en cuenta, además, que f tiene puntos de infleión cuyas abcisas son respectivamente 7 (JUN 5) Calcular los siguientes límites: a) lim b) lim ( arctg ( e ),,

2 Matemáticas II - Curso - 8 (JUN 5) Sea f () una función derivable en (,) y continua en [,], tal que f ( ) y f '( ) d Utilizar la fórmula de la integración por partes para hallar f ( ) d 9 (JUN 5) Calcular un polinomio de tercer grado p( ) a b c d sabiendo que verifica: i) tiene un máimo relativo en = ii) tiene un punto de infleión en el puntote coordenadas (,) iii) se verifica: (JUN 5) Calcular: 5 p ( ) d a) lim ) b) lim artg( e (SEP 5) Dada la función f ( ) se pide: i) Hallar las ecuaciones de la recta tangente a su gráfica en el punto ( a, f ( a)) para a > ii) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado a) con los dos ejes coordenados iii) Hallar el valor de a > que hace que la distancia entre los puntos hallados en b) sea mínima (SEP 5) Dada la función f ( ) ln, donde ln significa logaritmo neperiano, definida para >, hallar un punto ( a, f ( a)) tal que la recta tangente a la gráfica de f () en ese punto sea paralela al eje OX e (SEP 5) Se considera la función f ( ) ( e ) a) Calcular los etremos locales y / o globales de la función f () b) Determinar el valor del parámetro a tal que f ( ) d a (JUN 6) a) Dibujar la gráfica de la función f ( ), indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas n a) Demostrar que la sucesión a n es monótona creciente n b) Calcular lim n ( an an ) n

3 Matemáticas II - Curso - 5 (JUN 6) a) Estudiar y representar gráficamente la función f ( ) ( ) b) Hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función 5 anterior y las rectas y, 6 (SEP 6) a) Calcular los valores de a y b para que la función, si f ( ) a cos, si sea continua para todo valor de a b, si c) Estudiar la derivabilidad de f para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior 7 (SEP 6) Dada la función f () e, se pide: a) Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f() entre d 8 (SEP 6) Calcular: 9 (JUN 7) Se considera la función f () m, donde m es una constante a) Para cada valor de m hallar el valor a > tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto ( a, f(a) ) pase por el origen de coordenadas b) Hallar el valor de m para que la recta y sea tangente a la gráfica de f() (JUN 7) Dibujar la gráfica de la función f ( ), indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas (JUN 7) Dada la función f ( ), calcular el área de la región acotada encerrada por su gráfica y el eje OX (SEPT 7) (a) Hallar los máimos y mínimos relativos y los puntos de infleión de la función: f ( ) b) Determinar una función F() tal que su derivada sea f() y además F() = (SEPT 7) Sea g() una función continua y derivable para todo valor real de, de la que se conoce la siguiente información: i) g () > para todo (,)(,), mientras que g () < para todo (,)

4 Matemáticas II - Curso - ii) g () > para todo (,) y g () < para todo (,)(,) iii) g(), g(), g() iv) lim g( ) ; lim g( ) Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide: a) Analizar razonadamente la posible eistencia o no eistencia de asíntotas verticales, horizontales u oblicuas b) Dibujar de manera esquemática la gráfica de la función g() c) Si G( ) g( t) dt, encontrar un valor tal que la derivada G () = (JUN 8) Obtener los máimos y mínimos relativos, y los puntos de infleión de la función: f ( ) ln, siendo ln() el logaritmo neperiano de 5 (JUN 8) Calcular los siguientes límites: lim e a) 5 b) lim 6 6 (JUN 8) a) Para cada valor de c >, calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función f ( ) c, el eje OX y las c rectas =, = b) Hallar el valor de c para el cual el área obtenida en el apartado a) es mínima 7 (SEPT 8) Dada la función: ( ) f e, se pide: a) Dibujar la gráfica de f, estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de infleión y asíntotas b) Calcular: f ( ) d 8 (SEP 8) a) Calcular ln, donde ln() es el logaritmo neperiano de b) Utilizar el cambio de variable Indicación: para deshacer el cambio de variable utilizar: t ln t t e e para calcular d

5 Matemáticas II - Curso - 9 (JUN 9) Calcular el siguiente límite: del parámetro a lim a 8 según los valores t (JUN 9) Calcular la integral: F( ) t e dt (JUN 9) Si la derivada de la función f () es f () = ( ) ( 5), obtener: a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f b) Los valores de en los que f alcanza máimos relativos, mínimos relativos o puntos de infleión c) La función f, sabiendo que f () = ln( a) b si a, (SEP 9) Dada la función f ( ), se pide:, si a) Determinar los valores que deben tomar a y b para que f sea continua en = b) Para a = b =, estudiar si la función es derivable en = aplicando la definición de derivada en un punto (SEP 9) dada la función f ( ), a) Determinar el punto o los puntos de la gráfica de f en los que la pendiente de la tangente es b) Hallar la ecuación de la tangente a la gráfica de f en el punto de primera coordenada = c) Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g () =, g () = Demostrar que eiste al menos un punto c en el intervalo (,) tal que g (c) = (JUN ) Dada la función f ( ), a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f b) Determinar los puntos de infleión de f c) Encontrar las asíntotas de f y dibujar su gráfica d) determinar el área de la región acotada limitada por el gráfico de f y las rectas y = +, = ln 5 (JUN ) Dada la función f ( ), si, k, si a) Determinar k para que la función sea continua en toda la recta real b) Hallar los puntos en que corta al eje OX c) Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de la función en el punto de abcisa = 5

6 Matemáticas II - Curso - 6 (JUN *) Hallar: a) lim 5 8 lim b) 5 7 (JUN *) Dada la función f () = ln( + 5), a) Hallar su dominio y sus asíntotas verticales b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f 8 (JUN *) Dadas las funciones f () = 9, g () = +, a) Dibujar las gráficas de las dos funciones identificando el recinto acotado por ellas b) Calcular el área de dicho recinto acotado c) Hallar el volumen del cuerpo obtenido al hacer girar alrededor del eje OX el recinto plano acotado limitado por f () = 9 y el eje OX 9 (SEP ) Calcular: e 5e a 7 a) lim ar tan b) lim (SEP ) Calcular: d a) b) cos d (SEP *) Determinar el valor de a para que lim (SEP *) Calcular: 6 8 a) 5 d b) 9d (JUN ) a) Calcular la integral: 5 9 c) Hallar los valores máimo y mínimo absolutos de la función f ( ) (JUN ) a) Calcular el siguiente límite: lim b) Demostrar que la ecuación m solo tiene una raíz real, cualquiera que sea el valor de m Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan 5 9 a 6

7 Matemáticas II - Curso - 6 (JUN ) Dada la función a f ( ) se pide: a) Determinar el valor de a para que la función posea un mínimo relativo en = Para ese valor de a, obtener los otros puntos en los que f tiene un etremo relativo b) Obtener las asíntotas de la gráfica de y = f() para a = c) Esbozar la gráfica de la función para a = 7 (SEP ) a) Calcular los límites: lim y e b) Calcular la integral: lim e c) Hallar el dominio de definición de la función f ( ) 9 Hallar el conjunto de puntos en los que la función f tiene derivada e, si 8 (SEP ) Dada la función f ( ) k, si, hallar el valor de k para cos, si sen que sea continua en = Justificar la respuesta 9 (SEP ) a) Hallar el área del recinto plano limitado por la gráfica de f () = - sen y el eje OX entre las abcisas = y = b) Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de f () = - sen alrededor del eje OX entre las abcisas = y = 7

8 Matemáticas II - Curso - MÁS EJERCICIOS DE CÁLCULO a) Hallar el punto P en el que se cortan las gráficas de las funciones f ( ) g( ) b) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en el punto P a cada una de las curvas anteriores, y demostrar que son perpendiculares Se considera la función f ( ) Se pide: sen cos a) Calcular sus etremos locales y/o globales en el intervalo [- b) Comprobar la eistencia de, al menos, un punto c [, ] tal que f () = (Sugerencia: utilizar el teorema de Rolle) Demostrar que en c hay un punto de infleión 5 Justificar razonadamente que la gráfica de la función f ( ) corta al eje OX al menos una vez en el intervalo [-,] Determinar razonadamente el número eacto de puntos de corte con el eje OX cuando recorre toda la recta real 5 Sea la función f ( ) ln( ), donde ln significa logaritmo neperiano a) Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los intervalos de concavidad y conveidad b) Dibujar la gráfica de f c) Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f en sus puntos de infleión 6 (JUN - MODELO) Halla el valor de para que la función: e, si f ( ) sen sea continua Razona tu respuesta, si 7 (MODELO) Dado el polinomio P () = + a + b + c, obtener los valores de a, b y c de modo que se verifiquen las siguientes condiciones: el polinomio P() tenga etremos relativos en los puntos de abcisas = - /, = La recta tangente a la gráfica de P() en el punto (, P()) sea y = Calcular el límite de la sucesión cuyo término general es n n t Sean las funciones F( ) 5 e dt, g( ) Calcular ( F ( g( )))' n Dada la función f e ) si a si (, 8

9 Matemáticas II - Curso - a) Determinar su dominio, y calcular los límites laterales cuando tiende a b) Estudiar su continuidad, y hallar el valor de a para el cual es continua en = Se considera la función f ( ) sen a) Calcular sus puntos críticos en el intervalo abierto (-) b) Calcular los etremos relativos y/o absolutos de la función f () en el intervalo cerrado [-] c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f () en el punto (, f ( )) Supón que las siguientes gráficas corresponden a polinomios Para cada una de ellas, Cuál es el menor grado posible de dicho polinomio? Qué signo tiene el coeficiente principal? En un rectángulo de m de perímetro, se sustituyen los lados por semicircunferencias eteriores Entre qué valores está comprendida el área de la figura resultante? 5 Se considera la función f ( ) e a) Hallar sus asíntotas y sus etremos locales b) Calcular los puntos de infleión de f() y dibujar la gráfica de f() 6 Calcular: n a) lim n n 5n b) lim n n n n 5 n n 9

10 Matemáticas II - Curso - 7 Calcular los siguientes límites: ln ( cos ( )) a)lim ln ( cos ( )) b) lim Dada la función: f ( ), 6 a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable b) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical 9 Sea la función f () = - Se pide: a) Estudiar su continuidad y derivabilidad b) Dibujar su gráfica c) Calcular el área del recinto acotado por la gráfica y=f (), las rectas =, = 5, y el eje OX La ecuación e = + tiene evidentemente la raíz = Probar que no tiene más raíces reales Demostrar que la ecuación = tiene una única solución real Estudiar si la función f () = - verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-,5] Comprobar, sin determinar la derivada, que la curva de ecuación f () = + (- ) tiene al menos un punto de tangente horizontal en el intervalo abierto (,) Prueba que la recta y = - es tangente a la gráfica de f () = 6 +8 Halla el punto de tangencia, y estudia si la recta corta a la curva en otro punto 5 Halla los puntos de la curva y en los que la tangente a ésta pase por el origen (,) Halla también las ecuaciones de dichas rectas tangentes 6 Calcula los siguientes límites, aplicando, cuando sea oportuno, la regla de L Hôpital: ln( e ) a) lim b) lim cos ln( tg) c) lim ln 7 d) lim(cos sen) e) lim( tg) f) lim( ) sen cos 8 Dada la función f ( ), ( ) a) Hallar sus máimos y mínimos locales y/o globales b) Determinar el valor del parámetro a > para el cual es f ( ) d a

11 Matemáticas II - Curso - 9 a) Determinar el punto P, en el primer cuadrante, en el que se corta la gráfica de la función f ( ) y la circunferencia y 8 a) Calcular el área de la región limitada por la recta que une el origen y el punto P hallado en el apartado anterior, y el arco de la curva y comprendido entre el origen y el punto P