CAP 5. Apunte Optimización Prof: Jorge Amaya

Transcripción

1 CAP 5. Apunte Optmzacón Prof: Jorge Amaya

2 Capítulo 5 Modelos y algortmos para fluos en redes Esta área de la Optmzacón es muy mportante ya que exsten muchos problemas de estructura partcular que se pueden expresar medante la nocón de grafo o red. Muchos de estos problemas ya estaban planteados y conctaban el nterés de los mamátcos e ngeneros antes de la aparcón formal de la Programacón Lneal. 5.. Motvacón y descrpcón de problemas cláscos En este capítulo ntroducremos el problema de fluo de costo mínmo (FCM), a través de cuatro problemas específcos que son casos partculares de él: a) Problema de asgnacón b) Problema de transporte c) Problema de fluo máxmo d) Problema del camno más corto Defncón 5.. Un grafo es un par (N, A), donde N es un conunto fnto y A N N. A los elementos en N se les llama nodos y a los pares ordenados en A se les llama arcos. Notemos que los arcos son drgdos, es decr, el par (,) A es dstnguble del par (, ) A, que representa un arco en el sentdo contraro. En el grafo de la fgura la cantdad 97

3 nodo destno (4,) 4 (-5) (0) (5,4) ( ινφινι,) (0,6) (5,) nodo orgen (8,4) (5,) 5 (-5) (4,) nodo destno (x,y)=(capacdad,costo) Fgura 5.: Eemplo de un grafo entre paréntess (b) representa la oferta en cada nodo (s b 0 el nodo ofrece la cantdad b, s b 0 el nodo demanda la cantdad b). La notacón (u,c) ndca la capacdad del arco (u) y el costo untaro del arco (c). El problema general corresponde a encontrar un fluo factble, de costo mínmo: s x es la cantdad envada de a, entonces el problema es: (FCM) mín c x (,) A x x k = b N /(,) A k/(k,) A l x u (, ) A La prmera restrccón dce que la oferta en el nodo es gual a lo que entrega, menos lo que recbe. La segunda, que el fluo sobre un arco debe respetar entre las cotas del msmo. Los datos de un grafo se pueden resumr en una matrz A = (a pq ), cuyas flas son los 98

4 nodos del grafo y cuyas columnas son los arcos, de manera que p N,q A. s el arco q sale del nodo p a pq = s el arco q llega al nodo p 0 s no Notemos que cada arco aparece sólo en dos restrccones ya que un arco partcpa solamente en dos nodos, en uno como arco entrante y en otro como arco salente. Cabe destacar que la matrz A resultante es de rango ncompleto (gual a n, en que n es la cardnaldad de N). En efecto, la suma de las flas es cero, es decr son lnealmente dependentes. Como haremos en lo que sgue el supuesto (esencal en todo este capítulo) que n b = 0, = es decr que la oferta guala a la demanda, entonces el sstema de ecuacones del problema (FCM) tene una ecuacón redundante. En todo caso, ese supuesto no hace perder generaldad al tratamento de los problemas que veremos más adelante. Así, el problema general de fluo de costo mínmo puede escrbrse de la forma: (FCM) mín c x (,) A Ax = b l x u (,) A Los datos del problema del eemplo de la fgura pueden entonces resumrse en la sguente tabla: x x x x 4 x 5 x 4 x 5 x 45 x 5 nodo/costo oferta capacdad En lo que sgue del capítulo descrbremos los 4 problemas antes menconados, para luego entregar un método de resolucón del problema de transporte y su generalzacón al problema más general (FCM). 99

5 5... Problema de asgnacón Supongamos que el gerente de algún gran supermercado, que consta de 50 caas, desean saber cómo asgnar 50 caeras a estas caas, de manera que el rendmento sea el meor posble (meddo según algún crtero). S hcéramos esta asgnacón probando cada confguracón de caeras y caas, entonces el tempo para encontrar la meor sería smplemente prohbtvo, aún para los computadores más rápdos dsponbles. Un buen eercco para meor comprender esta compledad es estmar el tempo de eecucón s el computador pudese realzar un mllón de estas evaluacones por segundo, sabendo que son 50! confguracones a evaluar. Es aquí donde entra a ugar un papel mportante la Programacón Lneal, como una forma cenífca de elmnar muchos mllones de confguacones medante smples crteros de comparacón y una sucesón de cálculos relatvamente más sencllos. CAJERAS CAJAS n n n n n n Fgura 5.: Problema de Asgnacón Las varables en este caso son: { s al nodo (caera) le corresponde el nodo (caa) x = 0 s no 00

6 Este problema se escrbe: máx n n c x = = n x = (a cada caera, una sola caa) = n x = (a cada caa, una sola caera) = x {0, } Los coefcentes c representan los rendmentos de las caeras en cada caa y la funcón obetvo persgue maxmzar el rendmento total. Este problema de asgnacón es claramente un caso partcular del problema (F CM) planteado al nco del capítulo. En este caso, los nodos-caera tenen oferta gual a (pueden realzar un servco) y los nodos-caa tenen demanda gual a (solctan ser servdos por una caera). Lo nodos-caera no tenen arcos entrantes pues no demandan y, smlarmente, los nodos-caa no tenen arcos salentes, pues no ofrecen. Las varables son enteras, con cotas 0 y Problema de transporte Consderemos un grafo con un conunto de m nodos de partda, con ofertas a 0 =,...,m y n nodos de llegada con demandas b 0 =,...,n. Cada arco tene asocado un costo untaro de transporte c. Supongamos, por ahora, que m = a = n = b, aunque s esta hpótess no se cumple, el problema tene sentdo de todas maneras, pero debemos nterpretarlo de manera lgeramente dferente. Se conoce el problema de transporte como el de mnmzacón de los costos de transporte de los fluos, de manera de satsfacer la demanda en cada nodo de llegada, sueto a restrccones en la oferta de cada nodo de partda. Podemos notar que el problema de asgnacón es un caso partcular del problema de transporte, donde cada oferta y cada demanda consta de una sola undad. 0

7 El problema de transporte se escrbe: mín m n c x = = n x = a =,...,m (oferta) = m x = b =,...,n (demanda) = x 0 =,...n, =,...m n m n m n m n m Fgura 5.: Eemplo de un problema de transporte Las restrccones quedan defndas de esa forma ya que, para los nodos-orgen, las ecuacones son del tpo (fluo salente menos fluo entrante, gual a la demanda): x x k = a, /(,) A k/(,) A y en este caso k/(,) A x k = 0 0

8 Análogamente, en el caso de la demanda se tene que x x k = b /(,) A k/(,) A y x = 0. /(,) A 5... Problema de fluo máxmo Este problema es el de determnar el fluo maxmal posble de un nodo orgen o fuente (s) dado a un nodo destno o sumdero (t) con restrccones de capacdad en los arcos. S denotamos v al fluo correspondente a transportar la cantdad fnal en t, desde t a s, notaremos que max v es equvalente a maxmzar el fluo total transportado por el resto del grafo ya que dado que todo lo que sale de s llega t, entonces en el sstema se mantene un equlbro que permte que los problemas sean análogos. s t Fgura 5.4: Problema de fluo máxmo 0

9 Luego, el problema se escrbe de la sguente manera máx v s.a. x s x ks v = 0 sale de s k x t x kt + v = 0 llega a s k x = 0 s, t (balance entre nodos ntermedos) N x k k N 0 x u (,) A {(t,s)} notemos que el problema orgnal es de la forma mn( v) donde el problema es de fluo de costo mínmo, en el cual el vector c es de la forma c T = (, 0,.., 0) Problema de camno más corto Este problema tene como obetvo encontrar el camno más corto entre el nodo s y el nodo t en un grafo dado, es decr, una secuenca de arcos drgdos y adyacentes entre s y t. La longtud del arco puede ser expresada en térmnos de costo, tempo, dstanca, etc. El problema del camno más corto se caracterza por el sguente gráfco: El problema se escrbe Fgura 5.5: Eemplo problema camno más corto 04

10 mín c x s.a. x s = (ofrece una undad) /(,) A x N x kt = (demanda una undad) k N x k = 0 s, t(balance entre nodos ntermedos) k N x {0, } (,) A 5.. Solucón del problema de transporte 5... Solucón básca factble ncal (Fase I) El proceso de saturacón es, en realdad, la búsqueda de una solucon básca factble del sstema, es decr, la determnacon de una base factble. Defncón 5.. Un árbol es un grafo conexo, es decr, exste una cadena entre dos nodos cualesquera (todos los nodos están conectados por una secuenca de arcos, sn consderar la orentacón), que no contene cclos, es decr, partendo de un nodo no se puede volver a él por una secuenca de arcos adyacentes (sn mportar la dreccon de los arcos). Procedmento de saturacón: Sea m + n el número de arcos del grafo. En la solucón factble deberan haber m + n arcos con fluos postvos en la solucón (los demás están en cero, es decr, mn (m + n ) arcos nulos) El método de saturacón empeza cuando se satura el prmer arco (eledo arbtraramente), esto es, se elge un arco al cual se le asgna el maxmo fluo posble, satsfacendo así la demanda de los nodos demandantes, luego se prosgue de la msma manera con el resto de los arcos, hasta satsfacer la demanda de todos los nodos. El sstema de ecuacones del problema de transporte tene m+n ecuacones, pero recordemos que una es redundante. Luego, cuando saturo en orden arbtaro, la solucón propuesta es básca. Las bases del problema de transporte son árboles. 05

11 ORIGENES DESTINOS Fgura 5.6: Procedmento de saturacón Procedmento de saturacón a Costo Mínmo Ahora saturemos guados por el costo mínmo, es decr, comenzamos saturando desde el arco que posee el menor costo al de mayor costo. Este procedmento tambén produce un árbol (solucón básca factble). Observacón 5.. S los datos a,b son enteros, entonces los fluos x son enteros (de acuerdo a los procedmentos que hemos descrto), pues se trata de dferencas de números enteros (dados por la oferta y demanda en cuestón). Esto muestra que todos los puntos extremos del problema de transporte con datos enteros, tenen coordenadas enteras Meoramento de una solucón en curso (Fase II) En esta etapa se supone ya conocda una solucon básca factble, a partr de la cual se construye el problema dual del orgnal y se procede segun se explca a contnuacon. Recordemos que este problema de transporte (P) y su dual (D) son de la forma (P) mín c T x (D) máx b T y El dual del problema de transporte est dado por: S x = b S T y c x 0 06

12 ORIGENES DESTINOS 5 (8) (6) (9) (0) 45 (9) () () (7) (4) (9) 0 40 (6) (5) 4 0 (c): Costo de transporte Fgura 5.7: Procedmento de saturacón a costo mínmo ORIGENES DESTINOS Fgura 5.8: Base factble 07

13 ORIGENES DESTINOS Fgura 5.9: Nueva base factble (D) máx a u + b v u + v c u,v IR n, Supongamos que tenemos una solucón básca factble. Los costos reducdos para las varables báscas son (α) c = c u v = 0 Los costos reducdos para las varables no báscas son (β) c = c u v Los u corresponden a los nodos de oferta y los v a los de demanda. El conunto de ecuacones (α) representa un sstema de m + n ecuacones y m + n ncógntas, de rango m + n. Entonces podemos far una varable dual en un valor arbtraro y usar (α) para encontrar todas las restantes varables duales. Usemos las ecuacones (β) para determnar los costos reducdos de los demás arcos (no báscos) Se ngresa a la base un arco de costo reducdo negatvo. S todos los costos reducdos son postvos, llegamos al óptmo. 08

14 U =0 C =8 C =6 V =8 C =9 V =6 U = C = C =6 V = U =4 C =5 4 4 V = 4 Fgura 5.0: COSTOS COSTOS REDUCIDOS U =0 0 V =8 9 5 U = 7 - V =6-4 V = U = V 4 = Fgura 5.: En el caso del eemplo, elegmos el arco (,) S se agrega un arco (,) al conunto de arcos báscos, se genera un cclo en el grafo. Se asgna un fluo λ 0 a ese arco. Los fluos son postvos. 09

15 5 λ 0 0 λ λ 0 λ Fgura 5.: 5 λ 0 λ λ 0 0 λ 0 = 0 λ 5 Se ele el máxmo λ posble y el arco que se anula sale de la base. En este caso, λ = 5 y el arco (, ) sale de la base. Notar que las modfcacones sólo afectan al cclo. Reterar hasta que todos los costos reducdos sean postvos. Eercco 5.. Resolver el problema de transporte para los datos a = 0 7, b = 6 9, c =

16 Fgura 5.: Fgura 5.4: 5.. Fluo de costo mínmo: meoramento de una solucón en curso (Fase II) S n es el número de nodos de la red y m el número de arcos, la matrz de ncdenca del grafo es de n m y las bases están compuestas por n arcos.

17 No hay un método fácl para encontrar solucones báscas factbles, por lo tanto, es necesaro usar Fase I de smplex. Consderemos el sguente eemplo: S tenemos la sguente base {(, ), (, 4), (, ), (, 4)}. Los arcos (, ) y (, 5) no son báscas, pero tampoco son nulas (se debe extender el concepto de base). Extensón del concepto de base Una varable no básca es fada en alguna de sus cotas. Las varables báscas se determnan resolvendo el sstema de ecuacones (respetando sus cotas) Consderemos el problema escrto en la forma canónca: mín c T x s.a. Ax = b l x u donde l, u IR n y A de rango completo (s es necesaro, elmnando flas) [ ] xb Tomemos la partcón A = [B, N] y supongamos que x = donde [x N ] = l u Se dce que x B es la base s y solamente s x B = B (b Nx N ) ( 0 en este caso). [x B ] debe satsfacer l [x B ] u En el caso del eemplo, (, ) y (, ) son no báscas y están en su cota nferor, cero en este caso. Para el problema de transporte, la degeneranca se traduce en que un arco básco esté en alguna de sus cotas. Veamos el cuadro resumen del problema planteado: Restrccones: sale-entra=oferta x x x x 4 x 5 x 4 x 5 x 45 x 5 var.duales π π π π π 5 La fórmula general de un costo reducdo es c T = c T π T N x N

18 c = c π + π Condcón de optmaldad: c 0 c = 0 c 0 s l = x (cota nferor) s l < x < u s x = u (cota superor) Las ecuacones c = c π + π = 0 para las varables báscas, permten determnar los valores de las varables duales. Dado que hay n nodos y n arcos báscos, basta far arbtraramente el valor de una varable dual. Para el caso del eemplo, femos π = 0 c = π π π = 4 Así se obtene que π = Luego, se calculan los costos reducdos de los arcos no báscos: c = c π + π Para el eemplo: c = c (π π ) = 4 4 = c = c (π π ) = 0 = c 5 = c 5 (π π 5 ) = + 6 = c 45 = c 45 (π 4 π 5 ) = + 6 = c 5 = c 5 (π 5 π ) = + 6 = 6 Regla de entrada a la base Son canddatos para ngresar a la base los sguentes arcos: a) Un arco de costo reducdo negatvo que está en su cota nferor. b) Un arco de costo reducdo postvo que está en su cota superor. Con cada nuevo grafo se tene una nueva base. Se recalculan las varables duales y los costos reducdos, para llegar al óptmo.

19 +λ λ 0 λ Fgura 5.5: prmero Fgura 5.6: segundo Observacón 5.. Se asume que los arcos que no se dbuan están en cero. 4

20 Profesores: Danel Espnosa, Roberto Comnett. Auxlares: Vctor Bucarey, Pablo Lemus, Paz Obrecht. Coordnador: Matías Sebert. IN70 - Modelamento y Optmzacón Auxlar de Marzo de 0 P. Consdere una comuna cualquera con vecndaros, escuelas, y nveles en cada escuela. Cada escuela tene una capacdad de para algún nvel. En cada vecndaro, la cantdad de estudantes de un nvel es. Fnalmente, la dstanca de la escuela al vecndaro es. Modelar este problema como uno de programacón lneal que tene como obetvo asgnar a todos los estudantes a las escuelas, mnmzando el total de la dstanca recorrda por todos los estudantes. (Puede gnorar el hecho de que el número de estudantes debe ser entero.) P. Una empresa constructora de crcutos eléctrcos ha comprado un brazo mecánco de modo de automatzar su produccón. La construccón de cada crcuto requere hacer conexones, las cuales están separadas entre sí. Dada esta separacón el brazo demora segundos en r desde la conexón a la conexón. Por últmo, se sabe que al analzar la construccón de un crcuto, el brazo vuelve a una poscón ncal para permtr sacar el crcuto de la línea productva. Formule el modelo que permta encontrar el menor tempo de construccón de cada crcuto a fn de aumentar el nvel productvo de la empresa. P. Un problema fundamental en el dseño urbano es la localzacón de servcos báscos como colegos, hosptales y áreas recreaconales. En este problema formularemos un modelo smplfcado para decdr la localzacón de estacones de bomberos en una cudad. La cudad se puede dvdr en dstrtos, en que cada uno contene habtantes. Análss prelmnares (estudos de terrenos, factores polítcos, etc.) han establecdo que las estacones de bomberos solo pueden ser ubcadas en stos predetermnados dentro de la cudad. Sea la dstanca desde el centro del dstrto hasta el sto. Se deben selecconar los stos en los cuales construr una estacón (en un sto cabe a lo más una) y además se debe asgnar una estacón a cada dstrto. Es decr, cada dstrto de la cudad debe tener una (y solo una) estacón de bomberos asocada. Una estacón puede tener más de un dstrto asocado. Construr una estacón en el sto tene un costo fo asocado gual a. Además, exste un costo varable que es lnealmente proporconal (constante de proporconaldad es ) a la cantdad total de gente que debe servr la estacón. O sea, s se construye una estacón en el sto, entonces el costo asocado es, en que es la poblacón total que debe servr la estacón ubcada en (es la suma de las poblacones de todos los dstrtos asocados a esa estacón). El presupuesto total destnado para construr las estacones de bomberos es gual a y no debe ser sobrepasado. Formule un modelo de programacón lneal bnara que mnmce la dstanca máxma entre un dstrto y su respectva estacón. P4. Suponga que usted que trabaa en la Gerenca de Marketng de una empresa y que le han peddo que defna las promocones que se realzarán durante los dstntos meses del año para el producto estrella de la empresa. Estas promocones pueden ser, por eemplo, dstntas reduccones de preco (0%, 0%, etc.) por períodos breves, concursos y sorteos, regalos por la compra del producto, entre otros. Para esta planfcacón, la sguente nformacón es relevante: Cuenta con un presupuesto de pesos para todo el año.

21 En cada mes cuenta con horas hombre de personal (por eemplo, promotoras y vendedores). Exste un conunto de promocones posbles del cual usted puede selecconar hasta promocones para realzar en cada mes (este conunto es el msmo para los dstntos meses del año). Una promocón ( ) en el mes necestará un presupuesto de pesos. Además s se realza una promocón en el mes, las ventas aumentarán en pesos en dcho mes además de por cada hora hombre de personal de ventas ncludo. (NOTA: S no se realza nnguna promocón durante todo el año las ventas serán guales a ). Formule un problema de programacón lneal que al resolverlo le permta determnar el calendaro óptmo de promocones, es decr, cuál es el conunto de promocones que se deben llevar a cabo en cada mes y con qué dotacón de personal asgnado que le permte a usted maxmzar las ventas totales del año. P5. Una empresa de mudanzas dspone de camones, donde la capacdad del camón es. Para un día determnado esta empresa ha contratado mudanzas con clentes dstntos. La carga a transportar del clente es. Cada mudanza debe realzarse medante un únco flete y en cada flete no puede llevarse más de una mudanza. Un msmo camón puede hacer varos fletes en el día, sendo el número máxmo de fletes daros que puede hacer el camón. S el camón hace la mudanza del clente se tene un benefco. Además, debe tomarse en cuenta que los clentes y deben ser atenddos por camones dferentes y los clentes y deben ser atenddos por un msmo camón en vaes dferentes. Por últmo, debe consderarse que s el camón no fuera asgnado a mudanza alguna en este día, entonces puede contratarse para él un flete nterurbano s así convnera, cuyo destno puede ser La Calera, Valparaíso o Rancagua. El benefco del camón al efectuar este únco flete del día está dado por la expresón, donde y son constantes y representa la dstanca a recorrer en el vae. La dstanca a La Calera, Valparaíso y Rancagua es, y respectvamente. Con estos antecedentes construya un modelo matemátco de programacón lneal que asegure atender a todos los clentes y que maxmce el benefco daro de esta empresa. P6. La empresa de zapatos MEDIAHORA desea planfcar su produccón e nventaros para los próxmos períodos de modo de cumplr con la demanda esperada de sus clentes. Para esto, ha agregado sus productos en famlas y dspone de un estudo que predce que la demanda esperada por productos de la famla en el período será. La empresa sabe que el cuello de botella en el proceso productvo es la cantdad de horas de artesanos, sendo la cantdad de horas de artesanos dsponbles en el período. Esta cantdad por temas de capactacón, no puede aumentar n dsmnur en el horzonte. Se sabe además que cada undad de los productos pertenecentes a la famla consume horas de artesano. La empresa posee una bodega con capacdad para almacenar undades en cada período. El costo de almacenar cada undad de productos pertenecentes a la famla en el período es. Sn embargo, tambén exste la posbldad de almacenar en bodegas de terceros, sn límte, pero a un costo por undad para los productos pertenecentes a la famla en el período gual a. (a) Plantee un modelo de programacón lneal que permta encontrar la estratega óptma para el problema de MEDIAHORA. Qué tpo de modelo de programacón lneal obtuvo? (b) Comente la valdez del modelo s fuese menor que., pero asumendo que por polítca de la empresa la bodega de terceros solo se puede ocupar cuando se ha copado la bodega propa. Qué tpo de modelo estma necesaro en este caso? Por qué?

22 Profesores: Danel Espnosa, Roberto Comnett. Auxlares: Vctor Bucarey, Pablo Lemus, Paz Obrecht. Coordnador: Matías Sebert. IN70 - Modelamento y Optmzacón Auxlar de Marzo de 0

23 4

24 5

25 6

26 IN70: Modelamento y Optmzacón Guía de problemas resueltos de Programacón Lneal Recoplado por André Carbon E. Versón fnal, Agosto 00 Cualquer comentaro sobre esta guía o posbles errores de ortografía/resolucón encontrados, por favor envarlos a para su correccón en versones futuras.

27 Palabras ncales Esta guía tene como propósto entregar una sere de problemas resueltos de programacón lneal (PPL), con el fn de que puedan estudar y preparar de meor forma sus controles de Modelamento y Optmzacón (IN70). Se han selecconado problemas de dstnto nvel de dfcultad, y se han tratado de ordenar según su nvel de dfcultad, bao el crtero totalmente subetvo de quen escrbe. Es ndspensable para ustedes que resuelvan esta guía y entendan cada uno de los problemas para estar ben preparados a la hora de resolver un control. Noten que se han mantendo en varos problemas las notas y crteros de correccón, para que puedan hacerse una dea de cómo se corrgen. Además, en algunos problemas se han ncludos notas que explcan los trucos más típcos a la hora de resolver un PPL. Recuerden que cada control del curso contempla un problema de programacón lneal, por lo que esta complacón de problemas les será útl a lo largo de todo el semestre. S tenen consultas con respecto a la resolucón de alguno de ellos, no duden en preguntarnos a través del foro del curso. Éxto!

28 Índce Problema : Problema del azucarero... 4 Problema : Agenca de ctas... 5 Problema : El legendaro asado optmzador... 7 Problema 4: Pgmentos Lllo... 9 Problema 5: El magnate Nelsón Dvo... Problema 6: Los colegos de Barak Obamu... Problema 7: Compañía de Cervezas Carbon...5 Problema 8 Ganando luqutas extra...8 Problema 9: Asgnacón de espaco de productos en góndolas...0 Problema 0: Equpo de Handball Real Mandrl... Problema : Ruteo del bus para el asado optmzador Problema : Carbon-Cola Company...7 Problema : Banda de rock Los Brontosauros de Bucarey (versón full)...9 Problema 4: Fábrca de televsores LCD... Problema 5: Frma de arrendo de automóvles...6 Problema 6: Set coverng, set packng y set parttonng...9

29 Problema : Problema del azucarero Un comercante compra azúcar a granel y vende al detalle. Para venderla tene dos alternatvas: envases de kg y envases de 5 kg. El preco de venta es $00 y $50 por kg respectvamente, y en el mercado del azúcar al detalle se pueden vender kg en envases de kg y en envases de 5 kg. Debdo a un contrato anteror se deben entregar kg en envases de 5 kg a un determnado clente. El comercante se puede abastecer de azúcar desde dos proveedores. El prmero le puede vender hasta kg a un preco de $90 por kg, y el segundo le ofrece la cantdad de azúcar que el comercante desee, pero a un preco de $0 por kg y debdo a requermentos de sus dstrbudores el comercante debe vender menos del terco del azúcar en envases de kg. Además, suponga que el preco de los envases y el proceso de envasado son nulos, y que el comercante no tene azúcar almacenada y vende todo el azúcar que compra. Formule un problema de programacón lneal que permta al comercante decdr cual es el plan de abastecmento y ventas de modo de obtener el mayor benefco en su negoco. Solucón problema Varables de Decsón Restrccones = Cantdad de envases de un kg que vende el comercante. = Cantdad de envases de un 5 kg que vende el comercante. Y = Cantdad de azúcar que compra el comercante al proveedor. Y = Cantdad de azúcar que compra el comercante al proveedor.. Lmte superor de la demanda: Azúcar en envases de kg: Satsfacer compromsos prevos. Venta máxma del proveedor.000 Azúcar en envases de 5 kg: Y

30 4. Requermentos de los dstrbudores Y + Y 5. No exste almacenamento (o todo lo que se envasa se vende) Y Y 6. No negatvdad Funcón Obetvo,, Y, Y 0 max z = Y 0 Y Problema : Agenca de ctas Los auxlares de un curso de optmzacón de una unversdad de gran prestgo, han decddo, para hacer un ben a los alumnos de su facultad, abrr una agenca de ctas. La cantdad de nscrtos en la agenca es de M+N sendo M la cantdad de mueres y N la cantdad de hombres. Se tene, dadas las característcas demográfcas de la facultad, que N>M. Todos los nscrtos se ubcan entre ellos (solo de vsta) y han nformado confdencalmente a la agenca que la preferenca de una muer m por emparearse con un hombre n es de PMmn y la preferenca de un hombre n por emparearse con una muer m es de PHnm. Adconalmente a cada nscrto se le hace un test te personaldad y medante un estudo, profundo y 00% certero, se determna s exstrá compatbldad entre cada combnacón de pareas, obtenendo valores Cmn que serán s la parea del hombre n con la muer m es compatble y 0 s la parea no es compatble. Cada persona es compatble con al menos una parea. La agenca debe decdr a qué actvdades envar a cada parea durante su cta (e: r al cne, a comer, etc) para esto la agenca cuenta con una varedad de A actvdades y con un presupuesto fo dado por PSPTO y se sabe que en cada actvdad a la muer m gastará Gma dependendo del nvel de gasto al que esté habtuado la muer y se sabe que un hombre gasta Ka s realza la actvdad a, este gasto es gual para todos los hombres. Se tene además que cada parea no puede realzar más de tres actvdades en su cta. La preferenca de un hombre n por hacer la actvdad a está dada por SHna y la preferenca de una muer m por hacer la actvdad a está dada por SMma. Se sabe que una persona solo puede ser asgnada una sola vez y que todas las mueres deben tener parea. 5

31 Los auxlares del curso han decddo solctar ayuda a sus alumnos pdéndole a cada uno que formule un modelo de programacón lneal entera para la prmera ronda de ctas, que maxmce el nvel de satsfaccón de preferencas. Solucón problema Varables de Decsón: mn = Y mna = S se asgna la parea del hombre n y la muer m 0 S no S se asgna la actvdad "a"a la parea formada por el hombre n y la muer m 0 S no Restrccones:.- A cada hombre se le asgna a lo más una muer. M mn m= n =,..., N.- A cada muer se le asgna exactamente un hombre. N mn n= = m =,...,M.- No se asgna s no hay compatbldad. n =,..., N; m =,..., M mn C mn 4.- Solo se puede tener actvdades s se sale en la cta y las actvdades no son más de tres. A a= Y mna mn n =,..., N; m =,..., M Esta restrccón tambén se puede separa en estas dos restrccones: Y n =,..., N; m =,..., M ; a =,..., A mna mn A Y mna a= n =,..., N; m =,..., M 5.- No se pueden pasar del presupuesto para ctas N M A [ ( Gma + K a ) Ymna ] PSPTO n= m= a= 6

32 6.- Naturaleza de las varables., Y mn mna { 0,} n =,..., N; m =,..., M ; a =,..., A Funcón Obetvo: max z = M N [ ( PM mn + PH mn ) mn ] + [ ( SH ma + SM ma ) Ymna ] m= n= N M A n= m= a= Problema : El legendaro asado optmzador Nuestra amga Thara Reca, reconocda coordnadora de un ramo de Optmzacón de una prestgosa unversdad, ha decddo al fn, tras largos años de expectacón, hstoras y rumores, organzar el ya mítco Asado optmzador. Thara cuenta con una lsta de N posbles nvtados a la festa, entre profesores, auxlares, ayudantes y amgos varos del equpo El centro de eventos donde se realzará el asado (la casa de uno de los ayudantes) le ha propuesto M posbles menús. Thara debe selecconar el menú a servr en el asado (por eemplo, chorpanes, hamburguesas, etc), consderando que el msmo menú será servdo a cada uno de los nvtados, es decr, no habrá prvlegos especales para profesores o auxlares, y que el costo de cada cena servda del menú m es PM m. S la persona es nvtada y el menú selecconado es el m, éste consumrá LC m ltros de cerveza y LB m ltros de bebda. Se sabe que el ltro de cerveza y bebda cuestan PLC y PLB respectvamente. Adconalmente, Thara cuenta con una reserva de RLC ltros de cerveza y RLB ltros de bebda que le han sobrado de su festa de cumpleaños, los cuales está dspuesta a donar para el asado, y cuenta con un presupuesto de P destnado a la realzacón del evento, dnero que fue otorgado por los generosos profesores. Thara no nvtará necesaramente a todos las personas de la lsta para prevenr posbles problemas, ncluso s esta persona es membro del equpo de optmzacón. Por ello, debe consderar que: Un ntegrante que recba una nvtacón asstrá con total segurdad al asado. En el caso de nvtar a la persona de la lsta de posbles nvtados, no será posble nvtar a nnguna de sus antguas pareas, con las cuales se mantenen dferencas rreconclables. Este conunto esta dado por E. En el caso de nvtar a la persona de la lsta de posbles nvtados, se deberá nvtar forzosamente a cada una de las personas que el nvtado consdera como meores amgos. Este conunto esta dado por A. Dentro de la lsta de posbles nvtados exste un conunto de H pareas, razón por la cual, en el caso de extender una nvtacón a una persona casada, oblgatoramente la nvtacón debe ser extendda a su parea. Consdere que la parea h esta formado por las personas h y h de la lsta de nvtados (es decr, las *H personas que están empareadas están ncludas en la lsta de potencales nvtados). Tomando en cuenta todas estas consderacones, ayude a Thara a formular el modelo de programacón lneal mxto que le ayude a selecconar el menú a servr 7

33 en el asado y que le ndque a qué personas nvtar. Para esto, asuma que Thara desea nvtar a la mayor cantdad de gente posble. Solucón problema Varables: W m Z m = 0 = 0 S elegí menú m para persona ~ S persona es nvtada cuando elegí menú m ~ b c = = Ltros de cerveza a comprar Ltros de bebda a comprar Nota: que se podría elmnar el índce m de la varable Z m, austando las restrccones apropadamente. Restrccones:. Sólo escoge un menú: m W m =. Relacón entre varables (sólo nvto a una persona bao el menú m s elegí el menú m): Z m W m,m. Compro bebda y cerveza sólo s me falta: b c, m, m Z Z m m * LB * LC m m RLB RLC 4. No sobrepasar el presupuesto:, m Z m * PM m + b * PLB + c * PLC P 5. S nvto a persona, no nvto a sus ex pareas: Z m ( Z ) E, m m 8

34 6. S nvto a, debo nvtar a sus meores amgos: Z m Z m A, m 7. S nvto a un casado, nvto a su parea: Z m = Z m (, ) ( h, h ), m 8. Naturaleza de las varables: Funcón obetvo: Z m {0,}, b 0, W m max {0,} c 0 Z m, m, m b, c Problema 4: Pgmentos Lllo La empresa de pgmentos LILLO & Co. debe decdr cada día qué pgmento producr en su únca máquna, elgendo dentro del conunto de I pgmentos que comercalza. Por razones técncas puede producr como máxmo un tpo de pgmento por día, en cada uno de los t días de su horzonte de planfcacón modelado por el conunto T, ya que sólo se puede hacer un set-up daramente. El set-up consste en austar la máquna para producr un pgmento especfco, s se sgue producendo el msmo pgmento que el día anteror no es necesaro realzar el set-up nuevamente. Además, debe mantener la máquna funconando todos los días en el horzonte de planfcacón para evtar fallas de funconamento. Para efectos de modelamento se puede consderar el caso en que no está producendo nngún pgmento dcendo que está producendo el producto fctco 0. La capacdad de produccón de la máquna es muy superor a la demanda estmada para cualquer pgmento, por lo que no es consderada una restrccón relevante. Para cambar de pgmento se debe pagar un costo de set-up c que depende de los pgmentos y nvolucrados, ya que no es lo msmo cambar entre pgmentos claros, oscuros, etc. Para efectos de modelamento puede consderar que exste el costo c = 0, y que en el perodo fctco 0 del horzonte de evaluacón la máquna estaba funconando sn producr nngún pgmento. La demanda dara para el pgmento en el día t del horzonte de planfcacón ha sdo estmada por el departamento de marketng en dt, y debe ser satsfecha durante el horzonte de planfcacón T, es decr, se permten atrasos en la satsfaccón de la demanda así como producr con antcpacón algún pgmento en caso de ser necesaro. Los costos asocados a cada una de estas stuacones son b por undad y día de atraso del pgmento, costo defndo por las penalzacones por atrasos fadas por contrato con los clentes más una estmacón del costo asocado a la pérdda de confanza de parte de los clentes. Y un costo h por cada día y undad de nventaro almacenada del pgmento (b >> h ), costo defndo por los costos de almacenamento y de operacón de la bodega. 9

35 Consdere que el stock ncal y la demanda adeudada ncal de todos los pgmentos son nulos. Para efectos de modelamento consdere que la demanda dara y atrasada de cada pgmento se satsface nstantáneamente, y sn costo de dstrbucón relevante, al fnal de cada día en funcón de la cantdad producda y almacenada hasta el momento. Modele el problema de produccón de la empresa como un problema de programacón lneal mxto, donde se asegura la satsfaccón de la demanda a lo largo del horzonte de planfcacón mnmzando los costos de set-up, y los costos por atrasos y por almacenamento de productos en bodega. Solucón problema 4 Varables de decsón ( pto.): x t : Cantdad que se produce del pgmento en el perodo t. s t : Cantdad que se almacena del pgmento al fnal del perodo t. r t : Demanda adeudada del pgmento al fnal del perodo t. y t : Toma valor s se produce el pgmento en el perodo t. 0 en otro caso. w t : Toma valor s se camba del pgmento al pgmento al comenzo del perodo t. Restrccones:. (0.6 ptos.) Naturaleza de las varables: y, w t x, s, r 0 t t t {0,} t, I, t T I, t T. (0.6 ptos.) Sempre mantener la máquna funconando y sólo utlzar un pgmento por día y t = t T. (0.6 ptos.) El stock y deuda ncal es cero s r 0 0 = 0 = 0 I I 4. (0.6 ptos.) Relacón entre las varables x x t 0 y t = 0 t d t I, t T I 5. (0.6 ptos.) Defncón de w t w t y( t ) + y t, I, t T, t {0} 0

36 6. (0.5 ptos.) Conservacón del fluo s ( t ) + xt + rt = d t + r ( t ) + st I, t T, t {0} 7. (0.5 ptos.) Satsfacer de la demanda a lo largo del horzonte de planfcacón r T = 0 I Funcón Obetvo ( pto.) mn h st + brt + Problema 5: El magnate Nelsón Dvo, t, t El conocdo magnate Nelsón Dvo ha decddo mostrar al mundo su talento muscal, y para ello, va a presentarse en un prestgoso certamen nternaconal. Lo más mportante para él es la admracón del públco, la cual se mde en aplausos. Para su presentacón, el señor Dvo debe decdr qué nstrumentos usar y por cuánto tempo tocará cada uno, ya que sólo tene T mnutos para estar sobre el escenaro. En su mansón posee N nstrumentos y sabe que para cada nstrumento tene un talento d [u.t.] (undades de talento) del msmo. Además, debe tocar al menos K nstrumentos dstntos, dada su auto-denomnacón de hombre orquesta. El multmllonaro tambén tene la opcón de cantar, aunque para ello no tene talento. El públco se dvde en J sectores, cada uno de los cuales tene dstntas preferencas muscales. Lo anteror se traduce en que cada sector se deleta en g [u.s.] (undades de satsfaccón) por oír tocar el nstrumento, y en g [u.s.] por oír cantar. Sn embargo, en cada sector hay personas mpacentes que generarán p pfas por cada mnuto que ogan el nstrumento y p pfas por cada mnuto que ogan cantar. Suponga que cada pfa descuenta un aplauso, es decr, se mden en las msmas undades. Nelsón no puede permtr que el total de pfas supere el nvel P, ya que esto afectaría rremedablemente su populardad. Cada sector del públco emtrá una cantdad de aplausos equvalente a su delete por oír tocar cada nstrumento (o el canto), ndependente de su duracón, y una cantdad equvalente al talento del artsta en tal nstrumento (o el canto) por cada mnuto que dure. Como a Nelsón Dvo le nteresa su populardad en cada sector del públco, él desea maxmzar la mínma cantdad de aplausos obtenda entre todos los sectores. Plantee un modelo de programacón lneal que permta al acaudalado personae tomar las meores decsones para lograr su obetvo. Solucón problema 5 Varables de Decsón,, t c w t x = 0 s toca el nstrumento s no

37 y = mnutos que toca nstrumento x = 0 s canta s no y = mn utos que canta A = cantdad mínma de aplausos entre todos los sectores del públco Restrccones:. No sobrepasar el tempo: y + y T. Hombre orquesta: x K. Relacón entre varables: y x T y x T 4. Máxmo de pfas: ( p y ) + p y P 5. Defncón de A: 6. Naturaleza de las Varables: Funcón Obetvo: A ( g x + ( d p ) y ) + g x p y y x y 0 0 {0,} x {0,} A R Max A

38 Nota: En este problema se pde maxmzar el mínmo de algo. Sn embargo, en un PPL no podemos poner max{mn{...}} en la funcón obetvo, pues esto no es lneal. Para soluconar esto, se agrega la restrccón 5, que mnmza el valor de A y luego se maxmza A ( truco típco!). En la restrccón 5, la varable "A" es menor o gual que los aplausos en cada uno de los sectores ( para todo ). En otras palabras, "A" es menor o gual que el sector que do la MENOR cantdad de aplausos. Luego, al maxmzar A, estamos maxmzando la cantdad de aplausos que da el sector que da menos aplausos, que es lo que nos pden. Este es un truco típco que se usa sempre que tengan un problema de mnmax o maxmn. Problema 6: Los colegos de Barak Obamu El recén electo presdente de Estados Juntos, Barak Obamu, ha decddo reestructurar la localzacón de los colegos en el estado de Mazachuset. N es el conunto de cudades que hay que consderar; el subconunto C de N contene las cudades donde puede haber un colego (en una cudad puede haber máxmo un colego). C es el subconunto de C donde ya exste un colego. En la cudad hay E estudantes que tenen que r a un colego. Nngún estudante puede vaar más de L kms. D es la dstanca en kms entre las cudades y ;, N (se puede asumr D=0). Los colegos exstentes (colego tpo ) tenen una capacdad para E estudantes. Hay un nuevo tpo de colego (colego tpo ) que tene capacdad para EM estudantes (E<EM). El costo para construr un colego del tpo t es de Ct UM (undades monetaras), t=,. Se pueden construr colegos tpo ó. El costo para cerrar un colego exstente es de CE UM. Para la reestructuracón de los colegos hay un presupuesto de PPTO UM. Plantee un PPL que determne dónde cerrar y dónde construr colegos y que además asgne a los estudantes a un colego. Suponga como funcón obetvo la mnmzacón del costo total de la reestructuracón. Cómo camba el modelo s en vez de mnmzar el costo total se quere mnmzar la dstanca total que tenen que vaar todos los alumnos? Solucón problema 6 Varables de decsón: x = s mantengo el colego aberto C 0 caso contaro

39 y t = s construyo colego del tpo t en C 0 caso contaro z = s asgno alumnos de al colego ubcado en N C 0 caso contaro w = número de alumnos de que asgno a colego ubcado en N C Restrccones. Naturaleza de las varables x, y, z {0,} t w Ν. Asgno s la dstanca lo permte z L D,. Relacones entre varables de asgnacón w z M, 4. Todos los estudantes son asgnados, M >> 0, por eemplo E w = E 5. Para asgnar el colego, debe exstr z + y + y x, C z y + y, C / C NOTA: hay dstntas formas de trabaar el hecho de que sólo se pueden cerrar colegos que ya exsten, por eemplo, tambén se puede defnr la varable C y luego tener cudado con las sumatoras que x C y hacer x = 0 nvolucran costos. (s se hace esto últmo hay restrccones que no son necesaras de escrbr veces) 4

40 6. Capacdad de los colegos 7. Colegos w y E + y EM + x E, C w y E + y EM, C / C y y + x, C + y + y, C / C 8. Presupuesto t C y t C t + C ( x ) CE PPTO Funcón Obetvo mn{ t C y t C t + C ( x ) CE} Funcón Obetvo alternatva mn N, C w D Problema 7: Compañía de Cervezas Carbon La reconocda empresa CCC (Compañía de Cervezas Carbon), debdo al aumento sostendo de la demanda de cerveza en los últmos años, desea evaluar la nstalacón de nuevas plantas de malta. Para ello, el gerente de operacones de la compañía le explca a usted, brevemente, el proceso productvo de la cerveza. Exsten en la regón una sere de plantacones de cebada, propedad de la compañía, de las que se extrae y transporta cebada a alguna de las plantas de malta de la empresa. Además, exste una pequeña fraccón de cebada que es mportada y llevada drectamente a las plantas. La cebada es procesada en esta planta, producendo la malta. Ésta es luego transportada desde la planta a la cervecería, donde se termna de producr la cerveza, o ben es exportada. Exste un conunto J de posbles localzacones para las plantas, de las cuales un subconunto J A ya está ocupado por las plantas actuales. Consdere que, como máxmo, puede nstalarse sólo una planta de malta por año y que el horzonte de tempo para el problema es de T años ( J\J A >T). Consdere que exste un conunto I de proveedores de cebada (donde = corresponde a las mportacones y el resto a las plantacones) y un conunto K de puntos de demanda de malta (donde k= corresponde a las exportacones y el resto a cervecerías). Cada uno de estos puntos demanda una cantdad D kt de malta en el año t. 5

41 Cada proveedor de cebada (ncluyendo mportacones) puede ofertar como máxmo A t toneladas de cebada en el año t y la capacdad de produccón de la planta de malta en la ubcacón es C cada año. Es mportante consderar que no toda la cebada es utlzable para producr malta, debdo a los altos estándares de caldad de la compañía. Estudos prelmnares han dentfcado la caldad de la cebada en las dstntas plantacones, por lo que se ha estmado el parámetro r, que corresponde a la cantdad de malta que se puede producr con una tonelada de cebada de la plantacón. Los costos se han estmado prevamente, sendo a t el costo de transporte de cebada de la plantacón a la planta de malta en el año t, m kt el costo de transportar malta de la planta al punto de demanda k en el año t y st el costo fo por nstalar una planta de malta en en el año t. Por últmo, por polítcas de la empresa, consdere que la cantdad de cebada mportada debe corresponder a una proporcón fa de la cantdad de malta exportada. Así, las toneladas de cebada mportada no pueden ser menores al 80% n mayores al 0% de las toneladas de malta exportada. Plantee un modelo de programacón lneal mxta, que permta decdr dónde nstalar las nuevas plantas de malta y en qué año hacerlo, de modo de mnmzar los costos totales en el horzonte de tempo especfcado y satsfacendo la demanda en cada período. Para smplfcar, consdere que los efectos nflaconaros ya están consderados en los costos entregados. Solucón Problema 7 Varables: Z t = 0 S está nstalada la planta de malta en la ubcacón en el año t ~ = Toneladas de cebada transportadas desde la plantacón a la planta en el año t. t Ykt = Toneladas de malta transportadas desde la plantacón al punto de demanda k en el año t. OJO! La varable Zt Vale desde el momento en que se construye la fábrca hasta el fnal (es decr, s construyo en t=, Z={0,0,,,,,...}). Esto se logra defnr así gracas a la restrccón 4. Por qué se defnó así? Pues smplemente porque faclta un par de restrccones. Tambén se podría defnr de la forma típca (vale sólo en el momento en que se construye), pero habría que modfcar las restrccones. Está resuelto de esta forma sólo para mostrar una forma dstnta de resolver un problema como este :). Restrccones: ) Satsfacer demanda: Y kt D kt k, t 6

42 ) Cebada necesara para producr malta: Ykt k r * t, t ) Capacdad de las plantas: k Y k kt Y kt C C * Z t J A, t J \ J A, t Nota: Es esta restrccón la que nos oblga a defnr Zt de la forma antes menconada, ya que s no valera desde que se construye hasta el fnal, tendríamos problemas en los períodos posterores a la construccón de la planta (por eemplo, s construyo en t= entonces Z=, pero s estamos ahora en t=4, Z4 valdría cero y oblgaríamos a que Ykt=0). Igual exsten formas de arreglar este problema (medante el uso apropado de sumatoras), pero preferí modelar el ppl de esta forma porque es un truco útl de saber ;). 4) Una vez que se abre la planta, esta permanece aberta: 5) Capacdad de produccón de cebada: Z Z + J \ J, t t t A < T t At, t 6) Una planta de malta por año como máxmo: J \ ( Z J A t Z t ) t Nota: Como Zt vale desde que construí hasta el fnal, al escrbr de esta forma la restrccón estamos consderando sólo vez la construccón de la planta. S no lo escrbéramos así y puséramos sólo la sumatora de Zt, tendríamos la suma de muchos s... Prueben con números para la varable Z y vean que funcona! Por eemplo s =, y Zt={0,0,,,} para t={,...,5}, entonces (Z t -Z t- ) = (0-0) + (0-0) + (-0) + (-) + (-) =. Se consdera una sola vez la construccón de la planta ;). 7) Cebada mportada proporconal a malta exportada: 8) Condcón de borde: 9) Naturaleza varables: 0,8* Z Y t t,* Y t, t = 0 J \ J 0 A R, Y R, Z {0,}, t t kt t, 7

43 Fn. Obetvo: mn{,, t a t * t +, k, t m kt * Y kt + t, J \ s J A t *( Z t Z t )} Problema 8 Ganando luqutas extra Usted está tratando de ganarse una luqutas extras y es por ello que está con trabaos. El prmero es de repartdor y el segundo es de garzón. Sobre el prmero, este tene las sguentes característcas. Cada mañana usted llega a la bodega central a buscar los paquetes que debe repartr a lo largo de S stos. Al fnal de la ornada usted debe volver a la bodega central. Para poder llevar a cabo de buena forma todas sus actvdades, dspone de H undades de tempo para hacer este trabao. El tempo que demora en r de un sto a otro o desde la bodega a un sto o de un sto a la bodega es t (consdere la bodega como el sto 0). Es posble que usted no alcance a llegar a todos los stos dentro de las H horas, en tal caso usted posee alternatvas. La prmera es no r a ese (esos) lugar(es), lo que le sgnfca una dsmnucón en su sueldo. Dcha dsmnucón depende del sto que no vstó, s no fue al sto s (s S) la merma de sueldo equvale a Ps. O ben, usted puede vstarlos, pero cada undad de tempo que sgue trabaando como repartdor le sgnfca una dsmnucón de P undades de su sueldo como garzón. Además, usted sabe que s llega muy tarde a la pega de garzón lo pueden despedr y como usted no quere que esto ocurra, como máxmo segurá trabaando como repartdos HH undades de tempo por sobre las H establecdas. Su msón ahora es realzar un PPL que le permta decdr su recorrdo a través de los stos, respetando las restrccones antes planteadas. No está demás decr que usted desea que sus ngresos se vean penalzados de la menor forma posble. Recuerde que usted no va a vstar necesaramente todos los stos. Solucón problema 8 Varables de decsón Restrccones x : s va de sto a sto. 0 en caso contraro T: undades de tempo extra que trabaa como repartdor. Naturaleza de las varables. Sale de la bodega. Regresa a la bodega x {0,}; T 0 = 0 = + R 8

44 4. Tempo de trabao t H + T, 5. S se entra a un lugar se sale de él. S no se entra no se debe poder salr porque nunca se entro. = 6. Entro a un lugar máxmo una vez 7. Salgo a lo más una vez de un lugar (Esta últma restrccón no es necesara porque se tene mplícta con las otras de más arrba (restrccones 5 y 6). Tambén se podría omtr la restrccón 6 s se escrbe la 5 y la No se puede entrar al msmo lugar que donde uno esta = 0 (Esta restrccón se podría omtr trabaando los sumandos de las sumatoras apropadamente, usando dstnto de ). 9. Límte de tempo extra que se sgue trabaando como repartdor. Evtar Sub-tours, U T HH U U tal que U S-, U stos que no ncluye la bodega., U o ben: U U tal que U S-, con U stos + la bodega. Funcón Obetvo mn{ ( ) + P P T} 9

45 Problema 9: Asgnacón de espaco de productos en góndolas Consdere que debe defnr el contendo daro de las góndolas de un supermercado decdendo los productos que debe nclur en ella. Para ello usted sabe que la góndola tene nveles (ver fgura), cada uno de un alto a y b centímetros, respectvamente. Además, ambos nveles tenen un ancho de L cm. y una dstanca de fondo de P cm. Por otro lado usted cuenta con I tpos de productos dstntos, los cuales tenen cada uno un certo alto, ancho y fondo, los que se denotan por h, a y p con, respectvamente. Cada producto puede estar presente sólo en uno de los dos nveles, y por razones de exposcón de la marca sólo se pueden exponer apoyados en el ancho como se muestra en la fgura. Obvamente exsten productos más rentables que otros, por lo cual cada producto tene un benefco neto untaro B > 0, el cual ncluye todos los benefcos y costos asocados a la venta de una undad de producto. Adconalmente se requere que exsta un mínmo de MIN undades de cada producto en las góndolas de modo de garantzar una varedad y dsponbldad adecuada haca los clentes, y se debe consderar que la cantdad que exste en la bodega del supermercado de cada producto es BOD. Consdere que por tratarse del problema daro de ubcacón de productos en la góndola, no se alcanza a solctar y recbr productos adconales a las exstencas en bodega, y para efectos de modelamento suponga que no hay reposcón de productos durante el día. Suponga que todo lo que se coloca en la góndola se vende, hasta un límte que ha sdo estmado por el departamento de marketng para cada producto en DMA, y que no se puede poner un producto dstnto detrás de otro n tampoco sobre otro. Por acuerdos comercales con dos de los grandes productores de almentos de luo del país, los productos y deben estar en nveles dstntos de la góndola en caso de exhbrse. Por otro lado, los productos y 4 se venden en una oferta de pack, por lo que deben exponerse en el msmo nvel de la góndola. Por acuerdos comercales con la multnaconal LG, al consderar tres productos cualquera del conunto LG de sus productos al menos uno de ellos debe estar expuesto en el nvel superor. Plantee un modelo de programacón lneal entero mxto que permta encontrar la asgnacón de máxmo benefco de los dstntos productos a la góndola tenendo en cuenta las característcas físcas de cada producto y de la góndola. 0