Conceptos Preliminares

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Emilia Calderón Juárez
hace 5 años
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1 Conceptos Preliminares Igualdad de matrices Definición: Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales. Estas matrices cumplen con la regla, por lo que A = B. Determina si las siguientes matrices son iguales. Adición de matrices Definición: Se obtiene una matriz suma sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición, solamente si son del mismo orden. Propiedades: Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. Asociativa:

2 A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A Donde 0 es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto: A + ( A) = 0 La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Conmutativa: A + B = B + A Sumar las siguientes matrices: Multiplicación de un escalar y una matriz Definición: Un solo número real (que equivale a una matriz 1 x 1) se denomina escalar en las operaciones del álgebra matricial. Cuando una matriz se multiplica por un escalar, cada elemento de la matriz queda multiplicado por ese escalar (que es una constante).

3 Multiplicación de matrices Definición: Cuando un vector fila 1 x n multiplica a un vector columna n x 1, el resultado es un escalar al que se le denomina producto interior de los dos vectores, y su valor es la suma de los productos de los componentes de los vectores. Dos matrices se pueden multiplicar entre sí sólo si el número de columnas en una de ellas es igual al número de filas en la otra. En particular, la matriz producto AB está definida solamente si el número de columnas en A es el mismo que el número de filas en B; en este caso se dice que las matrices A y B son compatibles ante la multiplicación, y la matriz producto tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. Así, una matriz m x n se puede multiplicar con una matriz n x p para obtener una matriz m x p.

4 A*D = B*E = X*Y = Matrices singulares Definición: Matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero. Una matriz singular no tiene matriz inversa. Determinante de A = (3*4) (2*6) = 0 A es singular. Matrices no-singulares (también conocidas como invertibles) y sus propiedades de matrices no-singulares. Definición: una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A 1, tal que

5 AA 1 = A 1A = In, Donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Propiedades La inversa de una matriz, si existe, es única. La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden: Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir: Y, evidentemente: Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad: Donde es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A.

6 Como AB = BA = I, A y B son invertibles o matrices no singulares, ya que son la inversa de la otra. Transpuesta de una matriz. Definición: La transpuesta de una matriz m-por-n A es la matriz n-por-m A T (algunas veces denotada por A t ) formada al intercambiar las filas y columnas. Propiedades: La transposición de matrices tiene las siguientes propiedades:

7 Determinantes. Definición: El concepto de determinante está asociado a una matriz cuadrada. Si es una matriz 2 x 2 se define el determinante de la matriz A, y se expresa como det(a) o bien A, como el número: Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue: Así, el determinante de una matriz 1 x 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = a11 = a11. Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue: a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 +a 21 a 32 a 13 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 - a 32 a 23 a 11

8 Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos: Sea A = (a nn ) una matriz de orden arbitrario n x n (siendo n un número par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera: Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante. Es decir:

9 Ejemplos: Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. Así pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.

10 Bibliografía:

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