CONSTRUCCIÓN DE FÓRMULAS DE FUNCIONES LINEALES

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1 CONSTRUCCIÓN DE FÓRMULAS DE FUNCIONES LINEALES En este apartado aprenderemos a construir la fórmula de una función lineal, a partir de tener algunas características de ellas como datos. Veremos, cómo armamos la ecuación explicita y = m x + b de una función lineal de acuerdo a las condiciones que debe cumplir ella en cada caso. Recordar que en y = m x + b m es la pendiente b es la ordenada al origen CASO - Teniendo como datos la pendiente y la ordenada al origen Es el caso más sencillo, directamente en y = m x + b reemplazamos m por el valor dado de la pendiente y b por el valor de la ordenada al origen. Encontrar la ecuación de la función lineal que tiene pendiente m = 4 4 b = - Reemplazando resulta: y x. Su gráfico es: 4 y ordenada al origen igual a -, gráfico UNLAM INGRESO MATEMÁTICA - MÓDULO

2 Ver presentación PROBLEMA ARMADO DE FÓRMULAS- PROBLEMA DEL TANQUE CASO - Teniendo como datos la pendiente y un punto que pertenece a la recta. En este caso los datos son: la pendiente m y un punto A de coordenadas (x ; y ), un par ordenado. Para este caso, existen dos formas de construir la ecuación explícita de la recta, que cumple esas condiciones, las analizaremos con distintos ejemplos. Caso Primera forma Empleando la fórmula explícita reconstruimos la ecuación. y = m x + b, reemplazamos los datos y obtenemos b, luego Encontrar la ecuación de la función lineal que tiene pendiente igual a coordenadas ( -4 ; ). y contiene al punto de En la fórmula y = m x + b, reemplazamos m por el valor dado () y = x + b debemos encontrar el valor de b la ordenada al origen, Para ello reemplazamos el otro dato: el punto, sustituyendo x dadas. e y por las coordenadas =. ( -4 ) + b queda una ecuación de incógnita b, La resolvemos = 6 + b 6 = b - 4 = b Sustituimos este valor en () y tenemos la ecuación pedida y = x 4 Verificación: es evidente que la ecuación de la función lineal obtenida tiene la pendiente pedida, comprobamos que efectivamente la recta pasa por ( -4 ; ), reemplazando esos valores UNLAM INGRESO MATEMÁTICA - MÓDULO

3 =. ( -4 ) 4, = 6 4, = nos queda una identidad, entonces el punto dado verifica la ecuación. Al graficar la recta de ecuación y = la recta. x 4 observamos que el punto ( - 4 ; ) pertenece a gráfico En síntesis, en esta primera forma, reemplazamos los datos de la pendiente y el punto en la ecuación y = m x + b, despejamos b y rearmamos la fórmula. Caso Segunda forma Empleando la ecuación del haz de rectas y y m x x Esta ecuación nos brinda el conjunto de todas las rectas que pasan por el punto de coordenadas x; y y difieren en el valor de la pendiente m que tienen. A= UNLAM INGRESO MATEMÁTICA - MÓDULO

4 gráfico Encontrar la ecuación de la función lineal que tiene pendiente igual a y pasa por el punto de coordenadas ( - ; / ). Los datos nos dicen que : m = y el punto A = x y = ( - ; / ) x = -, y = /. Reemplazamos en la ecuación del haz de rectas y y m x x ; resulta y x operamos con esta fórmula hasta llegar a la forma explícita y = mx+b y = ( x + ) propiedad distributiva y = x + 6 despejamos y y = x sumamos y = x + obtenemos la forma explícita. Verificación: es evidente que la ecuación de la función lineal obtenida tiene la pendiente pedida ( el número que multiplica a x es ), comprobamos que efectivamente la recta pasa por UNLAM INGRESO MATEMÁTICA - MÓDULO 4

5 ( - ; ), reemplazando esos valores =. ( - ) +, ecuación. = - 6 +, = vemos que el punto dado cumple la Al graficar la recta de ecuación y = x + = x + 6,5 observamos también que el punto pedido ( - ; ) pertenece a la recta. gráfico 4 Ver presentación TEMPERATURA PROBLEMA ARMADO DE FÓRMULAS - PROBLEMA DE LA CASO - Teniendo como datos, dos puntos que pertenecen a la recta. En este caso, los datos son los coordenadas de dos puntos, los llamaremos P = ( x ; y ) y Q = ( x ; y ) UNLAM INGRESO MATEMÁTICA - MÓDULO 5

6 Caso Primera forma Usando la fórmula explicita y = mx + b y resolviendo un sistema de ecuaciones lineales de x ( ecuaciones con dos incógnitas). Encontrar la ecuación de la función lineal que contiene los P= ( ; ) y Q = ( 6 ; -). Como los puntos deben pertenecer a la recta que representa a la función lineal pedida, comenzamos reemplazando sus coordenadas en x e y de la ecuación y = m x + b P = ( ; ) Q = ( 6 ; -) = m. + b - = m. 6 + b Resulta un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, m y b. Lo resolvemos por cualquiera de los métodos conocidos: sustitución, igualación, reducción por sumas o restas u otros. En este caso lo haremos por reducción por resta. Al restar miembro a miembro las dos ecuaciones, obtenemos: ( -) = m 6 m ya que las b se cancelan. Despejamos la incógnita m : 6 = - 4 m 6 / ( - 4 ) = m - = m Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema: En la primera = -. + b y despejamos b = - + b + = b 6 = b Reemplazando los valores de m y b obtenidos, en y = m x + b resulta y x 6 que es la ecuación de la función lineal pedida. Verificamos que los dos puntos cumplen la ecuación P = ( ; ) = - /. + 6 = = cumple Q = ( 6 ; -) - = - / = = - cumple. UNLAM INGRESO MATEMÁTICA - MÓDULO 6

7 Al graficar la recta de ecuación y x 6 observamos que los puntos pedidos P = ( ; ) y Q = ( 6 ; -) pertenecen a la recta. gráfico 5 Caso Segunda forma Calculando el valor de la pendiente de la recta que determinan los dos puntos y luego con esa pendiente y uno de los puntos dados usamos alguna de las formas vistas para el Caso. Encontrar la ecuación de la función lineal que contiene a los puntos T= ( - 4 ; ) y R = ( ; 4). Recordemos que la pendiente o razón de cambio es y y y m x x x Reemplazando los puntos dados, considerando: T = ( - 4 ; ) = ( x ; y ), R = ( ; 4) =( x ; y ) 4 m 4 6 UNLAM INGRESO MATEMÁTICA - MÓDULO 7

8 Ahora, tenemos la pendiente de la recta y un punto que pertenece a ella (cualquiera de los dos puntos dados), así que estamos en las condiciones del Caso (la pendiente y un punto), empleamos cualquiera de las dos formas vistas del caso para armar la ecuación. Lo haremos ahora con la segunda forma: Empleando la ecuación del haz de rectas y y m x x Reemplazamos m y las coordenadas del punto T= ( - 4 ; ) punto R ) y - =. ( x (-4) ) operando resulta y = ( x + 4 ) y = x + ( Lo mismo se obtiene si se usa el y = x + + entonces, y x Podemos verificar, comprobando que el punto que no usamos para armar la ecuación del haz de rectas, pertenece a la función lineal obtenida R = ( ; 4). reemplazamos en y = x +, 4 = +, 4 = +, 4 = 4 cumple Al graficar la recta de ecuación y x observamos que los puntos pedidos T= ( - 4 ; ) y R = ( ; 4). pertenecen a la recta gráfico 6 Ahora pueden verificar que se llega a la misma ecuación, si en lugar de usar el punto T, usamos el punto R. UNLAM INGRESO MATEMÁTICA - MÓDULO 8

9 Caso Tercera forma y y x x Empleando la ecuación de la recta dados dos puntos, con la fórmula y y x x A esta otra fórmula puede arribarse fácilmente, si en la ecuación del haz de rectas y - y = m. ( x - x ) y y Sustituimos la pendiente m por su valor m x x y y y y. x x x x Dividiendo por y - y llegamos a la fórmula dada anteriormente que es más fácil de recordar. Encontrar la ecuación de la función lineal que contiene a los puntos A= ( - ; - ) y B = ( ; ). Consideraremos A = ( - ; - ) = ( x ; y ) y B = ( ; ) = ( x ; y ) y y x x Y reemplazamos en la fórmula y y x x Resulta : y x, y x 6 Multiplicamos por 6 x y 6. y simplificamos y. x Distribuimos el y. x 4 Y restamos y. x 4 Resultando : y. x la ecuación de la función lineal pedida. Verificamos que los dos puntos cumplen la ecuación A= ( - ; - ) - =.( - ) + - = = - cumple B = ( ; ) =. + = + = cumple. Ver presentación PROBLEMA ARMADO DE FÓRMULAS PROBLEMA DEL ESTACIONAMIENTO UNLAM INGRESO MATEMÁTICA - MÓDULO 9