UNIVERSIDAD AMERICANA. Curso BAN-03: Matemática I ( Jueves- Noche ) Prof. Edwin Gerardo Acuña Acuña

Transcripción

1 UNIVERSIDAD AMERICANA Escuela de Matemática, II C-12. Curso BAN-03: Matemática I ( Jueves- Noche ) Prof. Edwin Gerardo Acuña Acuña PRÁCTICA DE ALGEBRA (Factorización, Ecuaciones e Inecuaciones) La factorización es epresar en forma matemática un polinomio o número como producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Eisten métodos de factorización, para algunos casos especiales. 1. Factor Común: Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más. No aplica para monomios. Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un polinomio. El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una epresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior. Cómo realizar la factorización De los coeficientes de los términos, se etrae el MCD (Máimo Común Divisor) de ellos. De las letras o epresiones en paréntesis repetidas, se etrae la de menor eponente. Se escribe el factor común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda después de que el factor común ha abandonado cada término. Factor común por agrupación de términos el tetranomio nos da. y si solo si el polinomio es 0 y

2 Factor común polinomio Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor eponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos. Un ejemplo: Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: La respuesta es: En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo: Se puede utilizar como: Entonces la respuesta es: Factor común por agrupación de términos Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Un ejemplo numérico puede ser: Entonces puedes agruparlos de la siguiente manera: Aplicamos el caso I (Factor común)

3 Prácticas: Factorice las siguientes epreciones: Factor común de polinomios y agrupación

4 2. Diferencia de Cuadrados: Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo. Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada eacta, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, etc.) y los eponentes de las letras son cantidades pares (2, 4, 6, 10, 8n, 16b, etc.) Cómo realizar la factorización Se etrae la raíz cuadrada de cada término: Al coeficiente se le etrae la raíz cuadrada normalmente (por ejemplo: 81= 9) y a las letras, su eponente se divide entre 2 (por ejemplo: fundamenta en la propiedad de la radicación: n a m a m n. 6 3 ). Esto último se - Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación). - Las raíces cuadradas que se obtuvieron de cada término se anotan dentro de cada paréntesis: en el primero van sumando y en el segundo van restando (es decir, se obtiene el producto notable llamado SUMA POR DIFERENCIA). Práctica de factorización por diferencia de cuadrados:

5 3. Inspección El trinomio debe estar organizado en forma descendente. El coeficiente del primer término debe ser uno (1). El grado (eponente) del primer término debe ser el doble del grado (eponente) del segundo término. - Se abren dos grupos de paréntesis. - Se le etrae la raíz cuadrada al primer término y se anota al comienzo de cada paréntesis. - Se definen los signos: el signo del primer paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer y segundo término; el signo del segundo paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del segundo y tercer término. - Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el término independiente (es decir c), y que sumadas den como resultado el coeficiente del segundo término (es decir b). - Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios en blanco de cada paréntesis, en sus lugares respectivos. Práctica de factorización

6 4. Suma y diferencia de cubo Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el segundo término puede ser positivo o negativo). Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica eacta, como 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los eponentes de las letras son múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15p, 18c, etc.) Cómo realizar la factorización Se etrae la raíz cúbica de cada término: Al coeficiente se le etrae la raíz cúbica normalmente (por ejemplo: 3 8 2) y a las letras, su eponente se divide entre 3 (por ejemplo: por la propiedad de la radicación: n a m a m n. Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación) ). Esto se justifica En el primer paréntesis (llamado FACTOR CORTO) se construye un binomio con las raíces cúbicas que ya se obtuvieron. En el segundo paréntesis (llamado FACTOR LARGO) se construye un trinomio con los términos que se anotaron en el factor corto, en el siguiente orden: el primero al cuadrado, luego el primero por el segundo y, por último el segundo al cuadrado. - Por último definimos los signos, de la siguiente manera: Si se trata de una suma de cubos, en el factor corto va signo positivo y en el factor largo van signos intercalados iniciando con positivo. Si tenemos una diferencia de cubos, en el factor corto va signo negativo y en el factor largo van signos positivos. Los siguientes son los modelos que resumen lo anterior: Suma de Cubos: a 3 + b 3 = (a+b) (a 2 ab+b 2 ) Diferencia de Cubos: a 3 b 3 = (a b) (a 2 +ab+b 2 ) IMPORTANTE: En algunas ocasiones el factor corto puede volverse a factorizar (debe revisarse). El factor largo no es necesario inspeccionarlo ya que no permite ser factorizado

7 PRÁCTICA: PRÁCTICA GENERAL DE TODOS LOS MÉTODOS BIBLIOGRAFIA Matemática 10. Roanna Meneses Fórmulas Matemática. Edwin G Acuña. 2010

8 Ecuaciones Lineales Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Son llamadas lineales porque representan rectas en el sistema cartesiano. Una forma común de ecuaciones lineales es y = m + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones que donde aparece el término *y (llamado rectangular) no son consideradas lineales Algunos ejemplos de ecuaciones lineales: 3 + 2y = 10 3a + 472b = 10b y 5 = 7 + 4y +3 -y+z=15 3-2y+z=20 +4y-3z=10 PRÁCTICA 1) 3(4b + 1) = 6 2) 14 = (3 + 5) 3) 6(2 + 1) = 6 4) 2( + 4) 2 = 5) 5( 2 ) + 2 = 2 6) 3 5(2 + 1) = 1 7) 5( 2) (3 + 4) = 3(6 8) ) 4 + (3 2) = 5 ( + 3) 9) 2 (3 2) = + (4 2) 10) 3 + (2 3) = 2 (4 + 5) 11) 2 + (7 2) = 3 ( 2) 12) 5 (11 3) = 9 + (3 8) 13) 11 ( 5) = 7 (10 3) 14) (1 ) = + (1 ) 15) 7 ( + 11) = 5 (4 6) 16) 10 + (3 8) = 23 + (4 20) 17) 4 + (3 5) = 2 + (9 3) 18) ( 3) = 2 + (2 2) 19) 8 + (2 + 4) = 6 + (4 + 9) 20) 5(2 + 1 ) 3 = 1 21) 8 4( + 5) = 12 22) 2(3 + 1) = ) 2 = 3(1 6y) 9 24) 1 3(2 4 ) = 4(6 ) 8 25) 4( 3) = 2( + 1) 26) 2(5 1) = 3( 1) (4 5) 27) 3 + (4 7) = 3 + ( + 14) 28) 9 + ( ) = 12 + ( ) 29) 5 (4 + 3) = 2 ( 1) 30) (3 ) = (3 2) 31) 2 3( 1) = 3 2(4 3) 32) 3( + 6) 40 = 6( 3) 33) 2(3 2) 5 = 2( 3) ) 4( 1) 5(3 ) = 14 2(5 3) 35) 12 3( 2) = 3( + 4) 36) 4 ( + 6) ( 2) = ) (3 2 ) ( + 3) = 0 38) 10 4( + 2) = 32 6(3 2)

9 51) ) ) )

10 ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor eponente de la incógnita es 2. En una variable con coeficientes reales es una ecuación que puede escribirse como a 2 + b + c = 0, donde a, b, c son constantes reales, con a 0. Determinar el valor de las constantes a, b y c de las siguientes ecuaciones cuadráticas. 1) = 0 a = b = c = 2) = 0 a = b = c = 3) = 0 a = b = c = 4) = 0 a = b = c = 2 2 5) a = b = c = DISCRIMINANTE: la ecuación cuadrática, el número b 2 4ac, se denomina discriminante y se representa con el símbolo. Puede utilizarse para determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación como se eplica a continuación: I. Si > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. II. Si = 0, la ecuación tiene una solución real. III. Si < 0, la ecuación no tiene soluciones reales. Determinar el discriminante y cuantas soluciones reales posee las siguientes ecuaciones cuadráticas. 1) = 0 2) = 0 3) = 0 4) = 0 5) = 0 6) = 0 ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA POR FÓRMULA GENERAL FORMULA CUADRÁTICA: Si a 0, entonces las raíces de la ecuación a 2 + b + c = 0 están dadas por EJEMPLOS 1 b 2a 2 b 2a Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general y determine el conjunto solución. 1) = 0 2) =0 3) =0 4) = 0 5) = 0 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto solución. 1) ( + 3) = ) = ) 5( 1) 2(2 2 7) = 8 4) ( + 5)( 5) = 7 5) = 2( + 2) 6) 3 (4 2 7) = 5 + 3

11 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general y determine el conjunto solución. 1) = 0 09) = 0 17) = 0 2) = 0 10) = 0 18) 105 = ) = 24 11) 2 = ) 6y 2 = 19y 15 4) 2 = ) = 0 20) 16 2 = 8 5) 12 4 = ) = 0 21) 2 16 = 0 6) = 0 14) = ) =0 7) = 0 15) = 0 23) 3 2 = 0 8) + 11 = ) 15 = ) 7 = 7 2 1) Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas y determine el conjunto solución. i. 3( + 3) = ii. 3(3 2) = ( + 4)(4 ) iii = 3( 2 5) ( 3)( + 2) iv. (3 3) 2 (2 + 5) 2 = 23 v. 25( + 2) 2 = ( 7) 2 81 vi. 3( 2) ( 6) = 23( 3) vii. ( + 4) 2 ( 3) 2 = 343 viii ( + 5) 2 = (3 ) i. 7( 3) 5( 2 1) = 2 5( + 2). ( 5) 2 ( 6) 2 = (2 3) i. (5 2) 2 (3 + 1) = 0 ii. (2 1)(2 3) + = ( 5) 2 22 iii. (2 + 4) 2 + 7( 2) = 2(5 1) iv. (2 + 3) + 5 = ( + 9) v. ( + 2) 2 (2 5) 2 = vi. 3( 2 2 4) = 2( + 1) + 8 vii. ( + 1) 2 + ( + 2) 2 = 2 6 viii. 2 + ( 3) 2 = 5 + 8(2 ) i. ( 2) 2 + ( + 1) 2 = + 7. ( + 1) 2 + ( 1) 2 = i. 2( 3) = 3( + 2)( 3) ii. ( + 1)(2 + 3) = iii. (3 5)(2 5) = iv. ( + 2) 2 8 = ( + 1) 2 + (3 + 4)

12 Ejercicios de INECUACIONES Ejercicio 1 : Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real: a) 2-3 < 4-2 b) c) 4-2 t > t - 5 d) e) f) > 3 a 2 a g) h) 3. ( 4 - ) > i) j) k) l) m) n) - 2 > 0 1 2

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14 SISTEMAS DE ECUACIÓN