(a+1)x+ay=3 (a+1)x+(a+1)y+(a+2)z=1 (a 2 +a)x+(a 2-1)y+(a 2-2a-8)z=2a+5. a 1. a+1. a+2 a 2-2a a+5 ~1 0. a=-1

Transcripción

1 EXTRAORDINARIO DE 4. PROBLEMA A. Estudi l siguint sistm d uions linls dpndint dl prámtro rl y rsuélvlo n los sos n qu s omptil: Aplimos l método d Guss: ~ (+)+y3 (+)+(+)y+(+)z ( +)+( -)y+( --8)z ~ Estudimos los distintos sos: º) Si -, l sistm s inomptil: ~ (3 PUNTOS) (+)(-3) -, º) Si -, l sistm s inomptil: ~5-3 - ~ - 3 3º) Si 3, l sistm s omptil indtrmindo y l soluión dpnd d un prámtro: y3 3/4-3α/4 y+5z- 43-3y 5z--y yα z-/5-α/5 4º) En los dmás sos l sistm s omptil dtrmindo: (+)+y3 y+(+)z- ( --6)z-+3 z (-3) (+)(-3) z - + y--(+)z--(+) y- +3 (+)3-y3+ + ª-ª; 3ª- ª. 3ª+ª. 3 Como no s pud dividir por ro, tnmos qu lulr los vlors dl prámtro qu nuln los oiints d ls inógnits qu tnmos qu dspjr lugo (so 4º). 4 Dsomponmos n tors l primr mimro d l uión. 5 ª+ª; 3ª /4. --

2 EXTRAORDINARIO DE 4. PROBLEMA A. Los puntos P(-,3,), Q(-,,4) y R(,5,) son vértis d un rtángulo. Enuntr l urto vérti. ( PUNTOS) Avrigumos l posiión rltiv d los vértis dl rtángulo: Por tnto: [QP ] [QR ](-,,-) (3,3,-3) [PQ ] [PR ](,-,) (4,,-)4-- P(-,3,) Q(-,,4) M R(,5,) S(,y,z) A ontinuión pud sguirs uno d los siguints métodos: PRIMER MÉTODO: [RS ][PQ ] (-,y-5,z-)(,-,) - y-5- z- 3 y4 z3 SEGUNDO MÉTODO: [PS ][PQ ]+[PR ] (+,y-3,z-)(,-,)+(4,,-) (+,y-3,z-)(5,,) +5 y-3 z- 3 y4 z3 TERCER MÉTODO: Si M s l ntro dl rtángulo, omo s l punto mdio dl sgmnto QR, sus oordnds son: M(/,7/,5/). Como M s tmién l punto mdio dl sgmnto PS, s tin: - / y+3 7/ z+ 5/ - y+37 z+5 3 y4 z3 --

3 EXTRAORDINARIO DE 4. PROBLEMA A3. Clul l drivd d d un d ls siguints unions y simplii l prsión rsultnt: ()ln - + g() os ( PUNTOS) ) ()ln - + ln - + [ln(-)-ln(+)] '() (-)(+) * * * Tmién pud lulrs dirtmnt: '() ' - - ' (+) (+) (-) (+) (-) ) Aplimos l método d drivión logrítmi: g() os g'() g() os ln g() ln -sn (ln os -ln )+ os - ln g() (ln os -ln ) g'() g() ln os - tg - g'()- os + tg -ln os * * * Tmién pud lulrs dirtmnt: g() os ln os (ln os -ln ) g'() (ln os -ln ) [ (ln os -ln )]' os ln os ln os os + -sn os - - tg - - os + tg -ln os Por ls propidds d los logritmos. -3-

4 EXTRAORDINARIO DE 4. PROBLEMA A4. Dd l unión ()(-) -4+5 os π 5 + π, dmustr qu ist un vlor α (,3) tl qu '(α). Mnion l rsultdo tório mpldo y justii su uso. (3 PUNTOS) El dominio d l unión s R: Drivmos l unión : +(-) ± '() Por tnto, Dom(')Dom()R os π 5 + π os π 5 + π -(-) * * * -4+5 sn π 5 + π π Como l unión stis ls ondiions dl torm d Roll n l intrvlo [,3], ist α n (,3) tl qu '(α). En to: ª) ()(3): ()- os π 5 + π - os 5 -sn π π 5 π sn 5 (3) os π 5 + 3π π os 5 -sn π 5 (-) π sn 5 ª) s ontinu n [,3] por sr drivl n R. 3ª) s drivl n (,3) por srlo n R. -4-

5 EXTRAORDINARIO DE 4. PROBLEMA B. Sindo qu l dtrminnt d l mtriz A vl, hll l vlor dl dtrminnt d l mtriz B: A d g h k B g h k -d - - ( puntos) g B h k -d g - - h k -d g - - h k -d g h - k d 4 g h k d 5 - d g h k 6 d - g h k - A - - ª /. 3ª-ª. 3 3ª (-). 4 ª ª. 5 ª 3ª. 6 El dtrminnt d un mtriz oinid on l d su trspust. -5-

6 EXTRAORDINARIO DE 4. PROBLEMA B. Enuntr l uión ontinu d l rt r qu ort prpndiulrmnt ls rts: s -y+z-3 t +y-z+ 3 y+3 - z- PRIMER MÉTODO: (3 PUNTOS) Clulmos primro ls uions prmétris y ls dtrminions linls d ls rts: -y+z3 s +y-z- -y+z3 3+y z3-+y y-3 z3-+-3 y-3 z5-5 y-3 α y-3α z5-5α t 3 y+3 - z- 3β β y-3-β z+β P(,,5) u (,-3,-5) Q(,-3,) v (3,-,) u P r s X Y Q v t Por str l punto X n l rt s: X(α,-3α,5-5α). Por str l punto Y n t: Y(3β,-3-β,+β). Por tnto: [XY ](-α+3β,-5+3α-β,-4+5α+β). Como [XY ] s prpndiulr u (,-3,-5) y v (3,-,): [XY] u [XY ] v -α+3β+5-9α+3β+-5α-5β -3α+9β+5-3α+β-4+5α+β -384β -α+β- β α 3-35α+β-35 -α+β- X(,-,) Y(,-3,) [XY - ](-,-,) r - y+ - z A l sgund uión l sumo l primr. A l primr uión l rsto 35 vs l sgund. 3 Si los puntos X Y oinidn, so signii qu ls rts s y t s ortn n diho punto. En s so, l rt usd ps por s punto y tin por vtor dirionl l produto vtoril d los vtors dirionls d ls rts s y t. Si l sistm s omptil indtrmindo, s trt d dos rts prlls (los vtors dirionls d r y s t hrán slido olinls), y ntons hy ininits soluions. -6-

7 SEGUNDO MÉTODO: Igul qu nts, lulmos primro ls uions prmétris y ls dtrminions linls d ls rts: -y+z3 s +y-z- -y+z3 3+y z3-+y y-3 z3-+-3 y-3 z5-5 y-3 α y-3α z5-5α t 3 y+3 - z- 3β β y-3-β z+β P(,,5) u (,-3,-5) Q(,-3,) v (3,-,) r X s u P π Y π' Q v t Como los vtors u y v son prpndiulrs l rt r, un vtor dirionl d ést s w -(u v )/8 (,,-): i u v 3 j -3 - k -5-8i -6j +8k Por tnto, l uión dl plno π (dtrmindo por P, u y- -3 y w ) s: z (y-)+5(z-5) 3-4y+8+5z-5-3-4y+5z7 Como l punto Y stá n l rt t: Y(3β,-3-β,+β). Como l punto Y stá n l plno π, stis su uión: 39β-4(-3-β)+5(+β)7 39β++4β+5+5β7 48β β Y(,-3,) Por tnto: r y+3 z- - A l sgund uión l sumo l primr. En lugr d lo qu sigu, s podrí lulr l uión dl plno π'. L rt r srí ntons l intrsión d los plnos π y π'. -7-

8 EXTRAORDINARIO DE 4. PROBLEMA B3. Dd l unión () +-, dmustr qu ist un vlor α (,) tl qu '(α)-. Mnion l rsultdo tório plido y justii su uso. ( PUNTOS) Drivmos l unión: '() +- (-) * * * Como l unión ' stis ls ondiions d l propidd d Drou n l intrvlo rrdo [,], ist α n (,) tl qu '(α)-. En to: ª) '()<- <'(): '(). '() (-)-. ª) ' s ontinu n [,]: [,] Dom(') Dom()R. Si [,]: lím '()lím [+- (-)] +- (-) '() O α - ' S pud tmién plir l torm d Bolzno l unión uilir g()'()+. Si lo intnts, vrás qu no pud plirs l unión l torm d Lgrng. Tmién s pud dmostrr l ontinuidd d ' drivándol. -8-

9 EXTRAORDINARIO DE 4. PROBLEMA B4. Dd l unión ()3+ - 4, hll los puntos d ort on l j d siss y lul l ár d l rgión dl plno nrrd ntr s urv y l j d siss. (3 PUNTOS) º) Rsolvmos l sistm qu ormn ls unions qu limitn por rri y por jo l rgión uy ár qurmos hllr: y y ± 4+ ±4 3 ± 3 - º) Avrigumos ntr - 3 y 3 qué unión stá por nim y qué unión stá por djo: 3º) Clulmos l ár: y y 3 A 3-3 [ ] d y O 3 Si s rpr n qu l unión s pr, pudn tomrs los númros y 3 omo los límits inrior y suprior, rsptivmnt, d l siguint intgrl. Lugo s multipli l rsultdo por. Ls trs intgrls son inmdits. -9-