LIII OME - SEGUNDA PRUEBA FASE LOCAL, COMUNIDAD DE MADRID =

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José Antonio Álvarez Moreno
hace 5 años
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1 LIII OME - SEGUND PUE FSE LOCL, COMUNIDD DE MDID 1 de diciembre de El producto de dos números del conjunto {1,, 3,..., 6} es igual a la suma de los restantes. Encuentra dichos números. La suma de los 6 números del conjunto es igual a = Sean a y b los números buscados, entonces 7 6 = 351. a b = 351 a b a + b + a b + 1 = 35 (a + 1)(b + 1) = 35. hora bien, 35 se puede escribir como 35 = 16, no habiendo otra descomposición en dos factores, de manera que ambos estén entre y 7. Por tanto, los números buscados son 15 y 1.. Un capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. (Por ejemplo, 33 o 19591). Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor capicúa, si ambos son de cinco cifras y múltiplos de 45? l ser múltiplos de 45, lo son de 5 y de 9. Como son de cinco cifras y no pueden empezar por 0, los números empiezan y acaban por 5. Por otro lado, al ser múltiplos de 9, la suma de sus cifras también lo debe ser. Con estas observaciones vemos que el menor de los capicúas es y el mayor Su diferencia es, por tanto, Dividimos el trapecio de la figura en cuatro triángulos trazando las diagonales. Si e Y son las áreas de los triángulos sombreados, obtén en función de e Y el área del trapecio. Y Nombremos los vértices del trapecio, así como el punto de corte de las diagonales, según la siguiente figura. P Q Y b O a S

2 Hemos denotado por y el área de los triángulos OP S y OQ y por a y b las longitudes de los segmentos OS y OQ. Con esta notación, fijémonos en los triángulos OP S y OP Q. mbos tienen la misma altura desde el vértice común P, por lo que sus áreas están en la misma proporción que sus bases, a y b, es decir Y = a b. nálogamente, aplicando el mismo razonamiento a los triángulos OS y OQ, resulta = a b. Por otra parte, los triángulos OP Q y OS son semejantes y la proporción entre sus lados homólogos es b/a. sí pues, la relación entre sus áreas viene dada por Y = a b. De las tres ecuaciones anteriores se deduce que = = Y y, por tanto, Área = + Y + Y = ( + Y ). 4. Considera las ecuaciones de la forma ax + bx + c = 0 en las que a, b y c son números primos de una sola cifra. En cuántas de estas ecuaciones hay al menos una solución entera? Las soluciones de la ecuación vienen dadas por b ± b 4ac. a Para que una de las soluciones sea entera, debe ser b 4ac 0 y además un cuadrado perfecto. Como a, b y c son primos de una cifra, solo pueden ser, 3, 5 o 7. Es decir, 4ac 16. sí pues, b = 5 o b = 7. Si b = 5, para que b 4ac sea un cuadrado tiene que ser 4ac = 16 o 4ac = 4. En el primer caso a = c = y entonces x = es solución entera. En el segundo caso hay dos posibilidades: a = y c = 3, con solución entera x = 1 y a = 3 y c =, con solución entera x = 1. Si b = 7, entonces 4ac = 4 o 4ac = 40. En el primer caso hay dos situaciones a considerar, a = y c = 3, con solución entera x = 3, y a = 3 y c =, con solución entera x =. En el segundo caso también hay dos posibilidades a = y c = 5, con solución entera x = 1, y a = 5 y c =, con solución entera x = 1. sí pues hay siete ecuaciones que cumplen el enunciado.

3 5. En una bolsa hay bolas rojas y bolas azules, en total menos de 016. Sabemos que la probabilidad de que al coger dos bolas (sin reemplazamiento) sean ambas del mismo color es 1. Cuál es el máximo número de bolas rojas que puede haber en la bolsa? Llamemos al total de bolas rojas que hay en la bolsa y al total de azules. La probabilidad de sacar dos bolas rojas, sin reemplazamiento, es igual a p = nálogamente, la probabilidad de sacar dos bolas azules será p = Entonces, la probabilidad de sacar dos bolas del mismo color es igual a p mc = p + p = Como esta probabilidad es 1 resulta ( 1) + ( 1) ( + )( + 1). ( 1) + ( 1) ( + )( + 1) = 1 ( ) = +. hora bien, + es el total de bolas que hay en la bolsa y no puede ser mayor de 016. Como + es un cuadrado perfecto, el más cercano es el de 44. Tomado + = 44 resulta + = 44 = 1936, = 44 = 990, = 946. sí pues, el máximo de bolas rojas es Los puntos de corte de la parábola y = x ax + a con el eje de abscisas tienen coordenadas enteras. Cuál es la suma de todos los valores posibles de a? Los puntos de corte con el eje de abscisas vienen dados por las soluciones de la ecuación es decir x ax + a = 0, x = a ± a 8a. Vemos que, para que sean enteras, es necesario que a 8a sea un cuadrado perfecto. hora bien a 8a = a 8a = (a 4) 16, por lo que a 4 = 4 o a 4 = 5, ya que si a 4 > 5 la expresión anterior ya no puede ser un cuadrado. Por tanto a = 8 o a = 9. En ambos casos las dos soluciones son enteras. sí pues la suma que nos piden es igual a 17. 3

4 7. El dibujo muestra dos circunferencias y dos rectas tangentes a ambas, siendo,, P y Q los puntos de tangencia. Si la longitud del segmento P Q es 14 y la del es 16, calcula el producto de los radios de las circunferencias. P Q Volvamos a dibujar la figura, girada y con algunos elementos auxiliares. P Γ' Γ O r N Q O' quí hemos denotado a la circunferencia pequeña, de centro O y radio r, por Γ, mientras que a la circunferencia grande, de centro O y radio, por Γ. simismo, hemos denotado por N el punto donde se cortan las dos rectas. Las tangentes a Γ y Γ desde N miden lo mismo, por lo que las longitudes de los segmentos N y QN son iguales y, análogamente, también son iguales las longitudes de los segmentos N y P N. Si llamamos x a la longitud de N, entonces, por las relaciones del enunciado, se tiene 14 + x = 16 x x = 1. Por otra parte, ON y O N son perpendiculares, por ser las bisectrices de las dos rectas y, en consecuencia, los triángulos ON y NO son semejantes, ya que O N ON y O N. Por tanto, de la relación de semejanza se tiene x r = 16 x r = 15. 4

5 8. En una circunferencia de centro O y diámetro marcamos un punto C (distinto de y ) desde el que trazamos la perpendicular al diámetro, al que corta en el punto D. Si M es un punto de la cuerda C tal que MO = 90 y D = 3 OM, calcula el ángulo ÂC. Hagamos un dibujo con los elementos que aparecen en el enunciado del problema. sí, tenemos la siguiente figura, donde la distancia OM la hemos tomado igual a uno, sin que ello suponga pérdida de generalidad. C M 1 x D O 3 Trazando la línea auxiliar C, vemos que el triángulo C es rectángulo y, por tanto, semejante al triángulo OM. Puesto que O = O, se tiene que M = CM. Si llamamos x a M y tenemos en cuenta que los triángulos OM y CD son también semejantes resulta 3 x = x, (1) siendo el radio de la circunferencia. Por otra parte, al ser rectángulo el triángulo OM, se tiene x + 1 =. () De (1) y () resulta =, x = 3, por lo que ÂC = Hay un único triángulo C para el que C = 14, cos = 4 5 inscrito es 4. Calcula el área de dicho triángulo. y el radio del círculo 5

6 Hacemos un dibujo del triángulo, con sus bisectrices (a trazos), el círculo inscrito y algunos elementos auxiliares. z z x 4 α / 4 α / x 4 y y C Es evidente que el área del triángulo es igual a 4(x + y + z), por lo que el problema se reduce a calcular z, ya que x + y = 14. Mediante la tangente del ángulo mitad resulta tan = 4 x = 1 cos 1 + cos = 1 3 x = 1. Como x + y = 14, entonces y =. Usando ahora el teorema del coseno (y + z) = (x + y) + (x + z) (x + y)(x + z) cos z = 8. Finalmente el área del triángulo es igual a 4(x + y + z) = Sean x, y, z números reales tales que: x 1 + y z 9 = x + y + z. Determinar el valor de x + y + 3z. Observemos que x x 1. En efecto, elevando al cuadrado y quitando denominadores se tiene x 4x 4 x 4x + 4 = (x ) 0. demás la igualdad se obtiene cuando x =. De manera análoga resulta y 4 y 4, z 6 z 9, obteniéndose la igualdad cuando y = 8 y z = 18. Por tanto, la igualdad x + y + z x 1 + y z 9 =, 6

7 se da cuando x =, y = 8 y z = 18, por lo que x + y + 3z = = 7. 7

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