1. [ANDA] [SEP-B] En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km 2, viene dada por

Transcripción

1 Selectividad CCSS 202. [ANDA] [SEP-B] En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km 2, viene dada por la función f(t) = t+20, siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla. t+2 a) Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo. c) Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha? 2. [ANDA] [SEP-A] Determine los valores que ha de tomar a y b para que la función f(x) = -x 2 +ax-7 si x < sea derivable en. 4x-b si x 3. [ANDA] [JUN-B] Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 0 años viene dado por la at-t función B(t) = 2 si 0 t 6, siendo t el tiempo transcurrido en años. 2t si 6 < t 0 a) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua. b) Para a = 8 represente se gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o de crecerá. c) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor. ax 2 +3x si x 2 4. [ANDA] [JUN-A] a) Sea la función f(x) = x 2 -bx-4 si x > 2 Determine los valores de a y b para que la función f sea derivable en x = 2. b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x) = x+2 en el punto de abscisa x = 0. x- 5. [ASTU] [SEP-A] Un dispositivo de 0 años de duración tiene una tasa de fallos que depende del tiempo que lleve en funcionamiento a través de la expresión (f(x) representa la tasa de fallos en el instante x, medido en años): f(x) = x3 3 +0x2-69x+200, 0 x 0. a) Indica el intervalo de tiempo en el que la tasa de fallos crece y aquel en el que decrece. b) Cuándo se alcanza la tasa de fallos más baja? Cuánto vale? 6. [ASTU] [JUN-A] La energía que produce una placa solar viene descrita por la siguiente curva en función del tiempo transcurrido desde que amanece (f(x) representa la energía producida a las x horas de haber amanecido): f(x) = a) Estudia la continuidad de la función f en su dominio. b) En qué momento del día la placa produce más energía? cuánto produce en ese momento? 0x-x 2 si 0 x x 2 si 8 < x 2 7. [C-LE] [SEP-B] Halla la expresión de la función f(x) polinómica de grado 3, sabiendo que tiene un mínimo relativo en el punto (,), que su derivada f'(x) tiene una raíz en el punto de abscisa x = -3 y que corta al eje de ordenadas en el punto (0,). 8. [C-LE] [SEP-A] El rendimiento de una máquina, a lo largo de las 7 horas que permanece en funcionamiento cada día, viene dado por la función f(x) = x 3-0.5x 2 +30x, donde x (0,7) indica el número de horas transcurridas desde que la máquina se pone en marcha. a) Determina en qué momento se produce el máximo y el mínimo rendimiento. b) Calcula el rendimiento de la máquina en esos dos momentos del día. 9. [C-LE] [JUN-B] Un agricultor dispone de 3000 para cercar un terreno rectangular, usando el río adyacente como lado con el fin de que el recinto sólo necesite 3 cercas. El coste de la cerca paralela al río es de 5 por metro instalado, y el de la cerca para cada uno de los lados restantes es de 3 por metro instalado. Calcula las dimensiones del terreno de área máxima que puede cercar con el presupuesto que tiene. 3 de octubre de 202 Página de 6

2 Selectividad CCSS [C-LE] [JUN-A] Se considera la función: f(x) = -x 3 +bx 2 +x+d. a) Calcula razonadamente los valores de b y d para que la función f(x) tenga un máximo relativo en el punto (,4). b) Suponiendo b = y d = 3, representa gráficamente la función en el intervalo [-2,2].. [C-MA] [SEP-B] Sea la función f(x) = 3 x3 +ax 2 +bx+c. Calcula los valores de las constantes a, b y c para que la gráfica de la función pase por el punto (0,-6), tenga un máximo relativo en el punto de abscisa x = - y un punto de inflexión en x =. (x+3) 2 si x 0 2. [C-MA] [SEP-B] Se considera la función f(x) = 2x 3. Se pide: -2-3 si x > 0 a) Estudia su continuidad en x = 0. b) Extremos relativos en el intervalo (-6,0). c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (-,0). 3. [C-MA] [SEP-A] La función G(t) =t 2-8t+20, 0 t 6, representa las ganacias, en miles de euros, de una empresa durante los últimos 6 meses, siendo t el tiempo medido en meses. a) Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t = 2)? b) Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? Cuál fue su valor? 4. [C-MA] [JUN-B] Sea la función f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. Calcula los valores de las constantes a, b y c para que la gráfica de la función pase por el punto (0,4), tenga un mínimo relativo en el punto de abscisa x = -, y un punto de inflexión en x = [C-MA] [JUN-A] Se ha registrado el ruido que se produce en una cocina industrial durante 4.5 horas. La función R(t) = t 3-9t 2 +24t+28 representa el ruido medido en decibelios (db) y t el tiempo medido en horas, 0 t 4.5. a) En la primera hora (t = ), cuántos decibelios se registraron? b) En qué momento se produce mayor ruido? Cuál fue el valor máximo del ruido registrado? x 2 -x si x 6. [C-MA] [JUN-A] Se considera la función f(x) = (x-2) 2. Se pide: + si x > a) Estudia su continuidad en x =. b) Extremos relativos en el intervalo (,4). c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (, ). 7. [CANA] [SEP-B] El rendimiento de un plan de pensiones, en función del tiempo en años, viene dado en % por la función: t 2 5 si 0 t 5 r(t) = 0t t+5 si t > 5 a) Es continua esta función? Es siempre creciente? Justificar la respuesta. b) Cuándo el rendimiento es del 8%? Justificar la respuesta. c) Qué pasa cuando el tiempo crece indefinidamente? Justificar la respuesta. 8. [CANA] [SEP-A] El valor de un producto electrónico, en función del número de meses que lleva vendiéndose, x, viene dado por: E(x) = -(x+25)(x-75) a) Cuándo crece y cuándo decrece la función? b) En qué momento alcanza el producto su valor máximo y cuál es éste? c) Si se deja de comercializar cuando vale 475 euros, en qué momento sucede esto? 9. [CANA] [JUN-B] La picadura de un insecto produce una hinchazón en la piel, cuya altura en milímetros viene dada por la función 3 de octubre de 202 Página 2 de 6

3 Selectividad CCSS 202 t h(t) = (20-2t), siendo t los días que se tiene la piel hinchada. 00 a) Qué altura tiene la hinchazón a los 2 días? b) Cuánto dura el periodo de hinchazón, desde que pica el insecto hasta que desaparece la hinchazón? c) Cuál es la altura máxima de la hinchazón? 20. [CANA] [JUN-A] Dos aerogeneradores, de distinta marca, han tenido, en las últimas 5 horas, las siguientes funciones de producción de energía: f(x) = -x 2 +20x+80, 0 x 5 y g(x) = -x 2 +30x+50, 0 x 5 a) En qué momento ha sido máxima la producción total? b) En qué momento han producido la misma cantidad de energía los dos aerogeneradores? c) Un tercer generador, de otra marca, ha tenido, en las últimas 5 horas, la siguiente función de producción de energía: h(x) = x 3-2x 2 +72x+60, 0 x 5. En qué momento ha sido mínima la producción de este tercer aerogenerador? 2. [CATA] [SEP] Consideremos las funciones f(x) = (x a) 3 y g(x) = x 2 +bx+c. a) Determine los valores de los parámetros que hacen que las dos curvas tengan la misma tangente en el punto (2,). b) En el caso a =, haga un gráfico aproximado de la función f. 22. [CATA] [SEP] Consideremos la función f(x) = 2 x. a) Indique su dominio y estudie su crecimiento. b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta y+3x = [CATA] [SEP] Disponemos de 48 cm 2 de material para fabricar una caja de base cuadrada, sin tapa. Calcule las dimensiones de la caja de mayor volumen que podemos construir en estas condiciones. Cuál será el volumen de la caja? 24. [CATA] [JUN] Sobre la función f(x) = a x 2 +bx+c disponemos de los datos siguientes: sus asíntotas verticales son x = 3 y x = ; su gráfica pasa por el punto (0, 4). a) Determine la fórmula de la función y haga un dibujo aproximado de la gráfica correspondiente. b) En el caso a=, b = 2 y c =, determine y clasifique, si existen, los extremos relativos de la función. 25. [CATA] [JUN] Un triángulo tiene los vértices O(0,0), A(6,0) y B(0,3). a) Dibújelo y escriba la ecuación de la recta que contiene el segmento AB. b) Consideremos un punto P situado sobre el segmento AB, y dibujemos el rectángulo que tiene por diagonal OP y dos lados sobre los ejes de coordenadas. Determine las coordenadas de P que hacen máxima el área del rectángulo. 26. [CATA] [JUN] Sea f una función polinómica de grado 3, con un máximo en (0,0) y un mínimo en (2, 4). a) Haga un gráfico aproximado de f. b) Determine la fórmula de la función. 27. [ETR] [SEP-B] En una planta depuradora de aguas residuales la expresión que determina el coste de funcionamiento anual en función de la cantidad de agua depurada es: C(x) = 35x 2-40x+2600, donde C(x) son los costes expresados en euros y x es el número de metros cúbicos de agua depurada en un año. Determinar: a) La cantidad de agua depurada que hace mínimo el coste de funcionamiento. b) El valor de dicho coste mínimo. c) El coste de la depuración del agua de una localidad de 2000 habitantes, si cada uno genera al año 8 metros cúbicos de agua para depurar. 3 de octubre de 202 Página 3 de 6

4 Selectividad CCSS [ETR] [JUN-A] Una empresa que fabrica bolsos estima que los costes de producción para x unidades son: C(x) = 0.x 2-50x+2500 Si cada bolso se vende a 90 euros, se pide: a) Determinar la función que expresa los beneficios (ingresos-costes) en función de x (número de unidades producidas). b) Cuántas unidades deben venderse para que los beneficios sean máximos? c) Hallar el valor de dicho beneficios máximos. Justificar las respuestas. 29. [MADR] [JUN-A] Una empresa vinícola tiene plantadas 200 cepas de vid en una finca, produciendo cada cepa una media de 6 kg de uva. Existe un estudio previo que garantiza que por cada cepa que se añade a la finca, las cepas producen de media 0,0 kg menos de uva cada una. Determínese el número de cepas que se deben añadir a las existentes para que la producción de uvas de la finca sea máxima. 30. [MURC] [SEP-B] Una empresa estima que el beneficio que obtiene por cada unidad de producto que vende depende del precio de venta según la función: B(x) = -3x 2 +2x-9, siendo B(x) el beneficio y x el precio por unidad de producto, ambos expresados en euros. a) Entre qué precios la función B(x) es creciente? b) En qué precio se alcanza el beneficio máximo? c) En qué precio el beneficio es 3? 3. [MURC] [SEP-A] Dada la función f(x) = 2x2 + : 4-x 2 a) Hallar su dominio. b) Determinar las asíntotas. c) Hallar su función derivada f'(x). 32. [MURC] [JUN-B] Una panadería ha comprobado que el número de panes de un determinado tipo que vende semanalmente depende de su precio x en euros según la función f(x) = x, donde f(x) es el número de panes vendidos cada semana y x el precio por unidad de pan. Calcular: a) La función I(x) que expresa los ingresos semanales por la venta de ese tipo de pan en función del precio por unidad de pan, x. b) El precio al que hay que vender cada pan para que dichos ingresos semanales sean máximos. A cuánto ascenderán los ingresos semanales máximos? 33. [MURC] [JUN-A] Hallar las derivadas de las siguientes funciones:. f(x) = 2x3 +x 2 2. g(x) = (-x) 2 e x 3. h(x) = ln 2x 2 +2 x- 34. [RIOJ] [SEP] Calcula los puntos en los que la tangente a la función f(x) = es paralela a la recta x+4y = 0. x [RIOJ] [SEP] Consideramos la función f(x) = x2 +5x x-4. Calcula su dominio y su derivada. Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Encuentra sus extremos (máximos y mínimos) relativos. 36. [RIOJ] [JUN] Consideramos la función f(x) = definida solamente en (-3,3). 9-x 2, Estudia el crecimiento y decrecimiento en el intervalo considerado. Encuentra máximos y mínimos en dicho intervalo. 3 de octubre de 202 Página 4 de 6

5 Selectividad CCSS 202 Calcula la tangente a la función en el punto con x = [VALE] [SEP-B] Sea la función f (x) = (x 2 +x) 2. Se pide: a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Los máximos y mínimos locales. e) La representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. 38. [VALE] [SEP-A] Se estima que el beneficio anual B(t), en %, que produce cierta inversión viene determinado por el tiempo t en 36t meses que se mantiene dicha inversión a través de la siguiente expresión: B(t) = +, t 0. t a) Describe la evolución del beneficio en función del tiempo durante los primeros 30 meses. b) Calcula razonadamente cuánto tiempo debe mantenerse dicha inversión para que el beneficio sea máximo. Cuál es el beneficio máximo? c) Cuál sería el beneficio de dicha inversión si ésta se mantuviera en el tiempo de forma indefinida? 39. [VALE] [JUN-B] Una empresa dispone de 5 comerciales que proporcionan unos ingresos por ventas de 5750 euros mensuales cada uno. Se calcula que por cada nuevo comercial que contrate la empresa los ingresos de cada uno disminuyen en 250 euros. Calcula: a) Los ingresos mensuales de la empresa proporcionados por los 5 comerciales. b) La función que determina los ingresos mensuales que se obtendrían si se contrataran x comerciales más. c) El número total de comerciales que debe tener la empresa para que los ingresos por este medio sean máximos. d) Los ingresos máximos. 40. [VALE] [JUN-A] Dibuja la gráfica de la función y = f(x) sabiendo que: a) Está definida para todos los valores de x salvo para x =, siendo la recta x = la única asíntota vertical. b) La recta y = 3 es la única asíntota horizontal. c) El único punto de corte con los ejes es el (0,0). d) La derivada de la función y = f(x) sólo se anula en x = 3/2. e) f'(x) < 0 en el conjunto ]-8,[ ],3/2[. f) f'(x) > 0 en el intervalo ]3/2,+8[. g) f(3/2) = 3/2. Soluciones. a) 0km 2 b) crece c) tiende a km ,6 3. a) 8 b) c) 6 mill. al 4º año 4. a) 2, -7 b) y = -3x-2 5. a) crec: (3,0) b) (3,92) 6. a) cont b) max: 25 a las x 3 +6x 2-8x+ 8. a) max: 2; min: 5 b) 26 y 2' x a), 3 b) 6. -, -3, a) no b) min: -3 c) crec: (-3,0) a) 8000 b) 4, , 9, 4 5. a) 44 b) 2; a) no b) min: 2 c) crec: (2,+ ) 7. a) cont. y crec. b) 20 c) tiende al 0% 8. a) crec: (0,25) b) (25,2500) c) a) 0'32 b) 0 c) (5,0'5) 20. 2'5 b) 3 c) 2 2. a), 7, -9 b) a) D: -{0]; crec: b) y = -3x-2; y = -3x x4x2; a) f(x) -2 3 de octubre de 202 Página 5 de 6

6 Selectividad CCSS = ; x 2 +2x b) max:, a) ; y = - 2 x+3 b) 3, '2x 2 +40x-2500 b) 350 c) a) hasta los 2 b) 2 c) 2 3. a) -{-2,2} b) x = -2; x = 2; y = -2 b) x3-5x 2-2x (x-) x 2 - e x x x , - 2, 4, 2 x 3-3x a) 2000 b) 2460 c) a) 8x 32. a) 4-x x x b) ' D(f) = -{4}; f0(x) = x2-8x-20 ; crec: (-,-2) (0,+ ); max: -2; min: crec: (0,3); min: (x-4) 2 0, 9 ; y = a) ; (0,0), (-,0) b) no c) crec: -,- 2 (0,+ ) d) min: -, 0; max: - 2 e) 38. a) crec: (0,8) b) max: (8,2) c) tiende al % a) b) -250x x c) 9 d) de octubre de 202 Página 6 de 6