PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SEGUNDO EXAMEN FINAL SOLUCIÓN

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1 FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SEGUNDO EXAMEN FINAL SOLUCIÓN Usando las frecuencias relativas, se tiene: b) La variancia está dada por: 1.- Para la siguiente tabla de datos agrupados: Semestre: sustituyendo la información de la tabla: Fronteras de clase Marca de clase Absoluta Acumulada Relativa Acumulada Relativa Usando las frecuencias relativas, se sabe que: de la tabla se sustituye: Obtener: a) La media. b) La variancia y la desviación estándar. c) El coeficiente de variación. d) La mediana. a) La media se define como: O bien: sustituyendo los valores dados de la tabla: La desviación estándar es la raíz cuadrada de la variancia, Por lo tanto, al sustituir de la tabla: por lo que: O bien, para:

2 Probabilidad y Estadística 2 c) El coeficiente de variación está definido como: sustituyendo, se tiene: En el otro caso, se tiene: sustituyendo los valores obtenidos: por lo tanto: d) La mediana es para el, el cual está en la clase cuatro. Los datos a considerar son: si, despejando, se obtiene: 2.- En cierta fábrica las máquinas A, B y C producen el mismo tipo de tornillo. El porcentaje de tornillos defectuosos es: máquina A 2%, máquina B 3% y máquina C 1%. La producción se distribuye de la siguiente manera: la máquina A produce el triple que la B mientras que la máquina C produce sólo la tercera parte de la máquina A. Si se toma un tornillo del almacén y resulta que es defectuoso, cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina B? Sea el evento que representa a los tornillos producidos por la máquina. Sea el evento que representa a los tornillos producidos por la máquina. Sea el evento que representa a los tornillos producidos por la máquina. Sea el evento que representa a los tornillos defectuosos. Del enunciado se tienen los datos: Frontera superior acumulada relativa Con respecto de se tiene: Realizando una interpolación con la información anterior: sustituyendo, se tiene: se sabe que:

3 Probabilidad y Estadística 3 sustituyendo, en cada caso: Del Teorema de Probabilidad Total: o bien: sustituyendo los datos: representar que los atletas tomaron una vitamina y dos minerales y asignando la misma probabilidad a cada evento del espacio muestral. Determinar: a) La distribución de probabilidad y la función de distribución acumulativa para la variable aleatoria, que representa el número de vitaminas y minerales que consume un atleta. b) La media y la desviación estándar. c) Las probabilidades, y. La dieta requiere tres vitaminas y dos minerales, que se debe tomar cuando mucho, se tiene que considerar el comportamiento del ejemplo dado en el enunciado, esto es, que significa que un atleta toma una vitamina y dos minerales. Se define como la variable aleatoria que representa el número de vitaminas y minerales que toma un atleta, el recorrido de la variable aleatoria, es: El espacio muestral del experimento aleatorio es: cada evento simple tiene una probabilidad de. Se quiere calcular la probabilidad que si un tornillo es defectuoso, haya sido producido por la máquina, a) La distribución de probabilidad queda como: el numerador se escribe como: sustituyendo el resultado y los datos: La función de distribución acumulada se define como: entonces se tiene: La dieta de los atletas requiere cuando mucho el consumo de tres vitaminas y dos minerales. Usando un sistema de pares ordenados, por ejemplo ( 1,2 ) para b) Para determinar la media y la desviación estándar: La media se define por:

4 Probabilidad y Estadística 4 c) Para calcular las probabilidades pedidas en este inciso, se puede usar la función de probabilidad determinada en el inciso a): c1) c2) sustituyendo los valores de : Para calcular la desviación estándar se tiene que determinar la variancia, la cual está definida por: c3) Por último, se quiere hallar: sustituyendo los valores: sustituyendo los valores correspondientes: En forma compacta la variancia está dada por: Se obtiene el segundo momento con respecto del origen: La variancia queda como: entonces la desviación estándar en ambos casos es: Para calcular las probabilidades anteriores, también se puede usar la función de distribución acumulativa. 4.- Indicar el tipo de distribución que representa cada uno de los siguientes enunciados, justificar su respuesta. a) Número de familias con ingresos mayores a $30000 de cuatro familias seleccionadas al azar b) Analizar 125 muestras de agua antes de detectar la primera muestra contaminada c) En una hora determinada llegan a una tienda en promedio ocho personas d) La caída al azar de una bomba A sobre una carretera de 1000 [km] de longitud e) El número de tiros que deben realizar los jugadores de un equipo de fútbol para anotar dos goles 20 Puntos

5 Probabilidad y Estadística 5 a) Binomial b) Geométrica c) Poisson d) Uniforme continua e) Pascal La justificación es a criterio del profesor. 5.- Considerar la siguiente función de densidad conjunta: ya que se quiere determinar: b) La región para calcular la probabilidad pedida es: Obtener: a) b) c) La covariancia. 20 Puntos La región donde la función es de densidad de probabilidad es: porque se va a determinar: a) La región para calcular la probabilidad es: que es igual que calcular: c) La covariancia está dada por: sobre la región donde es función de densidad, se calculan los valores esperados con la definición:

6 Probabilidad y Estadística 6 sustituyendo la función y los valores esperados correspondientes: costos de afinación es: sustituyendo para obtener la covariancia: b) Se quiere hallar la media y la desviación estándar de la media muestral: La media se define como: 6.- Los costos de afinación en un taller mecánico son de 300 pesos para un auto de cuatro cilindros, 360 para uno de seis y 420 para uno de ocho. De los registros de ventas se sabe que el 50% de las afinaciones se hacen para autos de cuatro cilindros, 40% para los de seis y 10% para los de ocho. Se seleccionan al azar dos autos para la afinación. a) Calcular la distribución muestral para el promedio de los costos del servicio. b) Determinar la media, variancia y desviación estándar para la muestra. c) Cuál es la probabilidad de que al llevar un auto al servicio el costo de este sea de 390 pesos? Sea la variable aleatoria que representa los costos de afinación para autos. El recorrido de la variable aleatoria es, con función de probabilidad dada por: sustituyendo valores: Pesos Para la desviación estándar se requiere el segundo momento con respecto del origen, por lo que: sustituyendo valores: La variancia en términos de momentos con respecto al origen está definida por: sustituyendo los valores obtenidos: El espacio muestral para el promedio de los costos del servicio de afinación, es: Otra forma para calcular la variancia, es como segundo momento con respecto de la media: entonces los promedios de los costos de afinación son: a) La distribución de probabilidad muestral de los promedios de los sustituyendo los valores de la función de probabilidad muestral y la media muestral:

7 Probabilidad y Estadística 7 Entonces la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la variancia es: c) La probabilidad pedida es: