EJERCICIOS PROPUESTOS

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1 Deerminnes y. Ejercicios resuelos. EJERCICIOS PROPUESTOS. Clcul el vlor de los siguienes deerminnes. 4 6 e) d) 0 4 f) + 4 ( ) = = = = + = = = = = = = 8 d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e) 4 = = 9 = = + f) ( ) ( ) 40 Unidd Deerminnes

2 4. Comprueb que se obiene el mismo vlor l desrrollr el deerminne de l ercer fil y l desrrollrlo por los de l cur column. Desrrollndo por l ercer fil: 0 0 por los elemenos = = ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( 6) = 49 0 Desrrollndo por l cur column: = = ( ) + ( ) + ( ) = = ( ) = Clcul el vlor del deerminne más conveniene desrrollándolo por los elemenos de l líne que cres Desrrollmos por l ercer column: = = ( ) 0 ( ) 4 = 75 ( 0) = Resuelve ls siguienes ecuciones. x = x 0 = x 0 x = x+ x d) x x x = 7 = x + = x = 0 x x 5 = x + x + = x + x 0 = 0 x =, x = x + x x x 0 = x + + = x = 9 x =, x = 0 x x x = 7 x + + x x x x + 4x = 7 5x + = 7 x = d) ( ) ( ) ( )( ) Deerminnes Unidd 4

3 7. Ejercicio resuelo. 8. Jusific, sin desrrollr, ls siguienes igulddes. 8 b c 5 = 0 b+ c + c + b = p q q s = r s p r 8 5 = 0, y que los elemenos de l ercer fil son nulos b c + b+ c + b+ c + b+ c b+ c + c + b = b+ c + c + b = ( + b+ b+ c + c + b = 0 F F+ F F= F p q = q p = q s r s C C s r Propiedd 7 p r 9. Comprueb, sin desrrollr, l siguiene iguldd. d b e + bc d + ef c f p q p+ qr r s s+ u u = 0 El deerminne es nulo, y que C = C+ C C Ejercicios resuelos.. Reduce los siguienes deerminnes de orden res un deerminne de orden = 0 9 = F F F 7 9 F F F = = F F F F F5 F Reduce el siguiene deerminne de orden 4 un deerminne de orden y, poseriormene, un deerminne de orden = = 0 4 = 0 0 = 4 F FF C C4C 7 50 F F F F4 F4 F Unidd Deerminnes

4 5. Clcul el vlor de los siguienes deerminnes = = = F FF = = = 4 F FF F F F 0 F4 F4 F = = 4 = F F F 5 4 F F F F4 F46 F Clcul el vlor de k pr que se cumpl: = 4 4 k = = 0 = = k 4 4 F F F 0 0 k F F4 F 0 k F4 F4F k 0 0 k Por no, enemos k = k =. 7. Hll el vlor de los siguienes deerminnes hciendo previmene ceros. x+ 5 x + 8 x+ x+ 6 x+ 9 x+ x + 7 x + 0 x + b b 4 x+ 5 x+ 8 x+ x+ 5 x+ 8 x+ x+ 5 x+ 8 x+ x+ 6 x+ 9 x+ = = = 0 x + 7 x + 0 F FF F F F x + F FF b b b b b b = = = = = C CC C C C b b 0 ( ( ( ( ) ( ) 4 = b = b Deerminnes Unidd 4

5 8. Trnsform los siguienes deerminnes en sus equivlenes ringulres y clcul su vlor. 4 4 x x x x+ y x x x x + z x = 9 = 0 5 = 0 5 = F FF F F F F FF x x x x x+ y x x x + y x x x + y x x + y x x = x x x + z = 0 y z = 0 y z = xyz x x+ z Trnsponiendo F FF F FF x x x x F FF 0 y z 9. Ejercicio inercivo. 0 y. Ejercicios resuelos.. Clcul el rngo de ls siguienes mrices. = B = = 4 0 rg( ) = 0 F = F rg( B) = rg. Como 0 0 =, rg( B ) =.. Esudi el rngo de l mriz según los diferenes vlores del prámero λ. λ + = 0 λ + 0 = ( λ+ )( λ+ ) ( λ+ ) = ( λ+ ), por no, el único menor de orden se nul si λ=. sí, si λ enemos rg( ) = y si λ= enemos 0 rg( ) = rg 0 rg = =. 0 4 y 5. Ejercicios resuelos. 44 Unidd Deerminnes

6 6. Clcul ls mrices inverss de: = = = B C 0 0 Invers de : = 0 es inverible, dj( ) = Invers de B: B = 4 0 B es inverible, dj( B) = Invers de C: C = 0 C es inverible, dj( C) = 0 0 = = =. y ( dj ( )) y ( dj ( )) B B B 4 = = 4 = = dj = = C. y C ( ( C) ) 7. Clcul ls mrices inverss de: = B 0 = 0 5 Invers de : = es inverible, dj( ) = 6 5 y ( ) Invers de B: B = 0 B es inverible, dj( B) = 0 y 0 B 0 0 = ( dj(b) ) = = B = dj( ) = Clcul los vlores de pr los cules l mriz pr =. = posee invers y hll dich mriz invers L mriz iene invers si 0 : ( ) Por no, si y, l mriz iene invers. Pr = enemos = 0 = = 0 =, = = y ( dj ( )) 4 = = 4 = Hll los vlores de k pr los cules no posee invers l mriz k = k. k L mriz iene invers si 0 : ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 + k k 4 k k + + k k = 0 k 9k + 9 = 0 k =, k = Por no, l mriz no iene invers si k = o k =. Deerminnes Unidd 45

7 0 y. Ejercicios resuelos.. Suponiendo que, en cd cso, ods ls mrices que precen son cudrds del mismo orden y que ls mrices y B poseen invers, despej l mriz X en ls siguienes expresiones. X = B X + B = C e) XB = g) XB + B = B X = B d) X B = f) ( ) X + B = B h) XB + B = B X = B X = B X = B X = B = B X + B = C X = C B X = ( C B) d) X = B X = B e) XB = X = B = B f) X + B = ( B) X = ( B) B X = ( B) B ( ) g) ( ) ( ) XB + B = B XB = B B X = B B B h) + = = = ( ) XB B B XB B B X B B B. Hll ods ls mrices X les que 0 0 X = X 0 0. b = 0 b b 0 0 b b 0 b = b = 0 X = b 0 c d c d 0 = 0 c d = = c d 0 b c = + d c = d b = 0 Por no, ls mrices buscds son de l form 0 0 X = c c pr lgún c. 4. Clcul l mriz X l que X B = 4C, siendo: 0 = B C = = 4 Si iene invers endremos ( ) =, exise ( dj( ) ) Como 7 0 X B = 4C X = 4C + B X = 4C + B. 7 7 = = 7 =, por no: ( 4 ) X = C+ B = = Ejercicio inercivo Ejercicios resuelos. 46 Unidd Deerminnes

8 EJERCICIOS Deerminnes de orden y 48. Clcul el vlor de los siguienes deerminnes. 4 8 e) d) 5 8 f) = = 5 8 e) 7 = = 4 = = 5 d) = 8 f) = = Clcul el vlor de los siguienes deerminnes e) g) d) f) 0 0 b + b h) 0 log log4 log log4 log8 log4 log8 log6 d) e) = = = = = = = = = = b = b + b b = b + b f) ( ) = 8+ + = g) h) 0 log log4 0 log log 0 log log log log4 log8 = log log log = log log log = 6log + 6log 8log 4log = 0 log4 log8 log6 log log 4 log log log 4log Deerminnes Unidd 47

9 50. Clcul el vlor de ls expresiones siguienes = + = ( ) ( ) = = Resuelve ls siguienes ecuciones. x = x = x x 8x = 0 d) x 5 x + x = 0 = 0 x = 0 x = x 4 x x x = = = x 5 = 0 8x + 6x = 0 8x + 6x + 0 = 0 x =, x = x 8x 4 x 5 x + x d) ( )( ) ( ) = 0 x + x 5 x = 0 x 6 x + 7 = 0 x =, x =7 5. Resuelve ls siguienes ecuciones. 0 x 5 6 = 0 x x = 0 x + x x x = 48 d) x x + x + x + x = 6 0 x 5 6 = 0 5x 5x+ 6 = 0 x = 7 x x x = 48 5x+ 4xx5x x+ 4x = 48 x = x x = 0 x + + x + + x + x + x + 8 = 0 x + 5x 6 = 0 x =, x = x + x x + x + x + x = 6 x 4x8xx x+ 4x+ 6x+ 6+ x = 6 x + 4x+ = 0 x = d) 48 Unidd Deerminnes

10 5. Resuelve ls ecuciones siguienes. x x x = 5 x 0 x x 0 = 8 0 x x x x = 5 x x x x + x = 5 4x 6x + 8 = 0 x =, x = x 0 x x 0 = 8 x + 8 4x = 8 x 4x = 0 x = 0, x =, x = 0 x Propieddes de los deerminnes 54. Dds ls mrices: Clcul los producos B y B. 4 0 = B = 0 0 Clcul el vlor de los deerminnes B y B y comprueb si son igules B = 4 0 y B = 0. B = = 4 0 C=C 0 y B = = no son igules Dds ls mrices: Clcul los producos B y B. 5 0 = 0 0 B = Clcul el vlor de los deerminnes B y B y comprueb si son igules. 5 7 B = y B = B 5 7 = 5 0 = y B = 9 4 = 0 son igules. 4 Deerminnes Unidd 49

11 56. Clcul el vlor de los siguienes deerminnes sbiendo que: x y b = x x + y + b b x y 0 00x 0b 00y d) b x y d) x x + y x x x y = + = + b Propiedd 9 b Propiedd x x x y = = = b y Propiedd 5 y b Propiedd 7 b 0 00x x x x y = 000 = 000 = 000 = 000 0b 00y Propiedd 6 b y Propiedd 5 y b Propiedd 7 b b = b = x y = 6 x y Propiedd 6 x y Propiedd 5 b 57. Clcul el vlor de los siguienes deerminnes sbiendo que: b c x y z p q r = 6 x y z b c 4p 4q 4r x p y q b z r c b c x + y + b z+ c + x+ p b+ y + q c+ z+ r d) + x x + p p b+ y y + q q c+ z z+ r r d) x y z b c 4p 4q 4r x y z b c = 4 b c = 4 x y z = 4 p q r p q r Propiedd 6 Propiedd 5 b c b c b c x + y + b z+ c = x y z = x y z = 6 + x+ p b+ y + q F F F F FF c + z+ r F FF x + p y + q z+ r p q r x p x y z b c b c y q b = p q r = p q r = x y z = 6 z r Propiedd 7 Propiedd 5 Propiedd 5 c b c x y z p q r + x x + p p + x x + p p + x x p x p b c b+ y y + q q = b+ y y + q q = b+ y y q = b y q = x y z = c+ z z+ r r Propiedd 6 C CC C CC Propiedd 7 c + z z+ r r c + z z r c z r p q r 50 Unidd Deerminnes

12 b c 58. Sbiendo que x y z =, clcul el vlor de los deerminnes siguienes. r s b c x y z r s r s b c x y b zc b c b c x y z = 6 x y z = 8 r s Propiedd 6 r s r s r s r s b c b c b c = b c = b c = r s = x y z = 6 x y b Propiedd 6 F F+ F Propiedd 5 Propiedd 5 zc x y b zc x y z x y z r s m n p 59. Se sbe que = 5. Clcul el vlor de los deerminnes: m n p m+ n+ p+ m+ n+ p+ m n p m n p m n p m n p m n p 5 = = = F FF Propiedd 6 m+ n+ p+ m+ n+ p+ m n p m n p m n p 5 m n p = m+ n+ p+ = = = m n p m n p F F F FF Propiedd 6 F FF 60. Clcul el vlor de siguiene sum de deerminnes sin desrrollr previmene cd deerminne por seprdo = = 0 4 =0 Propiedd Prueb, sin necesidd de desrrollr, que el vlor del siguiene deerminne es nulo Ls fils del deerminne son linelmene dependienes, y que = F F F F, por no, el deerminne es nulo. Deerminnes Unidd 5

13 6. Clcul el vlor de l sum de deerminnes: + b x + y p + q b xy pq ( + ( x + y) ( p+ q) + ( + ( x + y) ( p+ q) + b x + y p+ q + b x + y p+ q plicndo l propiedd 9 enemos: b x y p q b xy pq b b x y xy p q pq ( ( x y) ( p q) ( ( x y) ( p q) ( ( x y) ( p q) = = + b x + y p+ q + b x + y p+ q + b x + y p+ q F= F 0 Cálculo de deerminnes 6. Desrroll el siguiene deerminne por los elemenos de su ercer column y clcul su vlor = + = 54 = Desrroll los siguienes deerminnes por los elemenos de l fil o column que más ceros pose y clcul su vlor Desrrollndo por los elemenos de l primer fil: = ( ) = = 4 5 Desrrollndo por los elemenos de l ercer column: 0 4 = 4 = 8 5 = 0 5 Unidd Deerminnes

14 65. Hz ceros en un de ls fils o columns de los siguienes deerminnes y clcul su vlor d) d) 0 0 = = = 0 0 F4 F4 F = = 7 = 8 C CC 7 C4 C4+ C = = = 9 F4 F4F = = = F FF F4 F4F F4 F4F Clcul los siguienes deerminnes por el méodo de Guss. 4 = = 7 0 = 7 0 = 7 4 F F F F F0F F F4 F = 0 = 0 = F FF F F+ F F F+ F Trnsform el siguiene deerminne pr que l primer fil eng dos ceros y clcul su vlor = + = = 0 C CC C CC + 4 Deerminnes Unidd 5

15 68. Clcul los siguienes deerminnes de orden 4por el méodo de Guss d) d) = = 0 = 0 0 = 48 F F F 0 F FF C C C C F4 F4F = = = = = 7 F FF F F+ 9F F4 F4 F F 4 F4F F4 F4+ F = = = = 60 4 F FF F FF F4 F4+ F F F F F4 F47 F 4 F4 F44 F = = = = = F F+ F 0 0 F F F4 F4+ F F F F4 F4 F Rngo de un mriz 69. Dd l mriz: = Escribe odos los menores de orden prir del menor de orden deermindo por ls fils.ª y.ª y ls columns.ª y 4.ª Escribe odos los menores de orden 4 prir del menor de orden deermindo por ls fils.ª,.ª y.ª, y ls columns.ª,.ª y 4.ª 4 El menor de orden indicdo es. Los menores de orden consruidos prir de ese menor son: , , , 4 4, y El menor de orden indicdo es Los menores de orden 4 consruidos prir de ese menor son: y Unidd Deerminnes

16 70. Clcul el rngo de ls siguienes mrices. = = 4 0 e) = g) 0 = = 4 0,5,5 d) = f) 4 = h) = = 0 rg( ) =. = 0 rg(). Como = 8 0 rg( ) =. 4 = 6 0 rg( ) =. d) = 0 rg(). Como 4 = 0 0 rg( ) =. e) Como = 6 0 rg( ). mplindo ese menor de orden ñdiendo l cur column y l ercer 0 fil obenemos f) Como orden son: 0 = , luego rg( ) =. = 0 rg( ). Los dos menores de orden que se obienen mplindo ese menor de 0 0 = 0 4 y = 0, 4 8 Por no, rg( ) =. 0 F = F + F, C = C rg( ) = rg. Como = 7 0 rg( ). Los menores de orden que se obienen mplindo ese menor de orden dos son: g) 5 0 = y = 0, Por no, rg( ) =. h) Como 5 4 orden dos son: = 6 0 rg( ). Los menores de orden que se obienen mplindo ese menor de 5 4 = 0, = 0, 5 4 = y = 0, Por no, rg( ) =. Deerminnes Unidd 55

17 7. Esudi, en cd cso, según los vlores del prámero, el rngo de ls mrices: = = = = = 0 =, = 4 Si y Si = enemos Si 5 enemos 0, por no, rg( ) =. 4 5 = enemos 4 =, con = 0 y = =, con = 0 y = = = = 0 = 0, =, por no, rg( ) =., por no, rg( ) =. Si 0 y enemos 0, por no, rg( ) =. Si = 0 enemos 0 = , con = 0 y = 4 0, por no, rg( ) =. 4 0 Si = enemos = 4 6, con = 0 y = 0, por no, rg( ) =. 7. Esudi, según los vlores del prámero, el rngo de l mriz: = ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) = = = 0 = Si Si enemos 0, por no, rg( ) =. = enemos =, con 0 y = 0, por no, rg( 0 ) = Unidd Deerminnes

18 7. Esudi, según los vlores de los prámeros y b, el rngo: + b = + b + b + b + b = + b = + b + b = ( + + b = ( + 0 b 0 = C C+ C+ C F FF + b + b + b + b F FF 0 0 b = ( + b, con lo que ( ) = 0 + b b = 0 b = 0, b =. Si b 0 y b enemos 0, por no, rg( ) =. Si b = 0 enemos si 0 rg( ) = rg = 0 si = 0 Si b = enemos = rg( ) = rg = 0 si = 0 si 0, y que 0 en ese cso Mriz invers 74. Clcul ls mrices djuns de ls siguienes y hll, pr cd cso, ( dj( )). 4 = 5 = = dj( ) = (dj( )) = 5 = dj() = (dj( )) = = dj( ) = (dj( )) = = No: Observemos que, en cd cso, ( dj( ) ) = I. Deerminnes Unidd 57

19 75. Clcul ls mrices inverss de: = 7 0 B = 5 C 4 = d) 0 D = = 0 es inverible y ( dj( ) ) 7 7 = = =. 5 5 B = 0 B es inverible y B = ( dj( B) ) = B 0 =. 0 C = 0 C es inverible y 5 5 C = ( dj( C) ) = =. 8 C d) D = 8 0 D es inverible y D = ( dj( D) ) = 6 4 D 8 = Clcul ls mrices inverss de: = 4 0 B = = 0 es inverible y = ( dj( ) ) = = B = 0 B es inverible y B = ( dj( B) ) = 8 B = Clcul l mriz invers de: = = = = = 0 4 F F+ F 0 F F+ F 0 F4 F4F 0 0 es inverible y 0 = ( dj( ) ) = = Unidd Deerminnes

20 78. Clcul, en función de, ls mrices inverss de: + = 0 B = 0 = + = 0 es inverible pr culquier vlor de y ( ( )) dj = = = + +. B = + = 0 B es inverible pr culquier vlor de y Ecuciones mriciles 79. Resuelve l siguiene ecución mricil. ( dj( ) ) B. + B = B = + = 4 = X Si l mriz 4 = iene invers endremos: X = = X = =, exise ( dj( ) ) Como 0 = = 4 = y, por no: 0 = 9 = = 9 X 80. Resuelve l ecución mricil siguiene. 0 X 0 = 0 0 ( ) Si l mriz 0 = 0 0 iene invers endremos ( ) X = 0. Como = 0, exise = ( dj ( ) ) = = y, por no: X = = = ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 ). Deerminnes Unidd 59

21 8. Sen ls mrices: Resuelve l ecución mricil X B = C. 5 = B = C = 4 6 Si l mriz iene invers endremos X B C X ( B C) = + = +. Como = 0, no exise, por no, usremos el méodo direco pr clculr X. Pongmos b X = c d, enemos: + c = 0 b 0 + c b+ d c = 0 X B = C X = B + C 4 6 c d = c 4b 6d = b+ d = 4b+ 6d = 4 c d = cb, = d X= c d con c, d. 8. Resuelve l ecución mricil X + X = B, siendo: = B = 0 Tenemos ( ) X X + X = B + I X = B, por no, si l mriz C =, exise = C B. Como 0 0 C = + I = iene invers endremos C = ( dj( C) ) = C 0 = y, por no: X = C B = = Unidd Deerminnes

22 8. Resuelve l ecución mricil X + B = C, siendo: = B = C = Si l mriz iene invers endremos X = CB X = ( C B). Como = 0, exise 0 4 = ( dj( ) ) = 0 0 = 0 y, por no: X = ( C B) = = Resuelve, sin usr el méodo direco, X BX = C, siendo: = B = C = Tenemos X BX = C ( B) X = C, por no, si l mriz X D = exise = D C. Como 0 D = B = 0 iene invers endremos D 0 0 = ( dj( D) ) = D = y, por no: 0 0 X D C = = = 4 Deerminnes Unidd 6

23 85. Dds ls mrices: Resuelve l ecución X = B. Resuelve l ecución X = B. = Resuelve l ecución ( I) X = B B = 0 I = 0 Si l mriz iene invers endremos X = exise = B. Como 0 ( dj( ) ) = = = y, por no: X = B = = 0 L ecución X = B no puede ener solución, y que X deberí ener columns y B iene res columns De hecho, si despejmos X = B = no se puede relizr. Si l mriz I = iene invers endremos X = ( I) B. Como I = 0, no exise, por no, usremos el méodo direco pr clculr X. Observemos que X iene que ener dimensión x, pongmos b c X = d e f, enemos: b c d be cf I X = B = = d e f d be c f ( ) d = 4 4 0, b e = y c f = d = b e = c f = Esos sisems no ienen solución, por no, l ecución mricil no iene solución. 86. Resuelve l ecución BXB = C, siendo ls mrices: = B = 0 C = 4 Si ls mrices y B ienen invers endremos X = B C B. Como = 5 0 y B = 0 exisen Por no: ( ) dj( ) = = 5 = 5 y ( ) B B B 0 0 = dj( ) = = 0 0 X = B C B = = = = = = Unidd Deerminnes

24 87. Sen ls mrices: = B = 4 Efecú l operción B. Deermin l mriz X l que + X = B. Hll l mriz Y l que 6 BY = B = = = = = 6 = X B X ( B ) Si l mriz B iene invers endremos Y B 6 = 9. B = exise B ( dj( B) ) Como = = B 4 = 4 y, por no: Y = B = = = Sínesis 88. Se consider l ecución X = B. Siendo: Cuál debe ser l dimensión de X? = 0 0 B = 0 Crees que serí correco escribir X = B? Encuenr ods ls posibles mrices X que verifiquen l ecución. X debe ser un mriz cudrd de orden. No es correco, y que l no ser cudrd, no iene invers. Si b X = c d enemos: + c = + c b+ d b b+ d = X = B 0 b, b, c 0, d c d = = = = = = b 0 0 = = c d 0 c = 0 d = Luego, X =. 0 Deerminnes Unidd 6

25 89. Considerndo l ecución X = B y ls mrices: Es correco escribir X = B? Cuál debe ser l dimensión de X? 0 = 0 0 Clcul ods ls mrices X soluciones de l ecución. 4 B = No es correco, y que = 0 y, por no, no iene invers. L dimensión de X debe ser x. Si X = b c enemos: c 4 + c = 4 4 c 0 0 b b = = = b = b c = + b+ c + b+ c = Ls mrices del ipo 4c X = c con c verificn l ecución. 90. Esudi, según los vlores del prámero, el rngo de ls siguienes mrices. = = = = B 4 C D Rngo de : = = 0 = Si enemos 0 y, por no, rg( ) =. Si = enemos = 5 con = 0 y 5 0 =, por no, rg( ) =. Rngo de B: B = 0 + 6= 0 ( ) = 0 = 0, = Si 0 y enemos B 0 y, por no, rg( B ) =. Si = 0 enemos Si = enemos 0 B = B = con B = 0 y 4 = 0, por no, rg( ) 0 6 B =. con B = 0 y = 6 0, por no, rg( ) 4 B =. Rngo de C: C = 0 6+ = 0 sin solución, por no, pr culquier vlor de, C 0 y rg( C ) =. Rngo de D: D = = 0 = Si enemos D 0 y, por no, rg( D ) =. Si = enemos D = con D = 0 y rg( D ) =, y que ls res fils de D son proporcionles. 64 Unidd Deerminnes

26 9. Esudi, según los vlores de m, el rngo de l siguiene mriz. m = m 4 m = 0 pr culquier vlor de m, por no, rg( ) pr culquier vlor de m. Observemos que m = 0 m = 0 m =, por no, si m enemos rg( ) = y si m = enemos rg( ) = rg 4 =. F = F F= F 9. Esudi, según los vlores de λ, el rngo de ls siguienes mrices. λ λ λ = 4 B λ = 4 5 λ λ λ Rngo de : Como 4 = 5 0 rg( ) pr culquier vlor de λ. nlicemos los menores de orden prir de ese deerminne de orden : λ λ 4 =6λ+ 6 =6( λ) 4 5 λ = ( λ) 4 λ Si λ= esos dos menores se nuln y, por no, rg( ) =. Si λ culquier de esos menores es no nulo y, por no, rg( ) =. Rngo de B: λ rg( B) = rg C4= C λ λ λ λ = 0 λ λ+ = 0 λ=, λ= λ y Si λ y λ enemos B 0 y, por no, rg( B ) =. Si λ= enemos Si λ= enemos rg( B) = rg = rg( B) = rg =. y que = Esudi, según los vlores de k, el rngo de l mriz: 0 = 0 k k El menor de orden 0 0 k = pr culquier vlor de k, por no, rg( ) = pr culquier vlor de k. 0 0 Deerminnes Unidd 65

27 94. Deermin pr que vlores de λ iene invers l mriz: λ = λ 4 Clcul l expresión de dich mriz invers pr λ= 4. Pr dicho vlor, resuelve l ecución X = I siendo I l mriz idenidd de segundo orden. ( ) +λ= λ= = 0 4 +λ = 0 +λ= λ=, por no, iene invers si λ y λ. Pr λ= 4 enemos 5 = = = 5 =. 5 y ( dj( ) ) 4 5 X I X I = = = = Pr qué vlores de λ iene invers l mriz? λ λ = λ Clcul l expresión de dich mriz invers pr λ = 0. = 0 λ +λ 6 = 0 λ=, λ=, por no, iene invers si λ y λ. Pr λ= 0 enemos 0 0 = = dj( ) = 0 0 = y ( ) 96. Pr qué vlores de λ iene invers l siguiene mriz? λ = 0 λ 7 λ Clcul l expresión de dich mriz invers pr λ =. = 0 6λ + λ= 0 λ=, λ= 0, por no, iene invers si λ y λ 0. Pr λ= enemos = = dj( ) = = y ( ) 66 Unidd Deerminnes

28 97. Clcul los vlores del prámero λ pr los cules l siguiene mriz cudrd iene invers. Clcul el vlor de dich mriz invers pr el vlor λ = 4. λ λ 4 = 0 λ 0λ+ = 0 λ=, λ=, por no, iene invers si λ y λ. Pr λ= 4 enemos = 8 4 = Clcul ods ls mrices X les que: 0 0 X X = 0 0 Si b X = c d enemos: 0 0 b 0 b 0 b b 0 X X = = = 0 0 c d 0 c d 0 c d b 0 ( ) ( d) ( ) ( d) ( ) ( ) b = b = ( ) ( ) 0 c b b b = c d = = ( c d) b( c d ) 0 b b = 0 b = 0 o = b b c 0 = b = 0 o c = d ( ( d) = 0 = = =, c = + d c = Si b = 0 enemos ; si b 0 enemos = b, que no iene ( c d) = =, c = + d = b c = d c = d 0 solución, por no, ls soluciones de l ecución son ls mrices de l form X = + d d o 0 X = + d d pr d. Deerminnes Unidd 67

29 99. Dd l mriz 0 = 0, Clcul los vlores de pr los cules exise. Clcul dich mriz invers pr =. Resuelve l ecución mricil X = B siendo l mriz correspondiene l vlor = y B =. = + = 0 =, =, por no, iene invers si y. Pr = enemos 0 = 0 = dj( ) = 4 = y ( ) X = B = 0 0 = Se l mriz 0 = 0. k Esudi el rngo de según los vlores del prámero rel k. Clcul, si exise, l mriz invers de pr k =. = 0 8 4k = 0 k = Si k enemos 0 y, por no, rg( ) =. Si k = enemos 0 = 0 con = 0 y = 6 0, por no, rg( ) 0 =. Según el prdo nerior, pr k = enemos 0 = 0 y 0, con lo que exise 0 0 = ( dj( ) ) = = Unidd Deerminnes

30 0. Resuelve l ecución: X + = Si l mriz = iene invers endremos: X = = = exise ( ) Como = dj( ) = = X = = y, por no: 0. Clcul el vlor de los deerminnes de Vndermonde: El deerminne de Vndermonde de orden es: 0 0 b c b c = b c = = ( b( c = ( b( c ( c C CC b c b+ c + C b c CC b c En priculr, 4 = 4 = ( )(4 )(4 ) = De mner nálog se demuesr que el deerminne de Vndermonde de orden es: b c d b c d b c d = ( b( c ( d ( c ( d ( d En priculr, 4 4 = = ( )( )(4 )( )(4 )(4 ) = Clcul el vlor de x + y + x + y u + v + u + v s+ + s+ x y sbiendo que u v = 5. s x + y + x + y x + y + x + y + x y u+ v + u+ v = u+ v + 4 = u+ v + = u v = 0 s+ + s+ C CCC C CC s+ + 6 s+ + C CC s Deerminnes Unidd 69

31 04. Clcul el vlor de los siguienes deerminnes: x x x x x x x x x = = = 0 4 C C C F=F C CC 8 5 C CC = = 0 = 0 = 0 = 60 4 C C+ C+ C+ C F FF 0 F FF F4 F4F x x 05. Resuelve l siguiene ecución: = 80x 96 x x x x+ 6 x x+ 6 x x 0 x = = ( x + 6) = ( x + 6) = x C C+ C+ C+ C4 x + 6 x x F FF 0 x F FF F4 F4F x x + 6 x x 0 x x = ( x + ) x = ( x + )( x x + x ) = x x + x x Por no, ( ) 4 4 x x x x x x x x x x x = = 0 0 = 0 = 0, = 0 = 5, = 0 = Indic si el resuldo del siguiene produco de mrices iene invers. 5 4 ( ) 5 ( 5 ) = Ls fils de es mriz son proporcionles, por no su deerminne es 0 y no iene invers. 70 Unidd Deerminnes

32 CUESTIONES 07. Los elemenos de l mriz cudrd de orden 4, = ( ij ) son: Escribe l mriz. Clcul el vlor del deerminne de l mriz. si i = j = ij = 0 si i = j si i j 0 = = = = = 5 0 F F+ F 0 F F+ F F4 F4+ F Clcul el vlor del deerminne de orden,, l que ij = i + j. 5 = = Clcul el vlor del deerminne de orden,, l que = i j. ij 0 = = Deermin ls mrices de l form b = b pr que no dmi invers. Escribe lgún ejemplo. L mriz no dmie invers si = 0, es decir, si + b = 0 b = b = ±, por no, ls mrices de l form = o = no dmien invers. Por ejemplo, l mriz = no dmie invers.. Despej X en ls siguienes ecuciones suponiendo que ls mrices que inervienen son ods cudrds del mismo orden y poseen mriz invers. X + BX = B XB + C = D X = B d) ( X + B) = CX ( ) ( ) X + BX = B + B X = B X = + B B + = = = ( ) XB C D XB D C X D C B X = B X = B = B d) ( ) ( ) ( ) X + B = CX X + B = CX X CX = B C X = B X = C B Deerminnes Unidd 7

33 . Dd l mriz regulr de orden res, con = 5, clcul el vlor del deerminne de su invers y el vlor del deerminne de su djun. = I = I = = = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) dj( ) = I dj( ) = I dj( ) = dj( ) = dj( ) = = 5. Escribe, si es posible, un mriz de dimensión res por curo l que su rngo vlg: 0 d) d) plicndo ls propieddes de los deerminnes, indic l rzón por l que los siguienes deerminnes son odos nulos. 0, 0,5 0,75 5,,5 4, 5 0, 5 0, 6 0,75 0,05 0,8 0,5 0, 0, 5 El deerminne es 0, y que F = F F. El deerminne es 0, y que C =, 5C. 5. Indic, sin resolverlos, l rzón por l que los siguienes deerminnes son odos nulos El deerminne es 0, y que F4 = F+ F + F. El deerminne es 0, y que C = C4. 6. Di si ls siguienes firmciones son verdders o flss pr un deerminne de orden 4: Si l fil primer y l column segund son igules, el deerminne vle 0. Si el produco de ls dos primers fils es igul l ercer, el deerminne vle Fls, = Fls, = 6 7. Qué relción deben verificr los números, b y c pr que b c = 0? b c Observemos que el deerminne de Vndermonde b c = ( b( c ( c, con lo que el deerminne b c será nulo si l menos dos de los res números, b y c son igules. 7 Unidd Deerminnes

34 PROBLEMS 8. Comprueb que los números 97, 5 y 405 son odos múliplos de 7. Demuesr, sin necesidd de desrrollrlo, que el deerminne es múliplo de 7. No: plic C C + 0C + 00C 97 = 7 5 = 7 97 = = 5 5 = 5 7 = C C+ 0C+ 00C es múliplo de Clcul el vlor del deerminne: x x x x x y x x x x y x x x x y x x x x x x x x x y x x 0 x + y x x = = xx ( + y) x x y x F F+ F 0 0 x + y x F F+ F F4 F4+ F x x x y x+ y 0. En un pís hy res comuniddes uónoms, B y C. L probbilidd de que un residene en permnezc en l ño siguiene es de 0,90; l de que se vy B, de 0,06, y l de que se vy C, de 0,04. L probbilidd de que un residene en B permnezc en B es de 0,95; l de que se vy, de 0,0, y l de que se vy C, de 0,0. Finlmene, l probbilidd de que un residene en C se quede en C es de 0,96; l de que se vy, de 0,0, y l de que se vy B, de 0,0. Si ls poblciones en 05 ern de,5,,56 y 5,48 millones de persons, respecivmene, cuáles ern ls de 04? L mriz de rnsición de l poblción de un ño l siguiene es 0,90 0,06 0,04 T = 0,0 0,95 0,0 0,0 0,0 0,96, por no, si P 04 y P 05 son ls mrices x cuyos elemenos son ls poblciones de ls comuniddes en 04 y 05, enemos: P P T P P T 05 = = 05 con Por no: T 0,96 0,084 0,084,44 0,0694 0,0450 = ( dj( T) ) = 0,0568 0,86 0,068 0,047,055 0,005 T 0,88 =. 0,084 0,068 0,85 0,05 0,005,040,44 0,0694 0,0450 = = = 0,05 0,005,040 P04 P05T (,5,56 5,48) 0,047,055 0,005 (,48,48 5,59) Es decir, en 04 ls poblciones respecivs de cd comunidd ern,48,,48 y 5,59 millones. Deerminnes Unidd 7

35 . En un deermind loclidd exisen res compñís, B y C que ofrecen el suminisro de elecricidd. L siguiene mriz represen ls probbiliddes que iene un cliene de cd zon de permnecer en l mism compñí o cmbirse or el ño que viene: 0,80 0,5 0,05 T = 0,0 0,70 0,0 0,05 0,05 0,90 Clcul el número de clienes correspondienes los ños 0 y 04 si el número de clienes en 05 es: : 500 B: C: Tenemos P05 = P04T y P04 = P0T, es decir, P04 = P05T y P0 = P04T, con Por no: T 0,6 0,08 0,005,85 0,746 0,004 = ( dj( T) ) = 0,5 0,775 0,55 0,658,487 0, T 0,485 =. 0,005 0,05 0,545 0,06 0,0674,95,85 0,746 0,004 = = = 0,06 0,0674,95 P04 P05T ( ) 0,658,487 0, ( ),85 0,746 0,004 = = = 0,06 0,0674,95 P0 P04T ( ) 0,658,487 0, ( ) 74 Unidd Deerminnes

36 UTOEVLUCIÓN Comprueb qué hs prendido. Clcul el vlor de los deerminnes: = + = = = Resuelve l ecución: x x x = x x x = 4 4x x+ x 4x = 4 4x 6x 4 = 0 x =, x = 0 4. Clcul el vlor del deerminne = = 9 = = F F+ 4F 9 0 F F+ 5F F4 F4+ 6F Clcul el rngo de ls mrices: = 5 0 B = = 0 y Como enemos = 6 0, por no, rg( ) =. = 6 0, rg( B). mplindo ese menor de orden con l segund fil y ercer column = 4 0, con lo que rg( ) =. 0 Deerminnes Unidd 75

37 5. Dds ls mrices: = = 0 B Clcul l mriz X l que X = B. Si l mriz iene invers, endremos X = B. Como = 4 0 exise 6 = ( dj( ) ) = 6 4 = 4. Por no: X = B = = 6 = Clcul el rngo de ls mrices y B pr los diferenes vlores del prámero. = = B Rngo de : = 0 pr culquier vlor de y = 4 0, con lo que rg( ) = pr culquier vlor de. Rngo de B: = 0 rg( B) 4 pr culquier vlor de. mplindo ese menor de orden obenemos: 4 = = 0 0 Por no, si = enemos rg( B ) = y si enemos rg( B ) =. 7. Clcul l invers de l mriz: 0 4 = = 0 iene invers y = ( dj( ) ) = = Unidd Deerminnes

38 8. Dd ls mrices 7 4 = 0 y B = : 5 4 Clcul los vlores de pr los cules l mriz iene invers. Clcul l invers de pr =. Pr = resuelve l ecución mricil X = B. L mriz iene invers si 0 : Por no, l mriz iene invers si 4 = = 0 = Pr = enemos = 0 = dj( ) = = y ( ) 7 4 X = B X = B = = b c 9. Sbiendo que 0 = 4, clcul: b c 0 b+ 4 c 0 b c b c 0 = 0 = 8 b+ 4 c b c = = 8+ 0 = 8 Deerminnes Unidd 77

39 Relcion y cones Elige l únic respues correc en cd cso. Los vlores de que nuln el vlor del deerminne son:. = C. = y = B. = y 9 = D. Es nulo pr culquier vlor de. 9 4 = = 0 =, =, l respues B. 0 4 x y z. Sbiendo que = 5, el vlor de 0 x + y + z es : C. 0 B. 5 D. 5 x + y + z x y z x y z x y z = = = = 0, l respues. F FF F FF Los djunos y de l mriz 0 = se nuln l vez en el cso de que:. = C. = 0 B. = D. Ningún vlor de nul los dos djunos l vez. = = 0 pr culquier vlor de y = =, por no, l respues correc es B. 78 Unidd Deerminnes

40 Señl, en cd cso, ls respuess correcs m 4. En relción con el rngo de l mriz = m : m. Como 0 B. Como 0 enonces rg( ) =. enonces rg( ). C. El vlor del rngo de solo puede ser o. D. El vlor del rngo de es en odos los csos excepo pr m = 0, m = 4 o m =, que vle. es fls y B verdder, 0 rg( ), mbién C es verdder. implic rg( ), pero no necesrimene implic rg( ) =. Como demás Pr verificr l vlidez de D observemos que mplindo el menor de orden nerior obenemos: m = m = m = m = m + m = m( m ) = m = m = m , Por no, si m = enemos rg( ) = y si m enemos rg( ) =, con lo que D es fls. En conclusión, ls respuess correcs son B y C. Elige l relción correc enre ls dos firmciones dds 5. Se l ecución mricil X = B donde y B son mrices cudrds de orden y l mriz X es l mriz incógni.. Tiene solución, es decir, se puede clculr X.. L mriz es regulr, es decir, de( ) 0.. pero C. B. pero D. Nd de lo nerior. implic, y que si de( ) 0 exise y obenemos X = B. En cmbio no implic necesrimene, por no, l relción correc es B. Deerminnes Unidd 79