Unidad 13 Representación gráfica de funciones

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1 1 Unidad 13 Representación gráfica de funciones PÁGINA 315 SOLUCIONES 1. Las funciones son: a) f 8 ) ( = Dominio: = f Dom Puntos de corte con el eje OX: = = (4,0) (0,0) 0 8 Q P y y Puntos de corte con el eje OY: (0,0) P y y = = = Simetrías: f f 8 ) 8( ) ( ) ( 8 ) ( + = = =

2 f ( ) f ( ) f no es simétrica respecto al eje OY f ( ) f ( ) f No es simétrica respecto al origen de coordenadas. Periodicidad: f no es periódica. Asíntotas: no tiene asíntotas. Monotonía: f ( ) = 4 8 Estudiamos el signo de f (). f ( ) < 0 en (,) f ( ) > 0 en (, + ) f es estrictamente decreciente en (,) f es estrictamente creciente en (, + ) Etremos relativos: Concavidad: f () = 4 > 0 f es cóncava hacia las positivas en todo No eisten puntos de infleión. b) 3 g ( ) = 4 Dominio: Dom g = { +, } Puntos de corte con el eje OX: 3 y = 4 = 0 P(0,0) y = 0 Puntos de corte con el eje OY: 3 y = 4 y = 0 P(0,0) = 0

3 Simetrías: 3 g( ) = ( ) g( ) = = ( ) 4 4 Como g ( ) = + g( ) la función g es simétrica respecto al origen de coordenadas. Periodicidad: g no es periódica. Asíntotas: Asíntotas verticales: las rectas de ecuaciones. = y =. Asíntotas horizontales: No eisten las asíntotas horizontales. Asíntotas oblicuas: Son de la forma y = m + b La asíntota oblicua es la recta y =. Monotonía: 4 1 g ( ) = ( 4) 4 1 = 0 = 0 = ± 4 = 0 = ± 3 g ( ) > 0 en (, 3) ( 3, + ) g es estrictamente creciente en (, 3) ( 3, + ). g ( ) < 0 en ( 3, ) (,0) (0,) (, 3) g es estrictamente decreciente en ( 3, ) (,0) (0,) (, 3). 3

4 Etremos relativos: Concavidad: g ( ) < 0 en (, ) (0, + ) g es cóncava hacia las y negativas en (, ) (0, + ) g ( ) > 0 en (,0) (, + ). Puntos de infleión: Eiste un punto de infleión en el punto (0, 0).. La solución es: Dominio R {0} Recorrido R [0,,7),7;+ Creciente ( ) Decreciente (,0) ( 0;,7 ) Mínimo relativo (1;,7) 0,+ Cóncava ( ) Convea (,0) Asíntotas = 0 ; y = 0 4

5 PÁGINA 39 SOLUCIONES 1. Supongamos que todas las palabras indicadas se pueden numerar y por tanto colocar todas una detrás de otra. La lista de todas ellas es la siguiente: XYXYXYYYYXXYYXXYYYYX YYXXYXYYYYXXXYYYXYXX XXXYYXXXXYXYXYXYXYYY XYXYXYYXYXYXYXYXYXYX YYYYXXXYYYXXXYYYXXXY Nos fijamos ahora en la primera palabra infinita XYXYX, que se obtiene en la lista anterior tomando la primera letra de la primera palabra, la segunda de la segunda, la tercera de la tercera, la cuarta de la cuarta, la quinta de la quinta, es decir tomando las letras de la diagonal del cuadro de letras. A partir de esta palabra XYXYX formamos otra cambiando en ella cada X por Y y cada Y por X. obtenemos así una palabra que empieza: YXYXY Esta palabra tendría que ocupar alguna fila de la lista, pues estamos suponiendo que allí están todas, pero por otra parte, difiere de la primera palabra en la primera letra, de la segunda palabra en la segunda letra, de la tercera palabra en la tercera letra, de la palabra 538 en la letra 538 Es imposible que este en la lista. Esta contradicción demuestra que nuestro punto de partida es falso. Podemos afirmar, por consiguiente, que la colección de las palabras infinitas de dos letras no puede ser numerable. 5

6 PÁGINA 334 6

7 SOLUCIONES 1. La solución en cada caso es: a) La función es si > f ( ) = y su grafica: si < 1 b) La función es y = y su gráfica: 1 c) la función es y su grafica: 7

8 d) La función es y= y su gráfica: e) La función es si < 0 3 f ( ) = y su gráfica: 3 4 si 0 3 Y si < 0 3 f( ) = 3 4 si 0 3 X f) La función es y = y su gráfica es: 8

9 . La solución queda: a) y = ( + )( ) = f ( ) Dominio: Dom f = Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto al origen y no es periódica. Puntos de corte con los ejes: (0,0),(,0),(,0) Asíntotas y ramas infinitas: no tiene asíntotas. Etremos relativos: Mínimo 16, Puntos de infleión: (0, 0) Intervalos de signo constante: máimo 16, b) y = ( 1)( ) Dominio: Dom f = No presenta simetrías ni periodicidad. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0)(1,0)(,0 ) no tiene asíntotas. Tiene ramas parabólicas Etremos relativos: Mínimo ( 1,58; 0,38) máimo ( 0, 4;0,38 ) Puntos de infleión: (1, 0) c) y = 3 3 9

10 d) y = 4 Dominio: Dom f = Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto al eje de coordenadas y no es periódica. Puntos de corte con los ejes: (0,0),(,0),(,0) Asíntotas y ramas infinitas: no tiene. Etremos relativos: Mínimo ( 1, 1) y (1, 1) máimo ( 0,0) Puntos de infleión: 1 5, 3 9 Intervalos de signo constante: 1 5, e) y = + 6 Dominio: Dom f = Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto al origen de coordenadas y no es periódica. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0)( 6,0)( 6,0) Asíntotas y ramas infinitas: no tiene. Etremos relativos: Mínimo, máimo 3 Puntos de infleión: ( 0,0) Intervalos de signo constante:, 3 10

11 4 f) y = g) y = = f ( ) Dominio: Dom f = Simetrías y periodicidad: ni es simétrica ni es periódica. Puntos de corte con los ejes: (0,0),(0,64;0),( 3,14; 0) Asíntotas y ramas infinitas: no tiene Etremos relativos: Mínimo, Puntos de infleión: ;5, 65 6 Intervalos de signo constante: máimo (,1) 11

12 h) y = 4 8 = f ( ) Dominio: Dom f = Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto al eje de coordenadas y no es periódica. Puntos de corte con los ejes: (0, 8),(, 0),(,0) Asíntotas y ramas infinitas: no tiene. Etremos relativos: Mínimo ( 1, 9) ( 1, 9) Puntos de infleión: Intervalos de signo constante: y máimo ( 0, 8) ,,, i) y = -3 -(1/3) 3 3. La función debe cumplir f ( 1) = 0, f (0) = 0 y f (0) = 0. Suponiendo las condiciones anteriores se obtiene el sistema: a a + b = 3 = 0 c = 0 cuya solución es a = 0, b = 3 y c = 0. 1

13 La función f ( ) = 3 3 cumple las condiciones del enunciado. Su grafica es: 4. La solución es: a) La función debe cumplir f ( 1) = 1 y f ( 1) = 0. Estas condiciones conducen al sistema: a + b = a = 6 cuya solución es a = 3, b = 4 3 La función buscada es f ( ) = b) La gráfica puede verse en el dibujo. 13

14 5. Las funciones quedan: 4 a) y = = f ( ) 4 Dominio: Dom f = { +, } Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto a OY y no es periódica. Puntos de corte con los ejes: ( 0, 1) Asíntotas: = ± ; = ; y = 0 Etremos relativos: Máimo ( 0, 1) Puntos de infleión:,,, Intervalos de signo constante: b) y = = f ( ) + Dominio: Dom f = Simetrías y periodicidad: no es simétrica, ni periódica. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0) Asíntotas: = ; y = Etremos relativos: Máimo ( 4, 8) mínimo ( 0,0) Puntos de infleión: 1 77, 3 9 Intervalos de signo constante: 1 77,

15 c) + 1 y = ( + )( + 3)( + 4) Dominio: Dom f = {, 3, 4} Simetrías y periodicidad: no es simétrica, ni periódica. 1 Puntos de corte con los ejes: 0,,( 1,0) 4 Asíntotas: = ; = 3; = 4; y = 0 Etremos relativos: la curva presenta dos máimos relativos y un mínimo, como observamos en la grafica. Intervalos de signo constante: d) 3 y = 4 Dominio: Dom f = {,} Tiene una simetría respecto al origen de coordenadas. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0) Asíntotas: = ; y = Etremos relativos: Máimo 3 1 1, mínimo Puntos de infleión: ( 0,0) 1,

16 e) y = + Dominio: Dom f = Simetrías y periodicidad: simétrica respecto al origen y no periódica. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0) Asíntotas: y = 0 Etremos relativos: Máimo Intervalos de signo constante:, mínimo, f) y = Dominio: Dom f = { 4, 1} Simetrías y periodicidad: ni simétrica, ni periódica. Puntos de corte con los ejes: 1 0,,(1,0) Asíntotas: = 1 ; = 4; y = + 4 y como oblicua y = + 4 en el punto 7 5, 8 8 Etremos relativos: no se pueden hallar fácilmente. Intervalos de signo constante: 16

17 g) y = que separando el valor absoluto queda f ( ) = 1 si 0 si < 0 3 h) y = ( +1) Dominio: Dom f = { 4, 1} Simetrías y periodicidad: ni simétrica, ni periódica. 1 Puntos de corte con los ejes: 0,,(1,0) Asíntotas: = 1 ; = 4; y = + 4 Etremos relativos: Máimo ( 3; 6,75) Punto de infleión: (0, 0) 17

18 8 i) y = + 4 Dominio: Dom f = Simetrías y periodicidad: simétrica respecto a OY y no periódica. Puntos de corte con los ejes: ( 0,) Asíntotas: y = 0 Etremos relativos: Máimo ( 0, ) Intervalos de signo constante: F es positiva en todo su dominio. j) y = Dominio: Dom f = { 1, } Simetrías y periodicidad: no es simétrica, ni periódica. Puntos de corte con los ejes: (0,1),(1,0),(,0) Asíntotas: = 1 ; = ; y = 1 Etremos relativos: Máimo (, 34) mínimo ( ; 0,03) Intervalos de signo constante: 18

19 k) ( + 1)( + ) y = ( 1)( + 3) Dominio: Dom f = { 1, 3} Simetrías y periodicidad: no es simétrica, ni periódica. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0)( 1,0)(,0) Asíntotas: = 1 ; = 3; y = + 1 La curva corta a la asíntota oblicua en (-1,0) Etremos relativos: Máimo ( 4,5; 4,74) y (0,11;0,38 ) mínimo ( 1,63; 0,11) y (,5; 4,74) Intervalos de signo constante: l) 3 4 y = esta función coincide con la función y = en todos los números reales ya que: 4 En = se tiene: En = - se tiene: La gráfica es la recta bisectriz del primero y tercer cuadrante. 19

20 6. La función queda del siguiente modo: La determinación del valor k se realiza a través del límite: + 1 Sea la función f ( ) = 3 Dominio: Dom f = { 3} No tiene simetrías. Puntos de corte con los ejes: ( 0, 1/ 3) Asíntotas: = 3 ; y = + 6 Etremos relativos: Máimo ( 0,08; 0,33) y (0,11;0,38 ) mínimo ( 6,08; 4,34) 0

21 7. Queda: a) La función debe cumplir: f ( ) = 6 y f ( ) = 0. Imponiendo las condiciones obtenemos el sistema: a + b = a = cuya solución es a =, b = 8 b) La función resultante es f ( ) = + + o f ( ) = Dominio: Dom f = {0} No tiene simetrías. Cortes con los ejes no tiene. Asíntotas: = 0 ; y = + Etremos relativos: Máimo (, 6) mínimo (, 10)

22 PÁGINA 335

23 SOLUCIONES 8. La solución en cada caso: a) y = + 1 Dominio: Dom f = (, 1] [1, + ) Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto al eje OY y no es periódica. Puntos de corte con los ejes: ( 1,0)( 1,0 ) Asíntotas: y = ; y = Etremos relativos: no tiene. Intervalos de signo constante: f es positiva en todo su dominio. Y y = X b) y = ± Dominio: Dom f = 1, [1, + ) 4 Simetrías y periodicidad: no es simétrica. Puntos de corte con los ejes: (0,0),(1,0) Asíntotas: = ; y = ; y = 4 16 Etremos relativos: no tiene

24 c) y = 3 [ ] Dominio: Dom f = Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto a OY y no es periódica. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0) Asíntotas: no tiene Etremos relativos: no tiene Intervalos de signo constante: f es positiva en todo su dominio. d) y = ± = f ( ) 4 Dominio: Dom f = (, ) (, + ) Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto a OY y no es periódica. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0) no eiste. Asíntotas: = ± ; = ; y = ; y = Etremos relativos: Mínimos ( 8,4)( 8,4) Máimos ( 8, 4)( 8, 4) 4

25 e) y = = f ( ) + Dominio: Dom f = (,) Simetrías y periodicidad: no es simétrica ni es periódica. Puntos de corte con los ejes: ( 0, 1)(,0 ) Asíntotas: = Etremos relativos: no tiene. Intervalo de signo constante: f es negativa en todo su dominio. f) y = y = ± = f ( ) 3 3 Dominio: Dom f = [ 0,3) Simetrías y periodicidad: no tiene. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0 ) Asíntotas: = 3 Etremos relativos: no tiene. 5

26 9. Las gráficas quedan: a) y = ln( ) Dominio: Dom f = (, + ) Simetrías y periodicidad: ni simétrica ni periódica. Puntos de corte con los ejes: ( 3,0 ) Asíntotas: = Etremos relativos: no tiene. Intervalos de signo constante: b) y = + ln( 5 4) Dominio: Dom f = (,1) (4, + ) Simetrías y periodicidad: no tiene. Puntos de corte con los ejes: ( 0,ln 4 );(4,;0);(0,8;0 ) Asíntotas: Etremos relativos: no tiene; Intervalos de signo constante: 10. Tiene que cumplirse g (e ) = y g (e ) =. Las condiciones anteriores nos llevan al 4 1 6

27 c) y = ln 1 Dominio (, 1) ( 1, + ) Simétrica respecto al eje OY Puntos de corte con los ejes (,0) (,0) Asíntotas las rectas = 1 y = -1 Etremos relativos no tiene Monotonía: Creciente en ( 1,+ ) y Decreciente en (, 1) Intervalos de signo constante: f() es positiva en (, ) (, + ) y f() es negativa en (, 1) ( 1, ) d) y = e Dominio: Dom f = No tiene simetrías. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0) Asíntotas : y = 0, al ser : Etremos relativos: máimo ( ;0,54) mínimo ( 0,0) 7

28 e) 1 y = e Dominio: Dom f = {0} Simetría y periodicidad: no tiene. Puntos de corte con los ejes: no tiene. Asíntotas : = 0 pues y = 1 pues Etremos relativos: no tiene. Intervalos de signo constante: f) ln y = Dominio: Dom f = ( 0, + ) Intervalos de signo constante: Simetría y periodicidad: no tiene. Puntos de corte con los ejes: ( 1,0 ) Asíntotas : = 0 pues y = 0 pues Etremos relativos: máimo e, 1 e 8

29 e g) y = e 1 Dominio: Dom f = {0} Simetría y periodicidad: no tiene. Puntos de corte con los ejes: ( 1,0 ) Asíntotas : Etremos relativos: no tiene. Intervalos de signo constante: h) y = e Dominio: Dom f = Intervalos de signo constante: Simetría y periodicidad: no tiene. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0) Asíntotas : 1 Etremos relativos: mínimo 1, e Intervalos de signo constante: 9

30 j) y = ln + 1 que es de la forma Dominio: Dom f = { 1} Intervalos de signo constante: Simetría y periodicidad: no tiene. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0)(,0) Asíntotas : = - 1 Etremos relativos: no tiene. Intervalos de signo constante: e k) y = Dominio: Dom f = {0} Simetría y periodicidad: no tiene. Puntos de corte con los ejes: no tiene. Asíntotas : = 0 e Etremos relativos: mínimo, 4 Intervalos de signo constante: 30

31 l) y = = f ( ) ln Dominio: Dom f = ( 0, + ) {1} No tiene simetrías. Puntos de corte con los ejes: ( 0,0) Asíntotas : = 1 Etremos relativos: mínimo ( e, e) 31

32 11. Las gráficas son: Todas parten de la siguiente gráfica f( ) = ln a) f ( ) = ln b) f ( ) = ln c) f( ) = ln( ) Y y = ln( ) X 3

33 1. La función y su función derivada son: ( ) e y f = f ( ) = ( + 1) e La grafica de y = f () es la que pasa por el origen. Las características pedidas en el enunciado son: Es creciente en ( 1, + ) Es decreciente en (, 1) 1 Tiene un mínimo relativo en ( 1, ) e Es cóncava hacia las y positivas en ( + ) Es cóncava hacia las y negativas en (, ) Tiene un punto de infleión en, e La ecuación dada + 4e ( 1) = 0 se puede transformar en: e =. 4( 1) Por tanto, las soluciones de esta ecuación serán los valores de las abscisas de los puntos de intersección de las curvas: f ( ) = y = e 4 ; g( ) = y = +la representamos gráficamente : 4( 1) A partir de la representación grafica observamos que las funciones f() y g() se cortan en dos puntos; uno de ellos entre (-, - 1) y otro (0, 1). 33

34 PÁGINA

35 SOLUCIONES La ecuacion de la grafica debe cumplir f ( 3) = 0, f = y f = Las condiciones anteriores nos llevan al sistema: cuya solución es a =, b =, c = La función es f ( ) = + y su grafica tiene las siguientes características: 9 3 Corta al eje OX en los puntos: ( 1,65;0);(0, 65;0) y (3,0) Corta al eje OY en el punto ( 0;3,3) Tiene un máimo relativo en ( 0,69;4,89 ) y un mínimo relativo en (,0; 4,89) 1 Tiene un punto de infleión en,. 3 9 La grafica puede verse en el dibujo. 15. La gráfica queda: 35

36 16. La solución es: a) Creciente (0, + ) Asíntotas = 0 b) La gráfica es 17. Para la función queda: Dominio: Dom f = Puntos de corte con los ejes o ceros : ( 0,0)(1,0 ) Asíntotas: Verticales: no tiene. 1 Horizontales: y = 8 Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Estudiamos el signo de f () 1 1 f es creciente en,, + 4 f es decreciente en 1 1, 4 36

37 Etremos relativos: f tiene un máimo realtivo en 1 1, 4 Su grafica es: 1 1 y un mínimo relativo en, Queda: Dominio: Dom f = {1} Puntos de corte con los ejes: ( 1,0 ) Asíntotas: = 1 y = 0, pues Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Crecimiento (,1) (1, ) y decrecimiento (, + ) Intervalos de signo constante: 37

38 19. Queda: La zona rayada es la región de plano comprendida entre curvas. Se cortan en los puntos ( 3,8;1,3 ) y ( 3,8;1,3 ) 0. Las dos funciones quedan: a) Una grafica aproimada de la función y = f () es b) La gráfica tiene un minimo relativo en (0, 0) ya que su función derivada se anula y cambia de signo. Presenta un máimo relativo para = 4 por la misma razón anterior. Tiene un punto de infleión en = ya que la función derivada se anula y no cambia de signo. 38

39 1. La solución queda: a) El gráfico de la función y = f () se obtiene a aplicar al grafico de la función y = f () una simetría del eje de abscisas. b) El gráfico de la función y = f ( ) se obtiene duplicando las coordenadas correspondientes a cada valor de la abscisa en la grafica de la función y = f (). 39

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