Cálculo de Raíces Reales de Polinomios

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Cálculo de Raíces Reales de Polinomios"

Transcripción

1 Cálculo de Raíces Reales de Polinomios Carlos D Andrea Departament d Àlgebra i Geometria Universitat de Barcelona Agosto de Introducción El propósito de estas notas es el de contestar las siguientes preguntas. Dado un polinomio p(x) = a 0 + a 1 x x n con coeficientes reales, 1. Cuántas raíces reales tiene? 2. Dado un intervalo real [a, b]. Cuántas raíces reales tiene p(x) en ese intervalo? 3. Es posible dar a priori un intervalo [a, b] donde p(x) tenga todas sus raíces en ese intervalo? Queremos abordar este problema desde un punto de vista computacional. Esto es, dados los coeficientes del polinomio a 0, a 1,...,, intentaremos responder a estas preguntas con respuestas computables, es decir que dependan de realizar finitos cálculos elementales sobre los coeficientes de p(x). Por cálculos elementales entenderemos las cuatro operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división de números reales) y además, por tratarse de números reales, el signo de estos números será de vital importancia. Notar que si uno puede responder estas tres preguntas, entonces se puede diseñar un algoritmo para estimar las raíces de un polinomio cualquiera con tanta precisión como se quiera. El algoritmo sería el siguiente: Algoritmo 1.1. Entrada: a 0,..., R, ɛ R >0. Salida: N N, I 1,..., I N intervalos reales de longitud menor que ɛ tales que p(x) tiene N raíces reales; Para cada i = 1,..., N existe x i I i tal que p(x i ) = 0. 1

2 Algoritmo: i) Calcular N (usando 1.). ii) Calcular un intervalo I donde p(x) tenga todas sus raíces en I (usando 3.). iii) Dividir I en dos intervalos de igual longitud I 1 e I 2. iv) Calcular el número de raíces que tiene p(x) en I 1 y en I 2 (usando 2.). v) Repetir iii) y iv) con I 1 e I 2, e iterar esta proceso hasta obtener intervalos de longitud menor que ɛ donde la cantidad de raíces en cada intervalo sea 0 o 1. La presentación de este trabajo será la siguiente: en la sección 2 fijaremos lotación que usaremos y mostraremos algunos resultados preliminares. En la sección 3 demostraremos la regla de los signos de Descartes, que si bien no resuelve completamente ninguna de las cuestiones planteadas al principio, tiene la ventaja de ser una herramienta sencilla y práctica a la hora de hacer cálculos, además de poder ser demostrada con técnicas elementales. En la sección 4 estimaremos el tamaño de las raíces reales y complejas de polinomios con coeficientes reales y complejos en función del tamaño de los coeficientes. Esto servirá para contestar la tercer pregunta planteada arriba. En la sección siguiente introduciremos algunas herramientas elementales de análisis que permitirán realizar cálculos sencillos para estimar el tamaño de las raíces reales, y también serán útiles más adelante.. La regla de los signos se generalizaturalmente en el Teorema de Budan- Fourier (sección 6). En la sección 7 presentaremos el Teorema de Sturm, que calcula el número de raices que tiene un polinomio en un intervalo cerrado. En la última sección mostraremos la implementación de estos resultados en el software Maple. 2. Primeras definiciones y resultados preliminares A lo largo de estas notas consideraremos solamente polinomios con coeficientes reales. En algunos casos, cuando los razonamientos valgan con mayor generalidad, entonces usaremos el cuerpo C de los números complejos. Como estamos interesados en calcular sus raíces o ceros, abusaremos del lenguaje identificando polinomios con funciones polinomiales. Asumimos que el lector está familiarizado con el cuerpo de los números reales R, y con el orden total < de los números reales. Usaremos algunas de las propiedades de continuidad de funciones a valores reales más adelante. Definición 2.1. Un polinomio o función polinomial p(x) a valores reales es una función p : R R para la cual se cumple que existen a 0,..., R tal que p(x) = a 0 + a 1 x x n x R. (1) 2

3 A veces nos referiremos al polinomio p(x) simplemente como p, siempre y cuando quede en claro cuál es la variable que toma los valores reales. Denotaremos con R[x] al conjunto de todos los polinomios a valores reales. Definición 2.2. Sea p(x) R[x]. El grado de p, que denotaremos con deg(p) se define como deg(p) := máx{j : a j 0}. Si p es el polinomio idénticamente cero, definimos su grado como. Así, cada vez que hablemos de polinomios de grado menor o igual que un número entero k, siempre estaremos incluyendo al polinomio nulo. Lamentablemente, con la definición que hemos dado de polinomio arriba, no queda claro que haya unicidad en la escritura de un polinomio, es decir que podría ser que existan a 0,..., R y b 0,..., b m R tal que p(x) = a x n = b b m x m x R. Esto atentaría contra la definición de grado que hemos dado también, ya que por un lado (si 0) el grado de p serí y por el otro (si b m 0) sería m. Proposición 2.3. Supongamos que existen a 0,..., R y b 0,..., b m R tal que p(x) = a x n = b b m x m x R (2) con 0 b m. Entonces n = m y a j = b j j = 0,..., n. Demostración. Supongamos sin pérdida de generalidad m n. Restando las dos expresiones polinomiales que definen a p en (2), resulta n c i x i = 0 i=0 x R con c i := a i b i si i = 0,..., m, y c i := a i si m + 1 i n. El enunciado quedará demostrado si conseguimos mostrar que c i = 0 i = 0,..., n. Demostremos entonces ahora que si q(x) := n i=0 c ix i = 0 x R, entonces c i = 0 i = 0,..., n. La demostración la hacemos por inducción en n. Par = 0, se tiene que q(x) = c 0 = 0 x R, y esto naturalmente implica que c 0 = 0. Veamos el caso general. supongamos el enunciado cierto para sumas con n sumandos, y veamos cómo de alli se deduce el caso general. Como q(x) = n j=0 c jx j = 0 x R, entonces también vale que q(x+1) = n j=0 c j(x+1) j = 0. Restamos estas dos expresiones y tenemos 0 := q(x + 1) q(x) = n j=0 c ( j (x + 1) j x j) = n j=0 c j = n j 1 j=0 i=0 c j ) j( i x i = n 1 i=0 ( ci+1 ( i+1 i ) + ci+2 ( i+2 i ) ( n )) cn i x i. 3 ( j 1 i=0 ( j ) i x i)

4 La última expresión solamente involucra potencias de x hasta orden n 1. Usando la hipótesis inductiva, nos queda ( ) ( ) ( ) i + 1 i + 2 n c i+1 + c i c n = 0 i = 0,..., n 1. i i i En notación matricial, ( 1 ) ( 2 ( 0 0)... n ( 0) 0 2 ( 1)... n 1) c ) ( n n 1 c 1 c n = La matriz del sistema es triangular superior, luego su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: n ( i+1 ) i=0 i 0. Luego, el sistema admite la solución única c 1 = c 2 =... = c n = 0, por lo tanto q(x) = c 0 x R y esto trivialmente implica que c 0 también es igual a cero. Ejercicio 2.4. Demostrar que (x + 1) j = j i=0 ( ) j x i. i Corolario 2.5. El grado de un polinomio está bien definido. El coeficiente no nulo que acompaña a la potencia más alta de x será de importancia parosotros. Definición 2.6. Si p(x) = n i=0 a ix i R[x] es un polinomio de grado n, entonces se llama el coeficiente principal de p(x). Ahora vamos a definir lo que será parosotros la raíz o cero de un polinomio. Definición 2.7. Un número real x 0 R se dice raíz o cero de un polinomio p(x) si y solo si p(x 0 ) = 0. Proposición 2.8. x 0 es raíz de p(x) R[x] si y solo si existe q(x) R[x] tal que p(x) = (x x 0 )q(x) x R. Demostración. Veamos la implicación fácil. Si p(x) = (x x 0 )q(x), entonces se tiene trivialmente p(x 0 ) = (x 0 x 0 )q(x 0 ) = 0, que era lo que queríamos ver. Ahora veamos la otra implicación. Supongamos p(x) = n j=0 c jx j y que p(x 0 ) = 0. Entonces p(x) = p(x) p(x 0 ) = ( ) n j=0 c j x j x j 0 = n j=0 = (x x 0 ) j 1 ( n i=0 c j(x x 0 )x i j 1 i x 0 j 1 j=0 i=0 c jx i j 1 i x 0 ), 4

5 y el resultado vale haciendo q(x) := ( n 1 n ) i=0 j=i c j 1 i jx 0 x i. De la escritura de q(x) al final de la demostración de la proposición se deduce Corolario 2.9. Si p(x) tiene grado n y x 0 es raíz de p(x), entonces p(x) = (x x 0 )q(x) con q(x) R[x] de grado n 1. Haciendo ahora inducción sobre el grado de un polinomio, tenemos nuestra primer cota sobre la cantidad de ceros de polinomios con coeficientes reales: Corolario Si el grado de p(x) R[x] es n, entonces p(x) tiene a lo más n raíces en R. Como consecuencia de este corolario, tenemos un resultado que será de utilidad más adelante. Corolario Un polinomio con coeficientes reales que se anula en infinitos puntos es necesariamente el polinomio nulo. Un concepto principal en el estudio de las raíces de un polinomio es el de multiplicidad. Introduciremos aquí su definición, y estudiaremos algunas propiedades más adelante. Definición Sea p(x) R[x] y x 0 R tal que p(x 0 ) = 0. Decimos que x 0 es raíz de p(x) con multiplicidad s si y solo si p(x) = (x x 0 ) s q(x) con q(x 0 ) 0. De la definición debería quedar claro que la multiplicidad está bien definida. En efecto, si (x x 0 ) s q(x) = (x x 0 ) s q(x) x R con s > s (podemos suponer esto sin pérdida de generalidad) y q(x 0 ) 0 q(x 0 ), entonces se tendrá (x x 0 ) s s q(x) = q(x) x R \ {x 0 }. El polinomio h(x) := (x x 0 ) s s q(x) q(x) se anula en R \ {x 0 } que es un conjunto infinito. Por el corolario 2.11, se tiene que h(x) = 0 x R, lo cual implica que h(x 0 ) = q(x 0 ) = 0, una contradicción Polinomios y números reales Hasta ahora todas las propiedades que hemos enunciado valen si remplazamos el cuerpo R de los números reales y en su lugar utilizamos un cuerpo K cualquiera de característica cero. Lo que distingue al cuerpo de los números reales de otros cuerpos es loción de orden que existe entre sus elementos, y loción de completitud de la recta real. Veremos cómo se manifiesta esto en términos de polinomios. Los siguientes enunciados son clásicos, y su demostración puede encontrarse en cualquier libro de análisis básico. Enunciaremos y demostraremos los resultados solamente para polinomios paro salirnos de los objetivos de estas notas. 5

6 Teorema Sea p(x) R[x] y x 0 R. Si p(x 0 ) < 0 (resp. p(x 0 ) > 0) entonces existe δ > 0 tal que p(x) < 0 (resp. p(x) > 0) en el intervalo abierto (x 0 δ, x 0 + δ). Demostración. Supongamos sin pérdida de generalidad p(x 0 ) < 0, el otro caso sale multiplicando el polinomio por 1. Escribimos p(x) = a x n. Como p(x 0 ) 0, alguno de los coeficientes de p es distinto de cero. Supongamos sin pérdida de generalidad que 0 (es decir, n es el grado de p). Sea h := p(x 0 ) < 0. Escribimos p(x) = (p(x) p(x 0 )) + p(x 0 ) = (p(x) p(x 0 )) + h. Notar que si podemos mostrar que p(x) p(x 0 ) < h/2 para x (x 0 δ, x 0 +δ), entonces se tendrá p(x) h/2 + h = h/2 < 0 en ese intervalo. Tenemos entonces p(x) p(x 0 ) = n ) n j 1 a j (x j x j 0 = (x x 0 ) a j x i x j i 1 0. j=0 j=0 i=0 Sean A := máx{ a 0,..., } y δ 0 < 1. Entonces, si x x 0 < δ 0, se tiene x < δ 0 + x 0 y podemos acotar: n j 1 a j x i x j i 1 0 < (n + 1)2 A ( x 0 + δ 0 ) n. j=0 i=0 { } h Tomemos entonces 0 < δ < mín δ 0, 2(n+1) 2 A( x 0 +δ 0 ). Para ese valor de δ n vale que si x x 0 < δ, n j 1 p(x) p(x 0 ) = x x 0 a j x i x j i 1 0 < δ (n + 1)2 A ( x 0 + δ 0 ) n < h /2 j=0 i=0 si x x 0 < δ, y ésto es lo que queríamos demostrar. Ejercicio Mostrar que x j x j 0 = (x x 0) ( j 1 i=0 x i x j 1 i 0 Notar que no hemos usado aquí ninguna propiedad de completitud de los números reales, solamente que es un cuerpo ordenado y arquimediano. El teorema 2.13 también vale para polinomios con coeficientes racionales., y el resultado que sigue también. ). 6

7 Corolario Sea p(x) = a x n R[x] con 0. Entonces, existe M > 0 tal que el signo de p(x) es el mismo que el signo de (resp. ( 1) n ) si x > M (resp. x < M). Demostración. Escribimos ( ) p(x) = a 0 + a 1 x x n = x n 1 a 0 x n + a 1 1 x n = x n q ( ) 1, x con q(t) := + 1 t a 0 t n. Notar que si x > 0 (resp. x < 0) entonces el signo de p(x) es el mismo que el signo de q( 1 x ) (resp. ( 1)n q( 1 x )). Como q(0) = 0, entonces se tiene por el teorema 2.13 que existe δ > 0 tal que q(t) tiene el mismo signo que si t < δ Sea entonces M := 1 δ. Si x > M (resp. x < M) entonces 1 x < δ, y de aquí se deduce que q( 1 x ) tendrá el mismo signo que. Ejercicio Demostrar que el razonamiento épsilon-delta también vale para polinomios en R[x] : dado x 0 R y ɛ > 0, existe δ > 0 tal que p(x) p(x 0 ) < ɛ si x x 0 < δ. Vale también para polinomios en Q[x]? Teorema 2.17 (Teorema de Bolzano). Sea p(x) R[x] tal que existen x 0, x 1 con x 0 < x 1, p(x 0 ) < 0 y p(x 1 ) > 0. Entonces existe r (x 0, x 1 ) tal que p(r) = 0. Notar que este resultado yo es válido en Q[x]. En efecto, el polinomio p(x) := x 2 2 Q[x] satisface p(1) = 1 < 0 y p(2) = 2 > 0. Sin embargo, no tiene ninguna raíz racional. Demostración. Para demostrar el teorema de Bolzano, usaremos el teorema 2.13 junto con la propiedad de conexion de la recta real. Supongamos que para todo r (x 1, x 2 ), p(r) 0. Entonces se tendrá que p(r) > 0 o p(r) < 0. Hagamos la siguiente partición del intervalo (x 1, x 2 ) : Se tiene lo siguiente: I + := {r (x 1, x 2 ) : p(r) > 0}, I := {r (x 1, x 2 ) : p(r) < 0}. Tanto I + como I son distintos de vacío, ya que en un entorno de x 1 (resp. x 2 ), se tiene p(r) < 0 (resp. p(r) > 0). Tanto I + como I son conjuntos abiertos, ya que en virtud del teorema 2.13, si r I + entonces en un entorno de r se tendrá p > 0. Luego, resulta que el intervalo abierto (x 1, x 2 ) se escribe como una unión disjunta de dos conjuntos abiertos I + e I, lo cual contradice el hecho de que el intervalo sea conexo. La contradicción proviene de suponer que no existe r R tal que p(r) = 0. 7

8 3. La regla de los Signos de Descartes En 1636 Descartes -en su libro Geométrie (cf. [5])- describió una regla para acotar el número de raices positivas de un polinomio con coeficientes reales. La regla es muy sencilla, lo cual la hace de mucha utilidad. Antes de enunciar la regla, veamos una definición preliminar. Definición 3.1. Dada una sucesión finita de números reales x 1,..., x n, llamaremos número de variaciones de signo de esta sucesión, y denotaremos con V (x 1,..., x n ) a la cantidad de cambios en el signo de la secuencia x 1,..., x n. Ejemplo 3.2. V (1, 3, 2, 1, 4, 8, 3, 4, 1) = 4. V (4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4) = 0. V (2, 5, 0, 2, 0, 2, 0) = 1. De los ejemplos anteriores se deduce que la presencia de elementos nulos en la sucesión no influye en el número de variaciones de signo (uno podría sacarlos de la sucesión y obtener el mismo resultado). Ahora estamos en condiciones de enunciar y demostrar el resultado de Descartes. Teorema 3.3 (Regla de los signos de Descartes). Sea p(x) = a 0 +a 1 x+...+ x n un polinomio con coeficientes reales. El número de raíces positivas de p(x), contada cada una de ellas tantas veces como indica su multiplicidad, es menor o igual que V (a 0,..., ). En todos los casos, es congruente a V (a 0,..., ) módulo 2. Ejemplo 3.4. De acuerdo a la regla de los signos, el polinomio x k + x u x 1 k, u > 1 tiene exactamente una raíz real positiva. De hecho, es fácil ver que x 0 = 1 es esa raíz. Del teorema se deduce también (sin hacer ningún cálculo auxiliar) que esta raíz es simple. En general, si A y B son números reales positivos, entonces Ax k + Bx u x 1 tendrá una sola raíz real positiva. Veamos cómo se lee la regla de los signos de Descartes en los casos donde el grado del polinomio es bajo. Ejemplo 3.5. Sea p(x) := a 0 + a 1 x R[x] de grado uno. En este caso, la única raiz real es igual a a 0 /a 1, que será positiva y si solo V (a 0, a 1 ) = 1. En este caso, la regla de los signos se cumple con exactitud. Ejemplo 3.6. Sea p(x) := a 0 + a 1 x + a 2 x 2 un polinomio de grado 2 con coeficientes reales. Veámos caso por caso las distintas situaciones 8

9 a 0 0, a 1 0, a 2 0 (notar que es el mismo caso que a 0 0, a 1 0, a 2 0). En este caso, está claro que p(x) 0 x > 0 con igualdad solo cuando a 0 = a 1 = a 2 = 0. La regla de los signos dice que no hay raíces reales en este caso. a 0 0, a 2 0 (mismo caso que a 0 0, a 2 0). Independientemente del valor de a 1, aqui el número de variación de signos será igual a uno, y es fácil ver que p(0) 0 y que p(x) tiende a infinito cuando x ±. Así que por continuidad habrá una raíz negativa y otra positiva de p(x). La regla de los signos es exacta en estos casos. a 0 0, a 1 0, a 2 0 (a 0 0, a 1 0, a 2 0). En este caso, la cantidad de cambios de signos es dos, y la regla de los signos dice que o bien hay una raíz real positiva doble, o bien dos raices reales positivas, o bien ninguna. Esto puede verse sabiendo que tanto p(0) como los valores de p(x) para x grande tienen el mismo signo, o sea que la parabola cae o bien totalmente a la derecha del eje y o bien totalmente a la izquierda. Es fácil construirse ejemplos donde hayan dos raices reales positivas, una sola doble o ninguna cumpliendo con esta condición. Observación 3.7. Si uno quiere estimar los ceros negativos de p(x), lo puede hacer usando la regla de los signos de Descartes con p( x). La demostración del teorema 3.3 se basa en el siguiente lema. Lema 3.8. Sea p(x) = a 0 + a 1 x x n R[x] y c > 0. Escribimos (x c)p(x) = b 0 +b 1 x+...+b n+1 x n+1. Entonces V (a 0,..., ) V (b 0,..., b n+1 ) y además V (a 0,..., ) = V (b 0,..., b n+1 ) + 1 mod 2. Demostración. Supongamos sin perder generalidad que b n+1 > 0 y que a 0 0. Sea k n + 1 tal que el signo de b n+1, b n,..., b k es positivo o cero, y b k 1 es negativo. Usaremos el esquema de la regla de Ruffini para ver cómo se relacionan los signos de los a i con los b j. Tenemos entonces c b n+1 b n... b k b k 1... b 1 b 0 b n+1 b n+1 c + b n... ( )c + b k ( )c + b k 1... ( )c + b a k 1 a k 2... a 0 De este esquema se deduce lo siguiente: Como b n+1,..., b k son positivos o cero, entonces,..., a k+1 son positivos. 9

10 No sabemos si a k es negativo o no, pero lo que SI sabemos es que si, 1,..., a j son positivos y a j+1 es negativo, entonces b j 1 es negativo. Recíprocamente, si a j positivo. es negativo y a j+1 es positivo, entonces b j 1 es De aquí se deduce intuitivamente (y se puede hacer una demostración inductiva de este hecho) que cada cambio de signo de la secuencia,..., a 0 viene inducido por un cambio de signo en la secuencia b n+1,..., b 0. Luego, V (a 0,..., ) V (b 0,..., b n+1 ). Para culminar, solo hay que chequear la paridad, pero esto es trivial si se tiene en cuenta que = b n+1 > 0 y que b 0 = c a 0 0, asi que V (a 0,..., ) tiene distinta paridad que V (b 0,..., b n+1 ). Ejercicio 3.9. Demostrar que V (a 0,..., ) es par si y solo si a 0 > Demostración de la regla de los signos de descartes (teorema 3.3) Supongamos que x 1,..., x k son todas las raíces positivas de p(x) contadas con su multiplicidad. Entonces, usando iteradamente el corolario 2.9, se tiene que p(x) = (x x 1 )... (x x k )q(x) (3) con q(x) un polinomio con coeficientes reales sin ninguna raíz positiva. Escribimos q(x) = x k (q 0 + q 1 x q s x s ) con q 0 y q s distintos de cero. Notar que el producto q 0 q s tiene que ser positivo, sino se tendría q(0) y q(m) con signos distintos, para M grande (por el corolario 2.15)y eso implicaría, por el teorema de Bolzano (teorema 2.17), que q(x) tiene una raíz positiva. Entonces, por el ejercicio 3.9, resulta que V (q 0,..., q s ) es par. El teorema resulta aplicando V a los coeficientes de p(x), usando la identidad (3), el lema 3.8 e inducción. Ejemplo Consideremos el polinomio p(x) := x 11 + x 8 3x 5 + x 4 + x 3 2x 2 + x 2. La variación de signos de los coeficientes de p(x) es 5. Por otro lado, p( x) := x 11 + x 8 + 3x 5 + x 4 x 3 2x 2 x 2, que tiene como variación de signos 2. Luego, podemos concluir lo siguiente: La cantidad de ceros positivos de p es uno, tres o cinco. 10

11 La cantidad de ceros negativos de p es cero o dos. p tiene al menos cuatro raíces complejas no reales. Más adelante estudiaremos las raíces de este polinomio con más detalle. Ejercicio Verificar la regla de los signos de Descartes con cada una de los siguientes polinomios de grado dos: 8x 2 8x + 1, 4x 2 4x + 1, x 2 x Cotas sobre el tamaño de las raices En esta sección vamos a ocuparnos de resolver el problema de encontrar una estimación sobre el tamaño de las raíces de un polinomio antes de comenzar a calcularlos. La idea es dar cotas superiores para el tamaño de las raíces en función de los coeficientes. Las dos proposiciones siguientes también valen para polinomios con coeficientes complejos donde se debe reemplazar la función valor absoluto por la función módulo. Los enunciaremos y demostraremos con toda generalidad. Proposición 4.1. Sea p(z) := a z n C[z] con 0. Si z 0 C es una raíz de p, entonces { z 0 máx 1, a } 0 + a (4) Esta cota es bastante razonable ya que por ejemplo si uno toma el polinomio lineal p(z) := z M, entonces para valores grandes de M la única raíz de p coincide con la cota superior de (4) Demostración. Vamos a usar la desigualdad triangular parúmeros complejos que dice que para todo par de números complejos z 1, z 2, z 1 + z 2 z 1 + z 2. Más en general, se tendrá z z n z z n par números complejos z 1,..., z n. Supongamos z 0 0 sino el resultado es trivial. Como p(z 0 ) = 0, entonces o sea n 1 z0 n = a j z j 0, j=0 n 1 z0 n a j = z j 0 a. n j=0 11

12 Dividiendo por z n 1 0 miembro a miembro, se tiene n 1 a j z 0 = z j n+1 0. (5) j=0 Ahora vienen las estimaciones. Si z 0 1, no hay nada que probar porque la cota que figura en (4) es mayor o igual que uno. Supongamos entonces z 0 > 1. Luego, para todo j = 0,..., n 1, z j n = 1. Tomando módulos z n 1 j 0 miembro a miembro en (5), aplicando la desigualdad triangular y la estimación que hicimos recién, se tiene n z 0 = a j z j n+1 n 0 a j z j n+1 n 0 a j, j=0 que es lo que queríamos demostrar. j=0 Una cota más simple para el tamaño de todas las raíces (reales y complejas) de un polinomio es la siguiente: Proposición 4.2. Sea p(z) := a z n C[z] con 0. Si z 0 C es una raíz de p, entonces { } a 0 z máx,..., 1. (6) Esta cota también es bastante efectiva (en el sentido de que lo que estamos poniendo en el miembro derecho de (6) no lo podemos mejorar). Veámoslo con un ejemplo. Ejemplo 4.3. Consideremos el polinomio p n (z) := x n M ( x n x + 1 ) con M R, M > 0, es fácil ver que tiene una raíz real en el intervalo (M, M+1). En efecto, se tiene p n (M) = M n M(M n M + 1) = (M n M) < 0. Por otro lado, como p n (x) = x n M xn 1 x 1 para x 0, entonces p n (M + 1) = (M + 1) n M (M + 1)n 1 M j=0 = (M + 1) n (M + 1) n + 1 = 1 > 0, así que por el teorema de Bolzano, hay una raíz x n en ese intervalo (si hubiera más de una, llamaremos x n a la más grande). La sucesión {x n } n N está acotada y siempre contenida en el intervalo (M, M + 1). Por compacidad, existe una subsucesión {x nk } k N que converge a un número real. Cuál es este número real? Supongamos que M > 1 y que l := lím k x nk. Notar que se tiene x n > M > 1, así que l M > 1. Observemos que x nk n k = M x n k n k 1 x nk 1. 12

13 n Dividiendo todo por x k nk resulta 1 1 x n nk k 1 = M x nk 1 M l 1, y de aquí se deduce que l = M + 1. La conclusión es que uno puede encontrar raíces de polinomios p n (x) tan cerca de M + 1 como quiera, tomando n suficientemente grande. Demostración. Tomemos z 0 raíz de p, y expandamos p(z 0 ) = 0 de la manera siguiente o sea ( (... z n z n a 1 z 0 + a 0 = 0, z0 n + 1 z0 n a 1 z 0 + a 0 = 0, ( ( ) )... (z )z z a 1 z 0 + a 0 = 0, (z )z y tomando módulo miembro a miembro resulta. ) z a ) 1 z 0 = a 0, ( (... (z )z 0 + a ) n 2 z a ) 1 z 0 = a 0. (7) Supongamos z 0 > a 0. Entonces, para que se cumpla la igualdad de arriba, debe tenerse que ( (... (z )z 0 + a ) n 2 z a ) 1 < 1. Además (usando la desigualdad triangular) se tiene... (z an )z an! z a 2 an! z a 1 an... (z an )z 0! + 2 z a 1 an an!, o sea ( (... (z )z 0 + a ) n 2 z a ) 2 z 1 + a 1. Si z a1 no hay nada que probar. Supongamos que valga lo contrario, entonces se tendrá como antes ( (... (z )z 0 + a ) n 2 z a 2 < 1, e inductivamente se ve que uno puede repetir todo el razonamiento de arriba, y si z 0 > 1 + aj, j = 0,..., n 1, entonces no se puede cumplir (7). 13

14 4.1. Cotas para raíces reales positivas Si uno considera polinomios con coeficientes reales, hay otros métodos más exactos que hacen uso de teoremas de cambio de signo de coeficientes que son de utilidad para detectar mejores cotas para la cantidad de raíces reales. De todos modos, esto no significa que tales raíces existan. Observemos nuevamente que es suficiente con conocer cotas superiores para las raíces positivas de p(x), ya que haciendo q(x) := p( x) se tendrá que las raíces positivas de q(x) serán las raíces negativas de p(x). Teorema 4.4. Sea p(x) := x n +...+a 1 x+a 0 R[x]. Supongamos que > 0 y que hay al menos un coeficiente negativo. Sean i 0 := máx{i, a i < 0} y M := máx{ a i : a i < 0}. Si r es un cero positivo de p(x), entonces r 1 + n i 0 Está claro que para tener raíces positivas, al menos uno de los coeficientes tiene que ser negativo. Por otro lado, el ejemplo 4.3 muestra que la cota que se ofrece aquí es óptima. Demostración. Sea r > 1, tenemos entonces p(r) = r n a i0 +1r i0+1 + a i0 x i a 0 r n M(r i r + 1) = r n M ri r 1, con lo cual si r n M ri r 1 > 0, entonces se tendrá p(r) > 0. Supongamos ahora que r > 1 + n i 0 M. Entonces, se tiene que (r 1) n i0 > M. Ahora, como r > r 1 > 0, entonces luego r n i 0 1 (r 1) > (r 1) n i 0 1 (r 1) > M, y esto es lo que queríamos demostrar. r > M ri 0+1 r 1 > M ri0+1 1 r 1, Veamos otro resultado en esa dirección. Teorema 4.5. Sea p(x) := x n a 1 x + a 0 R[x]. Supongamos como antes que > 0 y que hay al menos un coeficiente negativo. Sean s i := a j, y R := máx{ a i /s i : a i < 0}. j>i, a j >0 Si p(r) = 0, entonces r < 1 + R. Nuevamente en este caso, el ejemplo 4.3 muestra que la cota es óptima. M. 14

15 Demostración. Escribimos p(x) = a j>0 a jx j + a j<0 a jx j. Usaremos la identidad: x m = (x 1)(x m x + 1) + 1 sobre las potencias de x j con exponente positivo: p(x) = a j>0 a j(1 + (x 1)(x j x + 1) + a j<0 a jx j = j 1 a j >0 i=0 a j(1 + (x 1)x i ) + a j <0 a jx j = n i=0 s i(1 + (x 1)x i ) + a j <0 a jx j. Supongamos ahora r 1 > aj s j para todo j que verifique a j < 0. Entonces se tendrá s j (r 1)r j > a j r j s j (r 1)r j + a j r j > 0, con lo cual p(r) = a j <0 (a j + s j (1 + (r 1))) r j + a i >0 s i (1 + (r 1)r i ) > 0, es decir, r no puede ser raíz de p. Ejemplo 4.6. Examinemos las cotas superiores para las raíces reales positivas de p(x) := x 11 + x 8 3x 5 + x 4 + x 3 2x 2 + x 2. De acuerdo con lotación del teorema 4.4, se tiene i 0 = 5 y M = 3. La cota que obtenemos entonces es de , Veamos ahora cómo sale la cota del teorema 4.5. Allí se tendrá s 0 := 5, s 2 := 4, s 5 := 2 y { 2 R := máx 5, 2 4, 3 } = En este caso, la cota para las raíces positivas es un poco mejor: = 3 2. Con la ayuda de Maple, vemos que p(x) tiene una única raíz real que es aproximadamente igual a 1, Cotas generales Supongamos que podemos conocer solamente cotas superiores para raíces positivas de polinomios. Veamos cómo ello nos permitirá estimar mejor las cotas inferiores de raíces tanto positivas como negativas. En efecto, dado p(x) R[x] de grado n, consideremos p 1 (x) := x n p ( 1 x), p 2 (x) := p( x), p 3 (x) := x n p ( 1 x). 15

16 Sea N una cota superior para las raíces de p(x), y para cada i = 1, 2, 3, N i una cota superior para las raíces de p i (x). Teorema 4.7. Con las definiciones y notaciones anteriores, las raíces reales de p(x) (si las hubiere) se encuentran en la unión de intervalos disjuntos ) ( ) ( N 2, 1N3 1, N. N 1 Demostración. Supongamos que r es una raíz positiva de p, entonces sabemos que r < N. Por otro lado, 1 r es raíz de p 1(x), así que entonces se tiene 1 r < N 1, es decir 1 N 1 < r. El otro caso sale por simetría, recordando que las raíces negativas de p(x) son las raíces positivas de p( x). Ejemplo 4.8. Sea p(x) := x 7 x 6 + x 5 + 2x 4 3x 3 + 4x 2 + x + 2. Calculamos los otros polinomios de la secuencia: p 1 (x) = 2x 7 + x 6 + 4x 5 3x 4 + 2x 3 + x 2 x + 1, p 2 (x) = x 7 x 6 x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 4x 2 x + 2, p 3 (x) = 2x 7 + x 6 4x 5 3x 4 2x 3 + x 2 + x + 1. Encontremos primero cotas superiores para raices positivas de p. Usando el teorema 4.4, tenemos i 0 = 6 y M = 3. La cota que obtenemos entonces es de = 4. Veamos ahora cómo sale la cota del teorema 4.5. Allí se tendrá s 0 = 9, s 3 = 4, s 6 = 1 y R := máx { 2 9, 3 4, 1} 1 = 1, así que la cota N es 2 en este caso. Veamos ahora los otros polinomios. Con p 1 se tienen i 0 = 4, M = 3. La primer cota es entonces /2 2, Por otro lado, se tiene R := máx{ 3 7, 1 10 } = 3 7. Luego, la mejor cota en este caso es N 1 = = Para usar los teoremas 4.4 y 4.5 tenemos que tener el coeficiente principal positivo, así que tomaremos p 2 y p 3 en lugar de los polinomios originales. Para p 2 se tiene: i 0 = 4, M = 4, R = máx{ 2 4, 4 3, } = 4 3. La cota del teorema 4.4 da , , la otra cota es , así que N 2 = 7 3. Resta hacer las estimaciones con p 3 : i 0 = 6, M = 1, R = máx{ 1 11, 1 2 } = 1 2, las estimaciones son entonces = 2 y = 3 2, luego N 3 = 3 2. De acuerdo al teorema 4.7, las raíces reales de p (si las hay) se encuentran en la unión de intervalos ( 7 3, 2 3) ( 3 10, 2). Con la ayuda de Maple, vemos que p(x) tiene una única raíz real que es aproximadamente igual a 1, Ejercicio 4.9. Calcular cotas superiores e inferiores para los polinomios del ejercicio

17 5. Derivadas de un polinomio. Fórmula de Taylor En esta sección introduciremos el importante concepto de derivada de un polinomio, y sus aplicaciones al estudio del crecimiento de funciones, desarollo de Taylor, y tamaño de las raíces reales de un polinomio. Más adelante también se verán aplicaciones de este concepto en los teoremas de Budan-Fourier y Sturm. Definición 5.1. Sea p(x) := n j=0 a jx j R[x]. La derivada de p que denotaremos con D[p(x)] o p (x) es, por definición, D[p(x)] = p (x) := n j a j x j 1 R[x]. j=0 Definición 5.2. Inductivamente se definen la derivada segunda de p que denotaremos como p de la manera siguiente: p := D[p ], y en general [ p (j) := D p (j 1)] j = 1, 2,... Por definición hacemos p (0) := p, p := p (1), p := p (2), p := p (3). Ejercicio 5.3. Mostrar que p (j) = 0 si j > deg(p). La recíproca del ejercicio 5.3 también es cierta, y nos será de utilidad más adelante para demostrar la fórmula de Taylor. Lema 5.4. Sea p(x) R[x] un polinomio de grado menor o igual que n, y supongamos que existe x 0 R tal que p (j) (x 0 ) = 0, j = 0,..., n. Entonces se tiene que p(x) = 0 x R. Demostración. Supongamos que p(x) = a a k x k con k n y a k 0 (es decir, supongamos que p(x) no es el polinomio nulo). Inductivamente, se puede mostrar que o sea p (j) (x) = k l(l 1)... (l j + 1)a l x l j j = 0, 1,..., k, l=0 p (j) (x) = k ( ) l j! a l x l j j l=0 j = 0, 1,..., k Al plantear p (k) (x 0 ) = 0, p (k 1) (x 0 ) = 0,..., p (x 0 ) = 0, p(x 0 ) = 0, nos queda 17

18 la siguiente igualdad matricial k!a k (k 1)! ( ) k 1 k 1 ak 1 (k 1)! ( k k 1) ak (k 2)! ( ) k 2 k 2 ak 2 (k 2)! ( k 1 k 2.. ) ak 1 (k 1)! ( k k 2) ak a 0 a 1 a 2... a k 1 x 0. x k 1 0 x k 0 = El determinante de la matriz cuadrada es una cierta constante no nula por a k, que asumimos que era distinto de cero, así que el sistema homogéneo asociado debería tener solución única (la solución trivial). Por otro lado, el enunciado nos dice que el vector (1, x 0,..., x k 0) también es solución (no trivial) del sistema, así que hemos llegado a una contradicción. El absurdo proviene de suponer que existe a k 0, así que se debe de tener a j = 0 j = 0,..., n. Ejercicio 5.5. Demostrar que para todo j = 0,..., k, si p(x) = k l=0 a kx k, k p (j) (x) = l(l 1)... (l j + 1)a l x l j l=0 j = 0, 1,..., k Veamos ahora algunas propiedas de la derivada que nos serán útiles más adelante. Proposición 5.6. Si p 1 (x), p 2 (x) R[x], entonces D [p 1 + p 2 ] = D[p 1 ] + D[p 2 ], D [p 1 p 2 ] = D[p 1 ] p 2 + p 1 D[p 2 ]. Demostración. Supongamos n := máx{deg(p 1 ), deg(p 2 )}. Entonces escribimos p 1 (x) := n a j x j, p 2 (x) := j=0 n b j x j haciendo a j := 0 o b j := 0 para valores grandes de j si fuerecesario. Luego, [ n ] D [p 1 p 2 ] = D j=0 (a j + b j )x j = n j=0 j(a j + b j )x j 1 = n j=0 ja jx j 1 + n j=0 jb jx j 1 = D[p 1 ] + D[p 2 ], j=0 así que la primer parte del enunciado sale elementalmente. 18

19 Para ver la segunda propiedad, Calculemos primero D[a i x i b j x j ] = D[a i b j x i+j ] = (i + j)a i b j x i+j 1 = ia i x i 1 b j x j + a i x i ja j x j 1 = D[a i x i ]b j x j + a i x i D[b j x j ], así que el enunciado vale para el producto de dos términos cualquier de p 1 y p 2. En el caso general, usando la validez de la primer propiedad y lo que acabamos de demostrar recién, se tendrá [ ( n D [p 1 p 2 ] = D i=0 a ix i) ( )] [ n ] j=0 b jx j = D i,j a ix i b j x j = i,j D [ a i x i b j x j] = i,j D[a ix i ]b j x j + i,j a ix i D[b j x j ] = ( i D[a ix i ] ) ( ) j b jx j + ( n i=0 a ix i) ( ) j D[b jx j ] = D [ i a ix i] ( ) j b jx j + ( n i=0 a ix i) [ ] D j b jx j = D[p 1 ]p 2 + p 1 D[p 2 ]. Esta propiedad clave nos permitirá dar algunos criterios para relacionar raíces de p con multiplicidades. Lema 5.7. Sea x 0 R y j N. Entonces D [ (x x 0 ) j] = j(x x 0 ) j 1. Demostración. Por inducción en j. Para j = 1 se tiene D[x x 0 ] = 1 = 1 (x x 0 ) 1 1, así que el enunciado vale. Para el caso general, usamos la hipótesis inductiva y la propiedad sobre la derivada de un producto: D [ (x x 0 ) j] = D [ (x x 0 )(x x 0 ) j 1] = 1 (x x 0 ) j 1 + (x x 0 ) (j 1)(x x 0 ) j 2 = j(x x 0 ) j 1 que es lo que queríamos mostrar. Esencialmente el lema 5.7 dice que la derivada baja en uno la multiplicidad de una raíz, cuando el polinomio es de la forma (x x 0 ) n. Veamos que esto pasa en general. Proposición 5.8. Sea p(x) R[x] un polinomio de grado n, y x 0 R una raíz de p. Si x 0 tiene multiplicidad j, entonces x 0 es raíz de p con multiplicidad j 1. 19

20 Demostración. Si x 0 tiene multiplicidad j, entonces p(x) = (x x 0 ) j q(x), con q(x 0 ) 0. Calculemos ahora p (x) usando la fórmula del producto y el valor de la derivada en potencias de (x x 0 ) : p (x) = j(x x 0 ) j 1 q(x) + (x x 0 ) j q (x) = (x x 0 ) j 1 (jq(x) + (x x 0 )q (x)), o sea p (x) = (x x 0 ) j 1 ψ(x) con ψ(x 0 ) = jq(x 0 ) 0, así que x 0 es raíz de p con multiplicidad j 1. Este teoremos da un criterio simple para calcular la multiplicidad de un polinomio. Corolario 5.9. Si x 0 R es raíz de p con multiplicidad j, entonces p(x 0 ) = p (x 0 ) =... = p (j 1) (x 0 ) y p (j) (x 0 ) 0. Demostración. Hacemos inducción en j. Para j = 1 se tiene p(x) = (x x 0 )q(x), con q(x 0 ) 0. Ahora, por la regla del producto, p (x) = q(x) + (x x 0 )q (x), luego p (x 0 ) = q(x 0 ) 0. Veamos ahora el caso general, si x 0 es raíz de p con multiplicidad j, entonces por el lema anterior resulta que x 0 es raíz de p con multiplicidad j 1, así que por hipótesis inductiva se tendrá por lo tanto D[p ](x 0 ) = 0,..., D (j 2) [p ](x 0 ) = 0, D (j 1) [p ](x 0 ) 0, p(x 0 ) = 0, p (x 0 ) = 0, p (x 0 ) = 0,... p (j 1) (x 0 ) = 0, p (j) (x 0 ) 0 que es lo que queríamos mostrar. La recíproca del corolario 5.9, saldrá más adelante, como corolario inmediato del teorema de Taylor. Ahora estamos en condiciones de enunciar y demostrar el teorema sobre el desarrollo de Taylor de un polinomio alrededor de un punto cualquiera. Teorema Sea p(x) R[x] un polinomio de grado menor o igual que n, y x 0 R. Entonces p(x) = p(x 0 )+p (x 0 )(x x 0 )+ p (x 0 ) 2! (x x 0 ) p(n) (x 0 ) (x x 0 ) n x R. n! 20

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

El anillo de polinomios sobre un cuerpo

El anillo de polinomios sobre un cuerpo Capítulo 2 El anillo de polinomios sobre un cuerpo En este capítulo pretendemos hacer un estudio sobre polinomios paralelo al que hicimos en el capítulo anterior sobre los números enteros. Para esto, es

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo:

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo: Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número

Más detalles

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5.

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5. 11 1.3. Factorización Como ya hemos mencionado, la teoría de ideales surgió en relación con ciertos problemas de factorización en anillos. A título meramente ilustrativo, nótese que por ejemplo hallar

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

Notaciones y Pre-requisitos

Notaciones y Pre-requisitos Notaciones y Pre-requisitos Símbolo Significado N Conjunto de los números naturales. Z Conjunto de los números enteros. Q Conjunto de los números enteros. R Conjunto de los números enteros. C Conjunto

Más detalles

1. Suma y producto de polinomios. Propiedades

1. Suma y producto de polinomios. Propiedades ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Resumen teoría Prof. Alcón 1. Suma y producto de polinomios. Propiedades Sea (A, +,.) un anillo conmutativo. Llamamos polinomio en una indeterminada x con coeficientes

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ):

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ): Pág. 1 de 7 FAC T O R I Z AC I Ó N D E P O L I N O M I O S Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen

Más detalles

Polinomios. Pablo De Nápoli. versión 0.8.5

Polinomios. Pablo De Nápoli. versión 0.8.5 Polinomios Pablo De Nápoli versión 0.8.5 Resumen Este es un apunte de las teóricas de álgebra I, del primer cuatrimestre de 2007, turno noche, con algunas modificaciones introducidas en 2014. 1. Introducción

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

1. Ecuaciones no lineales

1. Ecuaciones no lineales 1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS

UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS UNIDAD 3: ANILLOS DE POLINOMIOS En nuestra educación matemática se nos introdujo muy pronto -generalmente en los primeros años de secundariaal estudio de los polinomios. Durante una temporada que parecía

Más detalles

Producto Interno y Ortogonalidad

Producto Interno y Ortogonalidad Producto Interno y Ortogonalidad Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 15 de octubre de 2009 Índice 8.1. Contexto................................................ 1 8.2. Introducción...............................................

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

Congruencias de Grado Superior

Congruencias de Grado Superior Congruencias de Grado Superior Capítulo 3 3.1 Introdución En el capítulo anterior vimos cómo resolver congruencias del tipo ax b mod m donde a, b y m son enteros m > 1, y (a, b) = 1. En este capítulo discutiremos

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

Anexo 1: Demostraciones

Anexo 1: Demostraciones 75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes 4 Polinomios Objetivos En esta quincena aprenderás: A trabajar con expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. La regla de Ruffini. El

Más detalles

Funciones Reales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Real 1 Capítulo 6 Funciones Reales de Variable Real M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet

Más detalles

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou Análisis de una variable real I Tijani Pakhrou Índice general 1. Introducción axiomática de los números 1 1.1. Números naturales............................ 1 1.1.1. Axiomas de Peano........................

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

Introducción al Análisis Complejo

Introducción al Análisis Complejo Introducción al Análisis Complejo Aplicado al cálculo de integrales impropias Complementos de Análisis, I.P.A Prof.: Federico De Olivera Leandro Villar 13 de diciembre de 2010 Introducción Este trabajo

Más detalles

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos

Más detalles

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos.

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Prof. D. Miguel Ángel García Hoyo. Septiembre de 2011 Dependencia lineal

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

TALLER DE MATEMÁTICAS NOTAS. Toda expresión algebraica del tipo. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0. es un polinomio de grado n, si a n 0.

TALLER DE MATEMÁTICAS NOTAS. Toda expresión algebraica del tipo. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0. es un polinomio de grado n, si a n 0. NOTAS Toda expresión algebraica del tipo es un polinomio de grado n, si a n 0. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 RELACIONES DE DIVISIBILIDAD 1) x n a n = (x a)(x n 1 + ax n 2 + a 2 x n 3 +... +

Más detalles

La forma normal algebraica de una función booleana Henry Chimal Dzul, Javier Díaz Vargas

La forma normal algebraica de una función booleana Henry Chimal Dzul, Javier Díaz Vargas Miscelánea Matemática 48 (2009) 47 57 SMM La forma normal algebraica de una función booleana Henry Chimal Dzul, Javier Díaz Vargas Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Yucatán, México. henrychimal@gmail.com,

Más detalles

Polinomios y Raíces. Teresa Krick

Polinomios y Raíces. Teresa Krick Polinomios y Raíces Teresa Krick Departamento de Matemática. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. -148- Buenos Aires. ARGENTINA. e-mail : krick@dm.uba.ar Contents 1 Introducción

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +

Más detalles

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS 3FUNCIONES LOGARÍTMICAS Problema 1 Si un cierto día, la temperatura es de 28, y hay mucha humedad, es frecuente escuchar que la sensación térmica es de, por ejemplo, 32. La sensación térmica depende de

Más detalles

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados Parte I Iniciación a los Espacios Normados Capítulo 1 Espacios Normados Conceptos básicos Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E

Más detalles

( x ) 2 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD. 1 Saca factor común: 2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio:

( x ) 2 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD. 1 Saca factor común: 2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio: Pág. 1 Página 95 PRACTICA Factor común e identidades notables 1 Saca factor común: a) 9x 2 + 6x 3 b) 2x 3 6x 2 + 4x c) 10x 3 5x 2 d) x 4 x 3 + x 2 x a) 9x 2 +6x 3 = 3(3x 2 + 2x 1) b) 2x 3 6x 2 + 4x = 2x(x

Más detalles

modulodematematica@gmail.com https://www.facebook.com/groups/modulomat

modulodematematica@gmail.com https://www.facebook.com/groups/modulomat modulodematematica@gmail.com https://www.facebook.com/groups/modulomat Matemática Ingreso 0 UADER Facultad de Ciencias de la Gestión Estimado Estudiante: El material que presentamos a continuación es un

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico

Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico Máster Universitario en Ingeniería de Caminos, Canales y Puertos Introducción al Análisis Numérico Departamento de Matemática Aplicada Universidad Granada Introducción El Cálculo o Análisis Numérico es

Más detalles

Subconjuntos destacados en la

Subconjuntos destacados en la 2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,

Más detalles

Unidad 0. Aritmética Elemental. Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM) - Año 2009

Unidad 0. Aritmética Elemental. Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM) - Año 2009 Unidad 0 Aritmética Elemental Estructuras Algebraicas I (LM) - Estructuras Algebraicas (PM) - Año 2009 1. Buen orden e inducción. Empezamos haciendo hincapié en el carácter intrínseco de sucesión que tiene

Más detalles

Polinomios. Antes de empezar

Polinomios. Antes de empezar Antes de empezar Utilidad de los polinomios Los polinomios no solo están en la base de la informática, en economía los cálculos de intereses y duración de las hipotecas se realizan con expresiones polinómicas,

Más detalles

Anillos Especiales. 8.1 Conceptos Básicos. Capítulo

Anillos Especiales. 8.1 Conceptos Básicos. Capítulo Capítulo 8 Anillos Especiales 8.1 Conceptos Básicos En este capítulo nos dedicaremos al estudio de algunos anillos especiales que poseen ciertas condiciones adicionales, aparte de las propias de la definición,

Más detalles

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION. 1. Introducción

PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION. 1. Introducción PRUEBA ELEMENTAL DEL TEOREMA DE INVARIANCIA DE LA DIMENSION RAFAEL POTRIE Resumen. La idea es dar una prueba elemental del Teorema de invariancia de la dimension que afirma que si U R n es un abierto homeomorfo

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones

Límites y Continuidad de funciones CAPITULO Límites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

Sucesiones y convergencia

Sucesiones y convergencia Capítulo 2 Sucesiones y convergencia 1. Definiciones Una de las ideas fundamentales del análisis es la de límite; en particular, el límite de una sucesión. En este capítulo estudiaremos la convergencia

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

Dominios de factorización única

Dominios de factorización única CAPíTULO 3 Dominios de factorización única 1. Dominios euclídeos En la sección dedicada a los números enteros hemos descrito todos los ideales de Z. En este apartado introducimos una familia de anillos

Más detalles

Una prueba sencilla del teorema de los ceros de Hilbert usando bases de Gröbner A simple proof of Hilbert s Nullstellensatz based on Gröbner bases

Una prueba sencilla del teorema de los ceros de Hilbert usando bases de Gröbner A simple proof of Hilbert s Nullstellensatz based on Gröbner bases Lecturas Matemáticas Volumen 34 (1) (2013), páginas 77 82 ISSN 0120 1980 Una prueba sencilla del teorema de los ceros de Hilbert usando bases de Gröbner A simple proof of Hilbert s Nullstellensatz based

Más detalles

Capítulo VI. Congruencias, Z n y Z n, Etc.

Capítulo VI. Congruencias, Z n y Z n, Etc. Capítulo VI Congruencias, Z n y Z n, Etc. En este capítulo se estudian congruencias módulo un entero positivo, y los sistemas de números Z n y Z n. Además del teorema chino del residuo, encontramos de

Más detalles

MATEMATICAS PARA ECONOMIA

MATEMATICAS PARA ECONOMIA MATEMATICAS PARA ECONOMIA por FRANCISCO RIVERO MENDOZA PHD. Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad de los Andes Mérida - Venezuela Octubre de 2000. 2 Índice general 3 4 ÍNDICE GENERAL

Más detalles

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O.

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O. Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar L. F. Reséndis O. 2 Contents 1 Números reales L.F. Reséndis O. 5 1.1 Números racionales e irracionales.l.f. Reséndis O............ 5

Más detalles

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real).

). (Nota: también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no de manera global en toda la recta real). Tema 5 Integral Indefinida 5.1 Introducción Dedicaremos este tema a estudiar el concepto de Integral Indefinida y los métodos más habituales para calcular las integrales indefinidas. De una manera intuitiva

Más detalles

Comparar las siguientes ecuaciones, y hallar sus soluciones:

Comparar las siguientes ecuaciones, y hallar sus soluciones: TEMA. Iteraciones. % Hemos aprendido que para resolver una ecuación en x, se despeja la x y se evalúa la expresión que resulta. El siguiente ejemplo nos hará revisar ese esquema. Ejemplo. Comparar las

Más detalles

Conjuntos, Relaciones y Funciones

Conjuntos, Relaciones y Funciones Conjuntos, Relaciones y Funciones 0.1 Conjuntos El término conjunto y elemento de un conjunto son términos primitivos y no definidos. De un punto de vista intuitivo parece ser que cualquier colección de

Más detalles

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA ABIERTA MATEMÁTICAS II GUIA DE ESTUDIO

Más detalles

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA Departamento de Matemáticas. Matemáticas. Manuel Fernández García-Hierro Badajoz, Febrero 2008

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA Departamento de Matemáticas. Matemáticas. Manuel Fernández García-Hierro Badajoz, Febrero 2008 UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA Departamento de Matemáticas Matemáticas Manuel Fernández García-Hierro Badajoz, Febrero 2008 Capítulo VI Concepto de error 6.1 Introducción Uno de los temas más importantes en

Más detalles

Números Reales y Fundamentos de Álgebra

Números Reales y Fundamentos de Álgebra CONARE Proyecto RAMA Números Reales y Fundamentos de Álgebra Master Pedro Díaz Navarro Temas de pre-cálculo Enero 2007 Master. Pedro Díaz Navarro 31 de julio de 2007 Índice 1. Los Números Reales 1 1.1.

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini.

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. Recuerda: Un monomio en x es una expresión algebraica de la forma a x tal que a es un número real y n es un número natural. El real a se llama coeficiente y n se

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Variable Compleja. José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com

Variable Compleja. José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com Variable Compleja José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia - abril 2005 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuación

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires Fascículo 2 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri Álgebra Lineal Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2008

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es Matemáticas 1 o ESO David J. Tarifa García info@esobachilleratouniversidad.com.es 1 Matemáticas - 1 o ESO 2 Índice 1 Tema 1. Los números naturales 6 1.1 Suma de números naturales................................

Más detalles

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN 4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,

Más detalles

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 -

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 - SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO - Septiembre de 00 - SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA INGRESO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Zeballos 000 Rosario - Argentina www.frro.utn.edu.ar e-mail: ingreso@frro.utn.edu.ar

Más detalles

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e)

a) Un número par I) 2n 1 b) Un número impar II) x, x 1 c) Un número y el que le sigue III) 3a d) El triple de un número IV) 2z x 6 b) e) Polinomios El 6 de septiembre del 00 se celebró el gran Premio de Singapur, la 5.ª prueba del mundial de Fórmula. La carrera constaba de 6 vueltas a un circuito de 5 067 m de longitud. Fernando Alonso,

Más detalles

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento.

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento. INTRODUCCIÓN Todo debería hacerse tan sencillo como sea posible, pero no más Albert Einstein, físico Cuanto más trabajo y practico, más suerte parezco tener Gary Player, jugador profesional de golf E studiar

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

El Teorema de existencia y unicidad de Picard

El Teorema de existencia y unicidad de Picard Tema 2 El Teorema de existencia y unicidad de Picard 1 Formulación integral del Problema de Cauchy El objetivo del presente Tema, y del siguiente, es analizar el Problema de Cauchy para un SDO de primer

Más detalles

Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional. Alvaro Cofré Duvan Henao

Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional. Alvaro Cofré Duvan Henao Conceptos Básicos de Algebra Lineal y Geometría Multidimensional Alvaro Cofré Duvan Henao ii Índice general 1 Sistemas de ecuaciones lineales 1 11 El método de eliminación de Gauss 3 12 Determinantes 8

Más detalles

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,

Más detalles

Series y Probabilidades.

Series y Probabilidades. Series y Probabilidades Alejandra Cabaña y Joaquín Ortega 2 IVIC, Departamento de Matemática, y Universidad de Valladolid 2 CIMAT, AC Índice general Sucesiones y Series Numéricas 3 Sucesiones 3 2 Límites

Más detalles

Funciones analíticas CAPÍTULO 2 2.1 INTRODUCCIÓN

Funciones analíticas CAPÍTULO 2 2.1 INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 2 Funciones analíticas 2.1 INTRODUCCIÓN Para definir las series de potencias y la noción de analiticidad a que conducen, sólo se necesitan las operaciones de suma y multiplicación y el concepto

Más detalles

Aritmética de Números Enteros

Aritmética de Números Enteros Aritmética de Números Enteros Pablo De Nápoli versión 0.8.2 Resumen Este es un apunte de las teóricas de Algebra I, turno noche del primer cuatrimestre de 2007, con algunas modificaciones introducidas

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Límites y continuidad 1. Límite de funciones de dos variables Hasta ahora hemos evitado entrar en la

Más detalles

RELACIONES DE RECURRENCIA

RELACIONES DE RECURRENCIA Unidad 3 RELACIONES DE RECURRENCIA 60 Capítulo 5 RECURSIÓN Objetivo general Conocer en forma introductoria los conceptos propios de la recurrencia en relación con matemática discreta. Objetivos específicos

Más detalles

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.

Más detalles

ALGEBRA. Versión Preliminar. Renato A. Lewin

ALGEBRA. Versión Preliminar. Renato A. Lewin ALGEBRA Versión Preliminar Renato A. Lewin Indice CAPITULO 1. Introducción a la Teoría de Números 5 1. Los Números Naturales y los Números Enteros 5 2. Divisibilidad 7 3. Congruencias 14 4. Clases Residuales

Más detalles

Álgebra II. Tijani Pakhrou

Álgebra II. Tijani Pakhrou Álgebra II Tijani Pakhrou Índice general 1. Teoría de conjuntos 1 1.1. Conjuntos................................. 1 1.2. Productos cartesianos........................... 6 1.3. Relaciones de equivalencia........................

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES. INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES. Definición intuitiva de límite.. DEFINICIÓN RIGUROSA DE LÍMITE. Límites reales.. Propiedades de los límites.. Estrategias para calcular límites. - Límites

Más detalles

Vectores y Valores Propios

Vectores y Valores Propios Capítulo 11 Vectores y Valores Propios Las ideas de vector y valor propio constituyen conceptos centrales del álgebra lineal y resultan una valiosa herramienta en la solución de numerosos problemas de

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

1. División de polinomios por monomios

1. División de polinomios por monomios 1. División de polinomios por monomios El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro monomio que tiene: como coeficiente, el cociente de los coeficientes; como parte literal, las letras que

Más detalles

Matrices invertibles. La inversa de una matriz

Matrices invertibles. La inversa de una matriz Matrices invertibles. La inversa de una matriz Objetivos. Estudiar la definición y las propiedades básicas de la matriz inversa. Más adelante en este curso vamos a estudiar criterios de invertibilidad

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ÍNDICE 1. Funciones de varias variables 1 2. Continuidad 2 3. Continuidad y composición de funciones 4 4. Continuidad y operaciones algebraicas 4 5. Carácter

Más detalles

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10 Tema 10 Espacios de Hilbert Vamos a desarrollar en lo que sigue los resultados básicos acerca de los espacios de Hilbert, un tipo muy particular de espacios de Banach con propiedades especiales que están

Más detalles