Repartido de matemática

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1 SITIO WEB: Repartido de matemática Cuarto año Febrero de 0 Por consultas, correcciones, sugerencias o busqueda de bibliografía y referencias dirigirse al sitio web:

2 Ficha I Sistema de ecuaciones. Sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. Intersección de rectas.. Dadas las rectas r : y = y s : y = - determinar los puntos del plano que verifican simultáneamente ambas ecuaciones.. Dadas las rectas r : y = + 3 y s : y = + 6 determinar las coordenadas de P; P = r s 3. Hallar las coordenadas de los vértices del triángulo definido por la intersección de las rectas: r: Y=+, s: y=-+, t: y=3-. Determinar las coordenadas de los puntos de intersección de las siguientes rectas. a) 5. r : y = 5-3 r : y = 5-3 r : y = r : -5 + y - 3 = 0 b c d s : y = 5 - s : y = 5 - s : 3 = y s : 3 + y - 6 = 0 Dada la siguiente representación gráfica. Determinar las coordenadas del punto de corte entre ambas rectas. Johann Carl Friedrich Gauss ( ), matemático, astrónomo y físico alemán contribuyó significativamente en muchos campos de la ciencia. 6. Investiga la posición relativa de los siguientes pares de rectas. + 3y = 5 + 3y = + 3y = 6 + 3y = a. b. c. d. 3 - y = y = 6 = 66-8y y = - + Repartido de matemática Niño prodigio aprendió a leer y escribir solo, ya en la escuela, a la temprana edad de 5 años, descubrió un método rápido para sumar los 00 primeros naturales. Conocido como el príncipe de las matemáticas dio nombre al método de resolución de sistemas de ecuaciones.

3 Sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas. 7. Resolver y si es posible verificar: a) y z 8 y 3 z 9 3 y z 8 5 y 9 z 3 3 y 5z 3 y z 0 b) d) y z 0 3y z 5 y z 9 y 6z 0 e) y 3z 3 6 y 9 z c) z y z 3 y z y 3z 0 f) y z 0 y z 0 Por presumir de certero un tirador atrevido se encontró comprometido en el lance que os refiero: Y fue, que ante una caseta de la feria del lugar presumió de no fallar ni un tiro con la escopeta, y el feriante alzando el gallo un duro ofreció pagarle por cada acierto y cobrarle a tres pesetas el fallo. Dieciséis veces tiró el tirador afamado al fin dijo, despechado por los tiros que falló: 8. Construye un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que admita 9. y - = a + b - z Determinar a y b a,b para que el sistema y = + b + z admita + y + z = c "Mala escopeta fue el cebo y la causa de mi afrenta pero ajustada la cuenta ni me debes ni te debo". como solución S =, 0, - Y todo el que atentamente este relato siguió podrá decir fácilmente cuántos tiros acertó como solución S = (-,, 0) 0. Cinco amigos van al tablado y compran dos entradas con descuento y tres entradas sin descuento. En total pagan $ 90. Una pareja detrás de ellos compra una entrada sin descuento y una con descuento en total pagan $ 90. Cuál es el precio de la entrada simple y de la entrada con descuento? Rafael Rodríguez Vidal. Enjambre matemático.. En una reunión hay personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. b) Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, cuántos hombres, mujeres y niños hay?. Una empresa se dedica a la tala de bosques a escala internacional. En el país A ha talado 0 toneladas de la especie R, 35 toneladas de la especie S y 7 toneladas de la especie T, recibiendo por el trabajo U$S 9'98. En el país B ha recaudado U$S 63'890 por haber talado 0 toneladas de la especie r, 30 toneladas de la especie s y 0 toneladas de la especie t. Otro dato obtenido es que en el país C ha obtenido U$S 5'90 por realizar el mismo proceso con 0 toneladas de la especie r, 55 toneladas de la especie s y 80 toneladas de la especie t. Cuánto cobra la empresa por cada especie talada? Repartido de matemática a) Con estos datos, se puede saber el número de hombres que hay? 3

4 Ficha II Función homográfica. interpreta gráficamente. Para valores de grandes f() completa la siguiente tabla de valores e Para valores de próimos a cero f() 0,5 0, 0,0 0,00-0,5-0, -0,0-0,00. a) Realiza las representaciones gráficas de las siguientes funciones. - ii) f ( ) - - iii) f ( ) iv) f ( ) - - b) Determina las ecuaciones de las rectas a las cuales se aproima cada una de las ramas de las hipérbolas anteriormente halladas. 3. EA y RG de las siguientes funciones homográficas ii) f ( ) iii) f ( ) iv) f ( ) v) f ( ) vi) f ( ) vii) f ( ) viii) f ( ) i) f ( ). a) Determinar a para que la función f ( ) función de la forma f() = a + b c + d ;c 0 Asíntotas: Llamaremos Asíntotas a las rectas a las cuales se aproima cada una de las ramas de la hipérbola. b) Qué sucede cuando =0? i) f ( ) Definición: Una Función Homográfica es una a presente raíz en = 3 Asíntota Vertical: =-d/c, Asíntota Horizontal: Y=a/c, Notación: Cuando escribimos E.A. y R.G. lo que queremos abreviar es estudio analítico y representación gráfica, por estudio analítico entendemos: raíz, ordenada en el origen, concavidad, signo, crecimiento, decrecimiento y asíntotas. Por representación gráfica, entendemos gráfico de la función y de sus asíntotas. Desafío: Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la intersección de un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola. 3 b presente ordenada en el b) Determinar b para que la función f ( ) origen y=. c) Determinar c para que la función f ( ) 3 presente asíntota c horizontal y =-5 d) Determinar d para que la función f ( ) 3 presente asíntota vertical d =-3 e) Realizar EA y RG de las funciones anteriormente trabajadas. Podrás observar que hemos trabajado tanto con la parábola, como con la hipérbola, por qué no hemos trabajado con la elipse? Repartido de matemática. a) Dada la función f : f

5 5. a) Determinar a y d para que la función f ( ) a presente asíntota d vertical =- y asíntota horizontal y=5 b) Para los valores anteriormente hallados realizar E.A y R.G. 6. a) Determinar a,b y c para que la función f ( ) a b presente asíntota c vertical =, raíz = y ordenada en el origen y=- b) Para los valores anteriormente hallados realizar E.A y R.G. 7. a) Determinar a,c y d para que la función f ( ) a presente asíntota c d horizontal y=3, raíz = y f ()= b) Para los valores anteriormente hallados realizar E.A y R.G. a b presente asíntota c d vertical =, asíntota horizontal y=5, raíz = 7 y ordenada en el origen y = 9 Apolonio de Perga (6-90) Euclides, Arquímedes y Apolonio son las tres figuras más emblemáticas de la geometría de la antigua Grecia. Apolonio polarizó su actividad investigadora en una dirección casi monotemática con una sagacidad tan magistral que sus investigaciones sobre cónicas, donde aparecen sus bellísimos descubrimientos sobre ejes, centros, diámetros, asíntotas, focos, rectas máimas y mínimas tangentes y normales, etc., le convierten en el primer especialista que registra la Historia de la Geometría y dan justificación al apelativo de «gran geómetra». 8. a) Determinar a, b, c y d para que la función f ( ) 9. Dada las siguientes R.G. determinar la epresión analítica. (3,3) (3,) 0. Determinar las coordenadas de los puntos de corte entre f : f y g : g Representa gráficamente ambas funciones. Órbitas Los cometas pueden describir cuatro tipos de órbitas: Hiperbólica, parabólica, elíptica o circular. Los cometas cuyas órbitas son hiperbólicas o parabólicas no son periódicos puesto que sus curvas no son cerradas. Luego, aparecen una sola vez surgiendo de las profundidades del espacio, se acercan a un cuerpo y se alejan del mismo desapareciendo para siempre. Mientras que un cometa de órbita elíptica o circular quedará girando alrededor del cuerpo. Repartido de matemática b) Para los valores anteriormente hallados realizar E.A y R.G. 5

6 Ficha III Función eponencial y logarítmica. Función eponencial.. a) Dada la función f : f y g : g completa la siguiente tabla de valores e interpreta gráficamente. <0 >0 <0 f() f() g() > g() Definición: siendo a n a 0 a * a a a n *.a... a a a a n factores b) Qué sucede cuando =0? c) Realiza EA y RG de las funciones anteriores.. a) Realiza EA y RG de las siguientes funciones. iv) f ( ) 3 Propiedades: Siempre que base y eponente no sean simultáneamente, nulos se cumple m n m n a a a 3. Resolver las siguientes ecuaciones eponenciales. a i) ii) iii) iv) v) 5 vi) 5 vii) 8 viii) 6 i) i) 3 8 ii) ) : iii) iv) 0 v) vi) El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento eponencial que puede ser modelado con la siguiente ecuación A t A0 e kt. Si inicialmente habían 000 mosquitos y después de un día la población de éstos aumenta a 800, cuántos mosquitos habrán en la colonia después de 3 días? Cuánto tiempo tendría que pasar para que la colonia tenga 0000 mosquitos? a a m n m n :a a m n n a m.n n a Número de Euler: El número e, , conocido como número de Euler. El "descubrimiento" de la constante está acreditado al matemático suizo Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. 5. Un pollo que tiene una temperatura de 0oF es movido a un horno cuya temperatura es de 350oF. Después de horas la temperatura del pollo alcanza 70oF. Si el pollo está listo para comer cuando su temperatura llegue a 85oF, Cuánto tiempo tomará cocinarlo? J. Bernoulli (65 705) Repartido de matemática i) f ( ) 3 ii) f ( ) 3 iii) f ( ) 3 6

7 Función logarítmica.. Resolver: i) ii) iii) 3 iv) 3 v) 5 3 vi) 5 5. a) Dada la función f : f log y g : g log completa la siguiente tabla de valores e interpreta gráficamente. <0 >0 <0 >0 f() f() g() g() Definición: siendo a, b Propiedades: bajo condiciones de eistencia se cumple log b a log b c log b ac log b a log b c log b 3. a) Realiza E.A. y R.G. de las siguientes funciones. i) f ( ) log0 ii) f ( ) log iii) f ( ) log0 iv) f ( ) 3 0. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas. ii) log 5 iii) log 3 iv) log 3 log 3 3 v) log 3 log 3 3 vi) log 3 log 3 3 vii) log 3.log 5 5 viii) log 3.log i) log log log ii) log log 0 i) L L Le iii) 3log log 0 5. Una escala desarrollada para medir los terremotos se conoce como escala Richter, nombre del sismólogo americano Charles Richter ( ). La fuerza de un terremoto, de forma simplificada, está dada por la epresión R log E siendo E la intensidad de las vibraciones del terremoto medido. a) El terremoto del año 00 en chile fue medido en 8.8, Calcula E. b) El peor terremoto de la historia, 9.5 en escala Richter, se produjo en 960, también en Chile. Hundió Valdivia metros y provocó la erupción del volcán Puyehue y de un tsunami sobre el pacífico. Compáralo con el peor sismo recibido en Uruguay que fue de 3,9 en La acidez del agua se mide con una unidad conocida como ph. Mientras mayor es el ph, menor es la acidez. Mientras menor es el ph, mayor es la acidez. El ph ideal para una piscina es 7.6. Si sube a 7.8, se le debe añadir un químico para bajar el ph. Si baja tanto como a 6.8, entonces, se requiere echarle un químico para subirlo. a) Escribe la fórmula ph = log[h] en forma eponencial. b) Si el ph del agua es 7.0 (neutral), entonces, cuál es la concentración de iones de hidrógeno en el agua? a c log b a k k.log b a John Napier (550 67), matemático escocés, creador de los logaritmos, ha pasado a la posteridad por sus contribuciones en el campo de las matemáticas. Sin embargo para Napier era ésta una actividad de distracción siendo su preocupación fundamental el estudio del Apocalipsis, llegando mediante razonamientos lógico deductivos, y admitiendo ciertos postulados, a pronosticar el fin del mundo para los años, 668 a 700. Notación: log X log0 X L X log e X Siendo e el número de Euler. Repartido de matemática c) Realiza EA y RG de las funciones anteriores. ) log log log logb a c bc a b) Qué sucede cuando =0? i) log 3 7

8 Ficha IV Trigonometría Sistema seagesimal y radial. Unidades angulares En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado seagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.. Completa la siguiente tabla de valores. Seagesimal 80º Centesimal 00 π/ 30 0 IMPORTANTE: Debemos tener presente que la calculadora debe estar en el modo de trabajo que necesitemos, o sea DEG y trabajamos con sistema seagesimal y RAD si lo hacemos en radianes Grado seagesimal: La unidad de medida de ángulos es el grado, que es la 360 ava parte del ángulo completo. Los submúltiplos son los minutos y segundos que a su vez son 60 avas partes del anterior. Triángulos rectángulos.. Definiciones: sen medida del cateto opuesto CA medida de la hipotenusa BC cos medida del cateto adyacente AB medida de la hipotenusa BC medida del cateto opuesto CA tg medida del cateto adyacente AB 3. Radián: La unidad de medida de ángulos es el radian, que se define como el ángulo cuyo arco es igual al radio de la circunferencia a la cual pertenece. Un ángulo completo contiene, por lo tanto radianes.. En un cuadrado ABCD de lado, sean M, N los puntos medios respectivos de los lados BC y CD, y E la intersección de AN y DM. Encontrar el área del triángulo NDE. Grado centesimal: La unidad angular que divide la circunferencia en 00 grados centesimales. Este sistema no será de nuestro interés en el curso. Demuestra α las + siguientes senα = igualdades cos sen tan α +cos = tan α = tan. Calcular el área de ABCD, sabiendo que (ABF) es un triángulo equilátero y que ABCD es un cuadrado. α senα αcos cos Repartido de matemática Radian π 8

9 Triángulos no rectángulos. Teorema del seno y del coseno Usando como referencia el triángulo que tienes dibujado a tu derecha. Resuelve el triángulo en cada caso: a) a = 0 cm. b= cm. b) a = 7 m. b = 6 m. c) c = 0 cm. d) a = cm. e) = 53º f) 6. = 75º = 68º = 3º c = 30,5 cm. c = 7, mm. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. 7. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 5 km/h y el otro a 5 km/h. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje. 8. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el ángulo a entre ellos. 9. Un barco recorre km hacia el Sur y luego cambia de dirección que forma un ángulo de 6º5 al Este con la dirección Norte Sur. A qué distancia se encontrará del punto de partida? 0. En una plazoleta de forma triangular, los lados miden 60, 75 y 50 metros. Qué ángulos se forman en las esquinas de la misma?. Un lado de un paralelogramo mide 56 cm., y los ángulos formados por este o a b c sen sen sen b = 6 cm ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: = 70º = 0º c = m. = 8º = 35º Dado un triángulo ABC, siendo, y los o lado y las diagonales son 3 y 5. Calcula los lados del paralelogramo.. Las bases de un trapecio miden 3 m. y 7 m., respectivamente, y los lados no paralelos 39 m y 358 m. Halla el área y la medida de sus ángulos 3. Dos fuerzas F y F de 0 y 95 N respectivamente, actúan sobre un mismo punto, formando entre sí un ángulo de 00º0. Calcula el valor de la resultante Teorema del coseno: Dado un triángulo ABC, siendo, y los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: c a b ab cos A Repartido de matemática 5. Teorema del seno: 9

10 Círculo trigonométrico. Definición: Llamaremos Círculo trigonométrico a una circunferencia con centro en O(0,0) y radio. Importante: En el círculo trigonométrico trabajaremos en radianes. Resuelve en 0, las siguientes igualdades. a) sen = b) sen = 7 d) cos = g) cos = e) sen = j) sen = m) sen sen 0 3 c) cos = f) cos = 3 h) sen = 3 k) cos =0 6 i) cos = l) tan = P 0, y0 O(0, 0) n) cos cos 0 5. Resuelve en 0, las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) b) c) cos = sen tan cos cos sen Funciones trigonométricas. 6. Dadas las representaciones gráficas de las funciones trigonométricas, sen, cos y tan. Responde las siguientes preguntas: Puesto que en el círculo trigonométrico el radio es, la hipotenusa del triángulo trazado medirá unidad, por lo que haremos las siguientes definiciones. Definición: Consideramos y P 0, y0 su asociado Llamamos coseno de (anotamos cos ) a la abscisa del punto P; o sea cos 0 y llamamos seno de (anotamos sen ) a la ordenada de P; a. Cuál es el dominio de cada función? Cómo definirías la tangente? b. Cuál es el recorrido de cada función? Funciones trigonométrica. c. Tienen imagen todos los reales en cada una de estas funciones? d. Tienen máimo o mínimo estas funciones? e. Cuál es la imagen de cero en cada función? f. Cuál es el signo de cada una de estas funciones? El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes Desafío. Razona qué sucede en las dos figuras siguientes para que sobre un espacio en la segunda composición Repartido de matemática o sea sen y0 0

11 Ficha V Geometría Euclídea. Construcciones en el plano.. Considera un punto O en el plano. a) Determina todos los puntos del plano que distan de O cm. Nombra ese conjunto de puntos como C o, b) Determina todos los puntos del plano que distan de O 5 cm. Nombra este nuevo conjunto de puntos. c) Determina todos los puntos del plano que distan de O 6 cm. Euclides (35-65) fue un matemático y geómetra griego. Se le conoce como "El Padre de la Geometría". Su obra Los elementos, es una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico. Nombra este conjunto de puntos. a) Determina todos los puntos del plano que equidistan de A y B. Nombra este conjunto med AB b) Ubica otro punto C en el plano tal que C AB Determina todos los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de A y C. Nombra ese conjunto. c) Determina el conjunto de puntos del plano que se encuentra a igual distancia de los tres puntos. Nómbralo {P} 3. Considera un punto P en el plano. a) Determina el conjunto de puntos del plano que se encuentra a 5 cm de P b) Sea Q un punto del plano que se encuentra a 6 cm de P. Determina todos los posibles Q del plano. c) Elije uno (y solo uno) de los posibles puntos Q. Determina el conjunto de puntos del plano que equidista de P y Q. Nombra el conjunto obtenido d) Determina el conjunto de puntos del plano que se encuentra a 5 cm de P y a 5 cm de Q. e) Determina el conjunto de puntos del plano que se encuentra a 6 cm de P y a 6 cm de Q.. Sea r una recta. a) Determina todos los puntos del plano que distan de r 7 cm. Nombra a los conjuntos m y n b) Sea P y Q dos puntos de m. Determina el conjunto de puntos del plano que equidistan de P y Q c) Traza las rectas perpendiculares a n por P y por Q. Nómbralas p y q respectivamente p n P'', q r Q', q n Q'' Determina el conjunto de puntos del plano que equidista de P y Q. Nómbralo d) Determina el conjunto de puntos del plano que equidista de P y Q. Nómbralo. Aiomática: La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato aiomático. Un sistema de aiomas es aquél que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos (conocidos como aiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Por un punto eterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada. Repartido de matemática. Considera dos puntos en plano A y B

12 Arco Capaz: 5. Se consideran las dos rectas a y b secantes en H a) Sea A a y B b Determina el conjunto de puntos del plano que equidista de las semirrectas HA y HB. Nombra el conjunto como bis AHB b) Determina todos los puntos del plano que se encuentran a 3 cm de a. Nombra el conjunto. c) Determina todos los puntos del plano que equidistan de las semirrectas HA y HB 3 cm. Nombra ese conjunto. d) Determina todos los puntos del plano que equidistan de las semirrectas HA y HB 5 cm. Nombra ese conjunto a) b) c) d) e) f) Construye a partir de ellas un ángulo de 5 Vuelve a considerar dos perpendiculares y construye un ángulo de 35 Construye un ángulo de 80 Construye un ángulo de 5 Construye un ángulo de 70 Construye un ángulo de Sean A y B dos puntos del plano tal que d (A,B) = 3 cm a) Determina el conjunto de puntos del plano que dista de A cm. Nombra el conjunto. b) Determina el conjunto de puntos del plano que dista de B 6 cm. Nombra el conjunto. c) Determina todos los puntos del plano que distan cm de A y 6cm de B. Nombra el conjunto. 8. Sea r una recta y P un punto eterior a ella tal que d (P, r)= cm. a) Determina todos los puntos del plano que se encuentran a cm de r y a 3 cm de P. Nombra el conjunto. b) Qué hubiese sucedido si d(p,r) = 5 cm? c) Y qué hubiese sucedido si d(p,r) = 6 cm? 60º y una circunferencia C 9. Construye un ángulo ABC a) Toma tres puntos P, Q y R en C B, B, tales que todos ellos estén en el y ARC AQC? semiplano AB,C Cuánto miden los ángulos APC b) Toma tres puntos J, K y L en C B, tales que todos ellos estén en el AKC y ALC? semiplano AB,C Cuánto miden los ángulos AJC c) Pinta en rojo el arco capaz de cuerda AB y 30º. Nómbralo C AC,30º d) Pinta en azul el arco capaz de cuerda AB y 0º. Nómbralo C 0. Construye un pentágono regular cuyo lado mida 3cm. AC,0º Los Elementos es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría. Los Elementos es considerado uno de los libros de teto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de 000). Durante varios siglos, el quadrivium estaba incluido en el temario de los estudiantes universitarios, y se eigía el conocimiento de este teto. Aún hoy se utiliza por algunos educadores como introducción básica de la geometría. En estos trece volúmenes Euclides recopila gran parte del saber matemático de su época, representados en el sistema aiomático conocido como Postulados de Euclides, los cuales de una forma sencilla y lógica dan lugar a la Geometría euclidiana. Repartido de matemática 6. Sean t y u dos rectas perpendiculares en A

13 Circunferencia. Ángulos en la circunferencia: Un ángulo,. Se considera una circunferencia de centro O y radio r. Por A, eterior a ella, se traza una secante que corta a la circunferencia en B y C de modo que la distancia de A a B es r. La recta OA corta a la circunferencia en D y E. ( D E A y C B A ). Demuestra que COD = 3. CAD.. Sea (C ) una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, F es un punto de (C ). La perpendicular por O a AF corta a (C ) en D, AD y BF se cortan en E. Prueba que el triángulo ABE es isósceles. 3. Considerando las figuras adjuntas con datos indicados en cada una de ellas, calcula el ángulo ABC.. Sean los puntos A, B, C y D pertenecientes a una circunferencia de centro O, 50 y ordenados en sentido antihorario de modo que AOB 0. AC BD = {F} y AD BC = {E}. Calcula los ángulos COD y AEB. AFB respecto de una circunferencia, puede ser: Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca. Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos. La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice. La amplitud de un ángulo semiinscrito es la mitad de la del arco que abarca. Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones; Ángulo eterior, si tiene su vértice en el eterior de ésta. La amplitud de un ángulo eterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia. 5. Se considera una circunferencia (C ) de centro O y AB una cuerda de ella. Por un punto I de la cuerda AB se traza la recta r perpendicular a la recta OI, r corta a la tangente por A en el punto R y a la tangente por B en el punto S. a) Prueba que los cuadriláteros AOIR y BIOS son inscriptibles º y una circunferencia C Construye un ángulo ABC e) Toma tres puntos P, Q y R en C B, B, tales que todos ellos estén en el y ARC AQC? semiplano AB,C Cuánto miden los ángulos APC f) Toma tres puntos J, K y L en C B, tales que todos ellos estén en el AKC y ALC? semiplano AB,C Cuánto miden los ángulos AJC g) Pinta en rojo el arco capaz de cuerda AB y 30º. Nómbralo C AC,30º h) Pinta en azul el arco capaz de cuerda AB y 0º. Nómbralo C AC,0º Repartido de matemática b) Demuestra que el triángulo ORS es isósceles. 3

14 Lugares geométricos. 7. a) Traza un segmento AB que mida 3. b) Traza la C A,5 y Traza la C B,3 c) Señala L.G. de los puntos del plano que distan 5 o más de A y menos de 3 de B. 8. Se instalan dos emisoras de radio, una en la ciudad de Canelones con un alcance de 50 km y otra en la ciudad de Minas con un alcance de 00 km. Sabiendo que las distancias entre las ciudades son: de Minas a Canelones 3 km; de Minas a Montevideo km y de Canelones a Montevideo 6 km. a) Representa las tres ciudades y determina gráficamente el alcance de cada una de ellas. b) Señala la zona en la que se captan las dos emisoras. c) Cuál de ellas se capta en Montevideo? d) Si se instalara una emisora en Montevideo, cuál debería ser su alcance para que se capte en las otras dos ciudades? 9. Dado un segmento AB, construye el L.G. de los puntos del plano que son vértices de un triángulo isósceles de base AB. 0. Dados los puntos R y S Cuál es el L.G. de los puntos T del plano de modo que cada triángulo (RST) tenga base RS y altura cm? Justifica.. Sea una recta r, A r, y B r. Determina los puntos del plano que equidistan de A y B y están a cm o menos de r.. a) Construye un paralelogramo (ABCD) con la base BC = 7, AB = 5 y altura 3. Definiciones: Llamaremos lugar geométrico al conjunto de puntos del plano que cumple una condición dada. Ejemplos: Dado un punto fijo O y un número r. Llamamos Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que distan r del punto O. Dado un segmento fijo AB. Llamamos mediatriz del segmento AB al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A y B. Dado un ángulo. Llamamos bisectriz del mismo al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Dado un segmento AB y un ángulo α fijos. Llamamos arco capaz al lugar geométrico de los vértices cuyos ángulos de amplitud α y abarcan el segmento AB. b) Determina el L.G de los puntos del plano que están a de A y equidistan de B y C. 3. Dado el segmento MP = cm construye los triángulos (MNP) tales que la mediana trazada desde N mida 3 (cm) y la altura desde N mida (cm).. Construye los triángulos (ABC) tales que BC =6 cm, el ángulo B mida 30º y ma=cm. AC 6cm. 6. Dadas dos rectas secantes r y s.determina el L.G. de los puntos del plano que equidistan de ambas rectas. 7. Dado un AB = 5 cm, construye: a) El arco capaz de cuerda AB y ángulo 30º. b) El arco capaz de cuerda AB y ángulo 5º c) El arco capaz de cuerda AB y ángulo 90º d) El arco capaz de cuerda AB y ángulo 0º 8. Construye un trapecio isósceles (ABCD) sabiendo que la base AB mide 7cm, el ángulo ADB es 00º y la altura del trapecio es cm. Repartido de matemática 5. Construye un rombo (ABCD) tales que BC = 5cm, el ángulo C mida 0º la diagonal