9.11. Gráficas con poco

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1 9 - Gráficas con poco Gráficas con poco Asíntotas Las asíntotas son rectas a las que la curva tiende a unirse en situaciones especiales. Unas (verticales) tienen que ver con las discontinuidades de salto infinito, y otras (horizontales y oblicuas) con el comportamiento de la curva cuando o + Decimos que = a es una asíntota vertical de la curva y = f() cuando Decimos que y = k es una asíntota horizontal de la curva y = f() cuando a o a +f() = o + f() = k o + Decimos que y = m+n es una asíntota oblicua de la curva y = f() cuando al alejarnos con o + la recta y la curva tienden a unirse, es decir f() m+n para o + Para esos valores de muy alejados se tendrá (dividiendo por ) f() m+n = m+ n pero si tomamos ites n f() 0, luego ± = m Si este ite eiste tendremos asíntota oblicua, y como f() m+n n f() m f() Así y = m+n es una asíntota oblicua cuando ± = m y (f() m) = n ± Ejemplo con asíntotas vertical y horizontal. Ejemplo con asíntotas vertical y oblicua. En caso de funciones polinómicas no tendremos asíntotas de ningún tipo (razona por qué). En caso de funciones racionales: Habrá verticales en las raíces del denominador (que no lo sean del numerador, poco probable). Habrá horizontal y = 0 si gana el grado del denominador. Habrá horizontal y = k si empatan los grados. Habrá oblicua y = m+n si gana el grado del numerador por una unidad. Habrá rama infinita si gana el grado del numerador por dos (parabólica) o más unidades. En caso de funciones racionales con asíntota oblicua tenemos un truco especial: la división de polinomios.

2 22 c rafaselecciones Por ejemplo, si f()= con lo que perfectamente que y = +1 es asíntota oblicua, pues la epresión Este método es el más recomendable para las funciones racionales. 1 = (+1)+ 1 ; lo que ilustra 1 1 es despreciable cuando ± Esbozando gráficas Con muy pocos elementos podemos hacer un esbozo muy válido de la gráfica de cualquier función polinómica o racional. Estos son: Regionamiento. Cortes OX. Asíntotas verticales. Comportamiento en ±. Asíntotas horizontales u oblicuas. Posición de la curva respecto a las asíntotas horizontales y oblicuas. Esbozo. Para ilustrar un buen método de trabajo, un ejemplo: Ejercicios: 9.1). Esboza la gráfica de f() = 4 y = 4 = (+2)( 2) Marco regionamiento, asíntotas verticales y corte OX Considero la A.H. y = 0 y...esbozo. Se trata de una función racional con problemas en = 2 y = 2 donde va a tener discontinuidades de salto infinito y asíntotas verticales (puedes hacer los ites que lo justifican, pero son evidentes).

3 9 - Gráficas con poco. 23 El único cero (corte OX), lo tiene en = 0 (recuerda que un cociente se anula cuando se anula el denominador). Para estudiar el regionamiento(signo de f) descomponemos con cuidado numerador y denominador. Recordemos que una epresión racional sólo puede cambiar de signo cuando se anula el numerador (ceros) o cuando se anula el denominador (infinitos), puntos que corresponden a los cortes con el eje OX y a las asíntotas verticales. Comprobamos el signo en cada zona con un simple cálculo, y rayamos en nuestro sistema de ejes las zonas donde NO habrá gráfica. Para marcar los ceros del denominador, que como sabes corresponden a las asíntotas verticales puedes usar el triángulo de peligro o el no eiste (o ambos). Para ver el comportamiento en comenzamos con el ite + = 0 (pues gana el grado del 4 denominador), que nos informa de que y = 0 es asíntota horizontal. (Es importante tener en cuenta que en una función racional una asíntota horizontal (también la oblicua) lo es por ambos lados ±, por lo que basta para ellas estudiar el caso + ) Cuando dibujo la gráfica lo hago de izquierda a derecha y ojo! no olvidemos que la gráfica se pega siempre a sus asíntotas, y como solo hay gráfica en las regiones limpias ). Esboza la gráfica de y = 3 10 Se trata de una función racional con problemas en = 2 y = 5 donde va a tener discontinuidades de salto infinito y asíntotas verticales (puedes hacer los ites que lo justifican, pero son evidentes). El único cero (corte OX), lo tiene en = 0 (recuerda que un cociente se anula cuando se anula el numerador). Observa que es un corte doble lo que va a traducirse visualmente en tangencia sin cambio de signo en = 0. y = 3 10 = (+2)( 5) Domf = (, 2) ( 2,5) (5,+ ) Corte OX = 0, A.V. = 2 = A.H. y = 1 pues = 1 Por qué en (, 2) no elegimos la opción rayada más fácil? porque siempre comprobamos la posición respecto a las asíntotas: ( 10) 2 f( 10) = = 0,8333 < 1 por debajo) ( 10+2) ( 10 5) 10 2 f(10) = = 1,6666 > 1 por encima (10+2) (10 5) Ojo!, los trazos son esbozados, no tomamos valores. Como observarás la gráfica cortó a la asíntota horizontal. Eso es muy frecuente, la asíntota horizontal sólo eige que la función se pegue a ella cuando ±, en las otras zonas, se traen sin cuidado. En una asíntota vertical no hay gráfica, la función se parte alejándose hacia o + para volver desde o +.

4 24 c rafaselecciones 9.3). Esboza la gráfica de y = 3 3 Se trata de una función polinómica, por tanto no tiene problemas (Domf = R) de ningún tipo, y LAS FUNCIONES POLINÓMICAS NO TIENEN ASÍNTOTAS.Tiene,comoyavimosenelcapítulode ites, ites infinitos en ±, por lo que decimos que tiene ramas infinitas. y = 3 3 = ( 3) 0 3 Domf = (,+ ) = R Cortes OX = 0, (doble) = 3 Los signos de los ites ± los determina el regionamiento. 9.4). Esboza la gráfica de y = Se trata de una función polinómica, por tanto no tiene problemas (Domf = R) de ningún tipo, no tiene asíntotas. Tiene ramas infinitas. y = = ( 16) = (+2)( 2) Domf = (,+ ) = R Cortes OX = 0, (doble) = 3 Los signos de los ites ± los determina el regionamiento. 9.5). Esboza la gráfica de y = +2 2 Se trata de una función racional, continua a trozos, con problemas en = 0 y = 2, donde tiene discontinuidades de salto infinito y por tanto asíntotas verticales. y = +2 = +2 ( 2) Domf = (,0) (0,2) (2,+ ) Cortes OX = 2 A.V: = 0, = = 0 A.H. y = 0

5 9 - Gráficas con poco ). Esboza la gráfica de y = Se trata de una función racional con problemas en = 1 donde tendrá una discontinuidad de salto infinito y asíntota vertical. Domf = (,1) (1,+ ) = R {1}. Cortes OX = 0, (doble). Como el denominador gana en grado por 1 tendremos A.O. y = = 2( 1) ,5 0, ,5+0,5 Posición respecto a la asíntota: Asíntota oblicua y = 0,5+0,5 ( 10) 2 f( 10) = 2 ( 10) 2 = 4,545 y( 10) = 0,5 ( 10) + 0,5 = 4,50 curva por debajo de la asíntota cuando 10 2 f(10) = = 5,55 y(10) = 0, ,5 = 5,50 curva por encima de la asíntota cuando + 9.7). Esboza la gráfica de y = 22 Se trata de una función racional sin problemas pues su denominador + 1 no se anula nunca. Consecuencia: gráfica continua (de un sólo trazo) sin asíntotas verticales. Domf = R. Cortes OX = 0, (doble). Además coinciden los grados de numerador y denominador, luego vamos a tener asíntota horizontal: + 2 = 2 asíntota horizontal y = 2 +1 Regionamiento y = 22 Posición respecto a la asíntota: f( 7) = 2 ( 7)2 ( 7) 2 +1 = 1,96 < 2 f(7) = = 1,96 < 2 Siempre por debajo! 0 9.8). Esboza la gráfica de y = 2 Se trata de una función racional sin problemas pues su denominador + 1 no se anula nunca. Consecuencia: gráfica continua (de un sólo trazo) sin asíntotas verticales. Domf = R. Cortes OX = 0. Además, como el grado del denominador supera al del numerador 2 vamos a tener y = 0 asíntota horizontal: + = 0 Regionamiento y = 2 0 Posición respecto a la asíntota: f( 7) = 2 ( 7) ( 7) 2 = 0,28 < 0 aquí, por debajo. +1 f(7) = = 0,28 > 0 aquí por arriba. +1

6 26 c rafaselecciones 9.9). Esboza la gráfica de y = Se trata de una función racional, continua a trozos, con problemas cuando 4 = 0, es decir en = 2 y = 2 donde va a presentar discontinuidades pero.. atención! será de salto infinito y habrá asíntota vertical en = 2, pues en = 2 el problema es diferente, ya que se anulan al mismo tiempo denominador y numerador; hemos de calcular el ite: Domf = (, 3) ( 3, 1) ( 1,+ ). Cortes OX = 0 y = 2. Además coinciden los grados de numerador y denominador y 2 + = 1 luego tenemos y = 1 asíntota horizontal. 4 2 [ ] = pero descomponiendo 0 ( 2) 2 (+2) ( 2) = = 1 4 en = 2 hay discontinuidad evitable (agujero). Es práctico considerar y = +2 si 2 pues = ( 2) (+2) ( 2) Regionamiento y = Posición respecto a la asíntota horizontal: 9.10). Esboza la gráfica de y = f( 7) = 7 = 1,4 > 1 por encima! 7+2 f(7) = 7 = 0,77 < 1 por debajo! 7+2 te recuerdo que el dibujo es sólo un esbozo. Se trata de una función racional, continua a trozos, con problemas cuando = 0, es decir en = 3 y = 1 donde va a presentar discontinuidades de salto infinito, y a tener asíntotas verticales (puedes comprobar los ites). Dom f = (, 3) ( 3, 1) ( 1, + ). Cortes OX = 0 y = 2. Además coinciden los grados de numerador y denominador, luego vamos a tener asíntota horizontal = 1 y = 1 asíntota horizontal Regionamiento y = ( 2) (+1)(+3) Posición respecto a la asíntota horizontal: 7( 7 2) f( 7) = = 2,625 > 1 por encima! ( 7 +1)( 7 +3) 7(7 2) f(7) = = 0,4375 < 1 por debajo! (7+1)(7 +3) te recuerdo que el dibujo es sólo un esbozo, no damos valores. En la página siguiente, sin que sirva de precedente por el gasto de papel, tienes la gráfica real de

7 9 - Gráficas con poco. 27 la función a mayor tamaño dibujada por ordenador, para que los valores reales entren en el gráfico. Verás que nuestro esbozo es bastante fiel. A veces, una buena solución a estos problemas es cambiar la escala del eje vertical para poder introducir valores muy pequeños o muy grandes. 9.11). Esboza la gráfica de y = Se trata de una función racional sin problemas pues su denominador ++1 no se anula pues sale = 1± Consecuencia: gráfica continua (de un sólo trazo) sin asíntotas verticales. 2 1 Domf = R. Cortes OX = 1 y = 2. Además, como el grado del denominador iguala al del 2 numerador vamos a tener + = 1 luego y = asíntota horizontal. ++1

8 28 c rafaselecciones 9.12). Esboza la gráfica de y = (+3)( 1) (+2)(+1)( 2) Regionamiento ojo ++1 es siempre + (+1)( 2) Posición respecto a la asíntota: f( 7) = ( 7)2 ( 7) 2 ( 7) 2 = 1,25 < 0 aquí por encima. +( 7)+1 f(7) = = 0,7 < 0 aquí por abajo Se trata de una función racional, continua a trozos, con problemas en = 2, = 1 y = 2 donde va a presentar discontinuidades de salto infinito, y a tener asíntotas verticales. Domf = (, 2) ( 2, 1) ( 1,2) (2,+ ). Cortes OX = 3, = 0 y = 1. Además coinciden los grados de numerador y denominador, luego vamos a tener asíntota horizontal y va a ser y = 1 pues y = (+3)( 1) y = (+2)(+1)( 2) El regionamiento es indispensable. 9.13). Esboza la gráfica de y = (+3)(+1)( 1) (+2)( 2) Se trata de una función racional, continua a trozos, con problemas en = 2, = 0 y = 2 donde va a presentar discontinuidades de salto infinito, y a tener asíntotas verticales. Domf = (, 2) ( 2,0) (0,2) (2,+ ). Cortes OX = 3, = 1 y = 1. Además coinciden los grados de numerador y denominador, luego vamos a tener asíntota horizontal y va a ser y = 1 pues y = y = (+3)(+1)( 1) (+2)( 2) El regionamiento es indispensable Refleiones importantes sobre las asíntotas Ya hemos comentado que las funciones polinómicas no tienen asíntotas de ningún tipo, siempre P() = ± ±

9 9 - Gráficas con poco. 29 En el caso de funciones racionales, por los ites que hemos estudiado, si hay asíntota horizontal u oblicua por un lado también la hay por el otro, así que basta el estudio cuando + Las asíntotas horizontal y oblicua por el mismo lado son obviamente incompatibles en cualquier función. Paraotrasfunciones más especialesdeberemossepararlos estudios y + pues pueden dar lugar a asíntotas distintas por cada lado. El próimo curso estudiaremos funciones como y = e o y = + que dan problemas de este tipo quieres intentar atacarlas ya? Ejercicios: Armado de estos básicos elementos: Cortes, regionamiento y asíntotas. Esboza las gráficas de: 9.14). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ). f() = ( 2)( 1)( 3) (+1)(+2)