Electromagnetismo. es nula. Encuentre el campo eléctrico en todo el espacio.

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1 Electromgnetismo olución Prueb 1 de Cátedr Profesor: José ogn C. 17 de Abril del 24 Ayudntes: Pmel Men. Felipe Asenjo Z. 1. Un distribución de crg esféricmente simétric de rdio tiene un densidd interior de crg dd por ρ =, donde es un constnte. Pr r > l densidd r es nul. Encuentre el cmpo eléctrico en todo el espcio. olución: Dd l simetrí del problem postulmos un cmpo en l dirección rdil, i.e. E( r = E(rˆr. Eligimos un superficie de Guss esféric, primero con rdio > y luego con rdio <. Cso r >, l norml de l superficie esféric de Guss es ˆr luego si plntemos l Ley de Guss, tenemos E d = 4π ρdv V = E(rˆr ˆrd = 4π r 4πr2 dr E(r d = 16π 2 r dr ( E(r4πr 2 = 16π 2 1 E(r = 2π2, r >. (1 r 2 Ahor consideremos el cso r <, nuevmente l norml de l superficie esféric es ˆr. L ley de Guss en este cso E d = 4π ρdv V = r E(rˆr ˆrd = 4π r 4πr 2 dr r E(r d = 16π 2 r dr ( r 1 E(r4πr 2 = 16π 2 resumiendo los resultdos 2 r2 2 r 2 E(r = 2π, r <. (2 2π 2 ˆr r > E( r = r 2 2πˆr r < (3

2 b Considere tres crgs puntules sobre el eje x, q en x =, 2q en el origen (x = y q en x =. i Clcule el cmpo eléctrico en todo el plno xy. ii Clcule el potencil eléctrico. iii Demuestre que el cmpo eléctrico en un punto distnte P (y lo lrgo del eje y, está ddo por: E(y = 3q2 y 4 ŷ. olución: Clculemos primero el potencil eléctrico sobre todo el plno debido ls tres crgs. ϕ(x, y = q (x y 2 + 2q x2 + y 2 + q (x 2 + y 2. (4 Clculemos ls dos componentes del cmpo eléctrico E x = ϕ x = q(x + [(x y 2 ] + 2qx 3/2 [x 2 + y 2 ] + q(x (5 3/2 [(x 2 + y 2 ] 3/2 E y = ϕ y = qy [(x y 2 ] 3/2 + 2qy [x 2 + y 2 ] + qy (6 3/2 [(x 2 + y 2 ] 3/2 Nos restringimos l eje y, es decir x =. Ls componentes del cmpo quedn: E x = E y = q [ 2 + y 2 ] q = (7 3/2 [ 2 + y 2 3/2 ] [ ] qy 2qy [ 2 + y 2 3/2 ] y + qy 2q 1 = 3 [ 2 + y 2 3/2 ] y 2 (1 + (/y 2 1 (8 3/2 En el cso y >>, es decir, /y 1 podemos usr el desrrollo en serie hst priemr orden (1 + x n 1 + nx +... luego Usndo esto en (8 tenemos cundo y >>. 2 1 (1 + (/y /2 2 y, (9 2 E(y = 2q y y 2 = 3q2 y 4 ŷ, (1

3 2. e tiene un plto que corresponde un trozo de cáscr esféric de rdio. El plto tiene un densidd de crg superficil σ, tl que el ángulo formdo por el borde del plto y el eje de simetrí donde éste se encuentr, vle α. Ver figur 1. α σ Figur 1: Cscrón esférico. i Clcule el cmpo eléctrico en el centro de curvtur. ii Clcule el potencil eléctrico en el mismo punto que el cso nterior. iii Considere el cso cundo α π y evlúe el cmpo y el potencil eléctricos, comente. olución: Por simetrí sólo hbr cmpo sobre el eje, llmemoslo z, luego debemos considerr sólo l proyección sobre el eje, es decir E z = = 2πσ dq cos(π θ = 2 π Evluemos el potencil dq ϕ = = 2π π σ 2 sen θdθdφ 2 sen θ cos θ dθ = πσ cos 2 θ π cos θ = πσ(1 cos 2 (π α = πσ(1 cos 2 α = πσ sen 2 α. (11 = 2πσ 2π π π σ 2 sen θdθdφ sen θ dθ = 2πσ cos θ π = 2πσ( 1 cos(π α = 2πσ(1 cos α. (12 i α π tenemos que el cmpo es nulo en el interior de un cscrón esférico, este resultdo es conocido. El potencil tom un vlor constnte ϕ = 4πσ si usmos que l densidd superficil es uniforme y l esfer complet tiene crg Q entonces σ = Q/4π 2 reemplzndo en el potencil ϕ = Q/ el cul tmbien es un resultdo conocido de un esfer con crg Q y rdio.

4 b Un lmbre de longitud finit, que tiene un densidd de crg linel uniforme λ, se dobl en l form indicd en l figur 2. Encuentre el potencil eléctrico en el punto O. 2 2 olución: Figur 2: Almbre dobldo. El potencil en O lo podemos escribir como ϕ O = 3 λdx π x + λdθ 3 + λdx x, (13 integrndo ϕ O = λ log(x + λπ + λ log( + x 3 ( ( 3 = λ log + λπ + λ log 3 = λ log 3 + λπ + λ log 3 = λ(2 log 3 + π (14 3,

5 3. Considere dos conductores esféricos concéntricos, uno sólido de rdio, conectdo tierr (V (r = =, y el otro, que consiste en un cscrón de rdio interior b y exterior c, sobre el cul se h depositdo un crg Q. Clcule l crg inducid sobre l esfer interior y el cmpo eléctrico en todo el espcio. Ver figur 3. c b Figur 3: Conductores esféricos concéntricos. Hint: Podrí ser útil, pr este problem, clculr el potencil en r =. olución: L crg en el conductro externo se sepr en un crg sobre l superficie extern Q e un crg sobre l superficie intern Q i tl que Q e + Q i = Q demás induce l superficie intern un crg Q i sobre l esfer interior. i clculmos el cmpo en todo el espcio Q e r > c r 2 E(r = b < r < c Q i < r < b r 2 (15 Clculemos l diferenci de potencil entre l superficie r = y r ϕ(r = ϕ(r = = = c E d s Q b e ˆr ( ˆr( dr E d s r2 c b = Q e c + Q i Q i b = Q e c + Q i Q i b Pero tnto en r = como en r = el potencil es nulo, luego Q i ˆr ( ˆr( dr r2 (16

6 ϕ(r = ϕ(r = = Q Q i c = Q c + Q i + Q i Q i ( b 1 c b ( 1 Q i b 1 1 = Q c c ( c bc b Q i = Q b ( b Q i = Q c bc b (17 El siguiente desrrollo en serie le será útil: ( + x n n + n n 1 x + n(n 1 n 2 x ! Tiempo Máximo: 3.5 hrs.

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