Modelos de Regresión Simple

Transcripción

1 Itroduccó a la Ifereca Estadístca Dept. of Mare cece ad Appled Bology Jose Jacobo Zubcoff Modelos de Regresó mple Que tpo de relacó exste etre varables Predccó de valores a partr de ua de ellas Varable Explcatva, Predctor o Idepedete Varable Depedete Prof. Jose Jacobo Zubcoff

2 Estudo cojuto de dos varables Datos de dos varables de ua muestra. E cada fla teemos los datos de u dvduo Cada columa represeta los valores que toma ua varable sobre los msmos. Las dvduos o se muestra e gú orde partcular. Las observacoes puede ser represetadas e u dagrama de dspersó Nuestro objetvo será tetar recoocer a partr del msmo s hay relacó etre las varables, de qué tpo, y s es posble predecr el valor de ua de ellas e fucó de la otra. Altura e cm. Peso e Kg Dagramas de dspersó o ube de putos Teemos las alturas y los pesos de 3 dvduos represetados e u dagrama de dspersó. 9 8 Pesa 76 kg. 7 6 Pesa 5 kg. 5 4 Mde 6 cm Mde 87 cm. Prof. Jose Jacobo Zubcoff

3 Relacó etre varables Teemos las alturas y los pesos de 3 dvduos represetados e u dagrama de dspersó Parece que el peso aumeta co la altura Predccó de ua varable e fucó de la otra Aparetemete el peso aumeta Kg por cada cm de altura... o sea, el peso aumeta e ua udad por cada udad de altura kg. 5 4 cm Prof. Jose Jacobo Zubcoff 3

4 Relacó drecta e versa Para valores de por ecma de la meda teemos valores de por ecma y por debajo e proporcoes smlares. Icorrelacó Icorrelacó Certa relacó Iversa Fuerte 9 relacó Drecta Para los valores de mayores que la meda le correspode valores de mayores també. Para los valores de meores que la meda le correspode valores de meores també. Esto se llama relacó drecta. Para los valores de mayores que la meda le correspode valores de meores. Esto es relacó versa o decrecete. Ejemplos de correlacoes postvas r=, r=, r=,8 r=, r=, Prof. Jose Jacobo Zubcoff 4

5 Ejemplos de correlacoes egatvas r=-,5 r=, r=,7 r=-, r=-,95 r=, r=-,999 r=, Cuato vale r? r=,6 Prof. Jose Jacobo Zubcoff 5

6 Asocacó etre varables cotuas e desea estudar como se comporta la cocetracó de teofla a lo largo de tempo. e mde e 5 tempos dsttos los valores de teofla y resulta: 7 Calcular la covaraza Coefcete de correlacó de Pearso Asocacó etre varables cotuas Dbujamos la ube de putos Prof. Jose Jacobo Zubcoff 6

7 Asocacó etre varables cotuas Obteemos el r coefcete de correlacó de Pearso elevado al cuadrado) se muestra resultados de R Asocacó etre varables cotuas Co P coefcete de correlacó de Pearso Prof. Jose Jacobo Zubcoff 7

8 Asocacó etre varables cotuas Otros coefcetes meddas) de correlacó Asocacó etre varables cotuas Como comprobar la depedeca etre dos varables H : Idepedeca de x e y H o : r = H : Depedeca de x e y H : r # t studet El estadístco es u t expt α =.95 α / =.5 p-valor/ α / =.5 p-valor/ t expt t / t / t expt Regó de aceptacó No rechazo) edo r: Prof. Jose Jacobo Zubcoff 8

9 Asocacó etre varables cotuas Resume: Covaraza: medda de varacó cojuta Coefcete de Correlacó Leal de Pearso [-,] H : Idepedeca de e r = H : Depedeca de e r # Modelo de regresó leal smple E el modelo de regresó leal smple, dado dos varables depedete) depedete, explcatva, predctora) buscamos ecotrar ua fucó de muy smple leal) que os permta aproxmar medate Ŷ = b + b b ordeada e el orge, costate) b pedete de la recta) e Ŷ rara vez cocdrá por muy bueo que sea el modelo de regresó. A la catdad e = -Ŷ) se le deoma resduo o error resdual. Prof. Jose Jacobo Zubcoff 9

10 Regresó leal El modelo leal de regresó se costruye utlzado la técca de estmacó mímo cuadrátca: Buscar b, b de tal maera que se mmce la catdad Σ e e comprueba que para lograr dcho resultado basta co elegr: e obtee además otras vetajas El error resdual medo es ulo La varaza del error resdual es míma para dcha estmacó. Traducdo: E térmo medo o os equvocamos. Cualquer otra estmacó que o cometa error e térmo medo, s es de tpo leal, será peor por presetar mayor varabldad co respecto al error medo que es cero). y y Cuádo es bueo u modelo de regresó? r=.45 r^ = r=.984 r^ =.969 Lo adecuado del modelo depede de la relacó etre: la dspersó margal de La dspersó de codcoada a Es decr, fjado valores de, vemos cómo se dstrbuye La dstrbucó de, para valores fjados de, se deoma dstrbucó codcoada. La dstrbucó de, depedetemete del valor de, se deoma dstrbucó margal. la dspersó se reduce otablemete, el modelo de regresó será adecuado Prof. Jose Jacobo Zubcoff

11 Iterpretacó de la varabldad e E prmer lugar olvdemos que exste la varable. Veamos cuál es la varabldad e el eje. La fraja sombreada dca la zoa dode varía los valores de. Proyeccó sobre el eje = olvdar Iterpretacó del resduo Mremos ahora los errores de predccó líeas vertcales). Los proyectamos sobre el eje. e observa que los errores de predccó, resduos, está meos dspersos que la varable orgal. Cuato meos dspersos sea los resduos, mejor será la bodad del ajuste. Prof. Jose Jacobo Zubcoff

12 Modelos de Regresó mple Modelo Leal o Recta de Regresó = + Valor esperado por la recta) dado u E ) = + Método de Mímos Cuadrados = = $ = # + )) e trata de mmzar los errores, exste ua recta que hace mímos los resduales Modelos de Regresó mple Estmacó de los parámetros de la recta por Mímos Cuadrados # b = $ = = a = b & = ' = ) ) = ) = Varaza Resdual de para cada valor de.. = a + b )) = = b ) Prof. Jose Jacobo Zubcoff

13 Modelos de Regresó mple Meddas de Bodad de Ajuste b = r = Despejado la covaraza y reemplazado: b = r Para toda la poblacó: Estma y por tato # = Asocacó etre varables cotuas Del problema de cocetracó de Teofla, ahora calculamos la recta de regresó y = a + bx Calculamos los parámetros de la recta # & = b = = $ ' = a = b Prof. Jose Jacobo Zubcoff 3

14 Asocacó etre varables cotuas Obteemos los parámetros de la recta se muestra resultados de R Modelo de regresó leal smple Ejemplo e ha obtedo los sguetes datos referetes a =Log. folar e =Ampltud folar e ejemplares de Ruba peregra. Estudar la relacó leal etre las varables medate sus meddas de asocacó, recta de regresó y varaza resdual. Qué ampltud debe teer ua hoja co cm de logtud? para 38cm de logtud? Cuáto aumeta la ampltud folar por cada cm de logtud? Qué logtud tee ua hoja co 9cm de ampltud folar?. Meddas de asocacó: a) Cálculo de la covaraza: xy = [ ] =. 536 = b) Cálculo de correlacó muestral de Pearso: r = = Prof. Jose Jacobo Zubcoff 4

15 Modelo de regresó leal smple. Recta de regresó: b = = = b = b = = 3. 7 ˆ = Varaza resdual: Apltud folar Gráfco de dspersó de la A. folar sobre L. folar y =.x = b )= = ) = Logtud folar Modelo de regresó leal smple 4. Qué ampltud debe teer ua hoja co cm de logtud? = = cm ˆ = para 38cm? = = 7. 39cm 6. Cuáto aumeta la ampltud folar por cada cm de logtud? = = cm = = 5. 77cm Aumeto = =. cm 7. Qué logtud tee ua hoja co 9cm de ampltud folar? = = = 5. 35cm. Prof. Jose Jacobo Zubcoff 5

16 Prof. Jose Jacobo Zubcoff 6 Regreso Leal Problema Modelos de Regresó mple ) # $ & + # $ ' & = ' ' '...,,.. b t b I ),.. ) # < # # t b Itervalo de cofaza para el coefcete β Cotraste de Hpótess Estadístco t expt # $ = : : H H

17 Modelos de Regresó mple Itervalo de predccó para u uevo valor de y dado x ' & & x ' ) I = # y $ a + bx ' $ t + + ), + ',.. a bx ' ) # +...) Cotraste de Hpótess H :& + = µ # H :& + $ µ Estadístco t expt a + bx.. + µ ) ) x ) ) < t, Regreso Leal e desea saber s exste relacó leal etre el peso del recé acdo y el vel de estrol e su madre Prof. Jose Jacobo Zubcoff 7

18 Prof. Jose Jacobo Zubcoff 8 Regresó mple b a = ) ) ) b = = # $ & ' = = = = = Varaza Resdual de Error tpco de estmaco) para cada valor de ).. )) b b a = + = = Co las expresoes de b y a calculamos los coefcetes y cte. Regreso Leal

19 Modelo de regresó leal smple Estadístcas y correlacoes Modelo de Regresó leal Modelo de regresó leal smple ANOVA del modelo Prof. Jose Jacobo Zubcoff 9

20 Asocacó etre varables cotuas Regreso Leal Prof. Jose Jacobo Zubcoff

21 Regreso Leal Regreso Leal Prof. Jose Jacobo Zubcoff

22 Regreso Leal Regreso Leal Prof. Jose Jacobo Zubcoff

23 Regreso Leal Regreso Leal Prof. Jose Jacobo Zubcoff 3

24 Regreso Leal Regreso Leal Prof. Jose Jacobo Zubcoff 4

25 Iterpretacó del resduo Prof. Jose Jacobo Zubcoff 5