REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EXPLÍCITAS

Transcripción

1 Departamento de Matemáticas. IES Pablo Serrano. Zaragoza. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES EXPLÍCITAS Para representar gráficamente una función explícita hemos de seguir los siguientes pasos: 1. Dominio de definición: Es el conjunto de números reales que tienen imagen con esa función. Se designa D(f), Dom(f) o D. D(f) = { x R f(x) } 2. Recorrido de la función: Es el conjunto de números reales que son imagen del dominio de definición. Se designa Recorrido(f). { y R x R,f(x) y} Recorrido( f) = = 3. Simetrías: Estudiar las simetrías permitirá analizar la función sólo en una parte de su Dominio. a. Respecto al eje OY: f(-x) = f(x); f(x) se llama función par. y f(-x) f(x) -x x x b. Respecto al origen: f(-x) = -f(x); f(x) se llama función impar. y f(x) -x x x f(-x) 1 Mariano Benito Abajo

2 Departamento de Matemáticas. IES Pablo Serrano. Zaragoza. c. Respecto al eje OX: La función debe de tener la forma y = ± f(x). y y=+f(x) x x y=-f(x) 4. Continuidad: Los valores de x que no pertenecen al dominio de definición son puntos de discontinuidad. En general, f(x) tiene en a una discontinuidad si lim f(x) f(a) x a Hemos de clarificar los tipos de discontinuidades. 5. Asíntotas verticales: La recta x = a es una asíntota vertical de f(x) si se cumple: lim f(x) = ± ± x a y x=a a x 6. Asíntotas horizontales o/y oblicuas: a. La recta y = b es una asíntota horizontal de f(x) si se cumple: lim f(x) = b x ± 2 Mariano Benito Abajo

3 Departamento de Matemáticas. IES Pablo Serrano. Zaragoza. y b y=b x b. La recta y = mx + n es una asíntota oblicua de f(x) si se cumple: lim f(x) = ± x ± f(x) x En este caso: m = lim y n = lim ( f(x) mx) x ± x ±. y y=mx+n x Nota: Puede ser que al calcular m y/o n nos dé infinito, entonces diremos que la función tiene una rama parabólica que va por alguno de los cuatro cuadrantes, según nos informe el límite lim f(x) = ±. x ± 7. Cortes con las asíntotas horizontales y oblicuas: Una función y = f(x) puede tener cortes con sus asíntotas que no sean verticales, para ello haremos la intersección entre la función y la asíntota resolviendo el sistema: y = f(x) Asíntota 3 Mariano Benito Abajo

4 Departamento de Matemáticas. IES Pablo Serrano. Zaragoza. 8. Cortes con los ejes: Para calcular los cortes con los ejes OX y OY resolvemos los sistemas: y = f(x) Corte con OX : y = 0 y = f(x) Corte con OY : x = 0 9. Signo de la función: Significa averiguar los intervalos en que la función es positiva y los que es negativa. Teniendo en cuenta el D(f) y los cortes con el eje OX, estudiamos el signo por intervalos. Por ejemplo: Sea a un punto donde no existe la función y (b,0) y (c,0) dos puntos de corte con OX, estudiaremos el signo de la función en los intervalos: (, a ), ( a, b), ( b, c) y ( c, + ) Obteniendo, por ejemplo: positiva, positiva, negativa y positiva. Es decir: y Función positiva Función positiva En esta zona no hay gráfica Función positiva a b c En esta zona no hay gráfica Función En esta zona negativa no hay gráfica x 10. Crecimiento y decrecimiento: Para ello resolveremos la ecuación: f '(x) = 0 Y estudiaremos el signo de la función f (x) por intervalos, teniendo en cuenta las soluciones de la ecuación anterior y el D(f). Por ejemplo: - a b c + f (x) >0 <0 <0 >0 f(x) crect e decret e decret e cret e 11. Máximos y mínimos relativos: Según el apartado anterior podemos afirmar que la función tiene un máximo en a y un mínimo en c (si es que estos son puntos del dominio). 4 Mariano Benito Abajo

5 Departamento de Matemáticas. IES Pablo Serrano. Zaragoza. De las soluciones de f`(x) = 0, obtenemos los candidatos a máximo y a mínimo relativo. Supongamos que, efectivamente, son a y c: f (a) = 0 y f (c) = 0 Si f (a)<0, diremos que en x = a hay un máximo relativo. Mº(a, f(a)). Si f (c)>0, diremos que en x = c hay un mínimo relativo. mº(c,f(c)). 12. Curvatura (concavidad y convexidad): Una función f(x) es: a. Cóncava en x = a, si f (a)>0. b. Convexa en x = c, si f (c)<0. Estudiaremos el signo de la f (x) por intervalos, teniendo en cuenta el D(f) y las soluciones de la ecuación: f ''(x) = 0 Supongamos, como en el apartado 10., a y c soluciones de la ecuación y b un punto de no existencia de la función - a b c + f (x) >0 <0 <0 >0 f(x) cóncava convexa convexa cóncava 13. Puntos de inflexión: Son aquellos en que la función cambia de cóncava a convexa o al revés. Los candidatos a punto de inflexión son las soluciones de f (x) = 0. Si una función tiene en x = a un punto de inflexión, se cumple: f ''(a) = 0 y f '''(a) 0 El punto será X(a,f(a)). Si además también se cumple que f (a) = 0, diremos que es un punto de inflexión horizontal (con recta tangente horizontal). 14. Rectas tangentes en puntos de interés: Cuando los apartados anteriores nos den poca información sobre la función podemos recurrir a calcular alguna recta tangente a la función en puntos que creamos interesantes (a, f(a)). 5 Mariano Benito Abajo

6 Departamento de Matemáticas. IES Pablo Serrano. Zaragoza. La recta tangente es: y f(a) = f '(a) (x a) 15. Tabla de valores: No se suele hacer si hemos realizado bien los apartados anteriores, pero quizás en algún caso puede ser útil. 16. Representación gráfica: Debes dibujar un par de ejes OX y OY perpendiculares y que ocupen casi todo el folio. Repasas lo obtenido en los apartados anteriores y dibujas la función de modo que se vea todo lo obtenido. LIMPIEZA Y CLARIDAD! 6 Mariano Benito Abajo

7 GRÁFICAS DE FUNCIONES EXPLÍCITAS Valor absoluto, parte entera, signo 7

8 8

9 Función exponencial 9

10 10

11 Funciones polinómicas 11

12 12

13 13

14 Funciones logarítmicas 14

15 15

16 Funciones racionales 16

17 17

18 18

19 19

20 Funciones trigonométricas 20

21 21

22 22

23 23