X X Y 2X Adj Y Y 1 0. : Y Y Adj Y Y

Transcripción

1 Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad. JUNIO 99. Matemáticas II. OPCIÓN A X Y 5. Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales. Se pide hallar X Y 0 X e Y [ punto] y calcular si tiene sentido X e Y (razonar la posible respuesta negativa) [,5 puntos]. Multiplicamos por la primera ecuación y las sumamos: 6 X Y X X Y X X Y 0 No eiste Calculemos X porque X 0. En cambio sí eiste Y porque Y Adj Y 0 Y 0 t Y t t : Y Y Adj Y Y ln si. Se define la función f del modo siguiente: f () a b si Encontrar los valores de a y b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas [ punto]. Estudiar su derivabilidad [ punto] y hallar los puntos de su gráfica en los que la tangente es paralela al eje OX [0,5 puntos]. (NOTA: ln significa logaritmo neperiano). Si la gráfica pasa por el origen de coordenadas: f (0) 0 b 0 Para que la función sea continua, debe serlo en = y para ello debe ser lím f ( ) lím f ( ) : lím a lím ln a a si La función derivada es: f '( ) que eiste, U,. Veamos si f ' f ' : si f ' y f ' f ' f ' y, por tanto, la función es derivable. Si la tangente es paralela a OX, su pendiente es 0 y por tanto f ' ( ) 0. La derivada sólo se anula cuando 0 9. El punto de la gráfica en el que la tangente es paralela al eje OX es por tanto, 8.

2 . Dibujar el recinto limitado por las gráficas de las funciones este recinto [,5 puntos]. y, y = e y = 8 [ punto]. Hallar el área de La función y tiene al eje de ordenadas, 0, como asíntota vertical, pues lím y además: 0 lím lím 0 0 El eje de abscisas, y 0, es una asíntota horizontal de la función pues lím 0 y además: lím lím 0 La función es positiva, simétrica respecto al eje OY pues f ( ) f ( ), y,,, pasa por los puntos, y,,, y,, La recta y es la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. Corta a y en el punto,. La recta y 8 pasa por los puntos (0, 0) y, 8. Corta a y en el punto, Área del recinto. Lo calcularemos por partes: () Área del triángulo limitado por el eje de abscisas y la recta y 8 entre las abscisas 0 y : A u () Área limitada por la función y, el eje OX y las abscisas y : A d u () Área del triángulo limitado por OX y la recta y entre las abscisas 0 y : A u El área del recinto es A A A u. Nos dan la recta r determinada por los puntos A (,,) y B (,,) y la recta s dada por pide: i) Averiguar su posición relativa. [ punto] ii) Si eiste, hallar la ecuación general del plano que las contiene. [,5 puntos] z 0. Se y 0 Dos puntos de r están dados y un vector direccional de la recta es: AB, 0, Obtengamos dos puntos de la recta s: z z 0 :, y P,, 0 uuur PQ, 0, y z :, y Q,, uuur

3 Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad. JUNIO 99. Matemáticas II. uuur uuur i) Puesto que AB P PQ las rectas son paralelas o coincidentes. Como el punto A de r no pertenece a s (la coordenada y debería ser ), las rectas son paralelas. ii) Sea X, y, z un punto cualquiera del plano que contiene a r y s. Los vectores uuur uuur uuur AB, AP 0,, y AX, y, z son linealmente dependientes por estar contenidos en un mismo plano. Por tanto: 0 y 0 0 ( z ) ( y ) ( ) 0 z y 0 y z 0 z OPCIÓN B. Discutir según el valor del parámetro a el sistema lineal casos en que tenga infinitas soluciones [ punto]. a 7y 0z a 8y z az [,5 puntos] y resolverlo en los La matriz de los coeficientes, A, y la matriz ampliada, M, son: El único menor de orden de A es: a a 7 0 a 8 0 a a a a a a a Si a y a : rg A rg M nº de incógnitas el sistema es compatible determinado. Si a : puesto que el menor 7 8 el menor que da rango a A con los términos independientes: Como rg A rg M el sistema es incompatible Si a : puesto que el menor 7 8 menor que da rango a A con los términos independientes: rg A. Veamos cuál es el rango de M. Orlamos rg M rg A. Veamos cuál es el rango de M. Orlamos el rg M 0 Puesto que rg A rg M nº de incógnitas el sistema es compatible indeterminado. Resolvamos el sistema en este último supuesto, es decir cuando a : Utilizaremos las dos primeras ecuaciones con e y como incógnitas principales y z como parámetro ( z ) 7y 0 7y 0 Sumando: y 0 8y 8y Luego las soluciones son:, y, z

4 . De la función y nos piden: ( ) i) Dominio de definición y asíntotas. [ punto] ii) Máimos y mínimos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. [ punto] iii) Representación gráfica. [0,5 puntos] i) D es una asíntota vertical de la función pues lím. ( ) Además: lím y ( ) lím ( ) y es una asíntota oblicua de la función. Posición relativa de la curva respecto a la asíntota: lím 0 ( ) lím 0 ( ) y ii) 8 8 y ( ) y ' 8 ( ) 0 ( ) 8 ( ) ( ) ( ) (punto crítico) y" ( ) 0 la función tiene un mínimo relativo en :, ( ) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: la primera derivada tiene cambios de signo en y : y > 0 y < 0 y > 0 La función es creciente en, U, La función es decreciente en, iii) Representación gráfica. Además de los datos ya obtenidos, la gráfica pasa por los puntos, 0 y 0, :

5 Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad. JUNIO 99. Matemáticas II.. El barco A abandona un puerto a las 0 horas y navega directamente hacia el norte a la velocidad constante de 6 nudos. El barco B se encuentra a las 0 horas a 0 millas marinas al este del puerto y navega en dirección a dicho puerto a la velocidad constante de 8 nudos. Cuándo se hallarán estos barcos lo más próimos el uno del otro? (Dar el resultado en horas y minutos). [,5 puntos] NOTA: un nudo es una milla marina por hora. Sea el tiempo (en horas) transcurrido desde las 0 horas. Al cabo de horas, el barco A está a 6 millas del puerto P y el barco B a 0 8 millas de P. La distancia entre ambos barcos es: A d (6 ) (0 8 ) d Se trata de averiguar el valor de que hace mínima esta distancia: P 0! 8 B d ' (valor crítico) 0 5 d " (00 0) y para 6 : d " hace mínima d. Por tanto, los barcos estarán a una distancia mínima cuando hayan transcurrido 6 5 horas, es decir a las h min.. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro C (,) y es tangente a la recta y = 0 [ punto]. De todas las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante, encontrar las que sean tangentes a esta circunferencia [,5 puntos]. Puesto que la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia, calculemos la ecuación de la recta perpendicular a la tangente que pasa por C: La pendiente de la tangente es luego la pendiente de una perpendicular es. La ecuación del radio es entonces: y ( ) y y 0 El punto de corte del radio y la tangente es: y 0 6 y sumando : 5 5, y : P, y 0 9 y

6 Entonces: r d ( C, P) La ecuación de la circunferencia es: ( ) ( y ) y y y y 0 La recta perpendicular a y que pasa por C es: y ( ) y y Cortamos esta recta y la circunferencia: y y y 0. Los puntos de tangencia son:, y, y las rectas paralelas a y que pasan por dichos puntos son: y y 0 ; y y 0 6