Resumenes númericas de una muestra II: medidas basadas en momentos

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1 M. Wiper Estadística 1 / 18 Resumenes númericas de una muestra II: medidas basadas en momentos Michael Wiper Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid

2 M. Wiper Estadística 2 / 18 Objetivo Introducir medidas de forma de una muestra basadas en momentos.

3 M. Wiper Estadística 3 / 18 La media Hasta ahora hemos visto dos medidas de localización: moda y mediana. Una alternativa natural es la media (aritmética), es decir el promedio de los datos. x = 1 n (x 1 + x 2 + xn).

4 M. Wiper Estadística 3 / 18 La media Hasta ahora hemos visto dos medidas de localización: moda y mediana. Una alternativa natural es la media (aritmética), es decir el promedio de los datos. x = 1 n (x 1 + x 2 + xn). Nota para los ingenieros: si se colocan pesos iguales sobre una barra muy ligera en posiciones x 1,..., xn, la media es el centro de gravedad de la barra.

5 M. Wiper Estadística 3 / 18 La media Hasta ahora hemos visto dos medidas de localización: moda y mediana. Una alternativa natural es la media (aritmética), es decir el promedio de los datos. x = 1 n (x 1 + x 2 + xn). Nota para los ingenieros: si se colocan pesos iguales sobre una barra muy ligera en posiciones x 1,..., xn, la media es el centro de gravedad de la barra. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 x = 1 ( ) = 6,5 8

6 M. Wiper Estadística 4 / 18 Calculando la media a través de la tabla de frecuencias Con datos discretas la tabla de frecuencias tiene forma: Valor Frecuencia absoluta Frecuencia relativa x 1 n 1 f 1 x 2 n 2 f 2. xk nk fk Total n 1 El valor xi es repetido ni veces. Luego, la media es.. x = 1 n k ni xi = i=1 i=1 k fi xi.

7 M. Wiper Estadística 5 / 18 Ejemplo x = 1 ( ) = 3,365 accidentes mortales por día. 181

8 M. Wiper Estadística 6 / 18 Ejemplo Con datos continuos, usamos las misma formulas, aproximando los valores dentro de un intervalo con la marca de clase. Obviamente el resultado es sólo una aproximación a la verdadera media de la muestra. x (0, , , ) = 326,5. La verdadera media de los datos es x = 320 hectáreas quemadas por provincia No importa el hecho de que los intervalos son de anchuras distintas.

9 M. Wiper Estadística 7 / 18 Sensibilidad de la media a datos atípicos Obviamente la media es muy sensible a atípicos. x = 6,5. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13

10 M. Wiper Estadística 7 / 18 Sensibilidad de la media a datos atípicos Obviamente la media es muy sensible a atípicos. x = 6,5. x = 21,125. 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 130 Luego para muestras muy asimétricas o con muchos datos atípicos, es preferible emplear la mediana como medida de localización.

11 M. Wiper Estadística 8 / 18 Comparando media, mediana y moda En contraste a la media, la mediana y moda no son afectadas por datos atípicos.

12 M. Wiper Estadística 9 / 18 Otras medias La media truncada es un intento de evitar la sensibilidad a los datos atípicos, calculando la media de los datos pero quitando (por ejemplo) los 5 % más altos y los 5 % más bajos. La media geométrica de una muestra (no-negativa) x 1,..., xn es igual a n x1 x 2 xn. Son muy apropiadas para promediar índices porcentuales, por ejemplo la variabilidad regional en Europe entre homicidios y otras formas de muerte externa.

13 M. Wiper Estadística 10 / 18 Midiendo dispersión: la varianza y desvianza típica Suponiendo que la media es una buena medida de localización de la muestra, una idea razonable es medir la dispersión como la distancia típica de una observación en torno de la media. Con datos x 1,..., xn, con media x, las distancias son x 1 x, x 2 x,..., xn x. Obviamente, algunas son positivas y otras negativas y n i=1 (x i x) = 0.

14 M. Wiper Estadística 10 / 18 Midiendo dispersión: la varianza y desvianza típica Suponiendo que la media es una buena medida de localización de la muestra, una idea razonable es medir la dispersión como la distancia típica de una observación en torno de la media. Con datos x 1,..., xn, con media x, las distancias son x 1 x, x 2 x,..., xn x. Obviamente, algunas son positivas y otras negativas y n i=1 (x i x) = 0. Entonces, una idea posible es considerar las distancias cuadradas...

15 M. Wiper Estadística 11 / 18 La varianza La varianza de la muestra se dene como: ˆσ 2 = 1 n (xi x) 2 = 1 n n i=1 n xi 2 x 2. i=1

16 M. Wiper Estadística 11 / 18 La varianza La varianza de la muestra se dene como: ˆσ 2 = 1 n (xi x) 2 = 1 n n i=1 n xi 2 x 2. i=1 Nota para los ingenieros: la varianza es el momento de inercia de la barra en torno del centro de gravedad.

17 M. Wiper Estadística 11 / 18 La varianza La varianza de la muestra se dene como: ˆσ 2 = 1 n (xi x) 2 = 1 n n i=1 n xi 2 x 2. i=1 Nota para los ingenieros: la varianza es el momento de inercia de la barra en torno del centro de gravedad. Nota para los estadísticos: la mayoria de paquetes estadísticos no calculan la varianza así. Como alternativa se preere la cuasi-varianza: ¾Porqué? s 2 = 1 n 1 n (xi x) 2 = n n 1 ˆσ2. i=1

18 M. Wiper Estadística 11 / 18 La varianza La varianza de la muestra se dene como: ˆσ 2 = 1 n (xi x) 2 = 1 n n i=1 n xi 2 x 2. i=1 Nota para los ingenieros: la varianza es el momento de inercia de la barra en torno del centro de gravedad. Nota para los estadísticos: la mayoria de paquetes estadísticos no calculan la varianza así. Como alternativa se preere la cuasi-varianza: ¾Porqué? s 2 = 1 n 1 n (xi x) 2 = n n 1 ˆσ2. i=1 Razones estadísticas complicadas: insesgadez,...

19 M. Wiper Estadística 12 / 18 La desviación típica El problema más importante de la varianza es su interpretación. Volviendo al ejemplo de los accidentes de tráco, la varianza en este caso es 3,79

20 M. Wiper Estadística 12 / 18 La desviación típica El problema más importante de la varianza es su interpretación. Volviendo al ejemplo de los accidentes de tráco, la varianza en este caso es 3,79 (accidentes mortales cuadrados al día). Más natural es una medida con las mismas unidades que los datos. La desviación típica es ˆσ = ˆσ 2 y la cuasi-desviación típica es s = s 2. En el ejemplo, la desviación típica es 1,95 accidentes mortales por día.

21 M. Wiper Estadística 13 / 18 El teorema de Chebyshev y la interpretación de la desviación típica El teorema de Chebyshev dice que para cualquier conjunto de datos: Por lo menos 3/4 de los datos de la muestra están a menos de dos desviaciones típicas en torno de la media. Por lo menos 8/9 de los datos están a menos de tres desviaciones típicas de la media. Por lo menos 1 1/k 2 de los datos están a menos de k desviaciones típicas de la media.

22 M. Wiper Estadística 13 / 18 El teorema de Chebyshev y la interpretación de la desviación típica El teorema de Chebyshev dice que para cualquier conjunto de datos: Por lo menos 3/4 de los datos de la muestra están a menos de dos desviaciones típicas en torno de la media. Por lo menos 8/9 de los datos están a menos de tres desviaciones típicas de la media. Por lo menos 1 1/k 2 de los datos están a menos de k desviaciones típicas de la media. El teorema de Chebyshev es muy conservadora. Para datos más o menos simétricas, una regla empírica dice que aproximadamente 68 % 95 % 99.7 % de los datos están a menos de uno dos tres desviaciones de la media.

23 M. Wiper Estadística 14 / 18 Ejemplo 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 x = 6,5 x 2 i = 466 ˆσ 2 = ,52 = 16 ˆσ = 4. En este caso, un 100 % de los datos están comprendidos en la región 6,5 ± 2 4 = [ 1,5, 14,5]

24 M. Wiper Estadística 14 / 18 Ejemplo 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 13 x = 6,5 x 2 i = 466 ˆσ 2 = ,52 = 16 ˆσ = 4. En este caso, un 100 % de los datos están comprendidos en la región 6,5 ± 2 4 = [ 1,5, 14,5] 1, 2, 4, 5, 7, 9, 11, 130 x = 21,125 x 2 i = ˆσ 2 = ,1252 = 1703,36 ˆσ = 41,27. En contraste el intervalo 21,125 ± 2 41,27 = [ 61,42, 103,67] contiene un 87.5 % de lo datos.

25 M. Wiper Estadística 15 / 18 Midiendo la dispersión relativa: el coeciente de variación Supongamos que se quiere comparar la variabilidad en las cantidades de heroina (gm) y de cigarillos ilegales (cajas) encontrados en sospechosos.

26 M. Wiper Estadística 15 / 18 Midiendo la dispersión relativa: el coeciente de variación Supongamos que se quiere comparar la variabilidad en las cantidades de heroina (gm) y de cigarillos ilegales (cajas) encontrados en sospechosos. Obviamente no tiene sentido comparar las desviaciones típicas directamente ya que las cantidades típicas encontradas de los dos productos son muy distintos. Luego se tiene que comparar las dispersiones relativas al tamaño típico. Con este objetivo se utiliza el coeciente de variación: CV = ˆσ x.

27 M. Wiper Estadística 16 / 18 Midiendo asimetría La medida más típica es la asimetría de Fisher: ˆγ 1 = 1 n n i=1 (x i x) 3. ˆσ 3 Para datos simétricas, tipicamente γ 1 0. La asimetría es ˆγ 1 = 3. Para datos asimétricos a la derecha, la asimetría es positiva.

28 M. Wiper Estadística 17 / 18 Curtosis Curtosis es otra medida de forma que está relacionado con la proporción de la variabilidad de los datos debida a datos extremos. La medida más utilizada es ˆκ = 1 n n i=1 (x i x) 4. ˆσ 4 Valores grandes de la curtosis indican una proiporción más alta de datos extremos. Una muestra platicurtica tiene pocos atípicos y una muestra leptocurtica tiene más atípicos.

29 M. Wiper Estadística 18 / 18 Resumen y siguiente sesión En las últimas dos sesiones hemos introducido las resumenes numéricas más típicas de un conjunto de datos. En las siguientes sesiones empezamos a mirar conjuntos de varios tipos de datos y ver las relaciones entre ellos.