CURSO DE MATEMATICAS ADMINISTRATIVAS INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE PUERTO PEÑASCO. Realizó: Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "CURSO DE MATEMATICAS ADMINISTRATIVAS INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE PUERTO PEÑASCO. Realizó: Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales"

Transcripción

1 CURSO DE MATEMATICAS ADMINISTRATIVAS Realizó: Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales 2011 En este curso se incluyen todos los temas que se estudiaran durante la materia matemáticas administrativas, involucrando en la medida de lo posible problemas reales. INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE PUERTO PEÑASCO

2 Contenido I: Funciones Matemáticas Y Ecuaciones Lineales Definición de Función Dominio y Rango La Línea Recta... 7 Primer Sección Ejercicios Representación Gráfica De Funciones...13 Segunda Sección Ejercicios...14 II: Ecuaciones Y Funciones Lineales Ecuaciones Lineales Ecuaciones Lineales Con 2 Incógnitas...16 Tercer Sección Ejercicios Funciones Lineales Función De Ingreso Funciones De Costo: Función Utilidad Sección Cuarta Ejercicios Modelos De Punto De Equilibrio...28 Sección Sexta Ejercicios...30 III. Algebra Matricial Matriz Operaciones Con Matrices...32 Sección Sexta de Ejercicios...35 Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 2

3 I: Funciones Matemáticas Y Ecuaciones Lineales 1.1 Definición de Función. Una función es una relación entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y. x es la variable independiente y es la variable dependiente La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se dice que y es función de x, lo que se escribe y = f(x). Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o, simplemente, para expresar relaciones matemáticas: La distancia recorrida por un auto al transcurrir el tiempo. El volumen de un líquido al aumentar la temperatura. El impuesto de circulación que paga un vehículo en una ciudad según la cilindrada del motor del mismo. El volumen de una esfera al variar la longitud del radio de la misma. Sobre unos ejes cartesianos representamos las dos variables: La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas). La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas). - Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, la abscisa x y la ordenada y. - El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definición de la función. - Los ejes deben estar graduados con las correspondientes escalas para que puedan cuantificarse los valores de las dos variables. Cuándo una gráfica no corresponde a una función? De las dos gráficas que se muestran a continuación, la de la izquierda corresponde a una función y la derecha no. Observa: Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 3

4 En ésta a cada valor de x de la variable independiente (ejede abscisas) le corresponde un único valor imagen y de la variable dependiente (ordenadas). En ésta hay algunos valores de la variable independiente x a los que corresponden más de un valor de la dependiente, lo que contradice la definición de función. Ejemplo: Para la función 3 2 y x x x , calcula: a) f ( 1) b) f (0) c) f (2) d) f (3) El costo total en pesos de producción de cierto fabricante está dado por la función ,000 para 0 x 35 C x x El costo de fabricar 10 unidades. El costo de fabricar 15 unidades. El costo de fabricar 30 unidades. unidades. Calcula. 3. La compañía eléctrica de la localidad se vale del siguiente método para calcular las facturas mensuales de una categoría de clientes. Para cada cliente se determina un cargo mensual de $5 por concepto de servicio. Además la compañía cobra $0.60 dólares por kilowatts-hora. A). Determine la función que expresa el cargo mensual de un cliente, en función de un número de kilowatts-hora. Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 4

5 b). Con esta función calcule la cuenta mensual de un cliente que utiliza 725 kilowatts-hora. c) Y si utilizó 1200 Kw/hora? 4. El departamento de policía de una ciudad pequeña, estudia la compra de un carro patrulla más. Los analistas de la policía estiman que el costo del carro (subcompacto pero de gran potencia), completamente equipado, es de dólares. Han estimado también un costo promedio de 0.40 dlls. Por milla. a). Determínese la función matemática que represente el costo total C de la obtención y operación del coche patrulla, en términos del numero de millas que recorra. b) Cuál es el costo proyectado si el carro recorre millas en su vida útil? c) y si recorre millas? 1.2 Dominio y Rango Dominio de una función Llamado también conjunto de pre imágenes y esta dado por todas las primeras componentes de los elementos de la función. Rango de una función Llamado también conjunto de imágenes y esta dado por todas las segundas componentes pertenecientes a la función. Ejercicios Complementarios Ejercicios: Determine si las siguientes ecuaciones son funciones o relaciones y halle el dominio y el rango de las que sean funciones: Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 5

6 1) y = x 15 2) y2 = x 3) y = 5 4) x = 10 5) y = x + 6 Cuando el precio de un producto esencial (como la gasolina) se eleva rápidamente, el consumo baja lentamente al principio. Sin embargo, si el precio continúa elevándose, puede alcanzarse un punto de desplome, en el cual el consumo adquiere una repentina y sustancial caída. Suponga que la gráfica siguiente muestra el consumo de gasolina G(t), en millones de galones, en una cierta zona. Suponemos que el precio está elevándose rápidamente. Aquí t es el tiempo en meses después de que el precio comenzó a elevarse. Usa la gráfica para calcular lo siguiente: a) G (12) b) G (16) Interpreta el resultado. 3. Al fabricar un producto, una empresa incurre en costos de 2 tipos. Tiene costos fijos anuales por Dlls. Sin importar el número de unidades producidas. Además cada unidad producida le cuesta $8. Si C es el costo anual total en dólares y si x denota el número de unidades producidas durante un año. a). determine la función C = f(x) que exprese el costo anual. b). Establezca el dominio y rango restringido de dicha función, si la capacidad máxima es de 300, 000 unidades al año. 4. La función C(x) = 25X expresa el costo total C(x) (en dólares) de fabricar x unidades de un producto. Si el numero máximo de unidades que pueden producirse es igual a , establezca el dominio y rango restringidos de esta función de costo. Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 6

7 1.3 La Línea Recta PENDIENTE Cualquier línea recta, con excepciones de las líneas verticales, puede caracterizarse por medio de su pendiente. Por pendiente debe entenderse, básicamente, la inclinación de una recta, ya sea que ésta suba o baje a medida que el observador se mueve de izquierda a derecha a lo largo del eje x, la tasa que la recta suba o baje (en otras palabras, su grado de inclinación). La pendiente de una línea puede ser positiva, negativa, cero o indefinida. Pendientes de las condiciones de las rectas La pendiente de una línea se cuantifica por medio de un número real. El signo de la pendiente (número) indica si la línea está subiendo o descendiendo. La magnitud (valor absoluto) de la pendiente indica la inclinación relativa de la línea. Si sobre una recta que no sea vertical hay dos puntos cualesquiera, es posible calcular la pendiente como una relación del cambio en el valor de y, moviéndose de un punto a otro dividido entre el cambio correspondiente en el valor de x, es decir Cambioeny pendiente Cambioenx y x Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 7

8 La fórmula de los dos puntos es una manera de determinar la pendiente de una recta que une dos puntos. Fórmula de los dos puntos La pendiente m de la recta que une dos puntos con las coordenadas 1, y 1 y, x 2, y 2, respectivamente, es x y m x y x 2 2 y x 1 1 (3) donde x1 x 2 Forma de pendiente-intersección La ecuación de una función lineal puede expresarse en la forma pendiente-intersección y = mx + b (1) Donde m representa la pendiente de la línea que representa la ecuación y b es la coordenada de la intersección con el eje y Ejemplo 1 Rescriba la siguiente ecuación en la forma pendiente-intersección y determine la pendiente y la intersección. -3x + 4y = 48 Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 8

9 Se resuelve la ecuación para la variable y, se obtiene 3 y x Así pues, la pendiente es 4 y la intersección con el eje y es igual a (0, 12). Determinación de la ecuación de una línea recta i) Pendiente e intersección con el eje y Determine la ecuación de la línea recta que tiene una pendiente de 7 y una intersección con el eje y de (0, 10) Si la pendiente de un recta es 2 y un punto que se encuentra en ella es (3,18) podemos sustituir estos valores en la ecuación (1), obteniendo así 18 ( 2)(3) b b o bien Conocer que m = -2 y b = 24 conduce directamente a la ecuación pendiente-intersección con el eje y y 2x 24 Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 9

10 iii) Dos puntos Ejemplo Para determinar la ecuación de la recta que pasa por (-4,4) y (-2,-8) Primero determinamos la pendiente de la ecuación (3), lo cual da 4 ( 8) m 4 ( 2) Sustituyendo m =-6 y las coordenadas (-4,4) en la ecuación (1) se obtiene 4 ( 6)( 4) b b Así pues, la forma de pendiente-intersección con el eje y de la ecuación es y 6x 28 Primer Sección Ejercicios 1.- Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 (-1, -4) y P 2 (5, 1) 2) Representa las siguientes rectas: Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 10

11 a) y = 3x +2 b) y = -x +2 c) y = 5x -3 d) y = 5x +3 e) y = -x +4 f) y = -2x - 1 LEYES DE LOS SIGNOS La multiplicación de expresiones con signos iguales dan como resultado un valor positivo y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan como resultado un valor negativo. Multiplicación División (+) por (+) da (+) (+) entre (+) da (+) (+) por (-) da (-) (+) entre (-) da (-) (-) por (+) da (-) (-) entre (+) da (-) (-) por (-) da (+) (-) entre (-) da (+) Suma. Valor numérico (+) + (+) = + suma de valores absolutos ( 4 ) + ( 2 ) = 6 (-) + (-) = - suma de valores absolutos (-7) + (-10) = -17 (+) + (-) = signo de él número con mayor valor absoluto. ( 20) + (-13) = 7 (-) + (+) = El valor numérico de la operación es la diferencia de valores absolutos. Producto ( + ) ( + ) = + Valor numérico productos de los valores absolutos ( 3 ) ( 4 ) =12 ( - ) ( - ) = + (-6 ) (-5 )=30 Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 11

12 ( + ) ( - ) = - ( 9 ) (-2 ) = 18 ( - ) ( + ) = - (-10 ) ( 4 ) = -40 Cociente +/+ = + 8 / 2 = 4 -/- = + Valor numérico división de los valores absolutos. -35 / -5 = 7 +/- = - 12 / -4 = -3 -/+ = / 3 = -24 Sustracción (+) - (+) = + - ( 4 ) - ( 3 ) = 1 (-) - (-) = - + ( -9 ) - (-25 ) = 16 (+) - (-) = + + ( 10 ) - (-10 ) = 20 (-) - (+) = - - se invierte el signo de él sustraendo y se aplica leyes (-14 ) - ( 16 ) = 30 de signos para la suma. Ejemplos : 1 ) [ ] + [ ] - [ ] = [15-6]+[23-19]-[6-20] = [9]+[4]-[-14] = = 27 2 ) [( )( )] - [( )-(11+4-5)] = [(13-13)(35-10)]-[(20-33)-(15-5)] = [(0)(25)]-[(-13)-(10)] = -[-13-10] = -[-23] = 23 3 ) [( ) ( )] + [(4+3-13)-(9+3)] = [(24-18) (32-30)] + [(7-13)-(12)] = [(6) (2)] + [-6-12] = [3] + [-18] = -15 Resuelva las siguientes operaciones con signos. (+4) (-4) = (+2) (+18) = (-8) (-3) = (-18) (+2) = (-10) (-10)= (+7) (-12) = Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 12

13 (-4.2) (-6) = (+8.5) (-4) = (-8/-4) = (-5/+2) = (+1/-3) = (+18/-9) = (+14) - (-6) = (-18) + (-22) = (-25) + (-15) = (+0.333) - (0.666) = (-18) - (-22) = 1.4 Representación Gráfica De Funciones GRAFICACION DE ECUACION CON DOS VARIABLES Graficar la ecuación lineal 4x 7y = 0 La gráfica de esta ecuación se obtiene identificando dos pares cualesquiera de valores x y y que satisfagan la ecuación. Solución Si x = 0, 4(0) 7y = 0 entonces y = 0 Si x = 7, 4(7) 7y = 0 entonces y = 4 Por lo tanto dos miembros del conjunto solución son, pues, (0,0) y (7,4). La figura muestra la gráfica de la ecuación. Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 13

14 Segunda Sección Ejercicios Ejercicios; grafique las siguientes funciones y explique si es lineal, cuadrática o cúbica. Y = f(x) = x² - 4 Y = f(x) = x³ + 5 Y = f(x) = -x³ Y = f(x) = 3x La compañía de mudanzas Ramírez cobra $70 por transportar cierta máquina 15 millas y $100 por transportar la misma máquina 25 millas. Determine la relación entre la tarifa total y la distancia recorrida, suponiendo que es lineal. Cuál es la tarifa mínima por transportar esta máquina? Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 14

15 Cuál es la cuota por cada milla que la máquina es transportada? 2 Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor, las ventas ascienden a 2000 televisores al mes. Sin embargo, a $450 por televisor, las ventas son de 2400 unidades. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal. 3 Un fabricante de herramientas puede vender 3000 martillos al mes a $2 cada uno, mientras que sólo pueden venderse 2000 martillos a $2.75 cada uno. Determine la ley de demanda, suponiendo que es lineal. 4 Bienes Raíces Georgia posee un complejo habitacional que tiene 50 apartamentos. A una renta mensual de $400, todos los apartamentos son rentados, mientras que si la renta se incrementa a $460 mensuales, sólo pueden rentarse 47. Suponiendo una relación lineal entre la renta mensual p y el número de apartamentos x que pueden rentarse, encuentre esta relación. Cuántos apartamentos se rentarán, si la renta mensual aumenta a $500? Cuántos apartamentos se rentarán, si la renta disminuye a $380 mensuales? II: Ecuaciones Y Funciones Lineales 2.1 Ecuaciones Lineales En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente: Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 15

16 El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x 1, x 2 y x 3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. Resolución De Sistemas De Ecuaciones Lineales El objetivo de este apartado es examinar los aspectos numéricos que se presentan al resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma: Se trata de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, x 1, x 2,..., x n. Los elementos a ij y b i son números reales fijados Ecuaciones Lineales Con 2 Incógnitas Método de sustitución Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 16

17 Es aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes o. Despejamos la de la primera ecuación: Sustituimos en la otra ecuación: Resolvemos la ecuación resultante: Para averiguar el valor de sustituimos el valor de 1 en la expresión obtenida el paso Método de igualación Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones Igualamos las dos expresiones anteriores Resolvemos la ecuación resultante Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 17

18 Para calcular el valor de x sustituimos el paso 1 en cualquiera de las expresiones obtenidas en Método de reducción Combinación lineal de ecuaciones: se multiplica una ecuación por un número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema. El método de reducción consiste en eliminar una incógnita del sistema. Vamos a eliminar la. Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2: Sumando ambas ecuaciones desaparecen las x y nos queda Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda Método de Gauss-Jordan Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 18

19 La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico. Tomemos como ejemplo el siguiente sistema: Su matriz aumentada será esta: En primer lugar, reducimos la incógnita, sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por, y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así: El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por y por, respectivamente. Por último, eliminamos la, tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por y por, respectivamente. Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 19

20 Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean: O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por, y respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna Tercer Sección Ejercicios 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x3y4 5x4y El número total de pasajeros matutinos de cierta línea de autobuses urbanos es de Si el pasaje de niño cuesta $2, el de adulto $4 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es de $3400, cuántos niños y cuántos adultos utilizaron el autobús en la mañana? Kelly Fisher tiene un total de $ invertidos en dos tipos de bonos que producen 8% y 10% de interés simple por año, respectivamente. Si los intereses anuales que recibe suman $2640, cuánto dinero ha invertido en cada bono? Una máquina en una fábrica de cerámica tarda 3 minutos hacer un tazón y 2 minutos en hacer un plato. El material para el tazón cuesta $0.25 y el material para un plato cuesta $0.20. Si la máquina funciona durante 8 horas y se gastan exactamente $44 en material, cuántos tazones y platos pueden producirse? La granja Johnson tiene 500 acres de terreno destinados al cultivo de maíz y trigo. El costo respectivo de los cultivos (incluyendo semillas y mano de obra) es de $42 y $30 por acre. El señor Johnson dispone de $18600 para realizar este cultivo. Si desea utilizar toda la Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 20

21 tierra destinada a estos cultivos y todo el presupuesto correspondiente, cuántos acres debe plantar de cada cultivo? Las tiendas McFrugal Snack planean contratar dos compañías de relaciones públicas para encuestar 750 clientes por teléfono y 250 personalmente. La compañía García tiene personal para hacer 30 encuestas por teléfono y 5 encuestas personales por hora. La compañía Wong puede efectuar 10 encuestas por teléfono y 10 personales por hora. Por cuántas horas debe contratarse cada compañía para obtener el número exacto de encuestas requeridas? Una empresa electrónica produce transistores, resistores y chips de computadora. Cada transistor requiere 3 unidades de cobre, 1 unidad de zinc y 2 unidades de vidrio. Cada resistor requiere 3, 2 y 1 unidades de los tres materiales y cada chip requiere 2, 1 y 2 unidades de esos materiales, respectivamente. Cuántos de cada producto pueden fabricarse con 810 unidades de cobre, 410 unidades de zinc y 490 unidades de vidrio? Una agencia de servicio social proporciona asesoramiento, comida y habitación a clientes tipo I, II y III. Los clientes tipo I requieren un promedio de $100 para comida, $250 para habitación y ningún asesoramiento. Los clientes tipo II requieren un promedio de $100 por asesoramiento, $200 para comida y ninguna habitación. Los clientes tipo III requieren un promedio de $100 para asesoramiento, $150 para comida y $200 para habitación. La agencia dispone de $25,000 para asesoramiento, $50,000 para comida y $32,500 para habitación. Cuántos clientes de cada tipo pueden atenderse? 2.2 Funciones Lineales Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 21

22 2.2.1 Función De Ingreso En el ámbito administrativo se conoce como ingreso, a la cantidad total de dinero que obtiene una organización debido a la venta de sus productos o a la prestación de sus servicios. Basándonos en este concepto puede verse claramente que el ingreso de cualquier organización dependerá directamente del precio al que venda sus productos o servicios, así como de la cantidad de servicios brindados o de productos vendidos. Matemáticamente pudiera expresarse como: Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida) Asumiendo que el precio de todos los productos es el mismo, sin embargo, si dicho precio variara, el ingreso total sería la suma de los ingresos individuales obtenidos por cada producto o servicio al precio en que se vendió. Ejemplo: 1. Una empresa en la que se fabrican relojes de pulso vende a sus clientes mayoristas dichos relojes a un costo de $ Si para ser considerado como cliente mayorista necesitan hacer una compra de al menos 1000 productos. Cuál será el ingreso menor que pudiera recibir el fabricante de un cliente mayoritario? Solución: Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida) Sustituyendo: Ingreso Total= ($120.00) (1000 productos) Ingreso total= $120, Ejemplo 2: Retomando el problema anterior, supóngase que además de vender 1000 relojes a un mayorista vende 500 a un medio mayorista al cual le ofrece un precio de $ Cuál será su ingreso total? Solución: Ingreso Total = (precio) (cantidad vendida) Sustituyendo: Ingreso total= ($120.00) (1000 productos) + ($150.00) (500 productos) Ingreso Total= $120, $75, Ingreso Total = $195, El ingreso de una empresa, en un determinado período de tiempo, está dado por las ventas de bienes o servicios en ese período. Por ello lo podemos expresar como el Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 22

23 producto de la cantidad vendida por el precio unitario del bien o servicio. I = p. q Si la empresa comercializa n productos distintos, la función se define como que se podemos expresar I = p1q1 + p2q pnqn Es decir que el ingreso se determina como la suma de los productos de los precios por las cantidades vendidas de cada uno de los bienes Funciones De Costo: El costo es la expresión cuantitativa monetaria representativa del consumo necesario de factores de la producción que se emplean para producir un bien o prestar un servicio. Con las funciones de costos trataremos de plantear un modelo matemático simplificado de la realidad económica. Iniciaremos diciendo que los costos de producción de un bien o de prestación de un servicio tienen distintos componentes que, en un principio, le atribuiremos un comportamiento lineal, pues es el modelo más sencillo. Las funciones lineales cumplen un importante papel en el análisis cuantitativo de los problemas económicos. En muchos casos los problemas son lineales pero, en otros, se buscan hipótesis que permitan transformarlos en problemas lineales ya que su solución es más sencilla. Costo lineal Cuando una empresa produce cualquier bien o presta un servicio, deberá utilizar una serie de insumos que valorizados monetariamente le genera costos, que analizados en función a la relación con la producción total, los denominaremos costos fijos y costos variables. Los primeros, como lo indica su nombre, son independientes de las cantidades de un artículo que se produzca o un servicio que se preste (p.ej.: alquiler del local, Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 23

24 depreciación de los bienes durables, determinados impuestos, etc.). En cambio, los costos variables dependen de la cantidad que se produzca de ese artículo o que se preste del servicio, (p. ej.: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.) El costo total es la suma de ambos Costo total = Costos fijos + Costos variables Si a los costos fijos de producir x artículos lo indicamos como b pesos, estamos en presencia de una función constante de la forma f(x) = b Haciendo b = 6, confeccionamos la gráfica correspondiente de C F (x) = 6 Podemos observar que si se confeccionan 1, 5 u 8 artículos se mantiene el mismo valor de costo fijo, por eso decimos que C F (x) = 6 es una función constante. Para simplificar nuestro análisis supongamos la condición de que el costo variable por unidad de artículo se mantiene constante, en ese caso los costos variables totales serán proporcionales a la cantidad de artículos producidos. Si a pesos indican el costo variable por unidad, los costos variables para producir x unidades del artículo serán ax pesos. Estamos en presencia de una función lineal de la forma g(x) = ax Hacemos a = 0,8, o sea g(x) = 0,8 x, por lo que expresamos la función de costo variable: C V(x) = 0,8 x Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 24

25 Como el costo total para producir x artículos es la suma de los costos anteriores, tenemos C T(x) = C V(x) + C F(x) C T(x) = ax + b (función afín) C T(x) = 0,8 x Función Utilidad. Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 25

26 La utilidad de una organización es la diferencia existente entre el ingreso total y el costo total. Matemáticamente pudiera expresarse como: Utilidad = Ingreso Total Costo total Cuando el ingreso total es mayor que el costo total la utilidad es positiva se conoce como ganancia, en caso contrario la utilidad sería negativa y recibe el nombre de pérdida o déficit. Cuando tanto la función de ingreso como la de costo son funciones lineales de una misma variable, es decir, de la cantidad de artículos producidos o servicios brindados la función de la utilidad también será una función lineal de la misma variable. Es decir, si el ingreso total fuera la función I(x) y el costo total C(x), la función utilidad sería: Utilidad o pérdida = I(x) + C(x) Ejemplo: Una empresa vende un artículo a un precio de $100.00, si sus gastos por mano de obra son de $10.00 por producto y por concepto de materia prima de $15.00 por producto teniendo costos fijos de $1 000, mensuales, si su producción mensual es de 50,000 artículos determina la utilidad mensual de la empresa. Solución: El ingreso estaría definido por: Ingreso total = $100 (x) El costo total sería: Costo total = $25.00 (x) + $1 000, 000 La utilidad es: Utilidad = 100(x) ($25.00(x) + $1 000, 000) Agrupando tenemos: Utilidad = $75.00(x) 1 000, 000 Utilidad Mensual = $ (50,000 artículos) - $ 1000, 000 Utilidad Mensual= $3, $ 1000, 000 Utilidad Mensual = $2, Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 26

27 Sección Cuarta Ejercicios 1) La sociedad ecológica de la universidad científica está organizando su compaña anual de adquisición de fondos, el comidatlon, se cobrara 50 centavos por persona por servirle una orden de pasta. Los únicos gastos de la sociedad son el gasto de la pasta, que se estima en 15 centavos por ración y 350 $ por la renta de las instalaciones. a) escriba las ecuaciones correspondientes de costo, ingreso y utilidad. b) cuantas raciones de pasta debe vender la sociedad para llegar al equilibrio. c) que utilidad o pérdida resultara al vender 1500 raciones de pasta. 2) Un fabricante de pianos tiene un costo fijo diario de 1200$ y un costo marginal de 1500$ por piano. a) calcule la ecuación de costo de fabricar "x" piano en un día. b) en un día determinado, cual es el costo de fabricar 3 pianos. c) cual es el costo de fabricar el 3er piso en ese día. d) cual es el costo de fabricar el vigesimoquinto piano ese día. 3) El periódico EL INFORMADOR, tiene costos fijos de $70 por edición, y costos marginales de impresión y distribución de 40 centavos por ejemplar. El periódico se vende a 50 centavos por periódico. a) encuentre la ecuación de costo, ingreso y utilidad. b) que utilidad o perdida de obtiene al vender 500 periódicos. c) cuantos periódicos se deben vender para estar en equilibrio. Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 27

28 2.3 Modelos De Punto De Equilibrio En la determinación de las ganancias o beneficios de una organización, expresada como la diferencia entre ingresos totales y costos totales, adquiere gran importancia el concepto de punto de equilibrio, es decir el punto de beneficio 0 (cero) en donde C T = I. Cualquier cambio en esta igualdad genera déficit o superávit, ganancia o pérdida. Para este análisis suponemos que los costos variables o costo por unidad de producción y los ingresos por ventas son lineales Punto de equilibrio: Si el costo total de producción excede a los ingresos obtenidos por las ventas de los objetos producidos, la empresa sufre una pérdida; si, por el contrario, los ingresos superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia. Si los ingresos obtenidos por las ventas igualan a los costos de producción, se dice que el negocio está en el punto de equilibrio o de beneficio cero. dadas por: Si una empresa posee una función de costos C(x), una función de Ingresos I(x), C(x) = cx + k c: costo de producción por unidad; k: costo fijo x: cantidad producida del bien I(x) = sx s: precio de venta por unidad X: cantidad vendida del bien La función de beneficio B(x) estará dada por la diferencia entre la función de ingresos y la función de costos. Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 28

29 B(x) = I(x) - C(x) B(x) = (s - c)x - k En el punto de equilibrio la empresa no tiene ganancias ni pérdidas B(x ) = 0, entonces I(x ) = C(x ) El punto P(x ; p ) es la solución simultánea de las ecuaciones p = C(x) y p = I(x) y recibe el nombre de punto de equilibrio; x es la cantidad de equilibrio y p es el precio de equilibrio. Geométricamente P(x ; p ) es la intersección de las rectas que representan a las funciones de costos y de ingresos. Si x < x, entonces I(x) < C(x), luego B(x) < 0 indicando que la empresa produce con pérdidas. Si x = x se tiene el punto de equilibrio, la empresa no gana ni pierde. Si x > x, entonces I(x) > C(x), luego B(x) > 0 lo que indica que la empresa opera con ganancias. Gráfica de la zona de pérdida Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 29

30 Gráfica de la zona de ganancias Sección Sexta Ejercicios 1. Los costos fijos por producir cierto artículo son de $5000 al mes y los costos variables son de $3.50 por unidad. Si el productor vende cada uno a $6.00, cuántos artículos deberán producirse y venderse para garantizar que no haya ganancias ni pérdidas? 2. Un fabricante produce artículos a un costo variable de 85 cada uno y los costos fijos son de $280 al día. Si cada artículo puede venderse a $1.10, determina el punto de equilibrio. 3. El costo de producir x artículos a la semana está dado por y x. Si cada C artículo puede venderse a $7, determine el punto de equilibrio. Si el fabricante Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 30

31 puede reducir los costos variables a $4 por artículo incrementando los costos fijos a $1200 a la semana, le convendría hacerlo? 4. El costo de producir x artículos a la semana está dado por y x. Si cada artículo puede venderse a $10, determine el punto de equilibrio. C 5. Encuentra el punto de equilibrio para la compañía Z, que vende todo lo que produce, si el costo variable por unidad es de $2, los costos fijos de $1050 y los ingresos y 50 I x, donde x es el número de unidades producidas. Equilibrio De Mercado Determina el precio y cantidad de equilibrio para las curvas de demanda y oferta siguientes: 1 Demanda: 2p3x 100 Oferta: p x 10 2 Demanda: p x Oferta: p2x 20 Demanda: p x x Oferta: p( x 10) 2 Demanda: 3000 p x 200 Oferta: p 1 x 5 5 Demanda: px 20 Oferta: p x 10 La ley de la demanda para cierto artículo es de 5p2x 200 y la ley de la oferta es p 4 x. Determina: 5 10 Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 31

32 El Precio Y La Cantidad De Equilibrio el precio y la cantidad de equilibrio después de que se ha fijado un impuesto de $6/unidad. demandada. Determine el incremento en el precio y la disminución en la cantidad III. Algebra Matricial 3.1 Matriz Tabla ordenada de nº reales en m filas y n columnas. La matriz A tiene dimensión 3x4, siendo m = 3 y n = 4 Los elementos en rojo forman la diagonal principal. 3.2 Operaciones Con Matrices Suma de matrices Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 32

33 La única regla que hay para la suma de matrices es que ambas tienen que tener el mismo número de filas y de columnas, y no importa si son rectangulares o cuadradas. Lo que se hace es sumar cada posición de una matriz con la misma de la otra, por lo que la matriz resultante es una con el mismo número de filas y columnas que las demás y cuyos valores son la suma de los valore de las otras 2 matrices. Por ejemplo: + = Como se puede ver, la matriz resultante tiene en su posición 1,1 la suma de la posición 1,1 de la primera matriz mas la 1,1 de la segunda, y así se van poniendo todas las sumas de las posiciones, y es todo lo que hay que decir acerca de la suma de matrices Multiplicación de matrices La multiplicación de matrices es un poco más complicada. La regla aquí es que el numero de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda, esto es, que se puede hacer una multiplicación de una matriz 2x3 por una de 3x5, y la matriz resultante tiene el numero de filas de la primer matriz y las columnas de la segunda, por lo que quedaría una matriz de Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 33

34 2x5. Además, a diferencia de la suma y la resta, la multiplicación no es posición por posición, sino que se hace de la siguiente manera: Se toma la primera fila de la primer matriz y la primer columna de la segunda matriz, y lo que se hace es multiplicar una posición de fila por una de columna: X = En el ejemplo de arriba se multiplica una matriz de 2x3 por una de 3x1, y se toma la primera fila de la primer matriz, o sea 2,4,6 y la primer columna de la otra, o sea -5,-7,6, y la resultante toma las filas de la primera, o sea 2 y las columnas de la segunda, o sea 1, y quedan 2 lugares solamente. Se llenan haciendo la multiplicación (2x-5) + (4x-7) + (6*6) o sea posición de fila por posición de columna. Después si la segunda matriz tuviera más columnas, se pasa a la siguiente, y sin cambiar de fila en la primera se vuelve a hacer la multiplicación y las sumas hasta que se acaben las columnas de la segunda matriz. Ya que se acabaron las filas de la segunda, se pasa a la siguiente fila en la primera Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 34

35 y se empieza de nuevo: (-1x-5) + (3x-7) + (9x6) y se pone en el segundo lugar de la matriz, en este caso el único que queda, pero si hubiera más columnas se va llenando hasta que se completen las columnas y luego se baja a la siguiente fila. Así se sigue hasta que se acaben las filas de la primera matriz. Sección Séptima de Ejercicios 1. Un grupo de inversionistas que planean abrir un centro comercial decidieron incluir un supermercado, una peluquería, una tienda miscelánea, una farmacia y una pastelería. Estimaron el costo inicial y la renta garantizada (ambas en dólares por pie cuadrado) para cada tipo de tienda, respectivamente, como sigue: costo inicial: 18, 10, 8, 10 y 10; renta garantizada: 2.7, 1.5, 1.0, 2.0 y 1.7. Escriba esta información primero como una matriz de 5 X 2 y luego como una matriz de 2 X Los señores Cruz, Jiménez y Sánchez sufren una enfermedad en las coronarias. Como parte del tratamiento, se les da una dieta baja en colesterol. El señor Cruz lleva la Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 35

36 dieta I; Jiménez la dieta II, y Sánchez la dieta III. Se mantuvieron registros de los niveles de colesterol de cada paciente. Al principio de los meses 1, 2, 3 y 4, dichos niveles eran: Cruz: 220, 215, 210 y 205 Jiménez: 220, 210, 200 y 195 Sánchez: 215,205, 195 y 190 Represente esta información en una matriz 3 X El inventario de una librería universitaria es: Pasta dura: libros de texto, 5280; ficción, 1680; no ficción 2320; referencia, 1890 Rústica: ficción, 2810; no ficción, 1490; referencia, 2070; libros de texto, 1940 El inventario de una librería orientada al mercado preparatoriano es: Pasta dura: libros de texto, 6340; ficción, 2220; no ficción 1790; referencia, 1980 Rústica: ficción, 3100; no ficción, 1720; referencia,2710 ; libros de texto, 2050 Represente el inventario de la librería universitaria como una matriz A. Represente el inventario de la librería preparatoriana como una matriz B. Si las dos deciden unirse, escriba una matriz C que presente el inventario total de la nueva librería. 4. Un dietista prepara una dieta especificando las cantidades que un paciente debe tomar de cuatro grupos básicos de alimentos: grupo I, carnes; grupo II, frutas y legumbres; grupo III, panes y harinas; grupo IV, productos lácteos. Las cantidades se dan en intercambios que representan 1 onza (carne), 1/2 taza (frutas y legumbres), 1 rebanada (pan), 8 onzas (leche), u otras medidas apropiadas. El número de intercambios para el desayuno para cada uno de los cuatro grupos de alimentos, son respectivamente, 2, 1, 2 y 1; para la comida, 3, 2, 2 y 1; y para la cena, 4,3,2 y 1. Escriba una matriz de 3 X 4 usando esta información. Las cantidades de grasa, carbohidratos y proteínas en cada grupo de alimentos, respectivamente, son como sigue. Grasas: 5, 0, 0, 10 Carbohidratos: 0, 10, 15, 12 Proteínas: 7, 1, 2, 8 Use esta información para escribir una matriz de 4 X 3. Hay 8 calorías por unidad de grasas, 4 calorías por unidad de carbohidratos y 5 calorías por unidad de proteínas; resuma estos datos en una matriz de 3 X 1. Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 36

37 5. Al principio de un experimento en laboratorio, cinco ratas jóvenes midieron 5.6, 6.4, 6.9, 7.6 y 6.1 centímetros de longitud y pesaron 144, 138, 149, 152 y 146 gramos, respectivamente. Escriba una matriz de 2 X 5 usando esta información. Al final de dos semanas, sus longitudes eran de 10.2, 11.4, 11.4, 12.7 y 10.8 centímetros y pesaron 196, 196, 225, 250 y 230 gramos. Escriba una matriz de 2 X 5 con esta información. Use resta de matrices con las matrices encontradas en (a) y (b) para escribir una matriz que dé la cantidad de cambio en longitud y peso para cada rata. La siguiente semana las ratas crecieron 1.8, 1.5, 2.3, 1.8 y 2.0 centímetros, respectivamente, y ganaron 25, 22, 29, 33 y 20 gramos, respectivamente. Establezca una matriz con esos incrementos y use la adición matricial para encontrar sus longitudes y pesos al final de esa semana. 6. La matriz A representa los números de tres tipos de cuentas bancarias el primero de enero en el Banco Central y sus sucursales. Cuentas de cheques Cuentas de ahorro Cuentas de depósitos a plazo Oficina matriz A= Sucursal del Oeste Sucursal del Norte La matriz B representa los números y tipos de cuentas abiertas durante el primer trimestre y la matriz C se refiere a los números y tipos de cuentas cerradas durante el mismo periodo, B C a) Encuentre la matriz D, la cual representa el número de cada tipo de cuenta al final del primer trimestre en cada lugar. b) Debido a la apertura de una fábrica cercana, se prevé un incremento de 10% en la cantidad de cuentas en cada lugar durante el segundo trimestre. Escriba una matriz E que refleje este incremento previsto. Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 37

38 Calcule la matriz 3B 1/5 (A C), si A =, B =, C = Calcule las matriz 1/2A + 1/3B - (A C ) si A =, B =, C = Un fabricante de camisetas tiene la siguiente producción ( en cientos de piezas ) en sus fabrica de: ZONA INDUSTRIAL , BELENES Determine la matriz de la producción total en las dos plantas Si la producción de Zona Industrial se incrementa un 50% y un 25% en los Belenes, calcule la nueva matriz que represente el total de ambas plantas. 10. Hay tres tiendas de abarrotes en Gambier. Esta semana, la tienda I vendió 88 paquetes de pan, 48 cuartos de leche, 16 tarros de crema de maní y 112 libras de carnes frías. La tienda II vendió 105 paquetes de pan, 72 cuartos de leche, 21 tarros de crema de maní y 147 libras de carnes frías. La tienda III vendió 60 paquetes de pan, 40 cuartos de leche, nada de crema de maní y 50 libras de carnes frías. Use una matriz de 3 X 4 para expresar la información sobre las ventas de las tres tiendas. Durante la siguiente semana, las ventas de esos productos en la tienda 1 se incrementaron 25%; las ventas en la tienda II se incrementaron en 1/3 y las ventas en la tienda III se incrementaron 10%. Escriba la matriz de ventas para esa semana. Escriba una matriz que represente las ventas totales en el periodo de las dos semanas. 11. Una compañía de juguetes tiene plantas en Boston, Chicago y Seattle que fabrican cohetes y robots de juguete. La siguiente tabla da los costos de producción (en dólares) para cada artículo en la planta de Boston: Cohetes Robots Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 38

39 Material Mano de obra En Chicago, un cohete cuesta $4.05 por materiales $3.27 por mano de obra; un robot cuesta $7.1 por materiales y $3.51 por mano de obra. En Seattle, los costos materiales son de $4.40 para los cohetes y de $6.90 los robots; los costos de mano de obra son de $3.54 para los cohetes y de $3.76 para los robots. Escriba las matrices de costos de producción para Chicago y Seattle Suponga que cada planta hace el mismo número de cada artículo. Escriba una matriz que exprese los costos promedio de producción para las tres plantas. Suponga que los costos de mano de obra se incrementan en $0.11 por artículo en Chicago y los costos por material se incrementan ahí en $0.37 para un cohete y $ 0.42 para un robot. Cuál es la nueva matriz de costos producción para Chicago? Después de los incrementos en costo en Chicago, la planta de Boston cierra y la producción se divide en partes iguales entre las otras dos plantas. Cuál es la matriz que ahora expresa los costos promedio de producción para todo el país? DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3 Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene: En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos: Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 39

40 EJERCICIOS Calcule la determinante y resuelva la matriz A. (3/2)X+(2/3)Y=1 B. (1/2)X+(1/4)Y=(1/8) (2/3)X-(3/2)Y=0 (1/3)X-(1/5)Y=(1/5) Ing. Emma Yadira Tejeda Corrales Página 40

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

Ejercicios Matemáticas I

Ejercicios Matemáticas I Ejercicios Matemáticas I Profr. Fausto Cervantes Ortiz Coordenadas cartesianas 1. Grafique los puntos siguientes: (2, 5); ( 1, 4); (0, 2); ( 3, 2); (5, 0) Identifique cada punto con sus coordenadas. 2.

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

FUNCION LINEAL. TEOREMA: Toda recta en el plano coordenado es la gráfica de una ecuación de primer grado en dos variables

FUNCION LINEAL. TEOREMA: Toda recta en el plano coordenado es la gráfica de una ecuación de primer grado en dos variables FUNCION LINEAL TEOREMA: Toda recta en el plano coordenado es la gráfica de una ecuación de primer grado en dos variables Toda ecuación de primer grado suele designarse como una ecuación lineal. Toda ecuación

Más detalles

GUIA DE EJERCICIOS. d) 12x - 9y + 2 = 0 e) 2x+ y - 6 = 0

GUIA DE EJERCICIOS. d) 12x - 9y + 2 = 0 e) 2x+ y - 6 = 0 ECUACIÓN DE LA RECTA Y PENDIENTE GUIA DE EJERCICIOS ) Encontrar la pendiente de la recta determinada por cada uno de los guientes pares de números: a) (, ) y (5, ) b) (, -3) y (-, ) c) (, 6) y (8, 56)

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

Guía de Ejercicios. Matemática 11

Guía de Ejercicios. Matemática 11 Guía de Ejercicios Matemática 11 Matemática 11 Resolver: 1) 5 + 3x 31 3x 5) 3(2x 1) > 4+5(x 1) 6) x + 4 3 > 2x 3 +1 4 1 7) 4 (2x 1) x

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx.

La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx. Conceptos de derivada y de diferencial Roberto C. Redondo Melchor, Norberto Redondo Melchor, Félix Redondo Quintela 1 Universidad de Salamanca 18 de agosto de 2012 v1.3: 17 de septiembre de 2012 Aunque

Más detalles

Unidad 7 Aplicación de máximos y mínimos

Unidad 7 Aplicación de máximos y mínimos Unidad 7 Aplicación de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Interpretará el concepto de ingreso y costos marginal. Aplicará la función de ingresos en problemas de maimización. Aplicará

Más detalles

CAPÍTULO VI. Funciones

CAPÍTULO VI. Funciones CAPÍTULO VI Funciones FUNCIONES 1. Indicar si las siguientes expresiones son o no funciones indicando razonadamente por qué. ( ) a) f : Z N : x x 2 + 1 b) f : Z R : x 1 x 2 c) La recta que pasa por los

Más detalles

Unidad 16. Depreciación

Unidad 16. Depreciación Unidad 16 Depreciación INTRODUCCIÓN Desde el momento mismo en que se adquiere un bien, éste empieza a perder valor. Esta pérdida de valor es conocida como depreciación. La depreciación se define como la

Más detalles

TEMA 6 FUNCIONES. María Juan Pablo Julia Manuel Ángela Enrique Alejandro Carmen

TEMA 6 FUNCIONES. María Juan Pablo Julia Manuel Ángela Enrique Alejandro Carmen TEMA 6 FUNCIONES 1.- Estudia y clasifica las relaciones que aparecen en las siguientes situaciones (elementos relacionados, características de la relación, dependencia entre elementos, conjuntos que se

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en fuerte Leonardo Da Vinci TRASLACION DE

Más detalles

Funciones y gráficas (1)

Funciones y gráficas (1) Funciones y gráficas (1) Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente.

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente. 3 Ecuaciones 17 3 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen ligados, mediante operaciones algebraicas, números y letras Las letras que aparecen en una ecuación se llaman incógnitas Existen

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Unidad 1 Modelos de programación lineal

Unidad 1 Modelos de programación lineal Unidad 1 Modelos de programación lineal La programación lineal comenzó a utilizarse prácticamente en 1950 para resolver problemas en los que había que optimizar el uso de recursos escasos. Fueron de los

Más detalles

ECUACION DE DEMANDA. El siguiente ejemplo ilustra como se puede estimar la ecuación de demanda cuando se supone que es lineal.

ECUACION DE DEMANDA. El siguiente ejemplo ilustra como se puede estimar la ecuación de demanda cuando se supone que es lineal. ECUACION DE DEMANDA La ecuación de demanda es una ecuación que expresa la relación que existe entre q y p, donde q es la cantidad de artículos que los consumidores están dispuestos a comprar a un precio

Más detalles

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA . NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA CONTENIDO Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas Coordenadas cartesianas de un punto Distancia entre dos

Más detalles

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-)

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) CÁLCULO MATEMÁTICO BÁSICO LOS NUMEROS ENTEROS Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) Si un número aparece entre barras /5/, significa que su

Más detalles

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cartesianas Matemáticas del día a día 1 Coordenadas cartesianas Un punto se representa en los planos o mapas con dos valores ordenados. Estos valores, normalmente, son dos números pero también pueden ser dos letras

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

DEPARTAMENTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS COMISIÓN ANDRAGÓGICA AÑO 2011 GUÍA PARA ASESORAR

DEPARTAMENTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS COMISIÓN ANDRAGÓGICA AÑO 2011 GUÍA PARA ASESORAR DEPARTAMENTO DE SERVICIOS EDUCATIVOS COMISIÓN ANDRAGÓGICA AÑO 2011 GUÍA PARA ASESORAR a las personas jóvenes y adultas que requieren presentar el examen de OPERACIONES AVANZADAS 1 NÚMEROS CON SIGNO. Los

Más detalles

4. Se considera la función f(x) =. Se pide:

4. Se considera la función f(x) =. Se pide: Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros. Lo invertido en las acciones

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

Recuerdas qué es? Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción.

Recuerdas qué es? Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción. Recuerdas qué es? Coordenadas de un punto Un punto del plano viene definido por un par ordenado de números. La primera coordenada es la abscisa del punto, la segunda coordenada es la ordenada del punto.

Más detalles

ANÁLISIS DE CORRELACIÓN EMPLEANDO EXCEL Y GRAPH

ANÁLISIS DE CORRELACIÓN EMPLEANDO EXCEL Y GRAPH ANÁLISIS DE CORRELACIÓN EMPLEANDO EXCEL Y GRAPH Cuando se estudian en forma conjunta dos características (variables estadísticas) de una población o muestra, se dice que estamos analizando una variable

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES Mucos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

BLOQUE III Funciones y gráficas

BLOQUE III Funciones y gráficas BLOQUE III Funciones y gráficas. Características globales de las funciones 9. Rectas e hipérbolas 0. Función cuadrática Características globales de las funciones. Funciones Considera los rectángulos con

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

coordenadas (x,y) en el plano. Producto de matrices. Sean las dos matrices A = (a ij ) m n B = (b ij ) p q

coordenadas (x,y) en el plano. Producto de matrices. Sean las dos matrices A = (a ij ) m n B = (b ij ) p q APLICACIONES DE LAS MATRICES El presente estudio se originó como respuesta a la ayuda que me pidió mi nieto mayor, de 7 años, mientras hacía su curso en un colegio de Brisbane, Australia, a la fecha de

Más detalles

Matemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8

Matemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 Matemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento y 1 gramo del segundo; un kilo

Más detalles

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O.

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O. Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar L. F. Reséndis O. 2 Contents 1 Números reales L.F. Reséndis O. 5 1.1 Números racionales e irracionales.l.f. Reséndis O............ 5

Más detalles

Solución Actividades Tema 4 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y CIRCULARES. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA.

Solución Actividades Tema 4 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y CIRCULARES. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA. Solución Actividades Tema 4 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y CIRCULARES. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA. Actividades Unidad 4. Nos encontramos en el interior de un tren esperando a que comience el viaje. Por la

Más detalles

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos A una función p se le llama polinomio si: p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1x + a 0 Donde un entero no negativo y los números a 0, a 1, a 2,

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente

Más detalles

Transformación de gráfica de funciones

Transformación de gráfica de funciones Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7

a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 1 = x + x 6 = c) x 9x + = d) x 6x 7 = = a) x = 1 y x = 1 x = 3 y x = c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a)

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 111

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 111 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 111 página 112 ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON DOS INCÓGNITAS CONCEPTO Se dijo en la página 79 que se requieren tantas ecuaciones como incógnitas se tengan para que

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

Una fórmula para la pendiente

Una fórmula para la pendiente LECCIÓN CONDENSADA 5.1 Una fórmula para la pendiente En esta lección aprenderás cómo calcular la pendiente de una recta dados dos puntos de la recta determinarás si un punto se encuentra en la misma recta

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b

Profr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b La función lineal Una función polinomial de grado uno tiene la forma: y = a 0 + a 1 x El semestre pasado estudiamos la ecuación de la recta. y = m x + b En la notación de funciones polinomiales, el coeficiente

Más detalles

4 INECUACIONES Y SISTEMAS

4 INECUACIONES Y SISTEMAS 4 INECUACINES SISTEMAS EJERCICIS PRPUESTS 4. Escribe las siguientes informaciones utilizando desigualdades. a) He sacado, por lo menos, un 7 en el examen. b) Tengo tarifa plana de ADSL de ocho de la mañana

Más detalles

Funciones elementales

Funciones elementales 10 Funciones elementales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer y distinguir algunas de las funciones más habituales. Utilizar algunas funciones no lineales: cuadráticas, de proporcionalidad

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Capítulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias,

Más detalles

Curso de Matemática Básica. Acción Emprendedora USA

Curso de Matemática Básica. Acción Emprendedora USA Curso de Matemática Básica Acción Emprendedora USA Curso de preparación para el Emprendedor ACCION EMPRENDEDORA - USA BIENVENIDOS al curso de Matemáticas básicas para el micro emprendedor de Acción Emprendedora

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta.

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Desigualdades 1.1. Introducción. Intervalos Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. 1 0 1 5 3 Sean a y b números y supongamos que

Más detalles

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y UNIDAD I. FUNCIONES POLINOMIALES Conceptos clave: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos. 1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

Más detalles

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia

Más detalles

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2. PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.

Más detalles

Primeras Nueve Semanas Extienda el dominio de funciones trigonométricas usando la unidad circulo F-TF.3 F-TF.4

Primeras Nueve Semanas Extienda el dominio de funciones trigonométricas usando la unidad circulo F-TF.3 F-TF.4 Primeras Nueve Semanas Extienda el dominio de funciones trigonométricas usando la unidad circulo F-TF.3 (+) Use triángulos especiales para determinar geométricamente los valores de seno, coseno, tangente

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

Funciones Reales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Real 1 Capítulo 6 Funciones Reales de Variable Real M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades: DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)

Más detalles

Materiales y energía = 1000 litros x $20/litro = ($20,000) Sueldos = fijos = ($10,000) Alquiler = fijo = ($ 5,000)

Materiales y energía = 1000 litros x $20/litro = ($20,000) Sueldos = fijos = ($10,000) Alquiler = fijo = ($ 5,000) Evaluación de Proyectos FI UBA: Análisis Marginal Ing. Roger Cohen Qué es y para qué se usa el Análisis Marginal El análisis marginal estudia el aporte de cada producto/servicio/cliente a las utilidades

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero ACTIVIDADES DE LOS TEMAS 11 Y 12

Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero ACTIVIDADES DE LOS TEMAS 11 Y 12 Colegio La Inmaculada Misioneras Seculares de Jesús Obrero Matemáticas 4º E.S.O. ACTIVIDADES DE LOS TEMAS Y. Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: y = - ; b) y = ; c) y = +. Representa

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

58 EJERCICIOS DE FUNCIONES. La función que a cada número le asocia su doble La función que a cada número le asocia su triple más 5

58 EJERCICIOS DE FUNCIONES. La función que a cada número le asocia su doble La función que a cada número le asocia su triple más 5 58 EJERCICIOS DE FUNCIONES FUNCIONES y GRÁFICAS. Construir una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones: a) y=3+ b) f()= c) y= -4 d) f(). Completar la siguiente tabla (obsérvese el primer

Más detalles

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta.

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta. año secundario Función Lineal Se llama función lineal porque la potencia de la x es. Su gráfico es una recta. Y en general decimos que es de la forma : f(x)= a. x + b donde a y b son constantes, a recibe

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Repaso de todo. Con solución

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Repaso de todo. Con solución Repaso de todo Con solución Gauss, matrices, programación lineal, límites, continuidad, asíntotas, cálculo de derivadas. Problema 1: En una confiteria se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados,

Más detalles

Proyectos de inversión. Economía de la Empresa (ISS)

Proyectos de inversión. Economía de la Empresa (ISS) Proyectos de inversión Economía de la Empresa (ISS) 1 Categorías de Flujo de Efectivo El flujo de caja flujos suelen contener las siguientes categorías de flujo de caja. Estas categorías se describen para

Más detalles

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA... 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES...

Más detalles

1-1 Un plan para resolver problemas

1-1 Un plan para resolver problemas A NOMRE FECHA PERÍODO 1-1 Un plan para resolver problemas (páginas 6 10) Puedes usar un plan de cuatro pasos para resolver problemas. Explora Planifica Resuelve Examina Determina la información que se

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de primer y segundo grado Igualdad Ecuaciones de primer y segundo grado Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2.

Más detalles

Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos

Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos 1 Escritura de ecuaciones de problemas de algebraicos Herbert Mendía A. 2011-10-12 www.cimacien.org.gt Conocimientos previos necesarios Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Jerarquía

Más detalles

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1 Página 3 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: 3 x a) y = y = x + x (x ) c) y = d) y = e) y = x + x + 3 5x x f) y = x x

Más detalles

CUADERNO Nº 10 NOMBRE: FECHA: / / Funciones lineales

CUADERNO Nº 10 NOMBRE: FECHA: / / Funciones lineales Funciones lineales Contenidos 1. Función de proporcionalidad directa Definición Representación gráfica 2. Función afín Definición Representación gráfica 3. Ecuación de la recta Forma punto-pendiente Recta

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

FUNCIONES LINEALES I NO LINEALES. APLICACIONES Depreciación en línea recta.

FUNCIONES LINEALES I NO LINEALES. APLICACIONES Depreciación en línea recta. FUNCIONES LINEALES I NO LINEALES. APLICACIONES Depreciación en línea recta. Muchas veces las organizaciones adquieren equipos, vehículos, casas, etc., entonces los contadores por lo general asignan el

Más detalles

Función de producción

Función de producción Conceptos básicos de microeconomía de la empresa. Función de producción Autor: Lic. Florencia Montilla Julio de 2007 Función de producción La función de producción es la relación que existe entre el producto

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. a) 9 500 b) 3 c) 2 d) 20 e) 25

EJERCICIOS PROPUESTOS. a) 9 500 b) 3 c) 2 d) 20 e) 25 2 NÚMEROS ENTEROS EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1 Expresa con un número entero las siguientes informaciones. a) El avión está volando a 9 500 metros de altura. b) La temperatura mínima de ayer fue de 3 C bajo

Más detalles

8Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 170

8Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 170 PÁGINA 70 Pág. P RACTICA Representación de rectas Representa las rectas siguientes: a) y b) y c) y d) y c) b) a) d) Representa estas rectas: c) a) y 0,6 b) y c) y, d) y d) a) b) Representa las rectas siguientes,

Más detalles

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas Bloque Números 1 Resuelve: a. Si tomas como valor de 11. 1 la aproximación. 1, qué errores absoluto y relativo has cometido?. Solución: 0. 000; 0. 0%

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

Capítulo V APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A LA ADMINISTRACIÓN

Capítulo V APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A LA ADMINISTRACIÓN Capítulo V APLICACIOES DE LAS FUCIOES A LA ADMIISTRACIÓ 5.1 ITRODUCCIÓ: Muchos problemas relacionados con la administración, la economía y las ciencias afines, además de la vida real, requieren la utilización

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS 1.- Magnitudes Absolutas y Relativas: Se denomina magnitud a todo lo que se puede medir cuantitativamente. Ejemplo: peso de un cuerpo, longitud de una cuerda, capacidad de un recipiente, el tiempo que

Más detalles

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS PRIMER CONGRESO DE CIENCIAS BÁSICAS

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS PRIMER CONGRESO DE CIENCIAS BÁSICAS INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS PRIMER CONGRESO DE CIENCIAS BÁSICAS LA ENSEÑANZA Y APLICACIÓN DE LAS CIENCIAS BÁSICAS Bosquejo de funciones con apoyo de calculadoras graficadoras

Más detalles