Tema 6. Funciones. 1. Funciones lineales: polinomios grado 1: Rectas

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1 Tema 6. Funciones 1. Funciones lineales: polinomios grado 1: Rectas Ejemplo 1: f (x)=2 x 2, x R Pendiente: m = 2. Ordenada en el origen: n = -2 Dominio: es un polinomio Dom(f )=R Corte con el eje Y (ordenadas): se sustituye x = 0 y = 2. Punto (0, 2) Corte con el eje X (abcisas): se despeja de y = 0 x = 1. Punto (1, 0) Asíntotas: es un polinomio, no tiene ni horizontales ni verticales f (x)=+ f (x)= x + x Monotonía: hacemos la derivada f ' (x)=2 Como es positiva, la función es siempre creciente: No tiene máximos ni mínimos (extremos) Curvatura: hacemos la segunda derivada f ' ' (x)=0 Creciente en R Como es 0, la función es una recta, ni cóncava ni convexa No tiene puntos de inflexión Como es un polinomio: continua y derivable en su dominio: R

2 f (x)=2 x 2, x R y + m x + n x y

3 Ejemplo 2: f (x)= 2 x 2, x (1,10 ] Dominio: es un polinomio Dom(f )=(1,10 ] Corte con el eje Y (ordenadas): se sustituye x = 0 y = Corte con el eje X (abcisas): se despeja de y = 0 x = 1 Asíntotas: es un polinomio, no tiene verticales ni horizontales f (x)= f (x)= 4 ( punto abierto) x 1 + x + x f (x)= Monotonía: hacemos la derivada f ' (x)= 2 Como es negativa, la función es siempre decreciente: Decreciente en (1,10 ] Mínimo absoluto en x = 10, y = 22. No tiene máximo (punto abierto) Curvatura: hacemos la segunda derivada f ' '(x)=0 Como es 0, la función es una recta, ni cóncava ni convexa No tiene puntos de inflexión f (x)= 22 ( punto cerrado) x 10 Como es un polinomio: continua y derivable en su dominio: (1,10 ]

4 f (x)= 2 x 2, x (1,10 ] m

5 Ejemplo 2 x 2, si x<0 3:f 2, si 0 x<2 (x)={ x, si x>2 Dominio: Dom(f )=R { 2} Corte con el eje Y (ordenadas): se sustituye x = 0 y = 2. Punto (0, 2) Corte con el eje X (abcisas): se despeja de y = 0 (en los tres trozos) { 2 x 2=0 x= 1 2=0 Un punto de corte: ( 1, 0) x=0 Asíntotas: los trozos f (x)=+ { son polinomios, no tiene verticales ni horizontales f (x)= 2 ( punto abierto) x 0 f (x)=+ f (x)=2 ( punto cerrado) x + x x 0 + Monotonía: hacemos la derivada: f ' (x)={ Decreciente en (, 0). Constante en (0, 2). Creciente en (2, + ) No hay máximos ni mínimos (puntos abiertos) { f (x)=2 ( punto abierto) x 2 f (x)=2 ( punto abierto) x 2 + 2, si x<0 0, si 0< x<2 1, si x>2 decreciente constante creciente

6 Curvatura: hacemos la segunda derivada f ' ' (x)= { Como es 0, la función es una recta, ni cóncava ni convexa No tiene puntos de inflexión 0, si x< 0 0, si 0<x <2 0, si x>2 Continuidad: Los trozos son polinomios, son continuos. Estudiamos los puntos de división x = 0 : { f (0)= x 0 + f ( x)=2 f (x)= 2 x 0 x = 2 {f (2)= f ( x)=2 x 2 + f (x)=2 x 2 Continua en R { 0,2} Los límites no coinciden, son finitos: discontinuidad de salto finito Los límites coinciden, pero no hay punto: discontinuidad evitable Derivabilidad: Los trozos son polinomios, son derivables. Estudiamos los puntos de división x = 0 : No continua no derivable x = 2 : No continua no derivable Derivable en R {0,2}

7 2 x 2, si x<0 f 2, si 0 x <2 (x)={ x, si x>2 discontinuidad evitable salto finito

8 2. Funciones parabólicas: polinomios grado 2: Parábolas Ejemplo 1: f (x)=x 2 2 x 3, x R a > 0 : ramas hacia arriba. Ordenada en el origen: c = -3 Vértice: x= b =1, y= 4 2a Dominio: es un polinomio Dom(f )=R Corte con el eje Y (ordenadas): se sustituye x = 0 y = 3. Punto (0, 3) Cortes con el eje X (abcisas): se despeja de y = 0 x = 1, x = 3. Puntos ( 1, 0), (3, 0) Asíntotas: es un polinomio, no tiene ni horizontales ni verticales x + f (x)=+ x f (x)=+ Monotonía: hacemos la derivada, igualamos a 0 y resolvemos f ' (x)=2 x 2 f '=0 x=1 Sacamos los intervalos: Decreciente en (-, 1). Creciente en (1, + ) Mínimo absoluto en (1, 4) f' f 1 + f ' (0)<0 f ' (2)>0

9 Curvatura: hacemos la segunda derivada f ' ' (x)=2 Como es positiva, la función es convexa en su dominio: R No tiene puntos de inflexión Como es un polinomio: continua y derivable en su dominio: Recta tangente en x = 2 : t : y= f '(a)( x a)+ f (a) R f ' (2)=2 ; f (2)= 3 t : y=2( x 2) 3 ; y=2 x 7 f (x)=x 2 2 x 3, x R a>0 y + y + x x +

10 Ejemplo 2: f (x)= x 2 +1, 1 x 2 a < 0 : ramas hacia abajo. Ordenada en el origen: c = 1 Vértice: x= b =0, y=1 2a Dominio: es un polinomio Dom(f )=[ 1,2] Corte con el eje Y (ordenadas): se sustituye x = 0 y = 1. Punto (0, 1) Cortes con el eje X (abcisas): se despeja de y = 0 x = ±1 ( 1, 0), (1, 0) Asíntotas: es un polinomio, no tiene ni horizontales ni verticales f (x)= x + f (x)=0 ( punto cerrado) x 1 + f (x)= x f (x)= 3 ( punto cerrado) x 2 Monotonía: hacemos la derivada, igualamos a 0 y resolvemos f ' (x)= 2 x f '=0 x=0 Sacamos los intervalos: f '( 0,5)>0 f '(1)<0 Creciente en (-1, 0). Decreciente en (0, 2) Máximo absoluto en (0, 1). Mínimos en ( 1, 0) y en (2, -3) (absoluto) f' + f

11 Curvatura: hacemos la segunda derivada f ' ' (x)= 2 Como es negativa, la función es cóncava en su dominio: [ 1,2] No tiene puntos de inflexión Como es un polinomio: continua y derivable en su dominio: [ 1,2] f (x)= x 2 +1, 1 x 2 a<0

12 Ejemplo 3: { f (x)= 2 x2 +2, si x 0 2, si 0< x<2 x 2 2 x+2, si x 2 Dominio: Dom(f )=R Vértices: V 1 : x= b 2 a =0, y=2 V 2: x= b 2a =1, y=1 No está en el trozo pero conviene tenerlo en cuenta Corte con el eje Y (ordenadas): se sustituye x = 0 y = 2 Cortes { con el eje X (abcisas): se despeja de y = 0 (en los tres trozos) 2 x 2 +2=0 x=±1 x= 1 2=0 Un punto de corte: (-1, 0) x 2 2 x+2=0 Asíntotas: los trozos f (x)=+ { son polinomios, no tiene verticales ni horizontales f (x)=2 ( punto cerrado) x 0 f (x)= f (x)=2 ( punto abierto) x + x x 0 + Monotonía: hacemos la derivada, igualamos a 0 y resolvemos 4 x, si x<0 f ' 0, si 0< x<2 (x)={ { x=0 2 x 2, si x>2 x=1 { f (x)=2 ( punto abierto) x 2 f ( x)=2 ( punto cerrado) x 2 +

13 Sacamos los intervalos: + 0 f ' ( 1)>0 f' f ' (3)>0 f 0 2 Creciente en (-, 0) y en (2, + ). Constante en (0, 2) Máximo relativo en (0, 2), mínimo relativo en (2, 2) Curvatura: hacemos la segunda derivada: + f ' ' (x)={ 4, si x<0 0, si 0<x<2 2, si x>2 cóncava recta convexa Cóncava en (-, 0), convexa en (2, + ), recta en (0, 2) Continuidad: Los trozos son polinomios, son continuos. Estudiamos los puntos de división x = 0 { f (0)= x 0 f (x)=2 x 0 + f (x)=2 Es continua en x = 0 x = 2 { f (2)= x 2 f (x)=2 f (x)=2 x 2 + Es continua en x = 2. Es continua en R

14 Derivabilidad: Los trozos son polinomios, son derivables. Estudiamos los puntos de división x = 0 { f ' (0 )=0 f ' (0 + )=0 Es derivable en x = 0 x = 2 { f ' (2 )=0 f ' (2 + )=2 No es derivable en x = 2 unión en curva, derivable unión en pico, no derivable

15 3. Funciones cúbicas: polinomios grado 3 Ejemplo 1: f (x)=x 3 6 x 2 +9 x, x [ 2,+ ) Dominio: es un polinomio Dom(f )=[ 2,+ ) Corte con el eje Y (ordenadas): se sustituye x = 0 y = 0. Punto (0, 0) Cortes con el eje X (abcisas): se despeja de y = 0. En este caso sacamos x factor común y hacemos la ecuación de segundo grado. En otro caso, si es necesario, se hace Rufini x = 0, x = 3. Puntos (0, 0), (3, 0) Asíntotas: es un polinomio, no tiene ni horizontales ni verticales x + f (x)=+ x f (x)= Monotonía: hacemos la derivada, igualamos a 0 y resolvemos f ' (x)=3 x 2 12 x+9 f '=0 x=1, x=3 Sacamos los intervalos: f' f Decreciente en (1, 3). Creciente en ( 2, 1) y (3, + ) f (x)= 50 ( punto cerrado) x 2 + Máximo en (1, 4), mínimo en (3, 0) y en ( 2, -50) (absoluto) + + f '(0)<0 f '(2)>0 f '(4)>0

16 Curvatura: hacemos la segunda derivada, igualamos a 0 y resolvemos: f ' ' (x)=6 x 12 f ' '=0 x=2 Sacamos los intervalos: + f' f -2 2 Cóncava en ( 2, 2), convexa en (2, + ) Punto de inflexión: (2, 2) f ' '(0)<0 : cóncava f ' '(3)>0 : convexa Como es un polinomio: continua y derivable en su dominio: [ 2,+ ) Recta tangente en x = 2 : t : y= f '( a)( x a)+ f ( a) f ' (2)= 3 ; f (2)=2 t : y = 3( x 2)+2 ; y= 3 x+8

17 f (x)=x 3 6 x 2 +9 x, x [ 2,+ ) y + x +

18 3. Funciones hiperbólicas: racionales grado 1 f (x)= ax+b cx+d Ejemplo 1: f (x)= 2 x 1 x 1 Dominio: es una fracción, se iguala a 0 el denominador Dom(f )=R { 1} Corte con el eje Y (ordenadas): se sustituye x = 0 y = 1. Punto (0, 1) Cortes con el eje X (abcisas): se despeja de y = 0 x = ½. Punto (½, 0) Asíntotas: siempre tienen una horizontal y una vertical: f (x)= 2 x + 1 = 2+ f (x)= 2 x 1 = 2 As. horizontal: y = 2 { ; c 0 x 1 f (x)= ( 3 0 ) =± ; f (x)= ( 3 ) x 1 0 =+ + x 1 f (x)= ( ) = As. vertical: x = 1

19 Monotonía: hacemos la derivada, igualamos a 0 y resolvemos f ' (x)= 3 f '=0 x= ( x 1) 2 f' Sacamos los intervalos: Decreciente en (, 1) y en ( 1, + ). No hay máximos ni mínimos Curvatura: hacemos la segunda derivada, igualamos a 0 y resolvemos f ' ' (x)= 6 f ' '=0 x= ( x 1) 3 Sacamos los intervalos: Cóncava en (, 1), convexa en ( 1, + ). No hay puntos de inflexión. Continua y derivable en su dominio: R { 1} f f' f f '( 2)<0 f '(0)>0 f ' '( 2)<0 : cóncava f ' '(0)>0 : convexa

20 Ejemplo 2: { f (x)= x2 +4, si 0< x , si x>1 x Dominio: Dom(f )=(0,+ ) Vértice: V 1 : x= b 2 a =0, y=4 No está en el trozo pero hay que tenerlo en cuenta Corte con el eje Y (ordenadas): se sustituye x = 0 y = 4 (punto abierto) Cortes con { el eje X (abcisas): se despeja de y = 0 (en los dos trozos) x 2 +4=0 x=±2 2 +1=0 x= 2 x Asíntotas: La parábola no tiene. La hipérbola tendría una vertical en x = 0 (no en este caso), y tiene una horizontal en y = 1, ya que x + f (x)=1 f (x)=4 ( punto abierto) x 0 + { f (x)=3 ( punto cerrado) x 1 f (x)=3 ( punto abierto) x 1 +

21 Monotonía: hacemos la derivada, igualamos a 0 y resolvemos 2 x, si 0<x<1 f ' 2 (x)={ { 2 x=0 x=0, si x>1 2 x 2 x =0 2 Sacamos los intervalos: f' f 0 1 f '(0,5)<0 f '(2)<0 Decreciente en (0, 1) y en (1, + ). No hay máximos ni mínimos Curvatura: hacemos la segunda derivada, igualamos a 0 y resolvemos 2, si 0<x<1 f ' ' 4 (x)={ { 2=0, si x>1 4 x 3 x =0 3 Sacamos los intervalos: Cóncava en (0, 1), convexa en (1, + ). Punto de inflexión en (1, 3) f' f f '(0,5)<0 f '(2)<0

22 Continuidad: La parábola es continua en su dominio. La hipérbola tendría una discontinuidad en x = 0, pero en este caso está fuera de su dominio. Estudiamos el punto de división x = 1 { f (1)= x 1 f (x)=3 f (x)=3 x 1 + Es continua en x = 1 Derivabilidad: La parábola es derivable en su dominio. La hipérbola no sería derivable en x = 0, pero en este caso está fuera de su dominio. Estudiamos el punto de división x = 1 { f ' (1 )= 2 f ' (1 + )= 2 Es derivable en x = 1 Recta tangente en x = 3 : t : y=f ' (a)(x a)+f (a) f ' (3)= 2 9 t : ; f (3)= 5 3 y= 2 9 (x 3)+ 5 3 ; y= 2 x+21 9

23 continua y derivable en el punto de división: unión en curva recta tang en x = 3 asíntota horiz: y = 1

24 9. Derivadas f (x)=k f ' (x)=0 Ejemplos f (x)=x f (x)=kx f (x)=k u f ' (x)=1 f ' (x)=k f ' (x)=k u' f (x)=3 x f (x)=3( x 2 3) f ' (x)=3 f ' (x)=6 x f (x)=x n f (x)=u n f ' (x)=nx n 1 f ' (x)=nu n 1 u' f (x)=x 4 f ' (x)=4 x 3 f (x)=(5 x) 3 f '(x)=3(5 x) 2 ( 1)= 3(5 x) 2 1 f (x)= x (=x 2 ) f ' (x)= 1 2 x f (x)= u f ' (x)= u' 2 u 1 f (x)= x p 1 (=x p ) f ' (x)= p x p p 1 f (x)= u p f ' (x)= u' p u p p 1 f (x)= x 3 +2 x f ' (x)= 3 x x 3 +2 x f (x)= 4 x f '(x)= x 3 f (x)= 3 2 x 3 f '(x)= (2 x 3) 2

25 Exponenciales f (x)=e x f (x)=e u f (x)=a x f (x)=a u f ' (x)=e x f ' (x)=e u u' f ' (x)=a x ln a f ' (x)=lna a u u' Ejemplos f (x)=e x2 1 f ' (x)=e 1 2 x2 x f (x)=3 2 x2 f '(x)=ln x2 ( 2 x) Logaritmos f (x)=ln x f '(x)= 1 x f (x)=ln u f ' (x)= u' u f (x)=log a u f '(x)= u' u ln a f (x)=ln(4 x+x x2 ) f '(x)= 4 x+x 3 f (x)=log 3 ( 3 x) f ' (x)= 3 3 x ln3 = 1 x ln3

26 Producto Ejemplos f (x)=u v f ' (x)=u' v + u v ' f (x)=(x x 2 ) e x f ' (x)=(1 2 x) e x +(x x 2 ) e x = =(1 x x 2 ) e x f (x)=k v f ' (x)=k v ' f (x)=4 lnx f ' (x)= 4 x Cociente f (x)= u v f (x)= k v f ' (x)= u' v u v ' v 2 f ' (x)= k v ' v 2 f (x)= x 1 x 5 f (x)= 1 x f (x)= 4 x 2 f ' (x)= 1 (x 5) (x 1) 1 (x 5) 2 = = 4 (x 5) 2 f ' (x)= 1 x 2 f ' (x)= 4 2 x x 4 = 8 x 3