Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

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1 Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Andrés Iturriaga J. Departamento de Ingeniería Matemática Universidad de Chile Primavera 211 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

2 Contenidos 1 Introducción y Resolución Via Transformada de Laplace 2 Existencia y Unicidad 3 Estructura de las Soluciones 4 Resolución de Sistemas Lineales Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

3 Definiciones Definición El espacio C n (I) m = C n (I) C n (I) }{{} m veces está conformado por los vectores de m funciones n veces continuamente derivables en el intervalo I. De manera análoga, C n (I) m k son las matrices de m k funciones n veces continuamente derivables en el intervalo I. Haremos la identificación C n (I) m 1 = C n (I) m. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

4 La integración y derivación se hace componente a componente: f 1,1... f 1,k f1,1... f1,k..... =..... f m,1... f m,k fm,1... fm,k f 1,1... f 1,k f 1,1... f 1,k..... = f m,1... f m,k f m,1... f m,k Observación: La integración componente a componente nos permite definir la transformada de Laplace componente a componente. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

5 Regla para la derivada del producto Lema 1.1 Si A(t) M n m (R) y B(t) M m p (R), con n, m, p N, entonces (A(t)B(t)) = A (t)b(t) + A(t)B (t). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

6 Sistema Lineal de Primer Orden Definición Un sistema lineal de EDO en R n es un sistema de n ecuaciones escrito de la forma { X (t) = A(t)X(t) + B(t) para t I X(t ) = X, (1) donde I es un intervalo, A(t) M n n (R), B(t) R n para cada t en I, y X R n son condiciones iniciales en t = t I. En el caso B se dice que el sistema es homogéneo. En el caso que A es una matriz constante, se dice que el sistema es a coeficientes constantes. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

7 Ejemplo: Contaminación en dos Estanques x 1(t) = bσ + bλ V x 2(t) x 2(t) = b(1 + λ) x 1 (t) V b(1 + λ) x 1 (t) bλ V V x 2(t) b V x 2(t). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

8 Con σ la cantidad de contaminante por unidad de volumen que ingresa a al estanque 1 y x i la concentración de contaminante en el estanque i. Matricialmente, podemos escribir el sistema anterior como ( ) ( ) x 1 b(1+λ) bλ ( ) ( = V V x1 bσ + x 2 b(1+λ) V b(1+λ) V x 2 ). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

9 Resolución por Transformada de Laplace { X (t) = AX(t) + B(t), con B, X R n, A M n n (R) X() = X, con X R n. (2) La i-ésima fila del sistema es n x i = a ij x j + b i, x i () = x i. j=1 Aplicando la transformada de Laplace a cada ecuación obtenemos n slx i x i = a ij Lx j + Lb i, i = 1,..., n slx i j=1 n a ij Lx j = Lb i x i, i = 1,..., n. j=1 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

10 Resolución por Transformada de Laplace Escrito en forma matricial esto es slx(s) ALX(s) = LB(s) + X (si A)L(X)(s) = LB(s) + X. Sea M el máximo de las partes reales de los valores propios de A. Si s > M entonces la matriz (si A) es invertible y podemos despejar L(X). Teorema 1.2 La solución del sistema lineal (2) satisface L(X)(s) = (si A) 1 (L(B)(s) + X ), s > M. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

11 Volvamos a los estanques Utilizando que [ ] L 1 1 (s a)(s b) [ ] L 1 s (s a)(s b) [ ] L 1 1 (s a)(s b)(s c) = eat e bt a b = aeat be bt a b = (c b)eat + (a c)e bt + (b a)e ct. (a b)(b c)(c a) Pruebe que x 1 = C 1 e s1t + C 2 e s2t + C 3 x 2 = C 1 e s1t + C 2 e s2t + C 3, donde C 1, C 1, C 2, C 2, C 3, C 3 son constantes dadas de la agrupación de términos semejantes en las expresiones anteriores, y que dependen sólo de las condiciones iniciales y de la geometría del sistema. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

12 Sistemas lineales y ecuaciones de orden superior 1. Paso de una ecuación lineal de orden n a un sistema lineal y (n) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a (x)y(x) = Q(x). Consideremos el siguiente cambio de variables: z 1 (x) = y(x) z 2 (x) = y (x) z 1 z 2. z n } {{ } z =. z n (x) = y (n 1) (x) } a a 1 a 3 {{... a n 1 } A c z 1 z 2. z n } {{ } z +.. } Q {{ } b Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

13 Las condiciones iniciales y(x ),..., y (n 1) (x ) corresponden a las condiciones iniciales en el sistema z 1 (x ),..., z n (x ). El problema de Cauchy se escribe { z (x) = A c (x)z(x) + b(x) para x I z k (x ) = y (k 1) (x ) para k = 1,... n. Llamaremos a A c (x) la matriz compañera de la ecuación de orden n. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

14 2. Paso de un sistema lineal a una ecuación lineal de orden n Consideremos el sistema x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + b 1 (3) x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + b 2 (4) con las condiciones iniciales x 1 () = x 1 y x 2() = x 2. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

15 2.1. Método de sustitución: Suponiendo a 21, despejamos x 1 de (4) para obtener y luego derivamos Reemplazando (5) y (6) en (3) resulta x 1 = x 2 a 22x 2 b 2 a 21 (5) x 1 = x 2 a 22x 2 b 2 a 21. (6) x 2 (a 11 + a 22 )x 2 + (a 11 a 22 a 12 a 21 )x 2 = a 21 b 1 a 11 b 2 + b 2, que es una ecuación de segundo orden con condiciones iniciales x 2 () = x 2 x 2() = a 21 x 1 + a 22 x 2 + b 2 (). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

16 2.2. Método de reducción: Utilizando la notación de operador diferencial Dx = x el sistema (3)-(4) se reescribe (D a 11 )x 1 a 12 x 2 = b 1 (7) a 21 x 1 + (D a 22 )x 2 = b 2. (8) Aplicando el operador D a 11 a la segunda ecuación, multiplicando por a 21 la primera y sumando, se obtiene (D a 11 )(D a 22 )x 2 a 12 a 21 x 2 = a 21 b 1 + (D a 11 )b 2, (9) que es la misma EDO de orden 2 para x 2 que la obtenida con el método anterior. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

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18 Recuerdo 1 Una sucesión {x n } es de Cauchy si para todo ε > existe N N tal que x n x k < ε si k, n N. En R toda sucesión de Cauchy es convergente. Es decir, existe x R tal que lím n x n = x. Esta propiedad se conoce como Completitud de R. 2 Una función f : dom(f) R es contractante si existe K (, 1) tal que f(x) f(y) K x y si x, y dom(f). Sea C R un conjunto cerrado y supongamos que f : C C es contractante. Entonces f tiene un único punto fijo. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

19 Resultados preliminares Teorema 2.1 Sea I un intervalo cerrado y acotado. En el espacio C (I) m todas las sucesiones de Cauchy son convergentes. Teorema 2.2 Sea T un operador contractante de C (I) m en C (I) m, es decir T (f) T (g) < K f g con K (, 1). Entonces T tiene un único punto fijo. Es decir!f C (I) m tal que T (f) = f. Lema 2.3 Supongamos que para cierto N N el operador T N = T T }{{} Nn veces tiene un único punto fijo. Entonces lo mismo es cierto para T. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

20 Teorema de Existencia y Unicidad Teorema 2.4 (de Cauchy-Lipschitz-Picard, Existencia y Unicidad, caso general) Sea I un intervalo cerrado y acotado. Supongamos que F C (I R m ) es una función Lipschitz con respecto a la segunda variable. Para cada t I y cada X R m, existe una única solución X C 1 (I) m del problema de Cauchy { X (t) = F (t, X(t)) para todo t I X(t ) = X. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

21 El Caso Lineal Dada una matriz A = (a ij ) de tamaño m p, definimos su norma de Frobenius como 1/2 m p A =. i=1 j=1 Observe que coincide con la definición usual de norma euclideana para vectores (pensados aquí como matriz fila o columna). Lema 2.5 Si A M m p (R) y X R p entonces a 2 ij AX A X. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

22 El Caso Lineal Teorema 2.6 (Existencia y Unicidad, caso lineal) Sea I un intervalo cerrado y acotado. Si A C(I) m m y B C(I) m, entonces dados X R m y t I, existe una única solución X C 1 (I) m del sistema lineal { X (t) = A(t)X(t) + B(t), t I X(t ) = X. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

23 Consecuencias 1 De aquí se obtiene inmediatamente el Teorema que da la existencia y unicidad de solución para la EDO lineal de orden n gracias a la identificación presentada anteriormente. 2 La única solución de un sistema homogéneo con condición inicial nula es la función nula. 3 Si dos soluciones X e Y coinciden en un punto, entonces coinciden en todo el intervalo. Esto se conoce como determinismo. 4 Si A o B son continuas por pedazos, el Teorema 2.6 sigue siendo cierto, salvo porque X es sólo continua por pedazos (se suele decir que X es C 1 por pedazos). 5 El Teorema se generaliza para cualquier tipo de intervalo I. Más aún, si A C(R) m m y B C(R) m, entonces la solución X queda definida en todo R. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

24 Teorema Local El siguiente teorema se refiere al sistema no lineal { X (t) = F (t, X(t)), t I X(t ) = X. Teorema 2.7 (Existencia y Unicidad, versión local) Con la notación e hipótesis descritas arriba, definimos M = máx{ F (t, x) t I, t t δ, x x r}, { r } δ = mín δ, M y J = I (t δ, t + δ ). Entonces existe una única solución del problema de Cauchy, al menos en J. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

25 Condición de Lipschitz Proposición 2.8 Sea G : D R n una función diferenciable en un abierto D. Sea C una bola cerrada contenida en D. Si la matrix jacobiana JG es continua en C, entonces G Lipschitz en C. Es decir, existe L C > tal que G(Y ) G(Z) L C Y Z si Y, Z C. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

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27 Definiciones Sea H = {X C 1 (I) m : X = A(t)X, t I} es el espacio de soluciones del sistema homogéneo y S = {X C 1 (I) m : X = A(t)X + B(t), t I} es el hiperplano de soluciones del sistema no homogéneo. Teorema 3.1 Dada una solución particular X p de X = AX + B, toda solución del sistema se escribe como suma de X p y alguna solución del sistema homogéneo. Es decir, S = X p + H. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

28 Solución Fundamental Canónica Φ En lo que sigue fijamos t I. Del Teorema de Existencia y Unicidad sabemos que, para cualquier condición inicial, el sistema lineal homogéneo tiene una única solución. Dado k {1,..., n}, la k-ésima solución fundamental canónica, φ k, es la solución del sistema { φ k (t) = A(t)φ k (t), t I φ k (t ) = e k, donde e k es el vector que tiene un 1 en la posición k y en las demás. Al determinante de Φ se le llamawronskiano del sistema. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

29 Propiedades de Φ Lema 3.2 Sea Φ(t) la matriz fundamental canónica del sistema. 1 Φ es la única función en C 1 (I) n n que satisface Φ(t ) = I n y Φ (t) = AΦ(t) para todo t I. (1) 2 Φ(t) es invertible para todo t I. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

30 Ejemplo: Cadena con resortes Se tiene una cadena con extremos fijos formada por n cuentas conectadas por resortes idénticos de constante elástica k y largo natural l. Cada cuenta de masa m i, i = 1... n, tiene libertad para oscilar horizontalmente, pero presenta un rozamiento lineal con el medio de constante c i, i = 1... n. Para cada cuenta tenemos la ecuación de movimiento m i x i = c i x i k[(x i x i+1 ) + (x i x i 1 )], i {1,..., n}, donde x = x n+1 =. 1 Pruebe que el sistema tiene la forma matricial MX + CX + KX =, con X R n. 2 Haga el c.v. Z = ( X X ). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

31 Relación entre Φ y H Teorema 3.3 El conjunto {φ k } n k=1 es una base de H, llamada base fundamental canónica. En consecuencia, dim(h) = n y la solución del sistema homogéneo { X h (t) = A(t)X h (t) t I está dada por X h (t ) = X X h = Φ(t)X = x 1 φ 1 (t) + x n φ n (t). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

32 Otras matrices fundamentales Para generalizar los resultados anteriores, definamos una matriz fundamental (no necesariamente la canónica) como.. M(t) = ψ 1 (t) ψ n (t),.. con t I, donde ψ k es solución del sistema { ψ k (t) = A(t)ψ k (t) para t I ψ k (t ) = v k y {v k } n k=1 es una base de Rn. Corolario 3.4 Sea M(t) una matriz fundamental del sistema. Entonces det(m(t)) para todo t I y X(t) = M(t)M 1 (t )X. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

33 Variación de parámetros Teorema 3.5 La solución del sistema { X (t) = A(t)X(t) + B(t) está dada por X(t ) = X t X(t) = Φ(t)X + Φ(t) Φ 1 (s)b(s)ds, t donde Φ es la matriz fundamental canónica. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

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35 Exponencial de una Matriz Sea M M n n (R). La exponencial de M se define como e M = k= M k k! = I + M + M 2 2! + + M n n! + Proposición 4.1 La matriz e M está bien definida. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

36 Propiedades de la Matriz Exponencial Proposición 4.2 Sean A, B M n n (R), t, s R, entonces: 1 e t = e A = I. 2 d dt eat = Ae At. 3 e A(t+s) = e At e As. En particular, e At es invertible y su inversa es (e At ) 1 = e At. 4 AB = BA si, y sólo si, Be At = e At B. 5 AB = BA si, y sólo si, e At e Bt = e (A+B)t. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

37 Forma explícita de Φ para A constante Estamos considerando el sistema { X (t) = AX(t) + B(t) X(t ) = X De las propiedades 1 y 2 y el teorema de existencia y unicidad tenemos que Φ(t) = e A(t t ) para todo t I pues ambas satisfacen la misma ecuación diferencial. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

38 Continuidad de las soluciones c.r. a la condición inicial De la fórmula de variación de parámetros t X(t) = Φ(t)X + Φ(t) Φ 1 (s)b(s)ds, t dada por el podemos escribir la solución en términos de la matriz exponencial mediante la fórmula exponencial: t X(t) = e A(t t) X + e A(t s) B(s)ds. t Una consecuencia importante de esta fórmula es que si X e Y son soluciones de un sistema lineal, entonces X(t) Y (t) = e A(t t ) [X(t ) Y (t )] e A(t t ) X(t ) Y (t ). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

39 Recuerdo: Matriz diagonalizable Recordemos que una matriz A es diagonalizable si se puede expresar como A = P DP 1, donde D es una matriz diagonal que contiene los valores propios de A y P es una matriz invertible cuyas columnas son los vectores propios correspondientes. Más precisamente, si λ 1,..., λ n son los valores propios de A, y v 1,..., v n sus respectivos vectores propios, entonces D = λ λ n P =... v 1 v 2 v n.... Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

40 Exponencial de una Matriz Diagonalizable Proposición 4.3 Sea A una matriz constante diagonalizable. Entonces e At = P e Dt P 1, donde e λ 1t e Dt = e λnt Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

41 Solución del sistema homogéneo para A diagonalizable La solución del sistema homogéneo se puede escribir como: donde C = X h (t) = e A(t t) X = P e Dt e Dt P 1 X }{{} = P e Dt C, C C 1. C n es un vector constante que depende de las condiciones iniciales. Desarrollando el producto podemos escribir X h (t) = C 1 e λ 1t v 1 + C 2 e λ 2t v C n e λnt v n. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

42 Ejemplo Encuentre la solución general del sistema: 1 X = 2 5 X con condición inicial X = 1 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

43 Otras matrices amigables Consideremos la matriz: ( ) 1 A = = A 2 = y entonces e ta = Así también 1 A = 1 = A 2 = ( 1 t 1 1 ) ( ) = A 3 = y entonces e ta = 1 t t 2 /2 1 t 1 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

44 Exponencial de una matriz Nilpotente de orden m Una matriz se dice nilpotente de orden m si N m 1 y N m =. Notemos que en este caso: e Nt N k t k = k! k= = m 1 k= N k t k. k! La matriz de m m N = , es nilpotente de orden m además, las componentes de N k valen, salvo en la k 1-ésima sobrediagonal, donde valen 1. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

45 Entonces: e Nt = N k t k = k! k= m 1 k= N k t k = I + tn + t2 2! N tm 1 (m 1)! N m 1 t 1 t 2 t 2! m 1 (m 1)! = t 2. 2! t 1 k! En conclusión, e Nt es una matriz triangular superior de la forma [e Nt ] ij = { t k k! si j i = k si j i <. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

46 Exponencial de J m = λi + N Sea I la matriz identidad de m m y λ R. Sea J m = λi + N, ie. λ 1. J m = λ Entonces t 1 t 2 t 2! m e Jmt = e λt t 2 2! t 1 (m 1)!. A las matrices con la forma de J m se les llama bloque de Jordan. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

47 Forma canónica de Jordan Definición Se llama bloque de Jordan de tamaño k N y valor propio λ C, a la matriz B M k k (C) dada por λ 1. B = λ Se llama suprabloque de Jordan de tamaño m N y valor propio λ C, a una matriz diagonal por bloques, donde cada bloque es un bloque de Jordan de valor propio λ C. Una matriz está escrita en forma canónica de Jordan si es diagonal por bloques, formada por suprabloques de Jordan. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

48 Ejemplo de Matriz de Jordan Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

49 Matrices diagonales por bloques Sea M 1. M = M , M n una matriz diagonal por bloques. Entonces se cumple que e M 1 e M = e M e Mn Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

50 Descomposición de Jordan I Proposición 4.4 Sea λ C un valor propio de A M n n (C), de multiplicidad algebraica m N. Sea E s = ker(a λi) s, s N. Entonces existe p N, 1 p m, tal que {} = E E 1 E 2... E p = E p+1 = E p+2 =... Los espacios E s, 1 s p, se denominan espacios propios generalizados de A de orden s asociados al valor propio λ. Un vector no nulo v se dice vector propio generalizado de A de orden s si (A λi) s v = y (A λi) s 1 v. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

51 Descomposición de Jordan II Observación 4.5 Con la definición anterior, los vectores propios usuales son vectores propios generalizados de orden 1. Proposición 4.6 v s es un vector propio generalizado de A de orden s (s 2) asociado a λ si y sólo si v s 1 = (A λi)v s es un vector propio generalizado de A de orden s 1 asociado a λ. Sea v s (vector propio generalizado de orden s), entonces v s 1 dado por v s 1 = (A λi)v s Av s = λv s + v s 1 Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

52 Descomposición de Jordan III es un vector propio generalizado de orden s 1, y así recursivamente tenemos definidos: Av 1 = λv 1 Av 2 = λv 2 + v 1 Av 3 = λv 3 + v 2. Av s = λv s + v s 1, donde v 1 es el vector propio usual. Una cadena v 1, v 2,..., v s así construida, se denomina cadena de Jordan de largo s, asociada al vector propio v 1. Proposición 4.7 Los elementos de una cadena de Jordan son linealmente independientes. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

53 Descomposición de Jordan IV Proposición 4.8 El número k s de cadenas de Jordan de largo s es k s = 2l s l s 1 l s+1, donde l = y l s = dim E s = dim ker(a λi) s para s >. Teorema 4.9 (Descomposición de Jordan) Dada una matriz A M n n (C), existen una matriz J diagonal por bloques, cuyos bloques son de Jordan y una matriz P invertible tales que A = P JP 1. Además, la matriz J es única, salvo permutaciones de sus bloques. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

54 Descomposición de Jordan V Proposición 4.1 Sea A M n n (C), y sea A = P JP 1 su representación en forma canónica de Jordan. Entonces e J 1t... e At = P..... P e Jnt Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

55 Algoritmo descomposición de Jordan Para construir la descomposición se puede proceder de la siguiente manera: Se calculan los valores propios de A. Se toma un valor propio λ de multiplicidad algebraica m, y se determina la dimensión de los espacios ker(a λi) s, aumentando s hasta m. Se calculan los k s, de donde se obtiene un bloque de Jordan de tamaño k s asociado a cada cadena, y los respectivos vectores propios generalizados asociados determinan la matriz P. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

56 Ejemplo I Calcule e ta para A = Notemos que p(λ) = det(a λi 5 ) = = (λ 1) 4 (λ + 1) 1 λ λ λ λ λ Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

57 Ejemplo II De la ecuación p(λ) = se obtienen los valores propios de A: λ 1 = 1 con multiplicidad algebraica 1 y λ 2 = 1 con multiplicidad algebraica 4. Luego, la matriz J estará formada por dos suprabloques (uno asociado a cada valor propio). Como λ 1 tiene multiplicidad 1, sólo le corresponderá un bloque de Jordan de tamaño 1. El vector propio asociado se obtiene de resolver la ecuación: (A λ 1 I 5 ) x = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 =. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

58 Ejemplo III Del sistema anterior se deduce que x 1 = x 4 = x 5 = y x 2 = x 3. Entonces el vector propio asociado a λ 1 es Para λ 2 calculamos: 1 1. l 1 = dim ker(a λ 2 I 5 ) = dim ker(a I 5 ) = 2. En efecto, ker(a I 5 ) = { x : (A I 5 ) x = }. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

59 Ejemplo IV (A I 5 ) x = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 =. Resolviendo el sistema de obtiene que x 1 = x 2, x 3 = y x 4 = x 5. Entonces, x 1 1 x 2 x 3 x 4 = x x 4 1 x 5 1 y claramente dim ker(a I 5 ) = 2. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

60 Ejemplo V l 2 = dim ker(a λ 2 I 5 ) 2 = dim ker(a I 5 ) 2 = 4. En efecto, ker(a I 5 ) 2 = { x : (A I 5 ) 2 x = }. (A I 5 ) 2 x = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 =. Resolviendo el sistema de obtiene que x 4 = x 3 + x 5. Entonces, x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = x x x x Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

61 Ejemplo VI y claramente dim ker(a I 5 ) = 4. Dado que y (A I 5 ) 3 = (A I 5 ) 4 = , se verifica directamente del desarrollo anterior que l 3 = l 4 = 4. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

62 Ejemplo VII Como l =, se tiene que k 1 = 2l 1 l l 2 = y k 2 = 2l 2 l 1 l 3 = 2, y entonces hay 2 cadenas de Jordan de largo 2. Cada cadena de largo 2 determina un bloque de 2 2, por lo que tenemos completamente determinada la matriz J: J = Buscamos ahora los vectores propios generalizados. En efecto, (A I 5 )v 1 = v 1 = (α, α,, β, β), (A I 5 )v 2 = v 1 v 2 = (β + γ, γ, α, α + δ, δ). Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

63 Ejemplo VIII Si α = y β = 1, entonces v 1 = (,,, 1, 1) y v 2 = (1 + γ, γ,, δ, δ). Si γ = δ =, entonces v 2 = (1,,,, ). Si α = 1 y β =, entonces v 1 = (1, 1,,, ) y v 2 = (γ, γ, 1, 1 + δ, δ). Si γ = δ =, entonces v 2 = (,, 1, 1, ). Por lo tanto, la matriz P (cuyas columnas son los vectores propios generalizados) es P = Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

64 Ejemplo IX y su inversa, P 1 = Gracias a la proposición 4.1 se concluye que e ta = P e t te t e t e t te t e t e t. P 1. Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65

65 GRACIAS!!! Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera / 65