FUNCIONES. gx ()= Im(g)=R Dom(g)=R-{-2,2}

Transcripción

1 FUNCIONES Definición: Sea D un subconjunto no vacío de R, es decir D R. Se llama función real de variable real a toda aplicación f de D en R, y se degna por fd : R a f() Intuitivamente, una función real de variable real agna a cada elemento,, de D un elemento,y, de R, y sólo uno. - El subconjunto D se llama dominio de definición o campo de eistencia de la función f. Se degna por Dom(f). - Al número D se le llama variable independiente. Su dominio de definición es precisamente D. - Al número y R asociado por f al número, se le llama variable dependiente. Es evidente que y depende de, de ahí su nombre. Por eso, también se degna la imagen de por f(), es decir, y=f(). - Se llama recorrido de una función, al conjunto de las imágenes de la variable independiente, es decir, al conjunto de los valores de R que tienen por original al menos un elemento de D. Se degna por f(d) o Im(f). Ejemplos: f()= Im(f)=R + Dom(f)=R g ()= Im(g)=R Dom(g)=R-{-,} 4 h ()= 4 Im(h)=R+ Dom(h)=R-(-,) Representación gráfica Sea f:d R una función. Se llama grafo de la función f y se degna por Gf al subconjunto de DR dado por Gf={ (,f()) / D}. Conderando en el plano afín el stema de referencia canónico, la figura del plano afín determinada por los puntos correspondientes a los elementos del grafo, recibe el nombre de gráfica de la función. Ejemplo: f()= donde Dom(f)=R-{} y (,f()) -6 - (-6,-) -3 - (-3,-) - -3 (-,-3) - -6 (-,-6) 6 (,6) 3 (,3) 3 (3,) 6 (6,) 4 g() = 3 <

2 Adición de funciones Sean f y g dos funciones cuyos dominios son D y D respectivamente. Se llama suma de las funciones f y g, y se degna por f+g, a la función cuyo dominio es D D tal que (f+g)()=f()+g(). Ejercicio: Si f()=+ y g()=--. Representar gráficamente las funciones f,g y f+g. Propiedades: - No empre está definida la función suma, pues en el caso en que D D= no eiste dominio para la suma. - Asociativa: f+(g+h)=(f+g)+h - Conmutativa: f+g=g+f - E. Neutro: la función cero, f()= R. - E. Opuesto: La función opuesta de f() es (-f)()=-f(). Producto de funciones Si f:d R y g:d R son dos funciones, se llama producto de f y g, y se degna por fg, a la función: fg:d D R tal que fg()=f()g(). Es evidente que D D para que eista el producto. Propiedades: - Asociativa: f(gh)=(fg)h - Conmutativa: fg=gf - E. neutro: Función unidad, f()= R. - E. inverso: la función inversa de f() es f () - Distributiva: f(g+h)=fg+fh f() D. Ante estas propiedades el conjunto de las funciones definidas en un dominio D con las operaciones anteriores, (F(D,R),+, ) es un anillo conmutativo y unitario. Producto de un número por una función Sea f:d R una función real y a R. Se llama producto de a por f, y se degna por af, a la función af:d R donde (af)()=af(). Propiedades: - (a+b)f=af+bf - a(f+g)=af+ag - a(bf)=(ab)f - f=f Con estas propiedades, el conjunto de las funciones reales definidas en D (F(D,R),+, R) es un espacio vectorial.

3 Compoción de funciones Conderemos las funciones f()=+ y g()=. A partir de estas dos funciones vamos obtener otra, tal como se indica en las guientes tablas, que va a ser la función compuesta de f con g. f() g(f() g(f() Nótese que g actúa sobre las imágenes de f según el esquema guiente: f() g(f() g f La función obtenida por la aplicación suceva de f y g, se representa por gof ( se lee f compuesta con g). Por tanto (gof)()=g[f()] En el ejemplo anterior: (gof)()=g[f()]=g(+)=(+) Si Dom(f)=D y Dom(g)=D, puede ocurrir que algún valor de f() no esté en el dominio D de g y entonces g no puede actuar sobre él. Entonces el dominio de gof es D menos los valores tales que f() D, según se puede apreciar en el guiente esquema: f f(') ' D D f() g g(f() R En general será Dom(gof) Dom(f) f(d ) (Dom(gof)=Dom(f) cuando Im(f) Dom(g)) Ejemplo:f()=+ g()= : hallar los dominios de fog y gof: 4 3 (fog)()=f[g()]= f = + = Dom(fog)=R-{-,}=Dom(g) (gof)()=g[f()]=g(+)= = Dom(gof)=R-{-3,} Dom(f)=R ( + ) 4 ( + 3)( ) Descompoción de funciones Es el proceso inverso a la compoción. Conste en encontrar dos o más funciones de manera que componiéndolas en un orden adecuado resulte la función que se quiere descomponer. Por ejemplo, la función f( ) = sen ( + ) se puede descomponer como f=rosotoh donde h()=+; t()= ; s()=sen y r()=. O también como f=nom donde n()= + y m()=sen (). 3

4 Propiedades de la compoción Asociativa: ho(gof)=(hog)of No es conmutativa en general: contra ejemplo f()=+3 y g()=. fog gof Función identidad: es una función I tal que I()=, es decir, cada número real se transforma en sí mismo. Se cumple que Iof=foI en el dominio D de f. Función recíproca Sea f una función de D en R; f es inyectiva (es decir, la imagen de un número,y, proviene de un único número, ) eiste la aplicación recíproca de f(d) en D. Esta aplicación recíproca recibe el nombre de función recíproca de f, y se representa por f -. f - (y)= f()=y f f - f()=y D f(d) Ejemplo: Hallar la función recíproca, eiste, de f()=+5 a) es inyectiva: f()=f(') +5='+5 =' =' b) el recorrido de f es R, luego el dominio de f- es R. c) f - y (y)= y=f() y=+5 = 5 f - (y)= y 5 y redefiniendo a las variables queda f - ()= 5 Propiedades - Si f y f - son recíprocas y D=dom(f) entonces, fof - =I en f(d) y f - of=i en D. y=f()=+5 y= 5 5 y= -5 =f - () - Las gráficas de las funciones f y f - son métricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. Funciones métricas Una función f, es métrica respecto del origen cuando para todo del dominio D se tiene que - también es del dominio y f(-)=-f() Las funciones métricas respecto del origen se llaman funciones impares. Ejemplos: f()= ( f ( ) = = = f ( )) g()=3 + h() = = 4

5 Una función f, es métrica respecto del eje y cuando para todo del dominio D se tiene que - también es del dominio y f(-)=f() Las funciones métricas respecto del eje y se llaman funciones pares. Ejemplos: f()= (f(-)=(-) = =f()) g ()= ; h()= ; r()= - 4 Funciones monótonas Sea f:d R una función. Se dice que f es: creciente en D eiste un entorno < f () f ( ) y < f ( ) f () estrictamente creciente en D reducido E * (, h) < f () < f ( ) y < f ( ) < f () decreciente en D tal que para todo < f () f ( ) y < f ( ) f () estrictamente decreciente en D de dicho entorno < f () > f ( ) y < f ( ) > f () f () f ( ) f () f ( ) > Esta definición es equivalente a: f () f ( ) f () f ( ) < Ejemplos: f()= 5 es estrictamente creciente en = ya que: f () f 5 ( ) 4 = = > g()= es estrictamente decreciente en todo punto pues: g () g ( ) = = = < para todo entorno que no contenga al cero ( ) Una función f:d R es: f (') f () creciente < ' f () f (') ' en un conjunto A estrictamente creciente < ' f () < f (') de D, para todo f (') f () > decreciente < ' f () f ('), ' de A, se verifica ' estrictamente decreciente < ' f () > f (') f (') f () ' Ejemplos: f()= es estrictamente creciente en R + f (') f () y estrictamente < ' decreciente en R- f (' ) f () ' (' + )(' ) = = = ' + ' ' (' ) que es (>) en R + y (<) en R-. g()= 3 es estrictamente creciente en todo R. 3 3 g ( ') g ( ) ' ( ' )( ' + ' + ) = = = ' + ' + > ' ' ' 5

6 Funciones acotadas Sea f:d R una función: - Se dice que f está acotada superiormente en D, eiste un número real K tal que f() K D. - Se dice que f está acotada inferiormente en D, eiste un número real K' tal que f() K' D. - Se dice que f está acotada lo está superior e inferiormente, es decir, eisten dos números K y K' tales que K' f() K D. Los números K y K' se llaman cota superior y cota inferior respectivamente. - Si una función está acotada, eiste un número real M tal que f() M D. Etremos Sea f una función de D en R acotada. Se llama: Etremo superior de f al mínimo de las cotas superiores. Etremo inferior de f al máimo de las cotas inferiores. Máimos y mínimos Sea f:d R una función y D. Se dice que f tiene en un: máimo relativo en las proimidades de, todo cumple f() < f( ). mínimo relativo " " " " " " " " " f() > f( ). Estudio de distintos tipos de funciones Función polinómica ( f()=a +a +a +...+a n n ) La forma general es f()=a +a +a +...+a n n donde el monomio principal a n n indica el comportamiento de la función en ±. (Sólo hay que recordar que un número negatrivo elevado a eponente par da resultado potivo y elevado a eponente impar da resultado negativo) Así por ejemplo, f()= tiende a - + y tiende a + -. El término independiente es la ordenada en el origen (,a ), punto por el que pasa la gráfica cuando corta al eje y. El grado menos, (n-), indica el número máimo de picos (máimos o mínimos relativos) que tiene la gráfica. y= 4-3 y=

7 Función potencial ( y=a n n ) Veamos las gráficas para a n =: y= y= y= / y= /3 y= 3 casos: (n>) Si n es par, la gráfica empre es potiva y métrica respecto del eje y Si n es impar, la gráfica es potiva sobre el eje potivo y negativa sobre el eje negativo. Es métrica respecto del origen. (<n<) Si el índice de la raíz es impar, el dominio es todo el eje. Si el índice es par, el dominio es el eje potivo. p() Funciones racionales f()= q() Son funciones cuya ecuación vien epresada como cociente de dos polinomios p() y q(). Su dominio es R menos los puntos que anulas al denominador Ejemplo: y = cuyo dominio es R-{} 3 c Un caso particular es la hipérbola equilátera f () = (c R) que epresa una relación de proporcionalidad inversa entre e y. Cuando una variable crece, la otra disminuye según la proporción c. 4 Ejemplos: y=4/ ; y=-4/ ; y = ; y = + ; y = 3 + 7

8 Funciones definidas a trozos Son funciones a las que no corresponde una única epreón matemática para todo su dominio. En su definición se especifica el dominio de cada epreón fincional. Ejemplos: función valor absoluto: f()= = < función gno: f()=g()= < = > función parte entera: f()=e() 8

9 Función eponencial ( y=k a con k> y a> ) Es una función continua con dominio en todo el eje. Es empre potiva. La ordenada en el origen es (.k). Es creciente o decreciente dependiendo de a. a> <a< Una forma muy utilizada de función eponencial es y=k e λ donde λ es la tasa de crecimiento de una población. Igualando su epreón con la epreón general, se tiene ( =) e λ =a y así: λ> a> λ=/ λ< <a< λ= λ=e λ λ=/5 Operaciones con potencias: a m a n = a m+n a = m a = a m a m : a n = a m-n a = a (A B) m = A m B m (a m ) n = a mn (A / B) m = A m / B m 9

10 Función logarítmica ( y=log a con a>) Es una función continua con dominio en el eje potivo, (,+ ) El crecimiento depende de a. (base del logaritmo). a> <a< La función logarítmica y=log a y la función eponencial y=a son inversas una de la otra. Sus gráficas son métricas respecto de la bisectriz del er cuadrante. y=a y= y=log a y= / Propiedades de los logaritmos log a = a = ( a=e, el logaritmo se llama neperiano, L, ln ) log a (A B)= log a A + log a B log a (A/B)= log a A - log a B log a (A n )= n log a A logb cambio de base: loga = logb a

11 Funciones circulares y funciones periódicas Conderemos la circunferencia de radio y tomemos como dominio de las funciones circulares los diferentes ángulos medidos en radianes que se pueden tomar en dicha circunferencia. Recordemos también la interpretación geométrica de las razones trigonométricas. π/ π cos α sen α 3π/ Función periódica de periodo π Se dice que f() es una función periódica de periodo T se cumple f(+t)=f(). Por ejemplo, la función f()=sen(3). El periodo T es tal que f(+t)=sen(3(+t)) será igual a f()=sen(3), es decir: sen(3+3t)=sen(3). Función periódica de periodo π Como sabemos que sen(3)=sen(3+π), entonces igualando nos queda 3+3T=3+π, de donde 3T=π y así T= 3 π Luego f()=sen(3) es periódica de π 3 periodo Función periódica de periodo π

12 Funciones trasladadas La traslación de funciones da lugar a otras muchas que pueden obtenerse fácilmente a partir de la primera. En el guiente esquema, se muestran las principales traslaciones. Si a la variable independiente se le suma un número potivo, la gráfica se traslada hacia la izquierda una longitud igual a dicho número. Y se le suma una cantidad negativa el desplazamiento es hacia la derecha. Si al a función, (a la epreón completa) se le suma una cantidad potiva, la gráfica se desplaza hacia arriba, y se le suma una cantidad negativa la gráfica se desplaza hacia abajo. f(+)- f()+ f(-)+ f(+) f() f(-) f(+)- f()- f(-)- En general, el vector de traslación es u r =(a,b), la función trasladada de f() es f(-a)+b Función original Vector de traslación Función trasladada f() u r =(a,b) f(-a)+b