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2 CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS DE BARRAS (Articuladas 2D-3D) F. Navarrina, I. Colominas, M. Castliro, H. Gómz, J. París GMNI GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Dpartamnto d Métodos Matmáticos y d Rprsntación Escula Técnica Suprior d Ingniros d Caminos, Canals y Purtos Univrsidad d A Coruña, España -mail: fnavarrina@udc.s página wb:

3 ÍNDICE Ejmplos Ejs Locals y Globals Ecuacions Constitutivas y d Compatibilidad Ecuacions d Equilibrio Numración Global: Matriz d Conctividad Equilibrio Elmntal n Numración Global Equilibrio Global La Matriz d Rigidz s Smi-Dfinida Positiva La Matriz d Rigidz Coaccionada s Dfinida Positiva

4 Ejmplos (I) Véans los jmplos siguints: Estructura Articulada 2D Dscripción: jmplo2.pdf Codificación: jmplo2.dat Estructura Articulada 3D Dscripción: jmplo3.pdf Codificación: jmplo3.dat

5 Ejmplo (II) Algunas variabls importants... npoin=* (númro d nodos) ndim=* (númro d coordnadas por nodo: 2 n 2D, 3 n 3D) nlm=* (númro d lmntos barras) nnod=2 (2 nodos por lmnto) ndofn=* (NÚMERO DE GDL POR NODO: 2 n 2D, 3 n 3D) nprop=1 (númro d propidads por matrial EA)... (*) Véans jmplos d codificación d st tipo d problmas n los archivos jmplo2.dat y jmplo3.dat.

6 Ejs Locals y Globals Cambio d Bas r = r = pus T Q { }}{ cos α cos β r, cos γ cos α cos β cos γ }{{} Q ( ) 1 Q = Q T. r,

7 Ecuacions Constitutivas y d Compatibilidad (I) Vctor d dsplazamintos lmntals n js globals: ū 1, = ū = u 1, v 1, w 1, { ū1, ū 2, }, ū 2, = u 2, v 2, w 2,.

8 Ecuacions Constitutivas y d Compatibilidad (II) ū = T ū, (T ) 1 T = T Vctor d dsplazamintos lmntals n js locals: ū 1, = [ T Q = Õ = ū = T ū = u 1, v 1, w 1, Õ Q { ū 1, ū 2, }, ū 2, = ]. T ū. u 2, v 2, w 2,.

9 Ecuacions Constitutivas y d Compatibilidad (III) Vctor d dformacions lmntals: ε = { L }, L = u 2, u 1,.

10 Ecuacions Constitutivas y d Compatibilidad (IV) Rlación dsplazamintos dformacions: ε = Ẽ ū, Ẽ = [ ]. Lugo, ū = T ū ε = Ẽ ū } ( ) {( B }} ){ = ε = Ẽ T ū = Ẽ T ū. ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD: ε = B ū, B = [ cos α cos β cos γ + cos α + cos β + cos γ ].

11 Ecuacions Constitutivas y d Compatibilidad (V) Vctor d tnsions lmntals: σ = {N }, N = ( ) EA L. L ECUACIÓN CONSTITUTIVA: σ = D ε, D = [ EA L ].

12 Ecuacions d Equilibrio (I) Vctor d furzas lmntals n js globals: f 1, = f = { f1, f 2, } f x 1, f y 1, f z 1,, f2, = f x 2, f y 2, f z 2,.

13 Ecuacions d Equilibrio (II) f = T f, (T ) 1 T = T Vctor d furzas lmntals n js locals: f 1, = [ T Q = Õ Õ Q f = { f 1, f x 1, f y 1, f z 1, T f 2, }, f 2, = ]. = f = T f. f x 2, f y 2, f z 2,.

14 Ecuacions d Equilibrio (III) Rlación tnsions furzas lmntals: Lugo, f = Ẽ T σ } f = T T f f = Ẽ T σ, Ẽ T = ( T = f = Ẽ T T σ ) ( = T T ẼT ) σ = ( ) T Ẽ } {{ T } T B σ. ECUACIÓN DE EQUILIBRIO f = B T σ, B = [ cos α cos β cos γ + cos α + cos β + cos γ ].

15 Ecuacions d Equilibrio (IV) Lugo, ε = B ū σ = D ε f = B T σ = S ) ({}}{ σ = ( ū = D B D B ) ū, ( ) ( ) T f = S ū = T B } B {{ S } K ū. Matriz d Rigidz d Elmnto: K = B T D B. ECUACIÓN ELEMENTAL (Constitutiva+Compatibilidad+Equilibrio): K ū = f.

16 Numración Global: Matriz d Conctividad Vctor d Dsplazamintos Nodals: ū =. ū ipoin., ū ipoin = u ipoin v ipoin w ipoin, ipoin = 1,..., npoin. CAMBIO DE NUMERACIÓN LOCAL A NUMERACIÓN GLOBAL Matriz d Conctividad: lnods(nnod,nlm) (*) ilm = lmnto ipoin=lnods(inod,ilm) = inod = numración local {1,2} dl nodo ipoin = numración global dl nodo (*) Véans jmplos d codificación d st tipo d problmas n los archivos jmplo2.dat y jmplo3.dat.

17 Equilibrio Elmntal n Numración Global ilm K ilmūilm = f ilm = K ilmū = f ilm. La matriz d rigidz lmntal xpandida K ilm s gnra a partir d la matriz d rigidz lmntal ilm mdiant l paso d numración local a global, d forma idéntica a como K s ralizó st procso n l caso dl cálculo matricial d circuitos.

18 Equilibrio Global (I) El quilibrio d cada nodo stá gobrnado por la LEY DE NEWTON: La furza xtrna aplicada a cada nodo s igual a la suma d las furzas lmntals d todas las barras qu confluyn n él.

19 Equilibrio Global (II) Vctor d Furzas Nodals: f =. F ipoin., Fipoin = F x ipoin F y ipoin F z ipoin, ipoin = 1,..., npoin. ECUACIONES DE EQUILIBRIO GLOBAL (Lys d Nwton): lnods(inod,ilm)=ipoin f inod,ilm = F ipoin f ilm = f. ilm

20 Equilibrio Global (III) Las cuacions d quilibrio global pudn rscribirs n la forma matricial K ilmū = f ilm ( ) f ilm = f = K ilm ilm ū = f. ilm }{{} K Matriz d Rigidz Global: K = ( K ) ilm ilm }{{} ENSAMBLAJE DE LAS K ilm. ECUACIÓN DE EQUILIBRIO GLOBAL: K ū = f.

21 Equilibrio Global (IV) Lugo, l sistma qu hay qu rsolvr s l siguint: K ū = f + R, K = K T, con las condicions d vinculación u V = p V, dond V s cada uno d los grados d librtad coaccionados (*). (*) Para cada g.d.l. coaccionado V srá prciso indicar; d qué nodo s trata (ipoin), cuál d sus g.d.l. stá coaccionado (idofn) y cuál s l valor prscrito p V.

22 Equilibrio Global (V) NOTA IMPORTANTE: Obsérvs qu n structuras articuladas 2D las componnts sgún l j z s anulan por lo qu no s prciso tnrlas n cunta, lo qu prmit simplificar ligramnt la formulación.

23 La Matriz d Rigidz s Smi-DEF. POS. ū T K ū = ū T K ū con K = K = ū T K ū dond K = B T D B = ū T ( B T D B ) ū = ū) (B T ū) D (B = ε T D ε con ε = B ū 0, pus D = [EA /L ] s SEMI-DEF +. Lugo ū T K ū 0 ū = K s SEMI-DEFINIDA POSITIVA.

24 La Matriz Coaccionada s DEF. POS. (I) Sa K V la matriz qu s obtin al ignorar las filas y columnas d la matriz K corrspondints a g.d.l. coaccionados. K = k v,v, K V =.

25 La Matriz Coaccionada s DEF. POS. (II) Sa ū 0 un vctor n l qu todos los componnts corrspondints a g.d.l. coaccionados son nulos. Sa ū V 0 l vctor qu s obtin al ignorar las filas dl vctor ū corrspondints a g.d.l. coaccionados. ū =, ū V = 0. En stas condicions ū T V K V ūv = ū T K ū, pus...

26 La Matriz Coaccionada s DEF. POS. (III) ū T V V K ūv = [ ], ū T ū = [ K 0 ] k v,v. 0

27 La Matriz Coaccionada s DEF. POS. (IV) REDUCCIÓN AL ABSURDO: Supongamos qu K V no s dfinida positiva... Lugo ū V 0 tal qu ū T V K V ūv = 0. Entoncs ū T K ū = 0 con ū 0. Lugo (vr l apartado antrior) ε T D ε = 0 = ε = 0, lo qu indica qu ninguna d las barras s dforma. Por tanto, los componnts d ū corrspondn a los d un moviminto d sólido rígido. Pro los componnts d ū corrspondints a los g.d.l. coaccionados son nulos, por lo qu (SI LA ESTRUCTURA ESTÁ CORRECTAMENTE MONTADA Y APOYADA), los movimintos d sólido rígido son imposibls, y por tanto ū V = 0 = CONTRADICCIÓN. Por tanto, K V s DEFINIDA POSITIVA.