Tema 9 Funciones elementales

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1 Tema 9 Funciones elementales 9.1Gráfica de una función. Signo simetría. PÁGINA 175 EJERCICIOS 1. Encuentra los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones estudia su signo. 3 c) f 1 c.1) Cortes con los ejes Eje OX. Sus puntos son de la forma a, 0 con a R 3 Hemos de hacer f Como se trata de una fracción, será cero si el numerador es cero. 3 0 Como se trata de un producto, será cero si uno de los multiplicandos es cero Serían los puntos, 0,3, 0 Eje OY Sus puntos son de la forma 0, b con b R Hemos de hacer f Sería el punto 0,6 c.) signo de f Es decir, ha que ver dónde es positiva, negativa o cero la epresión de f Lo que se hace es estudiar el signo de 3 1 Como se trata de una fracción su signo dependerá de los signos del numerador denominador. Para ello se anulan los dos: Tenemos la siguiente tabla: signo/intervalo,, 1 1 1, 3 3 3, 3 1 f - Gráficamente es: 1

2 Observa como sobre los intervalos que en la tabla aparece el signo, pintamos por encima del eje OX; mientras que sobre los intervalos que en la tabla aparece el signo -, pintamos por debajo del eje de abscisas. Tareas : 1(a,b),,3(a,b) 3 Estudia si las siguientes funciones son pares o impares, o si no presentan ninguna de estas simetrías. c) f 5 3 Calculamos f Ahora hemos de compararla con f o f. Como se cumple que f f Entonces tenemos una simetría impar, es decir, la función es simétrica con respecto al origen de coordenadas. Gráficamente: Observa que si trazamos rectas que pasen por el origen de coordenadas, cortan a ambos lados de la gráfica de forma que el origen de coordenadas está en el medio de dichos puntos. 10. Funciones cuadráticas PÁGINA 176 EJERCICIOS 4 Dada la parábola f 6 : a) Halla los puntos de cortes con los ejes:

3 Eje OX a, 0 a R Será Como se trata de un producto, será cero si uno de los multiplicandos es cero. 0 Ó Ò 6 Son los puntos 0, 0,6, 0 Eje OY 0, b b R Ya lo tenemos, es 0, 0 b) Calcula su vértice. La abscisa de su vértice es b a La ordenada es f Las coordenadas del vértice son 3, 9. c) Represéntala gráficamente comprueba que es cóncava hacia arriba. Para empezar a 1 0 entonces las ramas de la parábola están hacia arriba. La gráfica queda Tareas : Funciones polinómicas de grado maor que dos Todos conocemos las epresiones funcionales de la forma f n con n N Cómo se transforma esto en un polinomio? Supongamos que trabajamos con f 3 Tiene por representación gráfica: 3

4 En principio es siempre creciente, pues al desplazarse de izquierda a derecha va siempre subiendo, sólo tenemos un punto de corte con los ejes; el origen de coordenadas. Vamos a transformarla de la siguiente manera: g PÁGINA 177 EJERCICIOS Tareas : 6 7 Esboza las gráficas de las siguientes funciones polinómicas: d) f d.1) Domf R como se trata de un polinomio se puede calcular su valor numérico para cualquier número real. d.) Cortes con los ejes: Eje OX a, 0, a R Es decir, hemos de hallar los valores de tales que f Un producto es cero si alguno de los multiplicandos es cero. 1 0 Ó Ó 3 Los puntos son 1, 0,3, 0 4

5 Eje OY 0, b, b R Hacemos f Será el punto 0,36 d.3) Signo de la función Tenemos la siguiente tabla: signo/intervalo, 1 1 1, 3 3 3, 3 1 f En realidad sobra, a que el 4 es siempre negativo, mientras que los cuadrados son siempre positivos o cero, por lo que al multiplicar los tres nos queda siempre negativo o cero. Por lo tanto, siempre pintaremos por debajo del eje OX. d.4) Comportamiento en el infinito lim f lim lim 4 lim 4 4 Esto se interpreta gráficamente como que cuando la se pierde por la izquierda, las alturas se van cada vez más abajo lim f Esto se interpreta gráficamente como que cuando la se pierde por la derecha, las alturas se van cada vez más abajo d.5) Simetría Calculamos f para poderlo comparar con f f Claramente es distinto tanto de f, como de f. Por lo tanto, no tenemos ningún tipo de simetría. La gráfica sería: Tareas : 7 (a b c) 10.4 Funciones de proporcionalidad inversa PÁGINA 178 EJERCICIOS PRODUCCIÓN PROPIA Representa en una hoja de papel milimetrado la función f 3 Calcula para ello los siguientes elementos: Domf Simetría 5

6 Asíntotas horizontales verticales. Tabla de valores En que cambia con respecto a la función 1? Dónde está ahora la simetría? 9 Encuentra la función que relaciona la base la altura de todos los rectángulos de área 40 m dibuja su gráfica. Será Para dibujarla considerare los siguientes apartados. Consideramos una tabla de valores: Domf R 0 Dado que para 0 se anula el denominador. Simetría Calculamos f f Entonces tenemos una simetría impar, es decir, es simétrica respecto del origen de coordenadas. Asíntotas verticales. En 0 pues es donde se anula el denominador. Tenemos que: lim lim Entonces 0 es una asíntota vertical Asíntotas horizontales. Calcular los siguientes límites: lim lim Entonces 0 es una asíntota horizontal. La gráfica resultante es: 6

7 Tareas : 8, Funciones racionales PÁGINA 179 EJERCICIOS 11 Realiza el estudio completo de estas funciones racionales dibuja sus gráficas: c) f 3 1 c.1) Domf R 1 pues para ese valor se anula el denominador. c.) Cortes con los ejes. Cortes con el eje OX a, 0 a R Como tenemos un cociente, este es cero si el numerador Un producto es igual a cero, si uno de los multiplicandos es cero. 0 Ó Ó 3 Serán los puntos 0, 0,3, 0 a. Cortes con el eje OY 0, b b R Ya lo tenemos es 0, 0 c.3) Asíntotas Horizontales Estudiamos los límites siguientes: lim 3 1 lim 3 1 lim lim lim lim Por lo tanto, no tenemos asíntotas horizontales. a. Oblicuas Estudiamos los límites siguientes: a. m lim 3 1 n lim 3 1 lim lim 1 lim 3 lim 3 1 lim lim lim Así tenemos la asíntota oblicua cuando Análogamente sería asíntota oblicua cuando Verticales 7

8 Hacemos el estudio cuando 1 pues es un punto que no pertenece al dominio de la función. a. lim lim Entonces 1 es una asíntota vertical. La gráfica nos queda Tareas : 11(a,b,d,e,f,g,h,i), 10.6 Funciones eponenciales Los límites en el infinito de la función eponencial vienen dados por esta tabla: f a lim f lim f 0 a a 0 Se debe a que si tomamos por ejemplo el número se verifica que: a 1 a a 1 a Esto es aplicable para cualquier número. Tareas : En papel milimetrado representar las funciones pasos: Domf Tabla de valores: f lim f. Para ello considera la tabla de valores siguiente: lim f. Para ello considera la tabla de valores siguiente: f 1, para ello has de realizar los siguientes 8

9 PÁGINA 180 EJERCICIOS 1 Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales: a) Dado que Otra forma de hacerlo: Tomamos logaritmo en base diez en ambos lados de la igualdad. log3 log7 log3 log7 log7 log3 3 b) 64 6 Dado que 6 64 Entonces el "método de adivinación" no es bueno. Veamos otra forma de hacerlo: Tomamos logaritmo en base en ambos lados de la igualdad. 64 log log 64 log log 64 1 log 64 log 64 ln 64 ln 6 También puede ser log 64 log64 log 6 Tareas : 1 (c d) 9.7 Funciones logarítmicas Tareas : En papel milimetrado representar las funciones pasos: Domf Tabla de valores: f log f log 1 lim f. Para ello considera la tabla de valores siguiente: lim f. Para ello considera la tabla de valores siguiente: , para ello has de realizar los siguientes ATENCIÓN: REPRESENTAR JUNTAS log, tambien que vaan juntas 1 log 1. Además, en ambas hojas de papel milimetrado, pintar la bisectriz del primer tercer cuadrantes. Qué observas? PÁGINA 181 EJERCICIOS 15 Escribe ln p 1 ln q como un solo logaritmo. 3 ln p 1 3 ln q ln p ln q 1 3 ln p 3 q 9

10 Tareas : Funciones trigonométricas Tareas : Representar en papel milimetrado (uno para cada función; apaisado) las siguiente funciones trigonométricas: sin cos tan sin cos Para ello daréis los siguientes valores de (en radianes): 4, 15 4, 7, 13, 1, 11, , 9 4, 8 4, 7 4, 6 4, 5 4, 4 4, 3 4, 4, 1 4, 0, 1 4, 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6 4, 7 4, 8 4, 9, , 11, 1, 13, 14, 15, Una vez hecha la representación, buscar "cosas curiosas" (periodicidad, simetrías, asíntotas...etc) en la representación gráfica. Para los valores de considerados en radianes tenemos en grados seagesimales respectivamente: 70, 675, 630, 585, 540, 495, 450, 405, 360, 315, 70, 5, 180, 135, 90,45, 0, 45, 90, 135, 180, 5, 70, 315, 360, 405, 450, 495, 540, 585, 630, 675, 70 PÁGINA 183 EJERCICIOS 17 Calcula todos los lados ángulos del siguiente triángulo rectángulo. Â º dado que en cualquier triángulo la suma de los ángulos interiores es 180º b, a? Como el triángulo es rectángulo podemos aplicar la definición de las funciones trigonométricas en función de los lados del triángulo. Resulta que a es un cateto b es la hipotenusa. a b cateto opuesto Se cumple que tanĉ cateto contiguo a m tan 4 Se cumple que sinĉ cateto opuesto aĉ hipotenusa tan 4 57 a sin 4 57 b 10

11 b m sin 4 También se podría calcular la hipotenusa aplicando el Teoremas de Pitágoras. Tareas : A partir de sin 30 cos30 Razones trigonométricas de 10º Tenemos la siguiente situación gráfica:. Obtén las razones trigonométricas de 10º, 150º, 10º, 40º, 300º, 330º. Teniendo en cuenta el dibujo podemos decir que: sin 10º cos30º cos10º sin 30º Tareas : 19(150º, 10º, 40º, 300º, 330º 0 Audándote de un cuadrado su diagonal, calcula las razones trigonométricas de un ángulo de 45º. Trabajando en el triángulo rectángulo ABC podemos obtener que: lado opuesto a 45 tan 45 lado contiguo a 45 1 sin 45 lado opuesto a 45 hipotenusa? 1 1 lado contiguo a 45 cos45 hipotenusa? análogamente Tenemos que hallar la hipotenusa. Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el Teorema de Pitágoras. AC AB BC b b b Pero como estamos calculando una longitud nos quedamos con b 11

12 9.9 Funciones valor absoluto parte entera. Vamos a representar la función parte entera de : f Ent E Tenemos la siguiente tabla de valores: asociamos la altura n siendo n un número natural conclusion para cualquier número positivo del intervalo n, n 1 le n 1,n le asociamos la altura n 1 siendo n un número natural conclusion para cualquier número negativo del intervalo 1

13 En cada escalón es cerrada en la derecha abierto en la izquierda. PÁGINA 184 EJERCICIOS 3 Escribe las siguientes funciones como funciones a trozos dibuja su gráfica: a) f Tenemos dos valores absolutos: if 0 if 0 if 0 if 0 if if Teniendo en cuenta donde cambían estas dos funciones, hemos de distinguir tres trozos diferenciados 0 0 f if if 0 if 0 if if if 0 if 0 if 0 if 0 13

14 b) g if 0 if 0 if if Calculamos Tenemos la siguiente tabla de valores para estudiar el signo de signo/intervalo,,, if, if,, 14