Autoevaluación. Bloque II. Análisis. BACHILLERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Página Calcula los siguientes límites: lm í

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1 Mtemátics plicds ls Ciencis Sociles II Autoevlución Págin Clcul los siguientes lmites: ) b) e log( ) 6 5 c) ) ` j 6 5 ( ) ( ) 6 ( 5 ) ( 5 )( 5 ) 6 5 b) e log( ) ( ) ( ) c) k ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Dd l función: f () * 6 5 si si > determin el vlor del prámetro pr el cul l función es continu en todo su dominio. L función está definid por intervlos medinte funciones continus en sus respectivos intervlos de definición. Estudimos qué ocurre en el punto de ruptur. f () f () ( ) * lm 6 5 ( ) ( lm )( 5 ) ( 5) ( ) Cundo l función es continu en porque f () f () y, por tnto, es continu en todo su dominio.

2 ( ) Se l función f () si < *. b( ) si ) Hll los vlores de y de b pr que l función se derivble en. b) Pr y b obtén l ecución de l rect tngente f () en el punto de bscis. ) Pr que se derivble en, primero debe ser continu: lm < ( ) F 6 f () [ b( )] b * 6 b Además, ls derivds lterles en deben ser igules: f ' () si f '( < ) b si > f' ( ) b * * b Resolvemos el siguiente sistem pr obtener los vlores pedidos: _ 6 b b `, b 7 b b b) Si, se tiene que f '() cundo <. Por tnto:, f () ( ) 7, f '() l ecución de l rect tngente es y 7 ( ). si Consider l función f () * ln. b si > Determin los vlores de los prámetros y b pr los cules l función f () es derivble en todo Á. L función está definid por intervlos medinte funciones continus y derivbles en sus respectivos intervlos de definición. Estudimos qué ocurre en el punto de ruptur. Pr que se derivble en, primero debe ser continu. f () f () ( ) * ( ln b) b b Además, ls derivds lterles en deben ser igules. si < f' ( ) f '() * * si > f '( ) As obtenemos que b. Pr y b l función es continu y derivble en todo Á.

3 si < 5 Dd l función f () * 6 si <. si ) Clcul el vlor de pr que l función se continu en el intervlo [, ]. b) Hll los máimos y mnimos bsolutos de f () en el intervlo [, ]. Justific que los puntos obtenidos son máimos y mnimos bsolutos. c) Clcul el áre de l región del plno limitd por ls rects y,, y l gráfic de f (). ) L función está definid por intervlos medinte funciones continus y derivbles en sus respectivos intervlos de definición. En l función es continu y que: f () ( ) f () * f () f () ( 6 ) Estudimos l continuidd en : f () ( 6 ) f () * ( ) L función es continu en [, ] cundo. b) Hllmos l derivd en el intervlo [, ]: si < < f '() ) 6 si < < f () tiene un punto singulr en. Crecimiento y decrecimiento: f ' > f ' < f ' > Evlumos en los posibles etremos bsolutos: f () f () f () f () Del comportmiento de l función y de los resultdos nteriores se deduce que el punto (, ) es un mnimo bsoluto; y que los puntos (, ) y (, ) son máimos bsolutos. c) Áre ( ) d ( 6 ) d G G 6 c m y y u 6 Hll el vlor de, b y c pr que y b c teng un punto de infleión en (, ) y l pendiente de l rect tngente l curv en ese punto se. Punto de infleión en (, ) y( ) * y'' ( )

4 L pendiente de l rect tngente en es y' () y' () b ; y' () b y'' () 6 ; y'' () y () c L función es y. 7 L función y f () tiene ls siguientes propieddes: Su dominio es Á {, }. Es continu en todo su dominio y cort el eje en. Asntot horizontl en y con f () < si > y f () > si <,,. Asntot verticl en con f () ; lm f (). Asntot verticl en con f () ; lm f (). Tiene un mnimo en (, ) y otro en (, ). Represent gráficmente l función. Se f (). Determin su dominio, sntots, etremos reltivos y estudi su monoton. Luego, dibuj l gráfic de f destcndo los elementos hlldos. El dominio de l función está formdo por los vlores de pr los cules, es decir, todo Á. Es continu en todo su dominio. Asntots horizontles: No tiene. Asntots oblicus: m lm n ( ) ( ) ( ) lm ( )( ) L rect y es l sntot oblicu cundo. m n lm ( ) ( ) ( ) ( ) lm ( )( ) L rect y es l sntot oblicu cundo.

5 Puntos singulres: f '() f '() f c m Crecimiento y decrecimiento: f ' < f ' > El punto e, o es un mnimo. L función es decreciente en el intervlo c, m y es creciente en c, m. Cort l eje en el punto (, ). No cort l eje. 6 (, ) y y 6 9 Dd l función f () ( ) e : ) Clcul sus intervlos de crecimiento y decrecimiento. b) Hll los etremos reltivos. c) Encuentr los puntos de corte con los ejes. d) Hll sus sntots y sus rms prbólics. e) Represéntl en unos ejes coordendos. ) f ' () ( )e ( )e e ( ) f ' () e ( ) Signo de l derivd: f ' < f ' > f ' <, L función decrece en los intervlos c, m y (, ) y crece en c, m. b), f c m > c m c m He 9e, f () e / / El punto c, 9e / m es un mnimo. El punto (, e) es un máimo. c) f () y ( )e, 5

6 d) L función es continu y derivble en todo Á. No tiene sntots verticles. Asntots horizontles: [( )e ] Tiene un rm prbólic cundo y que: lm ( ) e [( )e ] [( )e ] porque l función eponencil tiende y es de orden superior culquier polinomio. Por tnto, l rect y es un sntot horizontl cundo. Además, l función qued por debjo de l sntot horizontl. e) 6 6 Dd l función f (), determin su dominio, sntots, intervlos de crecimiento y ln decrecimiento y etremos reltivos. Represéntl. El dominio de definición es (, ) (, ) pr que el denomindor se pued evlur y no se nule. Asntots verticles: y que un polinomio es de myor orden que un logritmo. ln ln L rect es l sntot verticl. ln Asntots horizontles: No tiene. ln Asntots oblicus: m ln No tiene. ln Es derivble en todo su dominio. f '() ln ( ln ) f '() ln e e f (e) e Signo de l derivd: f ' < f ' < f ' > e Es decreciente en los intervlos (, ) y (, e ) y creciente en (e, ). 6

7 El punto (e, e ) es un mnimo. e e El coste totl por producir uniddes de un rtculo es C () 6 9. Se define l C () función coste medio por unidd como C m (). Cuánts uniddes hy que producir pr que el coste por unidd se mnimo? C m () 6 9 Tenemos que clculr el mnimo de est función. C m ' () 9 C m ' () 9 (no vle), Comprobmos si es un mnimo medinte l derivd segund: C '' m () C '' m () > En hy un mnimo. En conclusión, se deben producir uniddes pr que el coste medio por unidd se mnimo. Queremos hcer un envse con form de prism regulr de bse cudrd y cpcidd cm. Pr l tp y l superficie lterl, usmos un determindo mteril, pero pr l bse, debemos empler un mteril un 5 % más cro. Hll ls dimensiones de este envse pr que su precio se el menor posible. Llmemos l ldo de l bse e y l ltur del prism regulr. Por un prte, y. Si p es el precio por centmetro cudrdo del mteril usdo pr l tp y l superficie lterl,,5p es el precio por centmetro cudrdo del mteril usdo pr l bse. El coste del mteril es C,5p py p p (,5 y ). De l ecución del volumen despejmos y pr sustituir en el coste: y C pc5, m Buscmos ls dimensiones que hcen mnimo el coste: C ' pe5 o C ' 5 6 Estudindo el signo de l derivd primer mbos ldos del punto singulr vemos que, efectivmente, es un mnimo., y 5 Por tnto, pr que el precio se el menor posible, el prism regulr debe tener un bse de cm de ldo y un ltur de 5 cm. 7

8 Resuelve ls siguientes integrles: ) y d b) y d c) y 5 d d) y e d ) y d y d y d y d y d ln k b) y d y d ( ) y / ( ) / d ( ) / c) y 5 d y c md ln k d) y e d y ()e d e k / k k Represent el recinto limitdo por ls gráfics de ls funciones y e y. Después, clcul su áre. L gráfic de y cort los ejes en los puntos (, ), (, ) y (, ). Tiene un máimo en (, ) y un mnimo en (, ). Puntos de corte entre ls funciones: y,, y y (, ) (, ) y El recinto es simétrico. y y y u Áre ( d ) [ ( )] d ( ) d G 5 Clcul el áre limitd por l función y ( ), el eje y ls rects y. Representmos l función y ( ) : Si <, y Asntot verticl: Si >, y Si, f ( ) > Asntot oblicu: y Si, f () < y' ( )( ) ( ) ( ) 6 5 ( ) 5, f ( 5), f ( ) Signo de y' : y ' > y ' < y ' < y ' > 5 Máimo: (, ) Mnimo: (5, )

9 y ( ) y Áre y ( ) y d c m d ln G c ln m ln 5 7, u 6 Escribe l epresión nltic de l función f () de l que conocemos: f '' () ; f ' () y f () 5. f '' () f '() y d k; f '() k k f '() f () y ( ) d k' f () 5 k' 5 k' f () 7 Se l función f () donde es un constnte: ) Encuentr un primitiv de f. b) Si F es un primitiv de l función f, puede serlo tmbién G () F ()? c) Hll sbiendo que y f () 5,. ) F () yc d m b) G () G' () G no es un primitiv de f porque G' () f (). y c) f () G 5, 9

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