Topología General Capítulo 0-2 -

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1 Topología Geeral

2 Topología Geeral apítulo

3 Topología Geeral apítulo Breve reseña hstórca Sus orígees está asocados a la obra de Euler, ator y Möbus. La palabra topología había sdo utlzada e 847 por J.B Lstgs e u lbro ttulado Vorstude zur Topologe. Este había sdo u alumo de Gauss e el año 834. Usaba el térmo topología para lo que prefería llamar geometría de poscó, s embargo vo Staudt usaba este últmo para la geometría proyectva. Para alguos hstoradores de las matemátcas, el puto decsvo fue dado por la publcacó de Aálss Stus de Pocaré e 895. La geometría elemetal maeja las magtudes (logtud, águlos y áreas) que so varates por movmetos rígdos, (trasformacoes sométrcas o que coserva la medda), metras que la geometría proyectva trata los coceptos (putos, líea, cdeca, razó smple) que so varates por el grupo, todavía más eteso, de las trasformacoes proyectvas (proyectar, seccoar). Pero los movmetos rígdos y las proyeccoes so casos muy partculares de las trasformacoes topológcas que so correspodecas buívocas y bcotuas etre dos cojutos. La topología estuda etoces los coceptos varates frete a dchas trasformacoes. Fel Hausdorff creó ua teoría de espacos abstractos usado la ocó de vecdaro (Grudzüge der Megelehre, 94). U espaco topológco se defe como u cojuto de putos juto co ua famla de vecdaros asocados a ellos. Aquí hay varas ocoes que se establece: espaco compacto, coeo, separable. També es aquí dode etra la dea de homeomorfsmo. Ua vez establecdo esto, se formula la topología cojutsta como aquélla que estuda las propedades varates bajo homeomorfsmos. Hausdorff també do la ocó de complettud, que el msmos Fréchet había usado e 96. Usó la ocó de coectvdad, plateada ates por otros matemátcos (auque él o lo sabía), Para cosderar cojutos coeos como deas topológcas. Hausdorff formalzó la topología cojutsta medate ua ueva cocepcó de geometría e la cual u espaco tee ua estructura que cosste e relacoes que puede defrse e térmos de u grupo de trasformacoes. o el trabajo de Hausdorff se afrmó la topología cojutsta como ua dscpla propa detro de las matemátcas

4 Topología Geeral apítulo E el sglo XX, la topología se afrmó como ua ueva dscpla co toda propedad detro de las matemátcas, el gual que la geometría, el álgebra o el aálss, y partcpó de u espírtu de covergeca que ha caracterzado buea parte de las matemátcas moderas; se trata de la utlzacó de métodos de ua dscpla e las otras, potecado costatemete uevas ramas de u árbol cada vez más complejo y dversfcado

5 apítulo ojutos o el terés de detfcar u elemeto de ua coleccó de cojutos, alguas veces es coveete adjudcar u ombre a cada elemeto. Defcó. Sea A ua coleccó o vacía de cojutos. Ua fucó deada para A es ua fucó sobreyectva f de u cojuto J deomado cojuto de ídces, e A. La famla A, juto co la fucó f, se deoma famla deada de cojutos. Dado J, represetaremos el cojuto f por A Y deotamos la famla deada, propamete dcha, medate { A } J que se lee como la famla de todos los A cuado recorre J. E ocasoes escrbremos { A }, s o ofrece dudas cuál es el cojuto de ídces. Obsérvese que, auque es ecesaro que ua fucó deada sea sobreyectva, o se ecesta que sea yectva. A y A puede ser el msmo cojuto de A, cluso s β. β Ua forma de usar fucoes deadas es dar ua ueva otacó para uoes e terseccoes arbtraras de cojutos. Supogamos que f : J A es ua fucó deada para A ; represetemos f ( ) por. Etoces defmos: A y J { : al meos para u, } A = J A J { : para todo, } A = J A

6 Topología Geeral apítulo Leyes de Morga y A = A A = A Defcó. Dado u cojuto A, ua relacó R e A es u subcojuto del producto cartesao A A. ab, o a b) decmos que es ua relacó de equvaleca s se verfca tres propedades: a) Refleva a a a A b) Recíproca s a b etoces b a ab, A c) Trastva s a b y b c etoces a c abc,, A Defcó.3 Sea ~ ua relacó e A (aotamos Defcó.4 Dada ua relacó de equvaleca ~ e u cojuto A y u elemeto llamado clase de de A defmos u certo subcojuto de A que aotamos [ ] equvaleca determada por, medate la ecuacó: [ ] = { a A: a } Observacó vacías [ ] ya que es decr las clases de equvaleca so o Propedad Las clases de equvaleca tee las sguetes propedades: ) Dos clases de equvaleca o so dsjutas o so guales. Demostracó: Sea E y E dos clases de equvaleca defdas por y respectvamete etoces s o so dsjutas eso quere decr que este u elemeto e comú Etoces o sea y E y y A/ y E E y E y z E z (y como por trastva) z z E E E - 6 -

7 Topología Geeral apítulo aálogamete lo que cocluye que E E E = E ) La uó de todas las clases de equvaleca de A es todo A ya que todo elemeto de A tee asocada ua clase de equvaleca. A por defcó A A [ ] [ ] ya que s [ ] / [ ] A z A z A z A por defcó de La famla de las clases de equvaleca de A es u ejemplo de lo que se llama partcó del cojuto A. Defcó.5 Ua partcó de u cojuto A es ua famla de subcojutos dsjutos o vacíos de A cuya uó es todo A Defcó.6 Dada ua relacó de equvaleca e u cojuto A llamamos espaco cocete al cojuto formado por todas las clases de equvaleca. Y [ ] aotamos A A = {[ ] : A} Defcó.7 Ua relacó e u cojuto A se deoma relacó de orde (parcal) s verfca las sguetes propedades: ) Refleva A ) Atsmétrca y = y y, A y ) Trastva y z yz,, A y z Ejemplo. S A es u cojuto sea P(A) el cojuto de poteca de A es decr: - 7 -

8 Topología Geeral apítulo P(A) = { X : X A} Defmos la relacó de la sguete maera: X Y s X Y XY, P(A) verfca las tres propedades, por lo que es ua relacó de orde. Defcó.8 Dado u cojuto A y ua relacó de orde e A se dce que la A, es u cojuto ordeado. pareja A es u cojuto ordeado y cosderamos u subcojuto S A, defmos: ) a A es cota superor (feror) de S s a S ( a S ) ) m A es mámo s es cota superor y perteece a S Defcó.9 S (, ) Defcó. S (, ) A es u cojuto ordeado y S u subcojuto de A decmos que m es u elemeto mamal s se cumple: s S y m m= Defcó. Dado u cojuto A y ua relacó de orde decmos que es ua relacó de orde total s: a b dados ab, A o b a A llamamos cojuto totalmete ordeado. y a la pareja (, ) Observacó s A es u cojuto fto y totalmete ordeado tee mámo y mímo. Demostracó : osderemos por duccó sobre el cardal de A ) Para # A = es obvo. ) S vale para # A= y # A=, A= { a,..., a} Por hpótess el cojuto { a,..., a } tee mámo y mímo por teer - elemeto sea estos M y m respectvamete. Sea m = m { a, m} es el mímo de A ya que: m A m a y m m a =,..., De la msma forma - 8 -

9 Topología Geeral apítulo es el mámo de A M { a M} = ma, Defcó. S ( A, ) es u cojuto ordeado llamamos cadea a u subcojuto de A tal que (, ) es totalmete ordeado. A u cojuto ordeado e el que toda cadea tee ua cota superor, etoces A tee u elemeto mamal. Lema. ( Lema de Zor ) Sea (, ) Ejemplo.. osderemos el sguete cojuto que llamamos partes ftas de los aturales P F ( N) = { A N:# A es fto} o la relacó de orde dada por la clusó. B A B A P N, o tee elemeto mamal, ya que s A es mamal Etoces ( ) F ( N) y ( N) A PF B A B P F Pero para cualquer A P F (N), N co A, porque A es ftos A y obvamete { } { } es de ftos elemetos A { } P ( N) A A A o es mamal. Etoces como ( F ( N), ) P F ( N ), que o está acotada superormete, por ejemplo: = {{,,,,,3 } { } { },...,{,... },...} F P o tee elemeto mamal Zor ua cadea de es ua cadea y o está acotada ya que ua cota tee que teer a todos los aturales y eso o esta e el cojuto. A cota A= N y N P F ( N) Veamos ua aplcacó del pasado lema: Proposcó. Todo espaco vectoral V tee ua base. Demostracó: Vamos a pesar ua base de u espaco vectoral como u subcojuto L.. mamal, sea etoces L = { A V : A es L.. } co la relacó de orde defda: B A B A - 9 -

10 Topología Geeral apítulo - - Etoces ( L, ) es u cojuto ordeado y sea { } - - A L ua cadea, (subcojutos de L totalmete ordeados), vamos a probar que está acotada, sea A = A veremos que es L.. cosderemos ua -upla e A, A { }, además como { A A },..., co,..., / A fto y totalmete ordeado, etoces tee mámo A A A =,..., A =,..., { } A A { },..., y es L..,..., es L.. A es L.. es,..., y es ua cota superor de L etoces por el lema de Zor L tee elemeto mamal que V tee ua base. Defcó.3 Sea A, A,..., A cojutos,defmos u uevo cojuto llamado producto cartesao y aotamos por A A... A a: A A... A = a,..., a : a A a,..., { } a a puede pesarse como ua fucó { } f :,..., A tal que f = a =,..., Etoces e forma más geeral. Sea { A ua famla de cojutos llamamos producto cartesao de esos } I cojutos y aotamos A a: I : : I { } A = f I A f A I Aoma de eleccó Sea { A } I ua famla de cojutos o vacíos etoces el producto cartesao de ellos es o vacío. A φ I A φ Esto es equvalete a decr que dada ua famla de cojutos o vacíos podemos elegr u elemeto de cado cojuto ( e forma smultáea). Ua cuestó básca sobre u cojuto es coocer la catdad de elemetos, s grades coocmetos matemátcos para saber la catdad de elemetos de u cojuto lo que hacemos es cotarlos, pero que sgfca esto, a cada elemeto le estamos asocado u úmero co el cudado de o repetr elemetos y para aseguraros de o repetr úmeros le asocamos el,,..., e ese orde etoces lo que establecemos es ua fucó yectva (o repetmos elemetos) y sobreyectva (o dejamos gú elemeto s su correspodete). Es decr: I

11 Topología Geeral apítulo - - Este ua fucó f : A {,..., } byectva cardal de A es Defcó.4 Dados dos cojutos A y B decmos que tee el msmo cardal o que so coordables o equpotete s este ua fucó f : A B byectva. Proposcó. La relacó de ard( A) ard( B) ua relacó de equvaleca. - - = verfca las propedades de Demostracó ) A es equpotete co A ya que la detdad es ua fucó byectva de A e s msmo card( A) = card( A). ) S A es equpotete co B etoces B es equpotete co A card A = card B este f : A B byectva que f : B A es byectva card( A) card B = ) S A es equpotete co B y B es equpotete co etoces A es equpotete co. f : A B Por hpótess este byectvas g f : A també es byectva g: B Y eso mplca que A es equpotete co. Defcó.5 Dados dos cojutos A y B decmos que el cardal de A es meor o gual que el cardal de B s este ua fucó f : A B yectva. ard( A) ard( B) f : A B yectva Ejemplo.3 Sabemos que el ard( Z) ard fucó yectva. c : Z R a a Ejemplo.4 S X es u cojuto ard( X) ard( ( X) ) ϕ : X P ( X) defda { } R ya que la clusó es ua P basta tomar la fucó ϕ = es decr que a cada elemeto del cojuto X le asocamos el cojuto cuyo úco elemeto es el propo. Esta fucó claramete es yectva Observar que s X es fto co ard( X) = etoces ard P ( X ) =. Proposcó.3 Dados dos cojutos A y B etoces este ua fucó f : A B yectva s y solo s este ua fucó g: B A sobreyectva.

12 Topología Geeral apítulo - - Demostracó: Sea f : A B yectva co A φ y sea a A A f B a a b Im f Etoces : s b Im f a A tal que b= f ( a) y como f es yectva el a es úco y podemos defr: g( b) s b Im f defmos g( b) = a Defmos de esta forma ua fucó g: B A Que es sobre. g g b Dada g: B A sobreyectva { g a : a A} Etoces y a A f b s b Im f = a s b Im f establece ua partcó e B ya que: g a = B g por ser g( b) g( b) sobreyectva g a g a a a = a = a = / absurdo s = a g a g a b B a a por se g ua fucó. Por el teorema de eleccó podemos elegr u represetate por cada clase que g a ya que s aotamos etoces defmos: f : A B por f ( a) g ( a) = Por ser g sobre esta be defda para todo a A y además es yectva ya que: f ( a) f ( a) g = ( a) = g ( a) a = a - -

13 Topología Geeral apítulo f es yectva. Proposcó.4 ( Teorema de ator ) Dado X u cojuto o vacío etoces: ard X < ard P X ( ) Demostracó Ya sabemos que ard( X) ard( ( X) ) ard( X) ard( ( X) ) P Probaremos que P para ello supogamos por absurdo que so guales y por lo tato este ua fucó: osderemos: P f : X P X byectva f X B = { X : f } pero como B X B ( X) u X / B = f ( u) P por ser f sobreyectva etoces s u B u f u u B B= f( u) orolaro S N es el cojuto de los úmeros aturales aplcado lo ateror N < P N ard ard ( ) Proposcó.5 (Teorema de ator-berste) Dados dos cojutos X e Y tales que: ard( X) ard( Y) ard( X) = ard( Y) ard( Y) ard( X) Demostracó omo ard( X) ard( Y) ua fucó h: X Y yectva etoces s llamamos B= Im h la fucó h: X B es byectva. Por otro lado ard( Y) ard( X) ua fucó g: Y X yectva y s llamamos A= Im g la fucó g: Y A sera byectva. Sea f : X X la composcó f = A g B h dode A e B so las correspodetes clusoes. laramete f es yectva por ser composcó de fucoes yectvas. A X A h B Y B - 3 -

14 Topología Geeral apítulo Queremos ecotrar ua fucó ϕ : X A byectva para ello tomamos el cojuto = A f ( X) ( f ( X) = A) y el cojuto S = ( f ( X) ) co f la composcó de f cosgo msma veces. Luego S f ( S) ( ( )) f S = f f = f f = f = defmos etoces a φ de la sguete maera: s S ϕ = f s X S Por defcó ϕ ( S) = S y ( X S) f ( X S) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = además es sobreyectva ya que: X = S X S = S X S = f S f X S = f X = A Falmete probaremos que es yectva, como ϕ S y ϕ X Sso yectvas por ϕ S y ϕ X S so dsjutos, defcó, etoces bastará co ver que supogamos que o lo so, es decr que este S = f ( S) tal que = f ( ) co X S f ( S) por ser f yectva ya que s f ( S) S/ f ( ) f ( ) a cojuto dsjutos. Pero s f ( S) y por defcó de f ( X) = = = lo cual es absurdo por perteecer que es ua cotradccó pues era la mage de u por medo de f. La fucó ϕ así defda es ua byeccó y etoces ard X = ard A = ard Y ard( Y) ard X = Defcó.6 Dado u cojuto A decmos que es fto s es vacío o es + coordable co el cojuto {,..., } para algú Z. E caso cotraro se drá que el cojuto es fto. lo Defcó.7 Dado u cojuto A decmos que es umerable s es fto o de ser fto es coordable co el cojuto de los úmeros aturales. A fto A umerable card( A) = ard ( N) N P N Observacó 3 ( N) P es o umerable por ser ard ard ( ) Defcó.8 Se dce que u subcojuto A de los úmeros reales es ductvo s cotee el úmero, y s para todo de + també está e A. Sea A la famla de todos los subcojutos ductvos de R. Etoces, el cojuto Z + (úmeros aturales) de eteros postvos se defe de la forma

15 Topología Geeral apítulo Z + = A A Obsérvese que le cojuto R + de los reales postvos es ductvo, pues cotee al, + + y la afrmacó > mplca + >. Por lo tato Z R y de esta forma los + elemetos de Z so efectvamete postvos, tal y como la eleccó de la termología sugere. De echo se comprueba que es el elemeto más pequeño de + Z, ya que el cojuto de todos los úmeros reales para los cuales es ductvo. + Las propedades báscas de Z, las cuales se deduce medatamete de la defcó, so las sguetes: + () Z es ductvo. () (Prcpo de duccó ). S A es u cojuto ductvo de eteros postvos + etoces A = Z. Proposcó.6 (Prcpo del bue orde) Todo subcojuto o vacío de u mímo. A + Z tee + Demostracó E prmer lugar vamos a demostrar que, para cada Z, se verfca la sguete afrmacó: Todo subcojuto o vacío de {,...,} tee u mímo. Sea A el cojuto de todos los eteros postvos para los cuales se cumple dcha afrmacó. Etoces A cotee al, ya que s =, el úco subcojuto o vacío de {,..., } es el propo { }. Por tato, supoedo que A cotee a, vamos a demostrar que també cotee a +. Sea u subcojuto o vacío de,..., +. S está formado úcamete por +, etoces dcho elemeto es el { } meor elemeto de. E caso cotraro, cosderemos el cojuto {,..., }, que es o vacío. omo A, este cojuto tee u mímo que automátcamete + será també el mímo de. Así A es ductvo, y podemos coclur que A = Z ; y + por lo tato, la afrmacó es certa para todo Z. Ahora vamos a demostrar el teorema. Supogamos que D es u subcojuto o + vacío de Z. Eljamos u elemeto D. Etoces, el cojuto A= D {,.., } es o vacío, y A tee u mímo. El elemeto será també el mímo de D. Proposcó. 7 Todo los subcojuto de úmeros aturales so umerables

16 Topología Geeral apítulo A = φ es umerable Demostracó Dado A N s A φ a = m { a A} por proposcó.6 A= { a} es fto umerable s A { a} a = m { A\ { a} por proposcó.6} Nuevamete A= { a, a} fto umerable S A { a, a} a3 = m { A\ { a, a} } Y así sucesvamete A= { a,..., a} es fto umerable S A { a,..., a} a+ = m { A\ { a,..., a} } Sea ϕ: N A tal que ϕ = a es ua byeccó ya que: ϕ + > ϕ por eleccó yectva Ahora s a A sea = ma { : a < a} a = m { A\ { a,..., a }} = a = ϕ ( + ) Lo que quere decr que ϕ es sobreyectva. + Proposcó.8 Dado u cojuto A o vacío, es umerable s y solo sí: ) Este ua fucó ϕ : A N yectva o ) Este ua fucó ψ : N A sobreyectva. Demostracó: Sea A umerable etoces puede suceder que A sea ) fto ard( A) = ard( N) ϕ : A N byectva y por lo tato yectva. ) fto hay ua byeccó ϕ A { } etre y,..., etoces defmos: ϕ : A N tal que: ϕ( a) = ϕ ( a) es yectva Supogamos ahora que este ua fucó yectva ϕ : A N lo que sgfca ϕ: A ϕ A ard A = ard ϕ A pero que es ua byeccó, y etoces ( ) como ϕ( A) N ϕ( A) es umerable por proposcó ateror. Etoces s ϕ ( A) es fto ard( ϕ ( A) ) ard trastva ard( A) = ard ( N ) por defcó A es umerable. S ϕ ( A) es fto tal que ard( ϕ ( A) ) = ard( A) = por defcó A es umerable. = N por defcó y por N por defcó y por trastva orolaro.9 Sea B u cojuto umerable y : A B ϕ yectva etoces A es umerable

17 Topología Geeral apítulo Demostracó S B es umerable por proposcó ateror etoces ψ ϕ: A N es yectva A es umerable. ψ : B N yectva orolaro. S A es u cojuto umerable y ψ : A B sobreyectva etoces B es umerable. Demostracó S A es umerable ϕ : N A sobreyectva etoces ψ ϕ: N B es sobreyectva B es umerable. orolaro. S B es u cojuto umerable y A B A es umerable. Demostracó Sea ϕ clucó ϕ :A B que es yectva etoces por corolaro.9 A es umerable. Proposcó. N N es umerable. Demostracó Basta ver que la fucó ψ : N N N dada por: ( m) m ψ, =.3 es yectva, por tato N N es umerable. Proposcó.3 N N... N es umerable. j Demostracó Sea p,..., p prmos dsttos, etoces ψ : N N... N N dode es yectva. j ( j) ψ,..., = p... p orolaro.4 Sea A,..., A cojutos umerable A A... A es umerable Demostracó Para cada =,..., el que A sea umerable ϕ : A N yectva. Etoces s defmos: ϕ : A... A N... N por ϕ a,..., a = ϕ a,..., ϕ a j j ( ) queda aturalmete yectva. Y por lo tato este la fucó ψ ϕ : A... A N yectva lo que mplca que A... A es umerable

18 Topología Geeral apítulo Proposcó.5 Sea I u cojuto umerable, y A u cojuto umerable I etoces A es umerable. I Demostracó omo I es umerable ϕ : N I sobreyectva y por ser A umerable ψ : N A I defmos: por J : N N A I = J m, ψ ϕ m etoces a A a A para algú I y como ϕ es sobre m / =ϕ ( m) I como a su vez ψ es sobre N / a =ψ luego: a = = = J( m, ) ψ ψ ϕ m lo que sgfca que J es sobreyectva por ser N N umerable umerable. N y A es Ejemplo.5 Q es umerable I = m, : co m N, N N N que es umerable por ser u Sea { { }} subcojuto de uo umerable, etoces como: m Q = es umerable ( m, ) I Ejemplo.6 Todo cojuto fto tee u subcojuto fto umerable. Demostracó Sea A u cojuto fto. Sea A, etoces A es fto, etoces este A tal que y etoces como A {, } es fto, este A tal que co =,.,,...,,,..., es fto así que este + A tal que + co =,,...,. Etoces la fucó f : N A dada por f = { } es ua byeccó etre N y {,,...,,... } A por tato dcho subcojuto de A es umerable que es al cojuto fto umerable que buscábamos E geeral, defmos { } y teemos que A { } I

19 Topología Geeral apítulo Ejemplo.7 S A es fto y B es umerable etoces A es coodable co A B Demostracó Por la proposcó de ator-berste, basta ecotrar ua fucó yectva de A e A B y otra yectva de A B e A. Para la prmera la clusó es ua fucó yectva c: A A B ard( A) ard( A B). Para ecotrar ua fucó yectva g: A B A. omo A es fto (ver ejercco 6) tee u subcojuto fto umerable que llamaremos. Etoces como B y so umerables B es umerable lo que mplca ard( B) = ard( N) = ard B y so coordables luego este ua fucó g : B byectva osderemos la sguete fucó: g: A B A dada por : a s a A\ ( B) g( a) = g ( a) s a B a s a A\ ( B) g( a) = a = b g ( a) s a B b s b A\ ( B) g( b) = a = b por ser g g ( b) s b B etoces g es yectva, y por tato ard( A B) ard( A) cojutos so coordables g a = b que b yectva luego so guales y los Ejemplo.8 Sea u etero postvo. Sea A u cojuto y a u elemeto de A. ard A = + ard( A a ) = Etoces { } Demostracó Teemos que probar que este ua correspodeca byectva f etre,..., + s, y solamete sí, este ua correspodeca byectva A y el cojuto { } del cojuto A { a } { } co,...,. Supogamos e prmer lugar, que este ua correspodeca byectva g g: A a,..., { } { } Defmos etoces ua fucó: f : A {,..., } f = g s A { a} f ( a ) = + + de la forma: es claro que f es byectva. Recíprocamete: Supogamos que este ua correspodeca byectva :

20 Topología Geeral apítulo - - { } f : A,..., + ) S f asoca a al úmero +, todo es especalmete secllo; e este caso, la restrccó f A { a } os da la correspodeca byectva buscada etre A { a } y {,..., }. ) E caso cotraro sea f ( a ) = m y sea a el puto de A tal que + = f ( a ). Etoces a a Defmos ua ueva fucó: h: A {,..., + } Medate: h a = m ( ) = + = para {, } h a h f A a a De esta forma h es byectva y está compredda e el caso ) luego la restrccó h A a es la byeccó buscada etre A { a } y {,..., } { } + Ejemplo.9 Sea A u cojuto de cardal para algú Z. Sea B u subcojuto propo de A. Etoces el cardal de B es dstto de S B φ Etoces este algú m< tal que el cardal de B es m. Demostracó Teemos que probar que o este byeccó algua g: B {,..., } Pero s B φ sí este ua byeccó h: B {,..., m} para algú m<.. El caso de que B es vacío es trval, ya que o puede estr ua byeccó etre el cojuto vacío B y u cojuto o vacío {,..., }. Demostraremos la afrmacó por duccó. + Sea el subcojuto de Z formado por aquellos etero para los cuales la + afrmacó es certa. Vamos a probar que es ductvo =Z y por lo tato la afrmacó es certa para todo etero postvo. E prmer lugar demostramos la afrmacó para =.E este caso A está formado por u úco elemeto { a} y su úco subcojuto propo B es el cojuto vacío. Supogamos ahora que el teorema es certo para ; vamos a ver que també lo es para + Sea f : A {,..., + } ua byeccó y sea B u subcojuto propo o vacío de A. Elegmos u elemeto a de B y u elemeto de a de A B y aplcado lo del ejemplo ateror, podemos deducr que este ua byeccó: g: A a,..., { } { } Por otro lado, B { a } es u subcojuto propo de A { a } { } y o a { }, ya que a perteece a A a B a. omo la afrmacó se supoe certa para el etero, podemos coclur lo sguete: - -

21 Topología Geeral apítulo - - ) No este gua byeccó h: B { a} {,..., } ) Be B { a } = φ, be este ua byeccó { } { } : B a,..., p para algú p< El ejercco atero juto ), mplca que o este gua byeccó etre B y,..., + Esto completa la prmera mtad del resultado al que queremos llegar. { } Para demostrar la seguda parte, obsérvese que s { } etre B y el cojuto { }, metras que s B { a } φ B a = φ, este ua byeccó, podemos aplcar lo del ejercco ateror, juto co ), para coclur que este ua byeccó etre B y {,..., p + }. E cualquera de los casos, va a estr ua byeccó de B co {,...,m } para algú m< +, tal como se buscaba. El prcpo de duccó demuestra que + la afrmacó es certa para todo Z. Ejemplo. S A es u cojuto fto, o este gua byeccó de A co u subcojuto propo de sí msmo. Demostracó Supogamos que B es u subcojuto propo de A y que f : A B g: A,..., para algú. es ua byeccó. Por hpótess este ua byeccó { } La composcó g f es, por tato, ua byeccó etre B y { } cotradce la afrmacó del ejemplo ateror,...,. Esto Ejemplo. U cojuto es fto s y solo sí es coordable co u cojuto propo. Demostracó Sea A u cojuto fto, prmero observemos que por el ejemplo 6 tee u subcojuto fto umerable que llamamos B. Sea = A B etoces hay tres posbldades: ) Que = φ Quere decr que A= B y como B es umerable por costruccó A umerable ard( N) = ard( A) pero ya vmos que todo subcojuto (propo) s A A ard A = ard N que A y de ua umerable es umerable A so coordables ) Que sea fto φ. S es fto etoces A= B por ser uó de dos ard A = ard N = ard B es decr que A es umerables es umerable coordable co el cojuto B A 3) Que sea fto, como B es umerable (ver ejemplo 7) que es coordable co B= A. Recíprocamete Sea A u cojuto coordable co u subcojuto propo. - -

22 Topología Geeral apítulo - - S A fuera fto teemos ua cotradccó co lo probado e el ejemplo luego A tee que ser fto. Proposcó.6 El cojuto de las partes ftas de los aturales que aotamos N P F es umerable. P ( N) = { N: es fto} F A A Demostracó Defmos: P ( N) = A N: ard( A) = etoces P N = P N alcaza co probar que N ( N) F { } - - N P es umerable y para ello defmos la sguete fucó: ϕ : P ( N) N como sgue: S A P ( N) etoces A= { a, a,..., } a y defmos ϕ como la fucó que a cada -upla le correspode la -upla ordeada e forma crecete, es decr: ϕ ( A) = ( a,..., a) co a a... a laramete ϕ es yectva ya que s A y B so cojutos co elemetos etoces ({ }) ({ }) ϕ a,..., a = a,..., a co a... a ϕ b,..., b = b,..., b co b... b ( a,..., a) = ( b,..., b) { a,..., a } = { b,..., b } o sea A = B y como P N es umerable la uó umerable de umerables es umerable por la proposcó ateror. P N N es umerable F es umerable orolaro.7 Las partes ftas de u cojuto A umerable es umerable. P F ( A) = { X A: X es fto} Demostracó gual que el teorema defmos: P ( A) = X A: ard( X) = y ϕ : P ( A) A yectva { }

23 Topología Geeral apítulo como P A es umerable y como la uó de ua catdad umerable I de cojutos umerables es umerable. P A = P A I N I es umerable. A es umerable F (e umerable) I orolaro.8 Las partes ftas de los aturales es o umerable P ( N) = { A N: A es fto} Demostracó S fuera umerable como: P N = PF N P N Y ya vmos que es o umerable. sería umerable De la ateror proposcó se desprede que el cardal de las partes ftas de los aturales (cojuto poteca de los aturales ) o es gual al de los aturales y lo que demostraremos a cotuacó es que dcho cardal es gual al cardal de los úmeros reales. Pero co dcho propósto ates demostraremos alguos teoremas prevos. El prmero de ellos hace refereca a la posbldad de escrbr cualquer úmero real etre y como ua sere. Depededo de ua sucesó de ceros y uos (otacó bara del real e cuestó) Lema Sea t (,] etoces este ua sucesó { a : } dode a {,} todo y tal que: a t = = salvo que para alguos reales esa descomposcó o es úca Por ejemplo = Hay dos formas de elegr la sucesó,,,,,,,,... { a } = pero ua de ellas es fta. Es decr:,,,,,,,,,... a b = = que este tal que: y { a} { b} S t = = co a, b {,} para o so la msma sucesó - 3 -

24 Topología Geeral apítulo a = > y b = > o b = > y a = > { a} { b } o { a} { b } =...,,,,... =...,,,,,,... =...,,,,,,... =...,,,,,... Demostracó S < t < se defe a = S t se defe a = E ambos caso se verfca: a t ahora defmos a a s t < 4 a = a s t 4 etoces e ambos casos: a a t Y así sucesvamete teemos a, a,..., a {,} tales que: a t = se defe a + como: a s t < + = a+ = a s t + = e ambos casos: + a t + = por lo tato a a t = + t = =

25 Topología Geeral apítulo Lema S { } { } tal que: a b a b = = t y = = etoces teemos que probar que este b = > y a = > o b = > y a = > Demostracó Sea = m { : a b} se puede supoer s perder geeraldad que a = y b = Sea Teemos que: a a =... a..., b b... b... = = b b b b = + + = = = = + b a b a = + + = = + () = = + a a a = + = = = = () = b = = Lo que mplca que todas las desgualdades so gualdades y etoces: b = > a = > S hubésemos supuesto que era b = > a = > a a = = y b = hubéramos llegado a: - 5 -

26 Topología Geeral apítulo Lema 3 ((,] ) = ( P ( N) ) ard ard Demostracó Para la demostracó lo que haremos es defr ua fucó byectva etre dchos cojutos. Para ello usamos los lemas y que quere decr que todo úmero etre y se escrbe e otacó bara como ua sucesó fta de ceros y uos. A este úmero baro le asocamos el cojuto de los ídces correspodetes a los lugares e que lleva u uo su desarrollo baro. Que claramete es u subcojuto de las partes ftas de los úmeros aturales. osderemos la sguete fucó: ϕ :, P N defda de la sguete forma: ( ] S t (,] etoces este ua úca sucesó { a } tal que { : } sedo a t = = Sempre hay ua ya que s hay ua fta tal que: a t =, a = = defmos b b = a < t = dode = b =, b = > defmos: ϕ ( t) = { : a = } P ( N) Por ejemplo: 5 = ϕ t = 5 = = = = 5 4 ϕ es yectva ya que s ϕ( t) = ϕ( s) sea { a } tal que: a = s ϕ ( t ) a t = = s a = s ϕ t = además es sobreyectva ya que s P ( N) sea { } omo los a so ftos la sere coverge e (,] ( ] a = es fto {,5,6,7,8,... } A a tal que: a = s A a y sea t = a = s A = a a N = = = = es decr que t, A= ϕ t.

27 Topología Geeral apítulo Proposcó.9 El cardal del cojuto poteca de los aturales es el del R = P N cotuo. Es decr ard ard ( ) Demostracó Prmero se demuestra que ard = ard ((,] ) fucó apropada; por ejemplo por medo de la fucó y ta π π para (, ) se tee que: π π ard( R ) = ard (, ) R por medo de ua Luego por medo del segmeto de recta π π ard, = ard, () (( ]) = que es byectva Por el ejemplo.7 se tee que u cojuto es fto s, y solamete sí, es coordable co u subcojuto propo P ( N) es fto ard( P ( N) ) = ard ( P ( N) ) Ya que P ( N ) P ( N ) y como por la proposcó ateror: ard( (,] ) = ard ( P ( N) ) ard y ard ((,] ) ard ( P ( N) ) = ard = = ((,] ) ard ( R) ( R) ard ( P ( N) ) Ejemplo practco Sea la famla de tervalos de etremos racoales F Defmos la fucó {[, ]:, } F = ab ab Q ϕ : F Q Q de la sguete maera: ([ ab, ]) ( ab, ) ϕ = Q Q Es decr que a cada tervalo de etremos a,b le asocamos la pareja ordeada (a,b) Dcha fucó es yectva ya que - 7 -

28 Topología Geeral apítulo a a b b [ ab, ] [ a, b ] o ( ab, ) ( a, b ) ϕ( [ ab, ]) ϕ( [ a, b ]) y como Q es umerable que el producto cartesao Q Q es umerable Teemos ua fucó yectva del cojuto F a u cojuto umerable, como la fucó es byectva sobre su mage, que es u subcojuto de uo umerable, luego umerable; etoces como podemos defr ua byeccó de F a u cojuto umerable, este F es umerable

29 apítulo Espacos Métrcos Defcó. Sea E u cojuto o vacío ua dstaca o métrca es ua fucó d: E E R tal que verfca: d y, y, E ) ) d( y, ) = = y 3) d( y, ) = d( y, ) y, E 4) Al par ( Ed, ) le llamamos espaco métrco d z, d y, + d yz, yz,, E desgualdad tragular Defcó. Sea E e las msmas codcoes que ates pero s la propedad, es decr se puede dar el caso e que la dstaca es cero y o se trate de la detdad, llamamos e dcho caso seudo dstaca o seudo métrca. Ejemplo. E = R y d y, = y es ua métrca. S Ejemplo. Sea E = R = (,..., ), y = ( y,..., y) etoces podemos defr la sguete dstacas ) Dstaca ta ) Dstaca eucldaa 3) Dstaca del mámo d y = y (, ) = d y y = (, ) = ( )

30 Topología Geeral apítulo = { } d y y, ma =,..., Ejemplo.3 Dstaca dscreta Dado E φ defmos s d( y, ) = s fáclmete se comprueba que es ua métrca. = y y Ejemplo.4 Dstaca dscreta Dado E φ defmos d y, = y, E Ejemplo.5 Sea E = R [ ab, ] = { f :[ ab, ] R / f es cotua} etoces defmos la dstaca que llamamos dstaca fto o del supremo de la sguete maera: d ( f, g) = sup [ ab, ] { f g } umple co las propedades,, 3 [ ab, ] y f, gh, R [ ab, ] la propedad 4 se tee f g = f h + h g f h + h g y los supremos també cumple dcha desgualdad luego se cumple la desgualdad tragular La dstaca del supremo se puede defr para el espaco de las fucoes cotuas, f : ab, (complejos) represetamos dcho e el tervalo [ ab ] sedo [ ] cojuto como ab. [, ] Sea E = ( R) = { f : R cot. y acotadas} b b, R ( R) { f : R R cot. y acotadas} = = Defmos la dstaca gual que ates: d f, g = sup R f g Dcha defcó es cosstete ya que: f es tal que f M R S y tal que g g M R { } f g f + g M + M R y esto mplca que Etoces f g está acotado tee supremo - 3 -

31 Topología Geeral Espacos Métrcos Observacó. Para u msmo cojuto podemos teer dsttos espacos métrcos asocados, segú la métrca que estemos cosderado, así s la métrca es la dscreta al espaco llamamos dscreto, s la métrca es la dscreta al espaco llamamos dscreto, s la métrca que estamos cosderado es la eucldea al espaco llamamos eucldeo. Defcó.3 Sea V u espaco vectoral sobre K ( R o ) ua orma sobre el espaco vectoral es ua fucó propedades: ) V y = ) λ = λ λ K, y V 3) + y + y y, V :V R que cumple co las sguetes Defcó.4 Teemos u espaco vectoral ormado cuado sobre el espaco vectoral teemos defda ua orma. Ejemplo.6 El producto tero, e V os defe ua orma medate la sguete relacó: =, Observacó. Todo espaco V vectoral ormado se trasforma e u espaco métrco por medo de la dstaca defda de la sguete forma: d( y, ) = y y, V Demostracó d y, = y por defcó de orma (, ) = = = = (, ) = = ( ) = = = (, ) (, ) = = + + = (, ) + (, ) d y y y y d y y y y y d y d z z z y y z y y d yz d y Defcó.5 Sea = R,..., defmos las sguetes tres ormas: ) ) = = = =

32 Topología Geeral apítulo - 3-3) = ma { : =,..., } Todos so ormas que duce las respectvas dstacas d, d, d co la gualdad. d( y, ) = y Ejemplo.7 ab, es u espaco vectoral co las operacoes puto a puto o sea s [ ] etoces: [ ] ( λf ) = λf f, g ab, defmos : f + g = f + g [ ab, ] { } es ua orma e [ ] La msma vale e R[ ab, ], b( R), b, R( R ) Sea l el cojuto de las sucesoes complejas { } f = sup f ab, que duce la dstaca habtual. l R el cojuto de las sucesoes reales. Tales que < (coverge) l es u espaco vectoral co las operacoes { } { y } = l y = l λ como y está be defda Y se defe que es ua orma e l ( λ) + y = + y = λ + y + y < λ λ = < = Ejemplo.8 Sea l el cojuto de las sucesoes complejas acotadas l el cojuto de las sucesoes reales acotadas R l es u espaco vectoral sobre los complejos ( l R sobre los reales) co las operacoes defdas de la msma forma que e el ejemplo ateror - 3 -

33 Topología Geeral Espacos Métrcos { } { y } = l y = l λ Defmos ( λ) + y = + y = λ { } = sup s = N = e y = y etoces s { } { } + y + y + y como dcha gualdad se cumple para todo, e partcular se debe cumplr para el supremo: + y = sup + y + y Lo que mplca que es ua orma. Defcó.6 Sea (, ) Ed u espaco métrco, E, ε > llamamos bola aberta de cetro y rado ε al sguete cojuto: B = y E: d y, < ε ε { } Que també aotamos B(, ε ) Ejemplo.9 E l R B ε B l ε B l ε

34 Topología Geeral apítulo S tomamos las fucoes cotuas e [ ab, ], R[ ab, ], f R [ ab, ] B ( f ) = g [ ab] [ ] f g < ε ε { R, :ma ab, } f + ε a b g B f ab, f g < ε y el gráfco de g cae e la zoa S ( ) [ ] ε rayada lmtad por f + ε y f ε. Ejemplo Espaco dscreto Sea ( Ed, ) co la dstaca dscreta es el espaco que llamaremos dscreto, es decr: s y d( y, ) = s = y B, = y E: d y, < = E Sea { } B( ε) E Sea B(, ) = { y E: d( y, ) < } = { } B( ε) { } f ε, = s ε >, = s ε Es decr que las bolas so todo el espaco o los putos. Proposcó. Dado ua espaco métrco ( Ed, ), E, ε >,sea la bola (, ) S y B(, ε ) etoces : δ > tal que B( y, δ) B(, ε) f B ε. Demostracó δ ε d y, etoces Sea S z B( y, δ ) d( z, ) d( y, ) d( yz, ) + < δ (, ) ε (, ε) (, ) (, ) (, ) (, ) (, δ) B(, ε) d z < z B d z < d y + δ d y + ε d y = ε B y ε y δ

35 Topología Geeral Espacos Métrcos Ed y u subcojuto F E, F φ Etoces la restrccó de d a F F o sea: d F F: F F R esto es ua métrca que llamaremos métrca relatva Defcó.7 Dado u espaco métrco (, ) Observacó.3 S F, ε, sea B F (, ε) co la métrca e E etoces: E > la bola co la métrca relatva y sea: B (, ) E (, ε) (, ε) F B = B F Ya que: F B, ε = y F : d y, < ε = y E: d y, < ε y F { } { } { } Ejemplo. Así por ejemplo s e R co la métrca habtual F = [,) F S [ ) ( ) [ R, B, =, ) y B (, ) = (, ) Etoces: Defcó.8 Sea (, ) [, ) = [, ) (, ) ε la bola Ed u espaco métrco y A Eo vacío, decmos que A es u cojuto aberto s: A ε > tal que B(, ε) A E el caso que A es vacío lo defmos como aberto. orolaro. Las bolas abertas e u espaco métrco cualquera so cojutos abertos Demostracó Es cosecueca medata de la proposcó ateror. Ejemplo. E los espacos dscretos todo cojuto A E es aberto ya que s A etoces: B, = A Ejemplo.3 { } E [, ] A= { f [, ]: f > } s f A tomado R R teemos B f, ε A ya que s g B f, ε por defcó que: ma [,] { f g } ε (e partcular) f g < < ε f ε = >

36 Topología Geeral apítulo o sea f g ε < g ε < < ε f y s tomamos f f ε = < < g g A por defcó de A luego B f, ε A Proposcó.3 Sea (, ) Ed u espaco métrco etoces se cumple las sguetes propedades: ) E y φ so abertos ) S { A } I es ua famla de subcojutos abertos de E etoces: A es aberto I 3) S A, A,..., A so ua catdad fta de subcojutos abertos de E etoces: = A es aberto Demostracó ) B(, ε) E E, ε > E es aberto φ es aberto por defcó. ) S A I tal que A que es aberto, luego 3) I o sea que ε > tal que B, ε A como A A B, ε A I I A es aberto I ε ( ε) sea S A A co A aberto =,..., tal que B, A = = m { : =,..., } B(, ) B(, ) A =,..., B(, ε ) ε ε ε ε Proposcó.4 Sea (, ) = A es aberto = Ed u espaco métrco y A Eo vacío etoces A es aberto s y solo sí, es uó de bolas abertas. A

37 Topología Geeral Espacos Métrcos Demostracó ya vmos que la uó de bolas abertas es u cojuto aberto. S A es aberto s (, ε ) B( ε ) A B A y os tomamos: además como s A B(, ε ) B(, ε ) es decr que, A A A A B, ε A A= B(, ε ) A A es aberto A B ε = A, Ed u espaco métrco y u F E subcojuto, A Fes aberto co la métrca relatva ( aberto e F) s y solo sí A= U Fdode U es aberto e E. Proposcó.5 Sea (, ) Demostracó F B, ε E = B, ε F F, ε > Se sabe que F S A es aberto e F (, ε ) A= B por teorema ateror I E E ( (, ε) ) (, ε) A= B F = B F I I = U aberto e E luego A= U F co U aberto e E E S U E es aberto U = B (, ε ) I E E F (, ε) (, ε), ε I I I que es aberto A= U F = B F = B F = B e F. Ejemplo.4 Sea E = R co la métrca habtual F =,,3 3 y [ ) A = [,) es aberto e F ya que

38 Topología Geeral apítulo (,3 ) es aberto ya que (,) A= F aberto e E (,3) (,3) = F aberto e E Defcó.9 Sea (, ) es cerrado s Ejemplo.5 Ed u espaco métrco y el subcojuto A E se dce que A A es aberto ( A E\ A = ). omo e el ejemplo ateror [,) es aberto e F y su complemeto que es por defcó es cerrado. Al gual que el complemeto de (,3 ) que es [ ) decr aberto o es oposcó de cerrado ,3 es, ambos so abertos y cerrados es Proposcó.6 Sea d y d dos métrcas e E las sguetes afrmacoes so equvaletes. ) Todo aberto e ( Ed, ) es aberto e ( Ed, ) ) Dados ε >, E este δ > tal que d (, δ) (, ε) d B B Demostracó d ) ) B (, ε ) es aberto co d que es aberto co d por defcó de aberto d d d S B (, ε) δ > tal que B (, δ) B (, ε) como se quería. ) ) Sea A E aberto e ( Ed, ) lo que quere decr por defcó que: para cada elemeto de A > tal que y además ya vmos que ε d B, ε a A A d A= B, ε etoces aplcado la hpótess ) para cada etoces por otro lado A A δ > d (, δ ) (, ε ) B B d d (, δ ) (, ε ) B B B = A d A tal que

39 Topología Geeral Espacos Métrcos luego d (, δ ) (, δ ) A B A B d A d A B, δ A = lo que quere decr que A es aberto e (, ) Ed. Este teorema os lleva a realzar las sguetes defcoes. Defcó. Dos métrcas d y d e u msmo cojuto E decmos que so métrcas equvaletes s : A E es aberto e d es aberto e d Ejemplo.6 Las métrcas d, d y d so equvaletes e Demostracó Dado ε δ ε tal que R B d (, ε ) > = R d (, ) d d B (, δ ) B (, ε) d y B (, δ) d ( y, ) < δ Ya que s y < δ y + y < δ B ε y + y y + y = y + y < ε y etoces Luego d( y, ) = ( y ) y = d( y, ) < ε = = (, ε) (, ε) (, ε) d d d y B B B Etoces por proposcó ateror teemos que: Todo aberto e ( Ed, ) es aberto e (, ) Y recíprocamete ε Dado ε >, δ = > tal que Ed B d (, ε ) R B d (, δ ) d d B (, δ) B (, ε) d ya que s y B (, δ ) d ( y, ) < δ

40 Topología Geeral apítulo ε d( y, ) = ( y ) + ( y ) < δ = etoces se prueba aalítcamete que d y + y < ε d ( y, ) < ε y B (, ε) como queríamos demostrar. Observado lo que probamos es que dado u cuadrado podemos ecotrar ua bola detro del msmo como e la fgura Luego los abertos e ( Ed, ) so abertos e ( Ed, ) d d e R e R es totalmete aálogo. Aálogamete se demuestra que d d o d d ya que se puede scrbe u cuadrado e ua crcufereca o e u cuadrado. d B d B d B d B Ejemplo.7 S E = Z y sea d la dstaca relatva a la eucldea y d la métrca dscreta. es aberto e Z co d ya que: { } ( ε) { } B d, = s ε < pero també es aberto co d ya que: { } = (, + ) Z S A y A φ A= { a} a A aberto e R Z es aberto por ser uó de abertos. Etoces los abertos co d so todos los subcojutos de Z, y co Por la tato d, y d so métrcas equvaletes d també. Ejemplo.8 Sea ( Ed, E) y ( Fd, F) dos espacos métrcos y d, d y d las métrcas e E F dadas por:

41 Topología Geeral Espacos Métrcos [ ( )] = ( ) + ( ) d e, f, e, f de ee, df f, f [ ( )] = ( ( E )) + ( F( )) d [( e, f ),( e, f )] = ma { d ( ee, ), d ( f, f )} d e, f, e, f d ee, d f, f E F es fácl ver de que se trata de dstacas métrcas, vamos a probar de que so equvaletes. d B d ε e, f Bε e, f ya que s de + df < ε cada ua es meor que ε y d d Bε e, f Bε e, f ya que s: F ( (, )) ( (, )) de ee + d f f < ε d ee, + d f, f < ε ( ) ( ) E cada uo es meor que ε d O sea que s B B ε F d ε d B d B ( de( ee, )) ε de( ee, ) ( d ( f, f )) ε d ( f, f ) < < ε F < F < ε Por otro lado d d B (, ) ε e f B ( e, f ) ε ya que s de y df < ε de + df < ε y d d B e, f B e, f ya que: ε ε d B d B de ( ee, ) < ε ( de( ee, )) ( df( f, f )) ( ε ) ε df ( f, f ) ε + < = < < ε < ε Etoces d, y d so equvaletes y d, y d so equvaletes y por defcó es trastva d, y d so equvaletes

42 Topología Geeral apítulo Ejemplo.9 Sea (, ) Dadas por : E d espacos métrcos =,..., y d, d y d las métrcas e [(,..., ),(,..., )] = (, ) d e e e e d e e = = E d[ ( e,..., e),( e,..., e ) ] = ( d( e, e ) ) = d [( e,..., e),( e,..., e ) ] = ma { d( e, e ) : =,..., } el razoameto a segur es el msmo que e el ejemplo ateror solo modfcamos ε por y por ε ε ε etoces: d (,..., ) ε (,..., ) d (,..., ) ε (,..., ) d (,..., ) (,..., ) d Bε d Bε e e e e B B e e e e d Bε e e Bε e e d Bε e e Bε e e d (,..., ) (,..., ) d d y d y d so equvaletes so equvaletes - 4 -

43 apítulo Espacos Topológcos E este capítulo troducremos el cocepto de espaco topológco, rescatado de los espacos métrcos las propedades báscas que estos cumple. Es decr que se trata de ua abstraccó de los msmos. Defcó. Sea X u cojuto o vacío. Ua topología τ e X es ua famla cluda e las partes de X es decr τ P ( X ) tal que: ) X, φ τ ) S { A } I τ A τ I 3) S A,..., A τ A τ = A los membros de τ llamamos abertos Al par formado por τ y X llamamos espaco topológco. Ejemplo. Sea ( Ed, ) u espaco métrco, etoces { : aberto e } τ d = A A E τ d es ua topología por los propedades que ya vmos se cumple,,3. Además d, d so equvaletes s y solo sí: τ = τ d d Decmos que las métrcas equvaletes duce las msma topologías. Todo espaco métrco puede ser vsto como u espaco topológco co la topología ducda por la métrca. No es casualdad que ua métrca defa ua topología ya que la dea es abstraer las propedades de los espacos métrcos e espacos dode o hay defda ua métrca, tratamos de defr u aberto s teer ua dstaca, por eso, s decmos que u cojuto es aberto e realdad estamos queredo decr que está e la topología.

44 Topología Geeral apítulo X τ u espaco topológco se dce que τ es metrzable s este ua métrca d e X tal que: τ = τ d es ua espece de recíproco del ejemplo. Defcó. Sea (, ) Ejemplo. Topología dscreta Dado X τ = P ( X) es ua topología y es u caso partcular del ejemplo ateror co la métrca d dscreta. Es decr se s d es la métrca dscreta e X etoces: τ = P X d Ejemplo.3 Topología dscreta X, d u espaco seudométrco co d dscreta etoces: Sea { φ, X} τd = es ua topología llamada dscreta. laramete o es metrzable porque o este ua métrca asocada (seudemétrca s). Ejemplo.4 ofto Sea X φ la topología τ defda como: τ { A X : A es fto} { φ} = veremos que es ua topología llamada de complemetos ftos ) φ, X τ ) S { A } τ I etoces: I etoces: A A es fto por cada A I I = 3) Sea A,..., A τ etoces: I A τ A = = = es fto A que es fto por ser uó de ua catdad fto de cojutos ftos Luego: = A τ Además se e vez de fto poemos umerable sgue sedo ua topología A

45 Topología Geeral Espacos Topológcos Ejemplo.5 E Z defmos: { A Z: A A Z } τ = τ es ua topología ya que: S { A } τ y Z dem co la terseccó S A A para algú I A A La forma de los abertos de τ so {, },,,3,4,..., { } { 3,4,3,4,5,6,..., } { } { 5,6 },.. etc. ada vez que u par perteece al cojuto el ateror també y cada vez que u mpar perteece al cojuto su sguete també, así { 5,6,, } es u aberto. I Ejemplo.6 E R defmos: també es ua topología. τ { φ} { A R : A} = Defcó.3 Sea (, ) X τ u espaco topológco e Y relatva e Y a: τy = { U Y : U τ} Sea { U } τ U Y I τ Y I etoces: ( U Y) = U Y τ I I ídem co la terseccó Defcó.4 Sea (, ) τ Y τ por ser τ ua popología es u topología. X llamamos topología X τ u espaco topológca y X N X es u etoro de s este u aberto U τ tal que: U N Sea N la famla de etoros de es decr: { : es etoro de } N = N X N Ejemplo.7 S ( Ed, ) es u espaco métrco, E etoces N E es u etoro de s y solo sí : Y

46 Topología Geeral apítulo ( ε) ε > tal que B, N Demostracó Se toma A= B(, ε ) S N N por defcó este u aberto U tal que U N omo U es aberto e u espaco métrco por defcó ε > tal que: B, ε U B, ε N Ejemplo.8 Sea ( X, τ ) el espaco topológco dscreto N N N Ejemplo.9 Sea ( X, τ ) espaco topológco dscreto, los abertos ya vmos que so etoces: = Ejemplo.,τ N { } Sea ( Z ) co τ = { A Z : A A} {,} N N = { A Z :, { } A} {,,3} N Ejemplo. Sea ( X, τ ) co τ topología de complemetos ftos. Sea X etoces: s N N este U τ tal que U N etoces N U N es fto N τ es decr: fto { τ : } N = U U φ y todo X Proposcó. Sea (, ) X τ es u espaco topológco, X etoces: ) N N y N M M N ) S NM, N N M N 3) N φ 4) U X es aberto U N U es decr s U es etoro de todos sus putos

47 Topología Geeral Espacos Topológcos Demostracó ) S N N U τ tal que U N y como N M U M M N ) Sea U, U tal que: N M UN N UN UM N M UM M y como UN UM τ N M N 3) X N X N? 4) S U es aberto y para todo U U U U N S U N para todo U que para cada U este U τ tal que: U U U U U pero como U U U U U U U = U y como U τ U τ por propedad de la defcó de topología y luego U U τ U (es aberto) Observacó. De la defcó de etoro y de la propedad ateror podemos teemos: A es aberto A U τ tal que U A Es decr que u cojuto es aberto s para todo puto de él se puede ecotrar u elemeto de la topología cludo e él. S susttumos elemeto de la topología por bolas es la msma propedad que teíamos para espacos métrcos. Lo que era de esperar ya que los elemetos de la topología e el caso de espacos métrcos so las bolas. U Defcó.5 Sea (, ) X τ u espaco topológco, A X. Se dce que A es u puto teror a A, s A es etoro del puto, es decr A N. Y llamaremos teror de A al cojuto de los putos terores de A A = X : es teror de A { } Observacó. De la msma defcó se desprede que

48 Topología Geeral apítulo A A Proposcó. Dado (, ) A Betoces: X τ espaco topológco y AB, A B X dos cojutos co Demostracó Que A mplca que A es etoro de y por defcó de etoro: U τ tal que U A y como A B se tee: U τ tal que U B luego B es etoro de y eso mplca que es teror a B A B Proposcó.3 Sea (, ) se tee que A = A. X τ e espaco topológco A X Etoces s A es aberto Demostracó Por defcó sabemos que se cumple A A. Para probar la otra clusó S A como A es aberto, es etoro de todos sus putos es decr A N lo que mplca por defcó que A luego A A y se da la gualdad. X τ e espaco topológco A aberto cotedo e A. Proposcó.4 Sea (, ) X Etoces A es el mayor Demostracó Prmero probaremos que A es aberto, para ello probaremos que es etoro de todos sus putos. Sea A por defcó A N U τ tal que: U A Pero esto o alcaza trataremos de ver que U A y para ello: S y U y U A A N por defcó y A luego: es decr que U τ tal que: y U A

49 Topología Geeral Espacos Topológcos U A A N Esto msmo se tee para todo puto de A etoces por proposcó. 4) A es aberto. Para probar de que es el mayor probamos que cualquer otro aberto cludo e A está cotedo e A Sea etoces B A por proposcó. B A y como B es aberto se tee por proposcó.3 B = B luego: B A Observacó. Uedo las proposcoes. y.3 se tee que: A es aberto A= A Ejemplo. Sea ( R, τ) τ = { A R: A} { φ} A Dado A R A = φ s A s A Defcó.6 Dado (, ) X τ espaco topológco decmos que es T s se verfca que s dados y N Ny Ejemplo.3 Z, τ co τ = A Z: A A φ Sea { } { } N = { A Z :, { } A} N = { A Z :, { } A} Luego N = N pero que o es T Proposcó.5 U espaco topológco ( X, τ ) es T s y solo sí dados N N tal que y N o este: M N y tal que M N y Demostracó s N N tal que y N N Ny N Ny por defcó es T M Ny tal que M M N y este

50 Topología Geeral apítulo X T y N N etoces puede suceder al meos ua de las S es y sguetes posbldades: ) N N tal que N N por ser N etoro Y etoces y U τ tal que U N s y U y U N N N lo cual es absurdo o sea que y U y como U es aberto es y etoro de todos sus putos o sea ecotramos u U N tal que y U. ) M N tal que M N al gual que lo ateror V N tal que V. y y Ejemplo.4 Dado el espaco topológco ( R, τ) co τ = { A R: A} { φ} Sea dos putos y cualesquera dsttos e prcpo de cero. y etoces, τ que es etoro de todos sus putos e partcular de o { } sea que {, } N dode y {, }. Ahora s uo de ellos es el cero. Sea = etoces claramete { } { } N y { } τ o sea : Luego este espaco topológco es T. A pesar de que todos los etoros de y cotee al cero es decr al cero lo podemos separar del y por etoros pero o al y del cero. Nuestro prómo aoma de separacó cotemplará que tato uos como otros so separables por etoros. Defcó.7 Dado u espaco topológco decmos que es T s se verfca que: N = N N { } Proposcó.6 Dado el espaco topológco (, ) y cualesquera este N y M co: N N tales que y N M N tales que M y X τ este es T s y solo sí, dados y Demostracó S X, τ es u espaco topológco T, y etoces por defcó lo que sgfca que: { } y como N = y y N N N N N N N tal que y N - 5 -

51 Topología Geeral Espacos Topológcos S N N tal que y N esto mplca: y { } y N = N N N N N orolaro.7 Dado u espaco topológco ( X, τ ) s es T es T Demostracó La proposcó.6 mplca la proposcó.5 que es más débl y por lo tato se cumple que es T Ejemplo.5 R, τ co τ = A R: A φ como Sea { } { } N = {, } s o es T N N Ejemplo.6 Sea X co la topología de complemeto fto. Dados dos putos { } y y N e y { y} luego X es T. Defcó.8 Dado el espaco topológco (, ) X τ decmos que es T Hausdorff ) s dados y este: N N, M N tales que N M = φ Observacó.3 Todo espaco topológco que es T T laramete por defcó. y N M (o de y Ejemplo.8 Sea X fto co la topología de complemeto fto. S AB, τ tal que A B = φ co A y B o vacíos etoces: X = A B X sería fto fto fto co esta topología o teemos abertos dsjutos, y como: N = { A τ : A} S A N, B N tales que A B= φ sería dos abertos o vacíos dsjutos que y ya vmos que e esta topología o los hay X o es T auque sí T como ya vmos. Ejemplo.9 Todo espaco métrco es de Hausdorff

52 Topología Geeral apítulo Demostracó S y Sea ε < d( y, ) Etoces : B(, ε) B( y, ε) = φ Ya que s estera z tal que: z B(, ε) B( y, ε) se tedría: d y, d z, + d zy, < ε < d y, d y X τ espaco topológco decmos que es adherete a u subcojuto A de X s todo etoro de cotee putos de A. Es decr que es adherete a A N N N A φ Defcó.9 Dado (, ) X, τ, A X, la clausura de A es el cojuto de todos los putos adheretes a A. A= X : N N es N A φ Defcó. Dado u espaco topológco { } además decmos que A es cerrado s y solo sí A= A Proposcó.8 A A Demostracó S A N N N A A luego: uedo esto co A A A A teemos: A A A Proposcó.9 S A B A B Demostracó S A N N N A φ y como A B se tee: o sea N B φ N N B A B - 5 -

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