Estudio de ceros de ecuaciones funcionales

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1 Capítulo 1 Estudio de ceros de ecuaciones funcionales Problema 1.1 Calcular el número de ceros de la ecuación arctang(x) = 4 x, dando un intervalo 5 donde se localicen. Solución: Denimos f(x) = arctan(x) 4 5x. Esta es una función continua y derivable en todo IR. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Rolle para conocer el número máximo de ceros de esta función, es decir, buscamos en primer lugar los ceros de la función derivada. f (x) = x Esta función tiene 2 ceros, en x = ±1/2, por tanto la función f(x) tiene a lo sumo tres ceros. Vamos hora a buscar en qué intervalos. Hay uno muy fácil que es f(0) = 0. Probamos algunos valores sencillos. f(1) = arctan(1) 4 5 = π > 0 f( ) = arctan( ) 4 5 = π > 0 por tanto en el intervalo [, 1] hay un cero. Como además f es antisimétrica, es decir, f( x) = f(x), si f tiene un cero en [, 1], también tiene uno en [ 1, ], con lo cual queda demostrado que f tiene tres ceros, x = 0 y uno en cada uno de los intervalos [ 1, [, 1]. 5 ] y

2 6 Índice general Problema 1.2 ¾En cuántos puntos se intersectan las curvas y = ln(x) e y = 1 9 x2?¾ Por qué? Solución: Denimos f(x) = ln(x) 1 9 x2. Esta es una función continua y derivable en (0, + ). Si derivamos resulta que f (x) = 1 x 2 9 x que tiene dos ceros en IR, x = ±/ 2, pero en el intervalo (0, + ) sólo tiene uno. Por tanto, en dicho intervalo la función f(x) a lo sumo puede tener dos ceros. Vamos a intentar localizarlos aplicando el Teorema de Bolzano. f(1) = 1 9 < 0 f(e) = 1 e2 9 > 0 f(e 2 ) = 2 e4 9 < 0 Por tanto, f tiene un cero en el intervalo (1, e) y otro en el intervalo (e, e 2 ). Problema 1. ¾En cuántos puntos se intersectan las curvas y = e x e y = x 2?¾ Por qué? Solución: Denimos f(x) = e x x 2 y vamos a analizar el número de ceros de esta función con la aplicación combinada de los teoremas de Rolle y Bolzano. Para ello derivamos la función. f (x) = e x 6x Pero nos encontramos con un problema, como no es una ecuación que podamos resolver analíticamente, no resulta inmediato conocer el número de ceros de esta función. Para solucionar este punto, previamente analizamos el número de ceros de f aplicando también los teoremas de Rolle y Bolzano. Calculamos f f (x) = e x 6 Esta función se anula en x = ln(6), por tanto f se anula en a lo sumo 2 puntos (puede anularse en uno, dos o ningun punto). Es decir, que f se anula en a lo sumo tres puntos. Vamos a intentar primero localizar los ceros de f para precisar un poco mejor el número máximo de ceros de f. Aplicando el Teorema de Bolzano, resulta: f (0) = 1 > 0 f (1) = e 6 < 0

3 Índice general 7 f () = e 18 > 0 es decir, que f se anula una vez en el intervalo (0, 1) y otra vez en (1, ). Vamos ahora con f(x), que ya sabemos que a lo sumo tiene ceros. f( 1) = e 1 < 0 f(0) = 1 > 0 f(1) = e < 0 f(0) = 1 > 0 = existe x 0 ( 1, 0) tal que f(x 0 ) = 0 = existe x 1 (0, 1) tal que f(x 1 ) = 0 f(1) = e < 0 f(4) = e 4 48 > 0 = existe x 2 (1, 4) tal que f(x 2 ) = 0 Por tanto f tiene al menos tres ceros. Como ya habíamos visto que como máximo tenía, ese es el número exacto de ceros que tiene y, por tanto, las curvas y = e x e y = x 2 se cortan en tres puntos. Problema 1.4 (i) Demostrar que la ecuación x = n ln(x) tiene a lo sumo dos raíces para todo n 1, x > 0. (ii) Demostrar que si n = 4 la ecuación tiene exactamente dos raíces. Solución: (i) Para demostrar que la ecuación x = n ln(x) tiene a lo sumo dos raíces para todo n 1, x > 0, basta aplicar el Teorema de Rolle. Para ello denimos en primer lugar la función f n : IR + IR, dada por: f n (x) = x n ln(x). Esta función es continua y derivable en IR + (teniendo en cuenta que IR + no contiene el cero), ya que es composición de funciones elementales. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Rolle. Calculamos f n y estudiamos sus ceros: f n(x) = 1 n = 0 x = n. x Como f n sólo se anula una vez, obtenemos que f n se anulará a lo sumo dos veces. (ii) Si n = 4, la función que consideramos es f(x) = x 4 ln x. Por el apartado anterior sabemos que se anula a lo sumo en dos puntos. Para demostrar que lo hace exactamente en dos puntos basta que apliquemos el Teorema de Bolzano para encontrar dos intervalos donde la función cambie de signo en los extremos. Probamos con [1, e], f(1) = 1 > 0 f(e) = e 4 < 0 = existe x 0 (1, e) tal que f(x 0 ) = 0.

4 8 Índice general Ahora en [e, e ], f(e) = e 4 < 0 f(e ) = e 12 > 0 = existe x 1 (e, e ) tal que f(x 1 ) = 0. Problema 1.5 Demostrar que la ecuación x = tan x tiene una única raíz en el intervalo [ π/4, π/4]. Solución: (i) Para demostrar que la ecuación x = tan(x) tiene una única raíz en el intervalo [ π/4, π/4], basta aplicar el Teorema de Rolle. Para ello denimos en primer lugar la función f : [ π/4, π/4] IR, dada por: f(x) = x tan(x). Esta función es continua y derivable en [ π/4, π/4], ya que es composición de funciones elementales. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Rolle. Calculamos f y estudiamos su signo y sus ceros: f (x) = 1 1 cos 2 x = (f = 0 x = 0) y f < 0. Como f sólo se anula una vez, obtenemos que f se anulará a lo sumo dos veces. Pero al ser f estrictamente decreciente y anularse en x = 0, sólo hay un cero de f, x = 0. Problema 1.6 (i) Demostrar que la ecuación x 4 4x 1 = 0 tiene exactamente dos raíces reales y dar un intervalo al que pertenece cada una de ellas. (ii) Hallar las rectas tangente y normal a la curva y(x) = x 4 4x 1 en el punto x = 1. Solución: (i) Aplicamos los Teoremas de Bolzano y Rolle conjuntamente. Para ello denimos en primer lugar la función f : IR IR, dada por f(x) = x 4 4x 1. Esta función es continua y derivable en IR ya que es una función polinómica. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Rolle. Calculamos f y estudiamos sus ceros: f (x) = 4x 4 = 0 x = 1. Por tanto como f se anula una sóla vez, f tendrá a lo sumo dos ceros. Para demostrar que efectivamente los tiene basta que apliquemos el Teorema de Bolzano para encontrar un intervalo donde la función cambie de signo en los extremos. Probamos con [ 1, 0], f( 1) = = 4 > 0 f(0) = 1 < 0 = existe x 0 ( 1, 0) tal que f(x 0 ) = 0.

5 Índice general 9 Ahora probamos con [0, 2], f(0) = 1 < 0 f(2) = = 7 > 0 = existe x 1 (0, 2) tal que f(x 1 ) = 0. (ii) Recordamos en primer lugar que la recta tangente a una curva y = f(x) en el punto x = a está dada por y f(a) = f (a)(x a). Por tanto, teniendo en cuenta que y = 4x 4, la recta tangente a y(x) = x 4 4x 1 en x = 1 es y 4 = 8(x + 1) = y = 8x 4. Por otro lado, la ecuación de la recta normal a una curva y = f(x) en el punto x = a está dada por y f(a) = 1 f (a) (x a). Por tanto, la recta normal a y(x) = x4 4x 1 en x = 1 es y 4 = 1 (x + 1) = 8y = x +. 8 Problema 1.7 (i) Demostrar que las curvas y = e x 2 e y = x se cortan exactamente en dos puntos y dar un intervalo al que pertenece cada uno de ellos. (ii) Hallar las rectas tangente y normal a la curva y = e x 2 + x 2 4 en el punto x = 2. Solución: (i) Aplicamos los Teoremas de Bolzano y Rolle conjuntamente. Para ello denimos en primer lugar la función f : IR IR, dada por f(x) = e x 2 + x 2 4. Esta función es continua y derivable en IR por ser suma de funciones elementales. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Rolle. Calculamos f y estudiamos sus ceros. f (x) = e x 2 + 2x = 0. Como no podemos hallar directamente los ceros de esta función calculamos su derivada y usamos los teoremas de Rolle y Bolzano. f (x) = e x > 0. Por tanto, f tiene a lo sumo un cero. Como lím f (x) = y lím f (x) = +, la x x + funciòn f se anula una vez en IR. Por tanto, f tendrá a lo sumo dos ceros. Para demostrar que efectivamente los tiene basta que apliquemos el Teorema de Bolzano para encontrar un intervalo donde la función cambie de signo en los extremos. Probamos con [ 2, 1], f( 2) = e 4 > 0 f( 1) = e < 0 = existe x 0 ( 2, 1) tal que f(x 0 ) = 0.

6 10 Índice general Ahora probamos con [0, 2], f(0) = e 2 4 < 0 f(2) = 1 > 0 = existe x 1 (0, 2) tal que f(x 1 ) = 0. (ii) Recordamos en primer lugar que la recta tangente a una curva y = f(x) en el punto x = a está dada por y f(a) = f (a)(x a). Por tanto, teniendo en cuenta que y = e x 2 + 2x, la recta tangente a y(x) = e x 2 + x 2 4 en x = 2 es y 1 = 5(x 2) = y = 5x 9. Por otro lado, la ecuación de la recta normal a una curva y = f(x) en el punto x = a está dada por y f(a) = 1 f (a) (x a). Por tanto, la recta normal a y(x) = ex 2 + x 2 4 en x = 2 es y 1 = 1 (x 2) = 5y = x 7. 5 Problema 1.8 (i) Demostrar que la ecuación x 4 +x +x 2 2 = 0 tiene exactamente dos raíces reales y dar un intervalo al que pertenece cada una de ellas. (ii) Hallar las rectas tangente y normal a la curva y(x) = x 4 + x + x 2 2 en el punto x = 1. Solución: (i) Para demostrar que la ecuación dada tiene exactamente dos raíces basta aplicar los Teoremas de Bolzano y Rolle. Para ello denimos en primer lugar la función f : IR IR, dada por: f(x) = x 4 + x + x 2 2. Esta función es continua y derivable en IR ya que es una función polinómica. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Rolle. Calculamos f y estudiamos sus ceros: f (x) = 4x + x 2 + 2x = x(4x 2 + x + 2) = 0 x = 0 o x = ± Por tanto como f se anula una sola vez en IR, f tendrá a lo sumo dos ceros. Para demostrar que efectivamente los tiene basta que apliquemos el Teorema de Bolzano para encontrar un intervalo donde la función cambie de signo en los extremos. Probamos con [ 2, 0], f( 2) = = 10 > 0 f(0) = 2 < 0 Ahora probamos con [0, 1], = existe x 0 ( 2, 0) tal que f(x 0 ) = 0. f(0) = 2 < 0 f(1) = = 1 > 0 = existe x 1 (0, 1) tal que f(x 1 ) = 0.

7 Índice general 11 (ii) Recordamos en primer lugar que la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto x = a está dada por y f(a) = f (a)(x a). Por tanto, teniendo en cuenta que y = 4x + x 2 + 2x, la recta tangente a y(x) = x 4 + x + x 2 2 en x = 1 es y 1 = 9(x 1) = y = 9x 8. Por otro lado, la ecuación de la recta normal a la curva y = f(x) en el punto x = a está dada por y f(a) = 1 f (a) (x a). Por tanto, la recta normal a y(x) = x4 + x + x 2 2 en x = 1 es y 1 = 1 (x 1) = 9y = x Problema 1.9 (i) Demostrar que la ecuación 8 ln(x) x = 0 tiene exactamente dos raíces reales en (0, + ) y dar un intervalo al que pertenece cada una de ellas. (ii) Hallar las rectas tangente y normal a la curva y(x) = 8 ln(x) x en el punto x = 1. Solución: (i) Para demostrar que la ecuación dada tiene exactamente dos raíces basta aplicar los Teoremas de Bolzano y Rolle. Para ello denimos en primer lugar la función f : (0, + ) IR, dada por: f(x) = 8 ln(x) x Esta función es continua y derivable en (0, + ) ya que es la suma de una función polinómica y un logarítmo. Por tanto, podemos aplicar el Teorema de Rolle. Calculamos f y estudiamos sus ceros: f (x) = 8 2x = 0 x = 2 en (0, + ). x Por tanto como f se anula una sola vez en (0, + ), f tendrá a lo sumo dos ceros. Para demostrar que efectivamente los tiene basta que apliquemos el Teorema de Bolzano para encontrar un intervalo donde la función cambie de signo en los extremos. Probamos con [e 1, 1], f(e 1 ) = 8 e = 4 e 2 < 0 f(1) = > 0 = existe x 0 (e 1, 1) tal que f(x 0 ) = 0. Ahora probamos con [1, e 2 ], f(1) = > 0 f(e 2 ) = 16 e = 20 e 4 < 0 = existe x 1 (1, e 2 ) tal que f(x 1 ) = 0. (ii) Recordamos en primer lugar que la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto x = a está dada por y f(a) = f (a)(x a). Por tanto, teniendo en cuenta que y = 8 2x, la recta x tangente a y(x) en x = 1 es y = 6(x 1) = y = 6x.

8 12 Índice general Por otro lado, la ecuación de la recta normal a la curva y = f(x) en el punto x = a está dada por y f(a) = (x a). Por tanto, la recta normal a y(x) en x = 1 es 1 f (a) y = 1 (x 1) = 6y = x Problema 1.10 (i) Demostrar que la ecuación x 5x 2 + x + 2 = 0 tiene exactamente tres raíces reales y dar un intervalo al que pertenece cada una de ellas. (ii) Hallar las rectas tangente y normal a la curva y(x) = x 5x 2 + x + 2 en el punto x = 0. Solución: (i) Una vez más vamos a aplicar combinadamente los teoremas de Rolle y Bolzano. Derivamos la función f(x) = x 5x 2 + x + 2: f (x) = x 2 10x + La función f es un polinomio de segundo grado, por tanto es fácil hallar sus raíces y vemos que tiene dos, que son y 1, por lo cual la función f tiene a lo sumo tres ceros. Vamos a intentar localizarlos mediante la aplicación del Teorema de Bolzano: f( 1) = 9 < 0 f(0) = 2 > 0 = existe x 1 ( 1, 0) tal que f(x 1 ) = 0 f(0) = 2 > 0 f(2) = 4 < 0 f(5) = 17 > 0 f(2) = 4 < 0 = existe x 2 (0, 2) tal que f(x 2 ) = 0 = existe x (2, 5) tal que f(x ) = 0 Por tanto f tiene al menos tres ceros según el Teorema de Bolzano y por lo visto anteriormente, f tiene exactamente tres ceros. (ii) La ecuación de la recta tangente a una curva y = f(x) en el punto x = a es y f(a) = f (a)(x a). Por tanto, en nuestro caso la ecuación será: y 2 = x La ecuación de la recta normal a una curva y = f(x) en el punto x = a es y f(a) = Por tanto, en nuestro caso la ecuación será: y 2 = 1 x 1 (x a). f (a)

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