Unidad Temática 3: Estadística Analítica. Unidad 9 Regresión Lineal Simple Tema 15

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1 Unidad Temática 3: Estadística Analítica Unidad 9 Regresión Lineal Simple Tema 15

2 Estadística Analítica CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE Indica la fuerza y la dirección de una relación lineal proporcional entre dos variables cuantitativas. Es decir, si los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los de la otra. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Aporta información de variables concomitantes, permitiendo expresar si existe una relación funcional entre ambas variables, el tipo de relación existente y llegar a conocer con que precisión se relacionan entre sí. Los métodos de regresión se usan para determinar la mejor relación funcional entre las variables (Ostle, 1970).

3 OBJETIVOS Correlación Lineal Permite determinar si dos variables se asocian entre sí y en que sentido se da dicha asociación. Regresión Lineal Si los valores de una variable pueden ser utilizados con el objeto de poder predecir los valores de la otra variable. Con el propósito de cubrir estos objetivos, tendremos que echar mano a algún tipo de función matemática: Función Lineal

4 Relación entre consumo de alimento balanceado y peso corporal en pollos. i Xi = Peso (lb) Yi = Consumo 105 Y Diagrama de dispersión 1 4,6 87,1 5,1 93,1 3 4,8 89,8 4 4,4 91,4 5 5,9 99,5 6 4,7 9,1 7 5,1 95, ,5 5 5,5 6 X 8 5, 99,3 9 4,9 93,4 10 5,1 94,4 Eje de Y = Consumo Eje de X = Peso Tomado: Steel & Torrie, (199) Cap. 10.

5 MÉTODO DE AJUSTE DE LA RELACIÓN Reconocida la dispersión que se configura en los datos observados, tendremos que buscar algún modelo o función que se ajuste a la variación observada. Para ello podemos echar mano al: ajuste por función lineal, cuadrática, logarítmica, etc. Con los datos que tienen un comportamiento aleatorio como los observados en el ejemplo del consumo de los pollos, estimaremos un modelo de ajuste por el Método de Regresión Lineal o ajuste de curvas, para ello utilizaremos el Método de los Mínimos Cuadrados.

6 MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones de los puntos observados con respecto a la recta. en la Recta ajustada, Y = a + bx, donde a y b se denominan coeficientes de regresión, la recta se llama recta de regresión, y la función es la ecuación de regresión. Ŷ = β 0 + β 1 X Para estimar los coeficientes de regresión, echaremos mano a la suma de los productos cruzados de las desviaciones de las observaciones respecto de sus medias.

7 CALCULO DE LOS COEFICIENTES Cálculo del coeficiente, pendiente de la recta ( 1 ): 1 xy = Cálculo de la suma de productos (covariancia): n x xy = ( X X )( Y Y ) Cálculo de la suma de cuadrados de la variable Xi, o variancia de X: x n = ( X X )

8 CALCULOS i Peso (X) (Xi X) (Xi X) Consumo (Y) (Yi Y) (Yi Y) S(xy) 1 4,6-0,38 0, ,1-6,48 41,99,464 5,1 0,1 0, ,1-0,48 0,304-0, ,8-0,18 0,034 89,8-3,78 14,88 0, ,4-0,58 0, ,4 -,18 4,754 1, ,9 0,9 0, ,5 5,9 35,046 5, ,7-0,8 0,0784 9,1-1,48,1904 0, ,1 0,1 0, ,5 1,9 3,6864 0, , 0, 0, ,3 5,7 3,718 1, ,9-0,08 0, ,4-0,18 0,034 0, ,1 0,1 0, ,4 0,8 0,674 0,0984 n = 10 X = 4,98 0 1,536 Y = 93, ,61 11,81 Eje de Y = Consumo de balanceado Eje de X = Peso corporal pollos R = 11,81 ( 135,61)( 1,536) = 0,818

9 CALCULO DE LOS COEFICIENTES Cálculo del coeficiente, pendiente de la recta: 11,81 = = 7,69 1 1,536 Cálculo de la ordenada al origen: Y + 1X X = = = = 93,56 ( 7,69*4,98) Y X Y = 55,6

10 Tablas: Cálculos Recta de regresión por Y-estimado i Yˆ = + 1X 0 i Yˆ = 55,6+ 7, 69X i Peso Xi Consumo (lbs) Yi 1 4,6 87,1 90,634 5,1 93,1 94, ,8 89,8 9,17 4 4,4 91,4 89, ,9 99,5 100, ,7 9,1 91, ,1 95,5 94, , 99,3 95,48 9 4,9 93,4 9, ,1 94,4 94,479 n = 10 X = 4,98 Y = 93,56 Ŷ

11 Gráfico: Diagrama de dispersión 105 Y = a + bx Ŷ = X ,5 5 5, Recta de regresión: es una línea recta que pasa a través de los puntos que minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias entre los datos reales y los puntos ajustados. Modelo lineal ajustado 100 Ŷ = 55,6 + 7,69X ,5 5 5,5 6

12 Consumo alim (g) MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Consumo de alimento en gallinas Peso (libras) El modelo de Regresión incluye un termino error aleatorio que lo llamaremos e : Y i = X i + e i e i = y i ( X i )

13 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE El ajuste de los parámetros de la ecuación de la recta de regresión fue el primer paso del análisis de los datos, ahora debemos indagar sobre su significación estadística de la siguiente manera: Cuán bueno es el ajuste de la recta? Esto equivale a estimar con que grado de certidumbre puedo predecir Y en función de X. El valor de 1 es realmente distinto de cero? Lo cual equivale a preguntarse si el valor obtenido se debe simplemente a un error de muestreo o que Y cambia en función de X. Qué grado de confianza puedo otorgarle a una estimación de un valor desconocido de Y a partir de X usando los parámetros de la regresión ajustada?

14 Cuanto mayor sea la diferencia entre los valores observados y estimados, peor será el ajuste del modelo y menor la confianza de las estimaciones realizadas Y = 55,63 + 7,69 X Cómo definimos cuál de todos es el mejor modelo ,5 5 5, Y = 55,63 + 7,69 X 105 Y = 55,63 + 7,69 X ,5 5 5, ,5 5 5,5 6

15 El poder predictivo del modelo estará dado por la mayor o menor proporción de variabilidad total explicada por el modelo. Debemos descomponer la variabilidad total en explicada y residual. ( Y Y ) = ( Yˆ Y ) + ( Y Yˆ ) i Al ser todos desvíos, la suma da 0, por lo que se transforman en cuadrados. ( ) ( ) Y Y = Yˆ Y + ( Y Yˆ ) i i SC Total SC Explicada SC Residual i

16 Cálculos que se hicieron para estimar R i Peso (X) (Xi X) (Xi X) Consumo (Y) (Yi Y) (Yi Y) S(xy) 1 4,6-0,38 0, ,1-6,48 41,99,464 5,1 0,1 0, ,1-0,48 0,304-0, ,8-0,18 0,034 89,8-3,78 14,88 0, ,4-0,58 0, ,4 -,18 4,754 1, ,9 0,9 0, ,5 5,9 35,046 5, ,7-0,8 0,0784 9,1-1,48,1904 0, ,1 0,1 0, ,5 1,9 3,6864 0, , 0, 0, ,3 5,7 3,718 1, ,9-0,08 0, ,4-0,18 0,034 0, ,1 0,1 0, ,4 0,8 0,674 0,0984 n = 10 X = 4,98 0 1,536 Y = 93, ,61 11,81 Eje de Y = Consumo de balanceado Eje de X = Peso corporal pollos R = 11,81 ( 135,61)( 1,536) = 0,818

17 R = SC Explicada SC Exp + SC Res Valores observados Valores estimados R = SC Regresión SC Total Residuales SC Residual Desviaciones explicadas 90,8 90,8 + 44,8 SC Explicada X i Y i Ŷ (Yi Ŷ) (Yi Ŷ) (Ŷ - ỹ) (Ŷ - ỹ) 4,6 87,10 90,634 3,534 1,5 -,96 8,6 5,1 93,10 94,479 1,379 1,9 0,919 0,8 4,8 89,80 9,17,37 5,6-1,388 1,9 4,4 91,40 89,096 -,304 5,3-4,464 19,9 5,9 99,50 100,631 1,131 1,3 7,071 50,0 4,7 9,10 91,403-0,697 0,5 -,157 4,7 5,1 95,50 94,479-1,01 1,0 0,919 0,8 5, 99,30 95,48-4,05 16,4 1,688,8 4,9 93,40 9,941-0,459 0, -0,619 0,4 5,1 94,40 94,479 0,079 0,0 0,919 0,8 4,98 93,56 935, ,8 0 90,8 ( ) R = 0,67o 67% Yˆ Y R ( ) Yˆ Y + ( Y Yˆ ) R = = i

18 Coeficiente de determinación: Expresa la parte proporcional de la varianza total de la variable dependiente que es explicada por la variable independiente ajustada de acuerdo a la regresión. El 67% de la variabilidad del consumo de alimento puede explicarse por las variaciones en el peso de los animales. El 33% restante es variación residual.

19 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE El valor de b es realmente distinto de cero? Lo cual equivale a preguntarse si el valor obtenido de la pendiente de la recta se debe simplemente a un error de muestreo o por el contrario a que Yi cambia en función de Xi. Por lo tanto necesitamos confrontar la hipótesis nula de que b es igual a cero contra la alternativa que es distinta de cero. Ho) b = 0 H 1 ) b ǂ 0

20 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE El estadístico de prueba adecuado para la hipótesis nula será: t = 1 S 0 1 Si el t calculado a partir de los datos de la muestra es mayor que el valor de tabla para t (n-) se rechaza la hipótesis nula y se concluye que b es distinto de cero, por lo que hay una pendiente. Ahora tendremos que investigar el error estándar de 1 S 1 = n i= 1 S ( X residual i X ) S res ( Y ˆ i Yi ) = n Variancia de los residuales

21 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Cálculo del Error Estándar de la pendiente: S 1 = 44,8 ( 10 ) 1,536 = 1,91 En el ejemplo de los pollos, tenemos el siguiente resultado para la prueba de hipótesis de la significación estadística de 1 y su intervalo de confianza: t 7,69 0 = = 4, ( p 1, ) Conclusión: se rechaza la hipótesis nula, por lo que se confirma que la pendiente de la recta es distinta de cero.

22 Intervalo de confianza para b IC= ß 1 ± t. S ß1

23 Qué grado de confianza puedo otorgarle a una estimación de un valor desconocido de Y a partir de X usando los parámetros de la regresión ajustada? Ŷ = 55,6 + 7,69X Ŷ = 55,6 + 7,69 (5)= 93,71 Intervalo de Confianza para Ŷ IC Ŷ = Ŷ ± t. S Ŷ donde S Ŷ = S res 1.+ (X i X). n Σ(X i X)

24 REGRESIÓN LINEAL CON INFOSTAT

25 REGRESIÓN LINEAL CON INFOSTAT

26 REGRESIÓN LINEAL CON INFOSTAT

27 REGRESIÓN LINEAL CON INFOSTAT

28 REGRESIÓN LINEAL CON INFOSTAT

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31 Regresión Lineal Conceptos importantes a ESTUDIAR y APRENDER 1. Variables independiente y dependiente.. Diagrama de dispersión 3. Función o modelo lineal 4. Función de Regresión Lineal Simple 5. Cálculo del error, el método de los mínimos cuadrados 6. Coeficiente de regresión o pendiente de la recta ( 1 ) 7. Ordenada al origen ( 0 ) 8. Concepto de la Recta de Regresión 9. Coeficiente de Determinación.