Formas canónicas reales

Transcripción

1 Capítulo 7 Formas canónicas reales Introducción Sea V un espacio vectorial sobre C, f End(V y M B (f = A M(n n Sea λ = a + bi es una autovalor complejo de f de multiplicidad m Para tal autovalor complejo hemos aprendido a calcular un bloque complejo de Jordan así como un bloque de base canónica compleja asociados a dicho autovalor Nuestro objetivo en el presente capítulo es hallar una forma canónica real de Jordan así como una base canónica real de V para f cuando f posea autovalores complejos Para alcanzar este objetivo comenzaremos revisando algunas propiedades relacionadas con los números complejos 71 Algunos resultados sobre C Definición 711 Consideremos el conjunto de los números complejos C = {a + bi a, b R, i 2 = 1} Sea α = a + bi C, llamamos conjugado del número complejo α, al complejo α = a bi Los números reales a y b reciben el nombre de parte real y parte imaginaria, respectivamente, del complejo α Habitualmente, se utiliza la notación: a = Re(α, b = Im(α Proposición 711 Sean α, β C Se verifica: 1 α + β = α + β 2 αβ = αβ 3 Re(α = 1 2 (α + α, Im(α = 1 (α α 2i Proposición 712 Sea p(x R[x] un polinomio cuyos coeficientes son números reales y α C una raíz de p(x de multiplicidad m Se verifica que: 1 α es también raíz de p(x En otras palabras, p(α = 0 p(α = 0 2 La multiplicidad de α como raíz de p(x es también m 129

2 71 ALGUNOS RESULTADOS SOBRE C 130 Definición 712 Sea A = (a ij una matriz cuyos elementos son números complejos Llamamos conjugada de A a la matriz A = (a ij Proposición 713 Sean A y B matrices cuyos elementos son números complejos Se verifica: 1 A + B = A + B 2 A B = A B 3 A M(n n, C = det(a = det(a 4 rg(a = rg(a Notaciones Sea v V un vector cuyas coordenadas respecto de B son v B = ( + y 1 i, + y 2 i,, x n + y n i Consideremos los vectores x, y V tales que x B = (,,, x n e y B = (y 1, y 2,, y n Se tiene: v B = ( + y 1 i, + y 2 i,, x n + y n i = (,,, x n + i(y 1, y 2,, y n = x B + iy B, de aquí que adoptemos la notación v = x + yi Por analogía con los números complejos, escribiremos, Re(v = x, Im(v = y, donde x e y son vectores de V cuyas coordenadas son números reales Se tiene, igualmente, que x = 1 (v + v, 2 y = 1 (v v 2i Definición 713 Sean V un espacio vectorial sobre el cuerpo C y B una base de V Sea L una variedad lineal de V de ecuaciones respecto de B son Ax t = 0 Llamaremos conjugada de la variedad L a la variedad L cuyas ecuaciones, respecto de B son Ax t = 0 Proposición 714 Sean L y L variedades lineales de V Se verifica que: 1 a L a L 2 dim(l = dim(l 3 L = {v 1, v 2,, v r } es una base de L si y sólo si L = {v 1, v 2,, v r } es una base de L Las demostraciones de estas propiedades son triviales y se dejan como ejercicio dto de álgebra

3 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL Construcción de un bloque de Jordan real Proposición 721 Sean V un C-espacio vectorial, f End(V, B una base de V y A = M B (f, ( A M(n n, R Se verifica: 1 Si λ C \ R es un autovalor complejo de f cuya multiplicidad algebraica es m, entonces λ es un autovalor de f de multiplicidad m 2 Si V 1 (λ, V 2 (λ,, V s (λ es la sucesión de subespacios asociados al autovalor λ, los subespacios asociados al autovalor λ son V j (λ = V j (λ, (j = 1,, s 3 El par de autovalores λ y λ tienen la misma partición de su multiplicidad 4 Si B λ = {u 1 + v 1 i, u 2 + v 2 i,, u m + v m i} es una base de V s (λ calculada por el algoritmo de la proposición 621, entonces una base de V s (λ es B λ = {u 1 v 1 i, u 2 v 2 i,, u m v m i} y, por consiguiente, una base de V s (λ V s (λ es B λ B λ = {u 1 + v 1 i, u 2 + v 2 i,, u m + v m i, u 1 v 1 i, u 2 v 2 i,, u m v m i} 5 Si B λ y B λ son, respectivamente, las bases de V s (λ y de V s (λ, calculadas en el apartado anterior, se verifica que una base real de V s (λ V s (λ es 6 Sea B λλ = {u 1, v 1, u 2, v 2,,, u m, v m } E = λ 1 λ 1 1 λ una caja elemental de Jordan de orden r r sobre C asociada a una columna de altura r (r s en la base B λ Entonces la caja elemental de Jordan asociada a la misma columna en la base B λ será la matriz de orden r r, E = λ 1 λ 1 1 λ 7 Tomando B λλ como base de V s (λ V s (λ la caja elemental sobre R correspondiente a las cajas elementales de orden r E y E asociadas a los autovalores λ = a + bi y λ = a bi es de la forma: C E λ,λ = I C I I C, m iglesias

4 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL 132 donde Demostración ( a b C = b a ( 1 0, I = 0 1, E λ,λ = M(2r 2r, R 1 Es consecuencia inmediata de la proposición 712 ya que si p(x es el polinomio característico de f y λ C es una raíz de p(x, también lo es λ y si la multiplicidad algebraica de λ es m, también m la multiplicidad de λ 2 Sean V j (λ, (j = 1,, s los subespacios invariantes asociados al autovalor λ Sabemos que V j (λ (λi Ax t = 0 Además, teniendo en cuenta que las matrices I y A son reales, de acuerdo con las propiedades de la proposición 713, se tiene: (λi A j = (λi A j = (λi A j Igualdades de las que deducimos que V j (λ = V j (λ, (j = 1,, s 3 Como consecuencia del apartado 4 de la proposición 713 se tiene: rg ( (λi A j = rg ((λi A j = rg ( (λi A j, de donde dim ( V j (λ = dim ( V j (λ Sabiendo que la partición de la multiplicidad m de λ o λ está determinada por las dimensiones de los subespacios asociados a dichos autovalores y que estos tienen la misma dimensión, se deduce inmediatamente la proposición 4 Recuérdese, en primer lugar que dim ( V s (λ = m (multiplicidad de λ Por lo demás, la proposición es consecuencia inmediata del apartado 3 de la proposición 714 y de ser directa la suma V s (λ + V s (λ (Ver para esto último la demostración para r = 2 del lema Recordando que las transformaciones elementales de los tipos I y II, conservan la independencia lineal (ya que conservan el rango de la matriz de las coordenadas respecto de una base es fácil probar que B λλ = {u 1, v 1,,, u m, v m } es una base de V 6 Como la partición de la multiplicidad m de para ambos autovalores (λ y λ es la misma, los bloques de Jordan de ambos autovalores están compuestos por el mismo número de cajas elementales y del mismo orden de ahí, que si E es una caja elemental del bloque de Jordan asociado a λ, E lo será del asociado a λ 7 En efecto, supuesto que se ha calculado una base de V s (λ mediante el algoritmo de la proposición 621, sea {u 1 + iv 1, u 1 + iv 2,, u r + iv r }, (r s una columna completa tomada de abajo hacia arriba Por construcción, sabemos que: dto de álgebra

5 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL 133 V r V r 1 u r + iv r u r 1 + iv r 1 V 2 u 2 + iv 2 V 1 u 1 + iv 1 0 Es decir: (λ1 V f(u r + iv r = u r 1 + iv r 1 (λ1 V f(u r 1 + iv r 1 = u r 2 + iv r 2 (λ1 V f(u 3 + iv 3 = u 2 + iv 2 (λ1 V f(u 2 + iv 2 = u 1 + iv 1 (λ1 V f(u 1 + iv 1 = 0 Sea pues u k + iv k, (k = 1,, r un vector de dicha columna Caben dos casos: a k = 1 En este caso u 1 + iv 1 V 1 (λ con lo cual u 1 + iv 1 es un autovector asociado al autovalor λ = a + bi, de donde f(u 1 + iv 1 = λ(u 1 + iv 1 = f(u 1 + if(v 1 = (au 1 bv 1 + i(bu 1 + av 1 Es decir, f(u 1 = au 1 bv 1, f(v 1 = bu 1 + av 1 Con lo que la matriz de las relaciones 71 es ( a b C = b a (71 b 1 < k r En este caso u k + iv k V k (λ y, por lo tanto, (λ1 V f(u k + iv k = u k 1 + iv k 1 = f(u k + iv k = u k 1 + iv k 1 + λ(u k + iv k Es decir, { f(u k = u k 1 + au k bv k, f(v k = v k 1 + bu k + av k, (72 Regla práctica de donde la matriz de las relaciones 72 respecto de {u k 1, v k 1, u k, v k } es de la forma: 1 0 ( 0 1 I a b = C b a Con lo que queda probada la proposición Sea λ = a + bi un autovalor complejo de f de multiplicidad m 1 o Comenzamos, como en el caso complejo, calculando los subespacios asociados a λ, V 1, V 2,, V s, sus correspondientes dimensiones n 1, n 2,, n s y los números p 1, p 2,, p s m iglesias

6 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL o Con los datos anteriores ya podemos calcular el bloque complejo de Jordan asociado a λ Ahora, para obtener el bloque real asociado a los autovalores λ y λ bastará sustituir el autovalor λ por la caja C definida en el apartado 7 de la proposición anterior, los unos, si los hubiese, de la paralela a la diagonal por la matriz I y completar con ceros de modo que el orden de la nueva matriz se 2m 2m 3 o A continuación calculamos, por el método establecido en la proposición 621, una base compleja de V s Sea ésta B λ = v 1, v 2,, v m 4 o El bloque de base canónica real asociado a los autovalores λ y λ será de la forma: B λλ = { Re(v 1, Im(v 1, Re(v 2, Im(v 2,,, Re(v m, Im(v m } Ejemplo 1 Sean V un espacio vectorial sobre C, B = {u 1, u 2, u 3, u 4 } y f End(V tal que: A = M B (f = Calcular las formas canónicas, compleja y real de f y unas bases canónicas, compleja y real de V para f Solución Autovalores de f 0 = λi A = (λ 2 2 λ = λ 1 = 1 + i, (m 1 = 2, λ 2 = 1 i, (m 2 = 2 Subespacios asociados a λ 1 = 1 + i V 1 (λ i i i i = 0 Utilizando la forma reducida de la matriz de los coeficientes de V 1, obtenemos: i 1 V 1 (λ (1 i 1 2 (1 + i = 0, de donde deducimos que dim ( V 1 (λ 1 = 2, con lo cual los bloques de Jordan asociados a los autovalores λ 1 = 1 + i y λ 2 = 1 i son de la forma: J λ1 = ( 1 + i i ( 1 i 0, J λ2 = 0 1 i Una base B λ1 de V 1 (λ 1 es B λ1 = {( 2, 1 + i, 2, 0, ( 2i, 1 i, 0, 2} dto de álgebra

7 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL 135 Formas canónicas compleja y real de f De lo anterior se deduce que J C = 1 + i 1 + i 1 i 1 i, J R = Bases canónicas compleja y real de V para f Estas son: B C = {( 2, 1 + i, 2, 0, ( 2i, 1 i, 0, 2, ( 2, 1 i, 2, 0, (2i, 1 + i, 0, 2}, B R = {( 2, 1, 2, 0, (0, 1, 0, 0, (0, 1, 0, 2, ( 2, 1, 0, 0} Ejemplo 2 Sean V un espacio vectorial sobre C, B = {u 1, u 2, u 3, u 4 } y f End(V tal que: A = M B (f = Calcular las formas canónicas, compleja y real de f y unas bases canónicas, compleja y real de V para f Solución Autovalores de f 0 = λi A = (λ 2 2 λ = λ 1 = 1 + i, (m 1 = 2, λ 2 = 1 i, (m 2 = 2 Subespacios asociados a λ 1 = 1 + i V 1 (λ I I I I = 0 Utilizando la forma reducida de la matriz de los coeficientes de V 1, obtenemos: V 1 (λ i = 0, de donde deducimos que dim ( V 1 (λ 1 = 1, con lo cual f no es diagonalizable y los bloques de Jordan asociados a los autovalores λ 1 = 1 + i y λ 2 = 1 i son de la forma: J λ1 = ( 1 + i i ( 1 i 1, J λ2 = 0 1 i m iglesias

8 CONSTRUCCIÓN DE UN BLOQUE DE JORDAN REAL 136 Una base B 1λ1 de V 1 (λ 1 es B λ1 = {( 1 i, 1, 1, 1} V 2 (λ i i 2 2 i 2 i 0 2 i 2 2 i 2 2 i i 2 2 i 2 i i 4 i 4, lo que es equivalente (utilizando, igualmente, la forma reducida por filas, V 2 (λ i (1 i 1 2 (1 + i = 0 = 0 Una base B 2λ1 de V 2 (λ 1 es Formas canónicas compleja y real de f De lo anterior se deduce que: J C = B 2λ1 = {( 2, 1 + i, 2, 0, ( 2i, 1 i, 0, 2} 1 + i i 1 i 1 1 i, J R = Bases canónicas compleja y real de V para f Calculemos un bloque de base compleja de Jordan asociada al autovalor λ 1 Como p 1 = 1 y p 2 = 1, tenemos V 2 ( 2, 1 + i, 2, 0 (λ 1 I A V 1 (2i, 1 + i, 1 i, 1 i B C = {(2i, 1 + i, 1 i, 1 i, ( 2, 1 + i, 2, 0, ( 2i, 1 i, 1 + i, 1 + i, ( 2, 1 i, 2, 0}, B R = {(0, 1, 1, 1, (2, 1, 1, 1, ( 2, 1, 2, 0, (0, 1, 0, 0} dto de álgebra