Termodinámica y Ondas

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1 Termodinámica y Ondas Prueba #1 Prof. Andrés Gomberoff Segundo semestre 2015 Ayudante: Constanza Farías 1. Para cierto sistema gaseoso se ha determinado que, para presiones suficientemente grandes (mayores que 0, 1Pa), la energía viene dada por U = αp 2 V + constante, en que α = 1, 5(P a) 1. El sistema está inicialmente en un volumen de 1m 3 y a 0, 5Pa de presión. Luego recorre el ciclo A B C A representado en la figura. a) Calcule el calor y el trabajo en cada proceso (entendemos que los valores negativos indican que el sistema perdió energía). b) Calcule la ecuación para las curvas adiabáticas en este sistema (esto es, la ecuación P = P (V ) para curvas a lo largo de las cuales dq = 0). P [Pa] 1 C 0,5 A B 1 2 V [m 3 ]

2 Solución a) El trabajo a lo largo de una curva, W = P dv es el área bajo la curva, que en este caso es sencilla de calcular por tratarse de áreas de rectángulos y triángulos. Solo debemos tener cuidado con los signos, que vienen dados por la dirección de la trayectoria. De este modo, es fácil ver que, W A B = 0, 5J W B C = 0, 75J W C A = 0. Para encontrar el calor, primero calculamos la diferencia de energía entre los dos estados. Usando la ecuación para la energía, U A B = 1, 5(P a) 1 (P 2 BV B P 2 AV A ) = 0, 375J. Procediendo de igual manera para las otras trayectorias, U B C = 0, 75J U C A = 1, 125J. El calor absorbido en cada proceso podemos calcularlo ahora de la primera ley, Q A B = U A B W A B = 0, 875J. Procediendo de igual forma para los otros dos casos se obtiene: Q B C = 0 Q C A = 1, 125J. b) Derivando la ecuación para la energía obtenemos: du = α ( P 2 dv + 2V P dp ). Utilizando ahora la primera ley y teniendo en cuenta que dq = 0, α ( P 2 dv + 2V P dp ) = P dv. o bien Integrando, se obtiene que, dv V + 2αdP (1 + αp ) = 0. V (1 + αp ) 2 = constante.

3 2. Considere un sistema de dos componentes (N 1 y N 2 ), cuya ecuación fundamental es S = NA + NR ln U 3/2 V N 5/2 N 1R ln N 1 N N 2R ln N 2 N, en que N = N 1 + N 2, y A es cierta constante. Se tiene un cilindro rígido de volumen total 20 lt. que está dividido en dos cámaras iguales, por una membrana diatérmica, rígida y permeable a N 1 pero no a N 2. En una de las cámaras se pone una muestra del sistema con parámetros iniciales N 1 = 1; N 2 = 1, 5; V = 10lt. y T = 300K. En la segunda cámara se pone una muestra del sistema con parámetros iniciales N 1 = 2; N 2 = 1; V = 10lt. y T = 250K. Cuando el sistema alcanza el equilibrio, Cuáles son los valores de N 1 ; N 2 ; T ; P 1 y P 2 en cada cámara? Solución A partir de la ecuación fundamental, podemos encontrar las ecuaciones de estado, S U = 1 T = 3NR 2U (1) S = P V T = NR V (2) S = µ 1 N 1 T = A 5 2 R + R ln U 3/2 V N 3/2 N 1 (3) De acuerdo a lo visto en clases es evidente que la condición de equilibrio es la igualdad de temperaturas y de potenciales químicos µ 1. En cualquier caso, la derivación es simple. La entropía es aditiva, luego: S = S A (U A, N A 1 ) + S B (U B, N B 1 ), en que las etiquetas A y B designan a las dos cámaras. No se ha escrito explícitamente la dependencia en V A, V B, N2 A y N2 B, pues estas cantidades estan fijas (la membrana es rígida e impermeable a N 2 ). La condición de equilibrio es por lo tanto, 0 = δs = SA U δu A + SA δn A A N1 A 1 + SB U δu B + SB δn B B N1 B 1. Tenemos además que N 1 = N1 A + N1 B, y U = U A + U B son cantidades fijas, de modo que δu A = δu B y δn1 A = δn1 B. Por lo tanto, ( 1 0 = δs = T 1 ) ( ) µ δu A A 1 A T B T µb 1 δn A A T B 1, de donde se obtiene que en equilibrio T A = T B y µ A 1 = µ B 1. Para distinguir los valores iniciales de los finales, denotaremos estos últimos con barras. De las ecuaciones de estado podemos calcular la energía inicial en cada cámara, U A = 3 2 N A RT A = 1125KR U B = 3 2 N B RT B = 1125KR

4 Lo que implica que la energía total es U = Ū = 2250KR. Ahora usamos las dos condiciones de equilibrio. De la igualdad de las temperaturas, mientras que la igualdad de los potenciales químicos se tiene que N A Ū A = N B Ū B, (4) (Ū A ) 3/2 N 1 A ( N A ) = (Ū B ) 3/2 3/2 N 1 B ( N. (5) B ) 3/2 A Comparando estas dos ecuaciones, N 1 = N 1 B. Dado que N 1 se conserva y es inicialmente N1 A + N1 B = 3, N 1 A = N 1 B = 1, 5. Dado que la membrana es impermeable a N 2, su valor inicial y final es el mismo, de donde N A = 3 N B = 2, 5. Ahora usando (4) y el valor total de la energía Ū A + Ū B = 2250KR tenemos que Ū A = 1227KR Ū B = 1023KR. Insertando estos valores en las ecuaciones de estado obtenemos la presión y la temperatura, T A = T B = 273K P A = 82R/lt. P B = 68R/lt.

5 3. El objetivo de este problema es determinar la forma funcional de la distribución de velocidades del gas ideal. Suponga que f x (v) es la densidad de probabilidad de encontrar una partícula con velocidad v a lo largo del eje x. Con esto queremos decir que la probabilidad de encontrar a una partícula dada con velocidad v x entre v y v + dv es igual a f x (v)dv. Sabemos, a partir de la isotropía del gas, que la función f x (v) debe ser la misma si se define a lo largo de cualquier eje. Así f x (v) = f y (v) = f z (v) f(v). Note ahora que, también por isotropía, f(v) = f( v). Esto significa que la funcion f depende en realidad de v 2, por lo que, haciendo uso de un pequeño abuso de notación, la detonaremos f(v 2 ). De este modo, la probabilidad de que una partícula tenga su velocidad v en torno a un pequeño cubo en el espacio de velocidades de volumen dv x dv y dv z es f(v 2 x)f(v 2 y)f(v 2 z)dv x dv y dv z. Nuevamente la isotropía del sistema nos dice que esta debe ser igual a la probabilidad de que tenga una velocidad idéntica en magnitud, pero en la dirección del eje x, a) Muestre que (6) implica que: con α, C ciertas constantes reales. f(v 2 x)f(v 2 y)f(v 2 z) = f(v 2 x + v 2 y + v 2 z)f(0)f(0) (6) f(v 2 ) = C exp( αv 2 ) (7) b) Normalizando la probablidad, encontrar el valor de la constante C en función de α c) Utilizando la relación kt = 2 3 m < 1 2 v2 >, encontrar el valor de α en función de m, k y T. (Observación: De la ecuación anterior, kt = m < v 2 x >, podemos calcular el valor esperado de v 2 para una de las componentes para determinar α) d) Demostrar finalmente que la distribución es: Esta es conocida como la distribución de Boltzmann. m f(v) = ( 2πkT ) 3 mv 2 2 exp( ). (8) 2kT Solución a) Por simplicidad hacemos v z = 0 Diferenciamos respecto de la variable x = v 2 y, y evaluamos en x = 0, f(v 2 x)f (0)f(0) = f (v 2 x)f(0)f(0). De aquí, ecuación diferencial cuya solución es (7). f (a) = αf(a), α = f (0) f(0),

6 b) Para α > 0, podemos determinar C normalizando la función f(v i ), + dv i f(v i ) = 1 = C Cuya integral (Gaussiana) es π, de donde α α C = π. dv i exp( αv 2 i ) (9) c) kt = m < vx 2 >= m + d 3 vf( v)v z 2 = m dv z f(vz)dv 2 y f(vy)dv 2 x vxf(v 2 x) 2 (10) Utilizando el hecho que las integrales de las densidades valen 1, y observando la paridad de la función a integrar: kt = m + dv x v 2 xf(v 2 x) = 2m απ 0 dv x exp( αv 2 x)v 2 x (11) Resolviendo la integral usando u = av 2 x e integrando encontramos el valor de α α = m 2kT Finalmente, reemplazando los valores de las constantes en la ecuación (11) encontramos: (12) m f( v) = ( 2πkT ) 3 m v 2 2 exp( 2kT ) (13)

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