PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES. Un tipo importante de sucesiones son las llamadas sucesiones monótonas.
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- Juan Antonio Castilla Revuelta
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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES. U tipo importate de sucesioes so las llamadas sucesioes moótoas. Defiició.. a: Ua sucesió de úmeros reales ( ) = se llama moótoa creciete si + para todo N. b: Ua sucesió de úmeros reales ( ) = se llama moótoa decreciete si + para todo N. Ejemplos.. ( ) = es ua sucesió creciete. ( ) = es ua sucesió decreciete. es ua sucesió decreciete. ( ) = Proposició.. a: Ua sucesió de úmeros reales ( ) = moótoa creciete que está acotada superiormete tiee límite, de hecho lím = sup{ : N}. b: Ua sucesió de úmeros reales ( ) = moótoa decreciete que está acotada iferiormete tiee límite, de hecho lím = íf{ : N}. Demostració: Veamos la parte a). Si ( ) = = { R : N} es u cojuto acotado superiormete, etoces existe α su supremo (por la propiedad del extremo superior de R). Ahora veamos que α es el limite de la sucesió. Dado > 0, se tiee que α o es supremo y por tato existe u 0 de modo que α < 0 α. Ahora como la sucesió es moótoa creciete, para todo 0 se tiee que α < 0 α y por tato α, de lo que sigue que lím = sup{ : N}. El apartado b) se prueba de forma aáloga y se deja como ejercicio Ejemplos..
2 C. RUIZ La sucesió ( ) = es moótoa decreciete y como está acotada iferiormete se tiee que lím = íf{ : N} = 0. E este caso recuperamos el resultado que ya coocemos. La sucesió ( ) = es moótoa decreciete y acotada iferiormete. Claro, < para todo y así < = +, tomado raíces + ésimas + <. Ya sabemos que esta sucesió tiee límite. Es u poco más complicado ver que vale = íf = lím. Para ver esto, sabemos que es ua cota iferior de la sucesió. Procedemos por reducció al absurdo. Supogamos que el límite es (+) co > 0. Etoces por u lado, ( + ) (es decir ( + ) ) para todo y por otro, usado el biomio de Newto, ( ) ( + ) = k k k > +. k=0 Esta última expresió o está acotada por la propiedad arquimediaa de R. Si r R y r 0, etoces lím r =. La prueba es aáloga a la aterior y se deja como ejercicio. U caso importate e él que se aplica la Proposició aterior es uestro proceso de aproximació del úmero. Ejemplo.. Sea la sucesió recurrete x 0 = y + = = +. Esta sucesió es covergete. Demostració: Vamos a ver que la sucesió es moótoa y acotada. E primer lugar veamos que para todo. Para = 0 es claro. Ahora x + x + x + = (x ) 0 Lo que prueba la primera desigualdad. Para ver la seguda, supogamos (hipótesis de iducció) que, etoces + = + lo que prueba la seguda desigualdad. = + +,
3 APUNTES MMI 3 Solo os queda ver que la sucesió es decreciete, para ello poemos + = + = = 0 E este último ejemplo coocemos que la sucesió tiee límite, pero o cuál es explícitamete. Las siguietes propiedades de los límites de sucesioes respectos de las operacioes os resolverá este problema pediete. OPERACIONES CON SUCESIONES. Defiició.. Dadas dos sucesioes de úmeros reales ( ) = y (y ) =, juto co u escalar λ R, se difie: la suma de sucesioes: ( ) = + (y ) = = ( + y ) = ; el producto por u escalar: λ( ) = = (λ) = ; el producto de sucesioes: ( ) = (y ) = = (y ) = ; la sucesió cociete: () = todo. = ( ) =, siempre que 0 para Las operacioes ateriores se comporta respecto del límite de la siguiete maera. Proposició.. Dadas dos sucesioes de úmeros reales covergetes ( ) = y (y ) =, juto co u escalar λ R, de modo que lím = x y lím y = y, etoces existe lím + y = x + y; existe lím λ = λx; existe lím y = xy; x existe lím y = x y, siempre que y 0. Ates de hacer la prueba veamos alguos ejemplos. Ejemplos. 3. ( + ) = = ( + ) =, ya que la suma de fucioes covergete da + 0, y así el cociete de sucesioes co deomidador de límite o ulo os da el resultado. Sea x 0 = y la sucesió + = = +, para todo. Sabemos que existe lím = l = íf{ :, 0}. Por tato si aplicamos límites a ambos lados de la igualdad + =,
4 4 C. RUIZ segú las propidades de arriba, tedremos que l = l l l. Despejado l, teemos la ecuació l = l l +, simplificado l =, luego l =. Observació.. Para calcular el límite de esta última sucesió, u algoritmo par aproximar el úmero por úmeros racioales y operacioes elemetales, hemos ecesitado: el pricipio de iducció, la defiició de ífimo, el cocepto de covergecia y las propiedades de las sucesioes. Demostració: (de la Proposició). Existe lím + y = x + y. Sea > 0, etoces, por la defiició de límite, para > 0, existe 0 tal que para todo > 0 se tiee x <, > 0, existe tal que para todo > 0 se tiee y y <. Tomemos = máx{ 0, }, etoces si >, se tiee que ( + y ) (x + y) x + y y < + =. Lo que prueba la existecia de uestro límite. Existe lím λ = λx, ejercicio. Existe lím y = xy. Hagamos primero ua tetativa para saber que es lo que vamos a ecesitar. y xy = y xy + xy xy y xy + xy xy = y x + x y y. Ahora, como (y ) = es ua sucesió covergete, está acotada, es decir existe M > 0 de modo que y M para todo. Dado > 0, etoces M, para M > 0, existe 0 tal que para todo > 0 se tiee x < para ( x +) > 0, existe tal que para todo > 0 se tiee y y < ( x +). Tomemos = máx{ 0, }, etoces si >, se tiee que y xy y x + x y y < M M + x ( x + ). Lo que prueba la existecia de uestro límite. Existe lím y = x y, siempre que y 0. Por la propiedad aterior,, siempre que y 0. solo teemos que probar que lím y = y
5 APUNTES MMI 5 Figura. Límite o ulo. Dado > 0, tomado y > 0, existe 0 tal que para todo > 0 se tiee y y, tomado y > 0, existe tal que para todo > 0 se tiee y y < y. Tomemos = máx{ 0, }, etoces si >, se tiee que Ejemplos. 4. y y = y y y y y y y y y y y < lím + = lím ya que lím = 0. [ 6 +, 3 ]. Teemos que + = + = lím + =, 6 + = 6 + 6, y 3 + = 3 + 3, dode el símbolo idica que la sucesió coverge de forma creciete. Luego para todo se tiee que < 6 < < 3. Como la uió es el cojuto de los elemetos icluidos e algú cojuto de los que se ue, deducimos que [ 6 +, 3 + ] = [ 8, 3 ). = Referecias Departameto de Aálisis Matemático, Facultad de Matemáticas, Uiversidad Complutese, 8040 Madrid, Spai address: Cesar Ruiz@mat.ucm.es
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