Parámetros de calidad para el estudio y evaluación de la formación de imágenes en el ojo humano. Julián Espinosa Tomás

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2 Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal Paráá metros de calidad para el estudio y evaluación de la formación de imáá genes en el ojjo humano TESIS DOCTORAL Julián Espinosa Tomás Alicante, 2008

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4 D. Carlos Illueca Contri, Catedrático de Ó ptica de la Universidad de Alicante y D. David Mas Candela, Profesor Titular de Escuela Universitaria de la Universidad de Alicante, certifican: Que la presente memoria, titulada Parámetros de calidad para el estudio y evaluación de la formación de imágenes en el ojo humano, ha sido realizada, bajo nuestra dirección, por D. Julián Espinosa Tomás y constituye su Tesis para optar al grado de Doctor por la Universidad de Alicante. Asimismo emitimos nuestra conformidad para que dicha memoria sea presentada y tenga lugar, con posterioridad, la correspondiente lectura. Fdo: Carlos Illueca Contri Fdo: David Mas Candela Alicante, 10 de Julio de 2008

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6 A mis padres, a Laura

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8 Agradecimientos Despué s de cuatro años llega el momento de escribir la parte que más gente leeráde este trabajo, los agradecimientos. Difícil nombrar a todo el mundo que me ha ayudado y/o animado a llegar a este punto directa o indirectamente, así que me centraré en los principales responsables. Espero no olvidar a nadie. En primer lugar, quisiera dar las gracias a mis padres, Martín y Rosa, y a mi hermano Adrián, que me han permitido dedicarme a algo que me gusta, ofrecié ndome su apoyo en todos los sentidos, incluso en los momentos más difíciles. En este puesto me gustaría incluir a Laura para agradecerle su paciencia, ánimo y apoyo, y el haber compartido los momentos buenos, y los no tan buenos, que ha supuesto la realización de este trabajo. Por supuesto, quisiera expresar mi más sincero agradecimiento a los directores de este trabajo, Carlos y David, y a Jorge ya que, desde el primer momento, han hecho todo lo posible por ayudarme. Carlos, ofrecié ndome su experiencia, y no sólo en el campo profesional; David, peleando codo con codo en el laboratorio, incluso a distancia; y Jorge, cuestionando todo, clarificando así lo que sabemos y lo que no. Destacable ha sido tambié n su ayuda a la hora de ejercer mi labor docente, junto con Chelo y Pilar. Gracias vii

9 Agradecimientos por vuestros consejos, por compartir vuestra experiencia y por proporcionarme todo lo necesario. Me gustaría, además, dar las gracias a Verdú, por darme la oportunidad de comenzar los estudios de doctorado, y a los demás miembros del grupo, Juanjo, Menchu y Begoña, por su interé s y colaboración. Quisiera agradecer a Esther, compañera de estudios y copiloto de la patera, y a Elísabet, Elena y Víctor el compartir su tiempo haciendo amenas las sobremesas. Y, finalmente, dar las gracias a familiares, míos y de Laura, por animarme e interesarse por mi trabajo, aunque alguno piense que estudio para mé dico (J); y a los amigos ( Cómo olvidar el mecenazgo del Ferri!). Mi agradecimiento a todo el Dpto. de Ó ptica, Farmacología y Anatomía por facilitarme la realización de este trabajo así como al Dpto. de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal por haberme permitido incorporarme a su programa de doctorado viii

10 Agradecimientos Este trabajo ha sido posible gracias a la financiación obtenida con los siguientes proyectos: Proyecto de I+D: o Investigació n y desarrollo de elementos de control para la reproducció n del color en artes gráficas (IIARCO/2004/59). Duración: 01/01/ /12/2005. o Implementació n de un dispositivo experimental para la validació n de un modelo de ojo teó rico personalizado (GV04A/558). Duración: 01/01/ /12/2005. o Implementació n de un sistema de evaluació n de calidad ó ptica de ojos reales mediante ó ptica difractiva (FIS ). Duración: 31/12/ /12/2008. o Implementació n en moduladores de luz de nuevos elementos multifocales: aplicació n al ojo humano (GRE077P). Duración: 01/01/ /12/2008. Otros tipos de proyectos: o Implementació n de un sistema de evaluació n de la calidad ó ptica de ojos reales mediante ó ptica difractiva (ACOMP06/099). Duración: 01/01/ /12/2006. o Tratamiento e interpretació n de imágenes clínicas en ó ptica (TIMCO) Duración: 07/04/ /04/2007 ix

11 Agradecimientos Ayudas a Grupos: o Ó ptica y ciencias de la visió n (VIGROB093). Duración: 01/10/ /09/2007 o Ó ptica y ciencias de la visió n (VIGROB093). Duración: 01/07/ /06/2008 o Ó ptica y ciencias de la visió n (VIGROB093). Duración: 01/09/ /08/2009 Contratos I+D privados: o Estudio sobre ablaciones corneales con presbylasik Duración: 18/06/ /12/2007 Entidad: Instituto oftalmológico de Alicante. x

12 Publicaciones Esta Tesis Doctoral estábasada en las siguientes publicaciones: I. Mas, D., Espinosa, J., Pérez, J., Illueca, C., Scale corrections for faster evaluation of convergent Fresnel patterns, J. Mod. Optics, 53 ( ), II. Espinosa, J., Rouarch, J., Pérez, J., Illueca, C., Mas, D., Geometrical approximations for accurate evaluation of refraction in the human cornea, Optik, 118 ( ), III. Ortiz, D., Alió, J.L., Illueca, C., Mas, D., Sala, E., Pé rez, J., Espinosa, J., Optical Analysis of PresbyLASIK Treatment By a Light Propagation Algorithm, J. Refract. Surg., 23 (39-44), IV. Mas, D., Espinosa, J., Pérez, J., Illueca, C., Three dimensional analysis of chromatic aberration in diffractive elements with extended depth of focus, Opt. Express, 15 ( ), V. Illueca, C., Alió, J.L., Mas, D., Ortiz, D., Pé rez, J., Espinosa, J., Sala, E., Pseudoaccommodation and visual acuity with Technovision PresbyLASIK and a theoretical simulated array multifocal intraocular lens, J. Refract. Surg., 24 ( ) xi

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14 Índice 1. Introducció n Cálculo discreto de patrones de luz propagados El teorema del muestreo. Aliasing La transformada discreta de Fourier y la transformada óptica de Fourier Cálculo de la propagación en el espacio libre Submuestreo de patrones de Fresnel convergentes Cálculo de la funció n de transmitancia de una lente simple Lentes y Ó ptica Geomé trica Lentes y Ó ptica de Fourier Lentes y Ó ptica Parageomé trica Modelizació n del ojo humano Índice de refracción Morfología corneal Morfología del cristalino Transmitancia del modelo de ojo xiii

15 Índice 5. Parámetros de calidad Razón de Strehl Agudeza visual Aplicaciones del algoritmo Cirugía PresbyLASIK Lentes intraoculares multifocales AMO Array Estudio de elementos de focal extendida Conclusiones y perspectivas Referencias Publicaciones xiv

16 Capíítulo 1 Introducció n Alrededor del 80% de la información que recibe el ser humano llega a travé s del sentido de la vista (posiblemente todavía en mayor proporción, dada la cultura visual en la que estamos inmersos). El proceso por el cual recibimos y percibimos una escena se denomina visión y, comúnmente, se puede dividir en tres etapas: óptica, retiniana y cerebral [Wandell, 1995]. La primera de dichas etapas consiste en la formación en la retina de una imagen real e invertida del objeto exterior mediante el sistema óptico del ojo. En la retina, los fotorreceptores capturan dicha imagen y transforman la energía luminosa en impulsos nerviosos que son transmitidos a los niveles superiores del procesado visual a travé s del nervio óptico. Finalmente, en los centros visuales de la corteza cerebral se realiza la interpretación de la escena. El sistema óptico del ojo estácompuesto por la córnea, el iris, el cristalino y los humores acuoso y vítreo, estructuras que imponen el límite físico más importante a la percepción visual [Charman, 1983]. Los dos elementos fundamentales del ojo son la córnea y el cristalino, mientras que el resto de partes interiores (humores e iris) y su acción sobre la calidad de imagen, se consideran desde un punto de vista secundario. La acción de la retina, responsable de captar la imagen óptica, procesarla y transmitirla al cerebro, 15

17 Capítulo 1 se ignora ya que, aunque es fundamental en el proceso de la visión, su funcionamiento excede el ámbito de la óptica. Si la calidad de la imagen retiniana es baja, es decir, si las imágenes formadas sobre la retina están emborronadas o son de baja intensidad, la visión será deficiente, aunque el resto del sistema visual funcione correctamente. En la situación ideal, la imagen de un punto objeto, o PSF ( Point Spread Function ), debe ser otro punto en la retina, sin embargo, la difracción en el iris, la dispersión de los medios oculares y sobre todo las aberraciones de la córnea y del cristalino degradan la imagen produciendo sobre la retina una mancha extensa en vez de un punto. La córnea es la responsable del 70% del poder refractivo del ojo y con ello un elemento determinante de la calidad de imagen final. Además, su fácil accesibilidad ha permitido que sea la parte más estudiada del ojo. Los sistemas basados en topografía corneal y fotografía Scheimpflug proporcionan información precisa acerca de la morfología de la primera y segunda cara. A partir de estos datos se construyen modelos de la córnea, con los que es posible determinar su transmitancia óptica y su influencia en la calidad de imagen final. El otro elemento fundamental, quizás el más complicado de toda la parte óptica del sistema visual humano, es el cristalino. La dificultad de acceder al cristalino in vivo hace razonable el intento de modelar su forma, estructura de índices y efectos de la acomodación, para evaluar de manera objetiva su calidad óptica. En los últimos años se han presentado diferentes modelos de cristalino, que reproducen la aberración esfé rica [Le Grand, 1981; Siedlecki, 16

18 Introducció n 2004], la aberración cromática [Atchison, 2005] y el efecto de la acomodación [Dubbelman, 2003] de ojos reales. Con la extensión del cálculo de Fourier a la Ó ptica, la evaluación objetiva de la calidad óptica de los diversos modelos de ojo teórico propuestos a lo largo del siglo XX [Le Grand, 1981; Lotmar, 1971; Navarro, 1985] se ha realizado a partir de la obtención de la función de transferencia de modulación o MTF ( Modullated Transfer Function ). Matemáticamente, se define como el módulo de la OTF ( Optical Transfer Function ), que es la transformada de Fourier de la PSF, y proporciona la respuesta frecuencial del sistema. En cualquier caso, para todos estos modelos, la formación de imágenes se realiza mediante un trazado de rayos. En cuanto al estudio de ojos humanos reales, se han realizado numerosos estudios sobre su calidad óptica en diversas condiciones a partir de mé todos subjetivos o psicofísicos (aberroscopios [Howland, 1977; He, 1998], medida de la función de sensibilidad al contraste (CSF) neural [Artigas, 1994]) y de mé todos objetivos no invasivos como es la técnica del doble paso [Flamant, 1955] que proporcionan información del ojo como un todo. El doble paso se trata de un dispositivo que consiste en registrar la luz reflejada en la retina tras pasar por lo medios oculares. Con este tipo de dispositivos, diversos autores desarrollan un método con el que se determina la OTF de la parte óptica del sistema visual humano [Santamaría, 1987; Artal, 1988], se estudian las propiedades de la imagen foveal [Artal, 1990; Artal, 1995a], la calidad óptica del ojo en función de la edad [Artal, 1993; Guirao, 1998; Lam, 2000], la MTF de lentes intraoculares [Navarro, 1993; Artal, 1995b] y la comparación entre lentes de contacto y lentes oftálmicas. 17

19 Capítulo 1 Puede resultar interesante conocer la contribución de cada una de las estructuras componentes del subsistema óptico del sistema visual humano a la imagen final formada en la retina, no sólo desde el punto de vista de modelizar del ojo como sistema formador de imágenes, sino tambié n para analizar su incidencia en campos como la cirugía oftalmológica. La OTF de la parte óptica del sistema visual humano junto con las aberraciones obtenidas para la córnea permite inferir datos del cristalino, que como se ha dicho anteriormente son difícil de medir, y realizar modelos de ojo completo. La principal aportación de este trabajo al estudio, desde el punto de vista óptico, del ojo humano y de su modelo se hace a partir del análisis de la propagación de la luz en el interior del ojo humano y cómo afectan las diferentes superficies ópticas a la imagen final en cualquier plano considerado. Se han desarrollado las técnicas y algoritmos necesarios para analizar la morfología corneal mediante el análisis de topografías [Illueca, 2001a], además de establecer criterios de calidad de la imagen retiniana y elaborar un mé todo objetivo para la determinación de patrones relevantes (plano de mejor imagen, focales de Sturm, etc.) [Mas, 2003a]. El análisis del ojo completo, con cristalino incluido, ha provocado la necesidad de modificar el algoritmo general para el cálculo de patrones propagados en el ojo humano [Mas, 2003b], significando la elaboración de un nuevo algoritmo bajo nuevas condiciones de contorno [Pé rez, 2005a]. La té cnica desarrollada permite la simulación de la visión real de un ojo en una amplia variedad de condiciones y la determinación rápida y objetiva de criterios de calidad de imagen retiniana [Mas, 2006]. 18

20 Introducció n El método de propagación utilizado no sólo es útil para el análisis de las propiedades ópticas del ojo humano, sino que permite el estudio y diseño de elementos de fase generales. En este sentido, se han utilizado estos conocimientos para el estudio de sistemas de fase con elevada profundidad de foco. Estos elementos pueden ser de particular interé s para la corrección de la presbicia mediante lentes intraoculares, ya que permiten al sujeto disfrutar de un rango de pseudoacomodación relativamente ancho [Alió, 2004]. En particular se ha realizado el estudio de los elementos axicones y las espadas de luz (LSOE, Light Sword Optical Element ), centrándose particularmente en el análisis de la aberración cromática inducida por estos elementos y en la posible obtención de zonas acromáticas suficientemente extensas que permitan su utilización como elemento compensador de la visión. 19

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22 Capíítulo 2 Cálculo discreto de patrones de luz propagados Como ya se ha dicho anteriormente, la principal novedad de los trabajos presentados es la aplicación del cálculo discreto de la propagación de la luz al estudio del ojo humano [Espinosa, 2006]. La teoría escalar de la difracción permite tratar el comportamiento de la propagación de la luz de una forma simplificada, ya que no tiene en cuenta el carácter vectorial de las ondas electromagné ticas. Esta simplificación proporciona resultados precisos si la abertura de difracción es grande comparada con la longitud de onda. El cálculo numé rico de la integral de difracción no resulta sencillo. Entre los diferentes dominios de difracción, dos admiten un tratamiento analítico o numé rico sencillo. Uno de ellos es el dominio objeto, que corresponde al caso trivial. El otro es el dominio de Fraunhofer, que puede ser estudiado a travé s de la transformada de Fourier (FT) [Goodman, 1996] y, por lo tanto, puede ser evaluado numé ricamente mediante la transformada de Fourier discreta (DFT) [González, 1987] bajo ciertas condiciones tales como dimensiones finitas del objeto y banda frecuencial limitada. En los casos en los que no es posible el cálculo exacto de la integral de Fourier, es necesario efectuar primero un muestreo de la señal original para tener una estimación del espectro de la función. Por un lado, parece claro 21

23 Capítulo 2 que cualquier función espacialmente limitada puede muestrearse adecuadamente siempre que la separación entre las muestras sea suficientemente pequeña, ya que, conforme esta separación tiende a cero, la función se vuelve indistinguible del conjunto de muestras. Pero por otro lado, cuando el intervalo entre muestras no es cero surge el problema de la idoneidad del conjunto de muestras escogido El teorema del muestreo. Aliasing El teorema del muestreo (teorema Whittaker-Shannon) puede enunciarse básicamente como sigue: cualquier funció n de banda limitada puede ser reconstruida exactamente a partir de valores de la funció n muestreados a intervalos regulares. Eso será posible siempre que la amplitud de los intervalos no sobrepase un cierto valor crítico [Gaskill, 1978]. Consideremos una señal u( x ) de banda limitada, es decir, que su transformada de Fourier es nula fuera del intervalo [ ξ 2, ξ 2]. Las muestras de esta señal, { u s }, las podemos obtener multiplicándola por una función de muestreo, por ejemplo una función peine con una separación entre muestras δ xs max max. De esta forma, la función muestreada (2.1) y su transformada de Fourier (2.2) se expresan de la forma: + u ( x) = u( nδx ) δ ( x nδx ) (2.1) s s s n= 1 n u % + + s( ξ ) u s u( n s) x ξ = δ % s n δx ξ % ξ ξ (2.2) = s n= 22

24 Cálculo discreto de patrones de luz propagados %, Por lo tanto, la transformada de Fourier de la función muestreada, u ( ξ ) consiste en un conjunto de réplicas de la transformada de Fourier de la función, u ( ξ ) %, separadas entre ellas una distancia ξ = 1 δx (figura 2.1). Un filtraje pasa-baja con una ventana rectangular permite separar la réplica central de u ( ξ ) % del resto de la señal. Para recuperar la señal original, basta s con realizar una transformada de Fourier inversa sobre este resultado. s z s Figura 2.1 Efectos del muestreo de una función de banda limitada. De la expresión (2.2) se puede concluir que cuanto más juntas se encuentren las muestras en el espacio objeto, más grande serála separación entre las copias desplazadas de u% ( ξ ). Si la separación entre las muestras es tal que ξ < ξ, las réplicas se superpondrán y la información ya no será s max recuperable. Hay, por tanto, una frecuencia de muestreo crítica que se conoce con el nombre de frecuencia de Nyquist y que es igual a la inversa de la extensión máxima del intervalo de frecuencias que tiene la transformada de Fourier de la señal considerada: δ x Ny 1 = (2.3) ξ max 23

25 Capítulo 2 Si la amplitud del intervalo de frecuencias que abarca la transformada de Fourier de la señal de entrada se ha estimado incorrectamente y, por lo tanto, se ha submuestreado la señal, entonces no hay ningún filtro que permita recuperar totalmente u( x ) a partir de u ( ξ ) %. Como puede verse en la figura 2.2, la transformada de Fourier de la señal muestreada ya no se parece a un conjunto de réplicas de la transformada de Fourier de la señal original. Una ré plica cualquiera se superpone con las adyacentes sin posibilidad de distinguirlas. Este efecto se conoce con el nombre de aliasing (efecto Moiré ), siendo un problema que aparece en el tratamiento digital de señales. s Figura 2.2. Espectro de una función muestreada por debajo de la frecuencia de Nyquist La transformada discreta de Fourier y la transformada ó ptica de Fourier La transformada de Fourier proporcionada por un sistema óptico a una distancia z de dicho sistema, si se prescinde de factores cuadráticos externos, viene dada por: + 2π u% ( x% ) = u0( x0) exp i xx% 0 dx0 (2.4) λz 24

26 Cálculo discreto de patrones de luz propagados Si una señal u0( x 0) se discretiza con N muestras significativas, distanciadas δ x 0, la función muestreada queda: N 1 N 1 (2.5) ( ) = ( δ ) δ ( δ ) = δ ( δ ) u x u m x x m x u x m x 0s m 0 0 m= 0 m= 0 La transformada óptica de Fourier de la función (2.5) puede expresarse, teniendo en cuenta la ecuación (2.4) y las propiedades de la función delta de Dirac, como: N 1 2π u% s( x% ) = u0mexp i xm % δ x0 m= 0 λz (2.6) Tal y como se ha hecho con la variable de entrada, tambié n es posible discretizar la variable de salida x%, resultando: N 1 2π u% s( x% ) = u0mexp i xm x µ µδ % δ 0 m= 0 λz (2.7) Por otro lado, la transformada discreta de Fourier de un vector de N N componentes { u } 1 0m m= 0 puede expresarse como: N 1 1 Uµ = u0mexp i2π mµ m= 0 N (2.8) 25

27 Capítulo 2 Para asemejar la transformada discreta de Fourier con una transformada de Fourier óptica discretizada, no hace falta más que comparar las dos expresiones anteriores, (2.7) y (2.8), e igualar los dos factores de escala. De esta forma se obtiene la relación: Nδx δx% = λz (2.9) 0 En la ecuación (2.9), δ x0 y δ x% representan los intervalos de muestreo que relacionan las imágenes de los planos objeto y de Fourier con las matrices correspondientes. El tamaño completo de las matrices será: x0 = Nδ x0 y x% = Nδ x%, y la relación entre los tamaños físicos de la matrices resulta ser: x x% = Nλz (2.10) Cálculo de la propagació n en el espacio libre La figura de difracción de Fresnel producida por un objeto u0( x 0) a una distancia z cuando es iluminado por una onda plana monocromática, de longitud de onda λ, puede expresarse como: + π 2 iπ 2 2π z( z) exp z 0( 0) exp 0 exp z 0 0 λz λz λz u x i x u x x i xx dx = π iπ ( ) λz λz 2 2 = exp i xz FT u0 x0 exp x0 (2.11) 26

28 Cálculo discreto de patrones de luz propagados En la expresión (2.11) se han despreciado los factores constantes y que presenta la integral de difracción como la transformada de Fourier del producto de la señal y un factor de fase cuadrático, evaluada para una frecuencia ξ ( x λz) fase cuadrático externo. =, con el resultado total multiplicado por un factor de z La utilización de métodos numé ricos discretos para el cálculo de la integral de Fresnel implica necesariamente un muestreo de los patrones objeto. Consideremos el objeto de entrada, u0( x 0), de extensión finita a fin de que pueda ser inscrito en un rectángulo de tamaño x0. Tambié n se supone que su contenido frecuencial es despreciable fuera de una banda de extensión finita ξ0, es decir, la transformada de Fourier del patrón es: ξ u% 0 = FT{ u0} u% 0 rect (2.12) ξ0 Entonces, la transformada de Fourier del patrón de salida de la expresión (2.11), podemos aproximarla por: 2 2 ξ u% z( ξ) = TF{ uz} u% 0exp( iπλzξ ) u% 0exp( iπλzξ ) rect ξ0 (2.13) La aproximación realizada (2.13) implica que la extensión frecuencial del patrón propagado es igual que la correspondiente al patrón objeto: ξ = ξ (2.14) 0 z 27

29 Capítulo 2 Si llamamos N y N al número de muestras en las que se dividen los patrones objeto y de Fresnel, en el límite de Nyquist sabemos que se consigue un buen muestreo de los patrones objeto y propagado si las distancias entre muestras son, respectivamente: δ x 0,max x 1 δ x 0 = = ; z,max N ξ0 xz 1 = = N ξ z (2.15) Por lo que, teniendo en cuenta la expresión (2.14), dichas distancias límite de muestreo deben ser iguales. Por otro lado, la extensión física del patrón difractado aumenta con la distancia z según la expresión [Mendlovic, 1997]: x = x + λz ξ (2.16) z 0 0 de donde podemos deducir: λn N = N 1+ z ( x ) 2 0 (2.17) Así, un estudio preciso de la distribución propagada requiere un número de muestras N creciente en el plano de salida, que toma valores demasiado elevados para distancias grandes. El cambio de tamaño del patrón propagado con la distancia dificulta la evaluación de la integral de Fresnel pues, o bien hay que aumentar el número de muestras con la distancia de propagación, o manteniendo N se aumenta la distancia entre muestras, con lo que el patrón estaráafectado de aliasing, o se 28

30 Cálculo discreto de patrones de luz propagados mantiene constante tambié n la distancia de muestreo con lo que el tamaño de los patrones calculados a grandes distancias serádespreciable respecto al tamaño total de difracción [Pé rez, 2004]. De estas tres opciones, las únicas que realmente son interesantes son las dos últimas, ya que la primera de ellas requiere un número de muestras, N, arbitrariamente grande y que tiende a infinito cuando z tambié n lo hace. Otra manera de calcular patrones de difracción es mediante el cálculo de la propagación del espectro angular, en lugar de propagar el objeto [García, 1996; Mendlovic, 1997]. Recordando que la transformada de Fourier de una convolución es igual al producto de las transformadas, la integral de Fresnel en el dominio frecuencial puede escribirse como: z 2 ( ξ) 0 ( ξ) exp( πλ ξ ) u% u% i z (2.18) donde la relación entre la frecuencia espacial ξ, y la coordenada en el plano de Fourier x z, es xz determina el patrón buscado será: = λξ z. Teniendo esto en cuenta, la expresión que { 0 0 } ( ) 1 exp( πλ ξ 2 ) ( ) uz xz FT i z FT u x (2.19) Si comparamos las expresiones (2.11) y (2.19) puede observarse que la dependencia en z en cada una de ellas es justamente la contraria. En (2.19) las frecuencias del factor de fase cuadrático son bajas para valores pequeños de z, por lo que parece razonable pensar que, de esta manera, se puede 29

31 Capítulo 2 obtener un mé todo para calcular la integral de Fresnel a distancias cortas que consiste, en este caso, en: 1 z 2 m x0 uz DFT exp λ iπ m DFT u µ % 2 0 ( x0) N (2.20) ( ) La condición de Nyquist aplicada sobre el factor de fase cuadrático proporciona una condición válida tanto para el cálculo de la amplitud como de la fase. Dicha condición viene dada por: ( ) 2 x 0 z (2.21) λn La principal característica de este método es que al usar dos transformadas de Fourier, una directa y otra inversa, se cancelan los factores de escala entre la entrada y la salida, de manera que: x0 ξ = Nλz x0 = xz ξ xz = Nλz (2.22) En estas condiciones podemos afirmar que el método es válido siempre que el tamaño del patrón difractado no supere las dimensiones de la matriz de soporte. En el caso particular del ojo humano, el cálculo de patrones de propagación no corresponde exactamente al caso estudiado ya que no se trata de 30

32 Cálculo discreto de patrones de luz propagados propagación libre, sino de patrones afectados de un factor de convergencia. Considerando conocida la distancia de convergencia, z c, podemos escribir: + π 2 iπ 2 uz( xz) exp i xz u0( x0) exp x0 λz λzc iπ 2π exp x exp i xx z dx λz λz (2.23) 2.4. Submuestreo de patrones de Fresnel convergentes El cálculo numé rico de los patrones de Fresnel puede realizarse a travé s de transformadas de Fourier, pero se requiere normalmente de un número de muestras extremadamente grande para cumplir la condición de muestreo de Nyquist [Mas, 2003b]. Consideremos un haz de luz u( x 0 ) de longitud de onda λ que emerge de un elemento de fase, situado en el origen de distancias z = 0, tal que converge a una distancia positiva z c. Esta señal ha sido discretizada en N muestras de manera que el patrón discreto propagado viene dado a partir de la expresión (2.20), donde consideramos ahora que el objeto se encuentra multiplicado por un factor de fase cuadrático convergente ( u ) z µ exp λz 2 iπ m 2 ( x ) 0 1 DFT 2 2 m x m 0 ( x0 ) 1 DFT u0 exp iπ 2 N λn z c % (2.24) 31

33 Capítulo 2 Para calcular todos los patrones de luz desde el objeto en z = 0 hasta la distancia de convergencia teórica z = z, se necesita un muestreo correcto tanto del factor de convergencia como de la integral discretizada. Así, el criterio de Nyquist aplicado sobre el factor de convergencia que multiplica al objeto requiere un número de muestras: c N ( x ) 2 0 (2.25) λz c Mientras que el factor de fase externo a la DFT está correctamente muestreado para distancias (ver 2.21): ( ) 2 x 0 z (2.26) λn La ecuación (2.25) impone un número excesivo de muestras para una distancia de enfoque pequeña. Como ejemplo, si consideramos la córnea humana, z c = 32 mm y, para λ = 633 nm y x0 = 6 mm, el muestreo correcto del factor de fase convergente necesita N = 1800 muestras, con una distancia entre muestras de alrededor de δx x / N 5 0 = λ 0. Una evaluación bidimensional de un cono de propagación de tales características requiere casi muestras en cada plano. Aunque este muestreo garantice que la superficie está correctamente descrita, si el elemento refractivo es lo suficientemente regular intuimos que no son necesarios describir la cáustica o el cono de propagación rayos para 32

34 Cálculo discreto de patrones de luz propagados Desde otro punto de vista, el problema puede analizarse bajo la perspectiva de la función de distribución de Wigner (WDF). La WDF de onda señal de amplitud compleja proporciona una representación simultánea de sus distribuciones espacial y frecuencial [Lohmann, 1993]. Para una señal u( x ) viene definida por: x x Wu( x, ξ) = u x+ u x exp( 2πix ξ) dx (2.27) 2 2 Los tamaños espacial y frecuencial, x y ξ respectivamente, están definidos de forma que la señal y su FT son despreciables fuera de sus respectivos límites [Lohmann, 1996]. Así, el número de muestras necesario para describir la señal es justamente la expresión de la condición de Nyquist: N x ξ (2.28) El algoritmo descrito en la ecuación (2.24) proporciona la siguiente transformación en la WDF final: Objeto: W ( x, ξ ) u0 x W x, = W, u0 c u x ξ + λz Convergencia: ( ξ) 0 c x W x, = W x λξξ z, + λz Propagación: u ( ξ) z u0 c (2.29) 33

35 Capítulo 2 Estas transformaciones (2.29) aumentan los límites en los dominios frecuencial y espacial (figura 2.3). Por lo tanto, siguiendo la ecuación (2.28), las exigencias de muestreo tambié n aumentan. Una selección adecuada de la ventana de cálculo de entrada x0 y del número N de muestras garantiza un correcto muestreo del patrón transformado, con las limitaciones del método numé rico seleccionado [Mas, 2003a; Hennelly, 2005a]. Figura 2.3. Distorsión en la distribución de Wigner de la señal según la ecuación (2.29): a) convergencia, b) propagación El número de muestras se fija teniendo en cuenta, de las ecuaciones (2.29), que existen dos distorsiones (figura 2.3). Entonces, una vez fijado N, el criterio de Nyquist impone una restricción en el rango de distancias donde el algoritmo es aplicable [Hennelly, 2005a]. Separemos las variables extrínsecas de nuestro problema tales como puntos de muestreo y longitud de onda iluminante de las otras dos variables que son intrínsecas al sistema óptico. Con esto, reescribimos la condición de Nyquist de la ecuación (2.25): 2 x0 Nλ (2.30) z c 34

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