Tema 3 Medidas de dispersión para datos no agrupados

Transcripción

1 Tema 3 Medidas de dispersión para datos no agrupados Estas medidas pueden completar la información que aportan las medidas de tendencia, acerca de un grupo de datos. En tal sentido, habrá que considerar los siguientes aspectos: Las medidas de dispersión pueden ser usadas para mostrar el grado de variación entre los valores de un grupos de datos, es decir, mientras las medidas de tendencia muestran a qué valor se parecen o tienden los valores de un grupo de datos, las medidas de dispersión muestran qué tanto varían estos datos entre sí, es decir, una medida de dispersión pequeña, muestra que, entre sí, los valores varían poco, por su parte, una dispersión grande, indica que, entre sí, los valores difieren mucho, lo cual haría difícil estimar el valor futuro de los dichos datos. Por otro lado, pueden ser usadas para completar la información que proporciona cualquier medida de tendencia al intentar describir un grupo de datos o comparar dos o más grupos de datos. Cuando la dispersión es baja, el valor del promedio se hace muy significativo o muy representativo, y viceversa. Por ejemplo, la media del grupo de números 1, 2 y 12 es 5, y como se ve ninguno de los valores es siquiera cercano al 5 y como puede apreciarse su

2 dispersión es alta, es decir, los datos entre ellos no son nada similares. La media de un segundo grupo de valores formado por 4, 5 y 6, también es 5, sin embargo su dispersión es muy baja, por lo que la media 5 adquiere una mayor significancia dada la dispersión tan baja. Las medidas de dispersión pueden ser expresadas en valor absoluto o en valor relativo. El recorrido o rango, la desviación media, estándar y cuartílica están dadas en términos absolutos y son convenientes para describir la dispersión de un solo conjunto de valores. En cambio, si dos conjuntos de datos están siendo comparados, estas medidas de dispersión son pertinentes si los dos grupos son aproximadamente del mismo tamaño y las unidades de medida son iguales. Si se trata de conjuntos de datos claramente diferentes, digamos tratar de comparar las medias y la dispersión absoluta de edades entre un grupo de alumnos de primaria y un grupo de alumnos de la universidad, no tiene sentido, sin embargo, comparar su dispersión relativa si puede hacerse; para ello, existen medidas de dispersión tales como: los coeficientes de: variación, de recorrido, de desviación media y de desviación cuartílica, las cuales expresan la dispersión intrínseca en un grupo de datos. Obviamente, una medida de este tipo para un solo grupo de datos, sin que se compare con otro tampoco tiene sentido. Enseguida se describirán estas medidas, podrás comprobar tus fórmulas y su empleo con los ejemplos que se dan a continuación de cada tema y se establecerán los procedimientos para su obtención; primero, para datos no agrupados y después para datos agrupados Rango o recorrido para datos no agrupados Es la diferencia entre los valores más alto y más bajo incluidos en el grupo de datos. Si fórmula es muy simple:

3 Ejemplo: Cálculo de Rango o Recorrido Rango modificado o Rango Intercuartílico para datos no agrupados Es un rango que se construye eliminando algunos de los valores extremos de cada una de las porciones finales de una distribución. Por ejemplo, el 50% central es el rango entre los valores en el Primer Cuartil y el Tercer Cuartil, en otras palabras es el rango entre el Primer y el Tercer Cuartiles del grupo de datos. Su fórmula es: Ejemplo: Cálculo intercuartílico

4 2.3.3 Desviación cuartílica Cuando el rango modificado o intercuartílico se divide entre 2, este cociente se llama desviación intercuartílica o semirecorrido intercuartílico y su fórmula es: Desviación media absoluta para datos agrupados Las medidas anteriores utilizan solamente los datos que están ubicados en cierta posición, por su parte, la desviación media utiliza para su cálculo a todos los valores del grupo de datos. Se determina mediante la media aritmética de las desviaciones de los valores individuales con respecto al promedio de los datos. Para este cálculo, se usan los valores absolutos de las desviaciones, porque la suma de las diferencias positivas y negativas siempre es igual a cero, en otras palabras, se ignoran los signos positivos y negativos. La fórmula respectiva queda entonces:

5 Donde: x = la desviación de cada valor con respecto a la media aritmética Varianza y Desviación estándar para datos no agrupados La varianza es muy parecida a la desviación media ya que se basa en la diferencia entre cada valor del conjunto de datos y la media del grupo. Pero se distingue de ella en que cada diferencia se eleva al cuadrado antes de sumarse, es decir, los signos positivo y negativo de las desviaciones individuales son tomados en cuenta. Es importante mencionar que para una muestra, la varianza se simboliza con s 2 y para una población se simboliza con σ 2. También se debe aclarar que la fórmula para calcular la varianza de una población y de una muestra son, como puede apreciarse enseguida, ligeramente distintas: Para una población: Para una muestra: Donde: N es el tamaño de la población y n el tamaño de la muestra

6 Como es difícil interpretar el significado del valor de la varianza dado que las unidades que resultan están elevadas al cuadrado, es más frecuente utilizar su raíz cuadrada, con lo que se obtiene la medida de dispersión llamada desviación estándar y cuyas fórmulas respectivas para población y muestra se encuentran enseguida: Para una población: Para una muestra: Ejemplo: Cálculo de varianza y desviación estándar para datos no agrupados

7 2.3.6 Medidas de Dispersión relativa para datos agrupados Las medidas de dispersión mostradas hasta aquí son las llamadas absolutas, es decir, son las adecuadas para describir la dispersión de un solo conjunto de datos. Sin embargo, como se estableció antes, si se tuviera que comparar dos o más conjuntos de datos, estas medidas solamente son pertinentes si los dos grupos son de tamaño parecido, las unidades de medida de ambos conjuntos son las mismas y si la característica que se mide tienen una relación claramente significativa. (No tendría mucho sentido, comparar las ventas de un pequeño negocio local contra las ventas de una trasnacional). Pues bien, cuando tengas que realizar comparaciones significativas se puede utilizar cualquiera de las siguientes medidas de dispersión llamada, por esta razón, relativa. En otras palabras, la dispersión relativa se refiere al hecho de medir la variación de un grupo de datos contra la totalidad de dichos datos y, puede determinarse mediante el cociente de una medida de dispersión dividida entre el promedio con respecto al cual las desviaciones fueron medidas, para después calcular la misma medida de dispersión del otro grupo de datos, para finalmente, hacerla comparación y obtener la conclusión respectiva. Las siguientes son las medidas de dispersión relativa más usadas: Coeficiente de variación Coeficiente del recorrido Coeficiente de la desviación media

8 Coeficiente de la desviación cuartílica Ejemplo: Cálculo Medidas de Dispersión relativas

9 Actividad Preliminar 3: (Recuerda que estas actividades son opcionales y será tu asesor quien defina aquellos que serán evaluados en tu curso. Sin embargo te recomiendo que las realices para verificar efectivamente el nivel de aprendizaje logrado) No. Problema Cara el siguiente grupo de datos: 26.5, 27.5, 25.5, 26.0, 27.0, 23.4, 25.1, 26.2, 26.8 Calcular: 1 a) El rango o recorrido b) La desviación media c) La desviación estándar d) La varianza e) La desviación cuartílica f) El coeficiente de variación g) El coeficiente de recorrido h) El coeficiente desviación cuartílica i) El coeficiente de desviación media Los datos siguientes representan los clientes atendidos los últimos 20 días en la sucursal Centro de la Farmacia del Gasto: 340, 240, 330, 240, 325, 240, 240, 305, 240, 300, 240, 290, 240, 280, 240, 280, 255, 265, 255, Calcular: a) El rango b) Desviación media c) Varianza muestral d) Desviación estándar muestral e) Coeficiente de variación En la misma empresa del ejercicio anterior, la cantidad promedio de clientes atendidos en la sucursal Sur es de 730 con desviación estándar de 45, a) Calcula el Coeficiente de variación de esta sucursal b) Compara este resultado con el del inciso e) del ejercicio anterior y obtén una conclusión