Lógica. Lógica Proposicional. Cuáles de las siguientes frases son proposiciones? Proposición

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1 Lógica Lógica Proposicional Escuela de Ingeniería Industrial Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile Proposición Definición: Una proposición o enunciado es una frase que a la cual se puede asignar unívocamente un valor verdadero o falso. Cuáles de las siguientes frases son proposiciones 1. Dos más dos son cuatro 2. Dos más dos son cinco 3. La luna llena 4. Juan es universitario 5. Te invito a salir 6. La alegría de llegar a casa 7. Ricardo es profesor de Modelamiento Discreto. 8. Todos los alumnos de este curso son menores de 20 años 9. Esta frase es falsa. 3 4

2 Proposiciones compuestas Nombre Simbolismo Lectura Valor de verdad Conjunción p q p y q Verdadero solo si p y q son ambos verdaderos. Falso caso contrario Disyunción p q p o q Verdadero si uno o ambos componentes son verdaderos. Falso solo si p y q son ambos falsos. Negación ~p no p Falso si p es verdadero, verdadero si p es falso. p q= pedro tiene tres reyes q = Pedro tiene escala y Pedro tiene tres reyes = Pedro tiene escala real y tres reyes q ~s= Pedro tiene tres reyes y Pedro no tiene rey de corazón Pedro tiene tres reyes, pero no tiene el rey de corazones p Ejemplo de proposiciones compuestas r= Pedro tiene escala real o Juan tiene dos ases 5 6 Ejemplo de proposiciones compuestas r q= Pedro tiene tres reyes ~q = Juan tiene dos ases o Pedro no tiene tres reyes (p q) ~s = Pedro tiene escala real o tres reyes, pero no tiene rey de corazón p (q ~s )= Pedro tiene escala real, o bien tiene tres reyes y no tiene el rey de corazón Ejemplo de proposiciones compuestas q= pedro tiene tres reyes (p q) ~(p q) = Pedro tiene escala real o el rey de corazón, pero no ambos (r p) (q ~r) = Juan tiene dos ases y Pedro tiene escala real, o Pedro tiene tres reyes y Juan no tiene dos ases 7 8

3 Ejemplo de proposiciones compuestas ~(p q= pedro tiene tres reyes r)= No es cierto que Pedro tiene escala real o que Juan tiene dos ases ~p ~r = Ni pedro tiene escala real, ni Juan tiene dos ases Tablas de verdad Una tabla de verdad despliega el valor de verdad de una proposición compuesta en función de los valores de verdad de sus componentes primitivos (variables proposicionales). p ~p V F F V Tabla de verdad para ~p p q p q V V V V F V F V V F F F Tabla de verdad para p q p q p q V V V V F F F V F F F F Tabla de verdad para p q 9 10 Ejemplo Tabla de verdad para la proposición p ( q ~ s) p q S ~s q ~s p (q ~s) V V V F F V V V F V V V V F V F F V V F F V F V F V V F F F F V F V V V F F V F F F F F F V F F Equivalencia lógica Definición: Dos proposiciones son lógicamente equivalentes si tienen el mismo valor de verdad para cada combinación de valores de verdad de sus variables proposicionales. Notación: proposición1 y proposición2 son lógicamente equivalentes se denota proposición1 proposición2 Ejemplos: p q q p p q q p p ~ (~ p) 11 12

4 Prueba de una equivalencia lógica Tautologías y contradicciones La siguiente tabla muestra que: ~ ( p r) ~ p ~ r Definición: Una tautología es una proposición que es siempre verdadera, independientemente de los valores de verdad de sus componentes. p r p r ~p ~r ~( p r) ~p ~r V V V F F F F V F V F V F F F V V V F F F F F F V V V V Ejemplo: p ~p Definición: Una contradicción es una proposición que es siempre falsa, independientemente de los valores de verdad 1. de Conmutatividad sus componentes. p q q p p q q p. Ejemplo: 2. Asociatividad p ~p p (q r) ( p q) r p (q r) ( p q) r 3. Distributividad p (q r) ( p q) (p r) p (q r) ( p q) (p r) Identidad p t p p c p Leyes de equivalencia Teorema: Dadas proposiciones cualesquiera p, q y r, una tutología t y una contradicción c, se cumple: 1. Conmutatividad p q q p p q q p. 2. Asociatividad p (q r) ( p q) r p (q r) ( p q) r 3. Distributividad p (q r) ( p q) (p r) p (q r) ( p q) (p r) 4. Identidad p t p p c p 5. Negación p ~p c p ~p t Leyes de equivalencia 5. Negación p ~p c p ~p t 6. Doble negación ~(~p) p 7. Idempotencia p p p p p p 8. Cota universal p c c p t t 9. Leyes de Morgan ~( p r). ~p ~r ~( p r). ~p ~r 10. Absorción p (p q) p p (p q) p 11. Negación de t y c ~t c ~c t 15 16

5 Prueba de equivalencia usando leyes Ejemplo: Probaremos que: ~ (~ p q) ( p q) p ~ (~ p q ) ( p q ) (~ (~ p ) ~ q ) ( p q ) ( p ~ q ) ( p q ) p (~ q q ) p c p ley doble negación distributi vidad negación identidad de De Morgan Prueba de que dos proposiciones no son equivalentes Ejemplo: La siguiente tabla muestra que las proposiciones p ( q r) y p ( q r) no son equivalentes. p q r q r q r p (q r) p (q r) V V V V V V V V V F V F V V V F V V F V V V F F F F F V F V V V V F V F V F V F F F F F V V F F F F F F F F F F Definición: Dadas dos proposiciones p y q, la expresión p q es una proposición compuesta denominada implicancia de p a q o condicional de p a q. Se lee p implica q. Es falsa si p es verdadera y q es falsa, y es verdadera en cualquier otro caso. p q p! q V V V V F F F V V F F V En la expresión p! q, p se denomina antecedente y q se denomina consecuente Ejemplos: Vivir en Papudo implica vivir en la Quinta Región Que Pedro llegue tarde implica que sea felicitado Que Pedro llegue tarde implica que sea reprendido Que Pedro coma fruta implica que hay un meteorito que impactará la Luna 19 20

6 Sea: p: Merlina es una labradora q: Qui-hon es una ciudad China Determine el valor de p q en cada uno de los siguientes casos: Antecedente Consecuente p q Merlina es una labradora Qui-hon es una ciudad China V Merlina es una labradora Qui-hon no es una ciudad China F Merlina es un gata Qui-hon es una ciudad China V Merlina es una gata Qui-hon no es una ciudad China V Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 4+2=6 implica que 6-2=4 3x0=0 implica que 3+0=3 4+2=7 implica que 7-2=4 4+2=7 implica que 7-2=5 4+2=6 implica que 2+2=5 5>4 implica que 4-5<0 4>5 implica que 4-5< P La expresión p q se puede leer también de las siguientes formas: p implica q Si p, entonces q Si p, q q, si p p sólo si q p es condición suficiente para q q es condición necesaria para p Ejemplos: Sea: p : Vivo en Papudo q : Vivo en la Quinta Región p! q se lee: Vivo en Papudo, implica que vivo en la Quinta Región Si vivo en Papudo, entonces vivo en la Quinta Región Si vivo en Papudo, vivo en la Quinta Región Vivo en la Quinta Región, si vivo en Papudo Vivo en Papudo, sólo si vivo en la Quinta Región Vivir en Papudo es condición suficiente para vivir en la Quinta Región Vivir en la Quinta Región es condición necesaria para vivir en Papudo Q 23 24

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