Γ(X, y, z) con α(1) = β(0), entonces definimos la suma de caminos

Transcripción

1 ESPACIOS CONEXOS Tema 3. Conexión por caminos Definiciones Sea X un espacio topológico. Un camino en X es una aplicación continua α : [0, 1] X (donde [0, 1] se considera como subespacio de R con la topología usual). Diremos que α(0) es el origen de α y que α(1) es su final (de ambos diremos que son los extremos de α). Generalmente diremos que α va del origen al final, o que los une. El camino se dirá constante si α(t) = x 0 t [0, 1] para cierto x 0 X, y cerrado si α(0) = α(1). Sean x, y X, denotaremos por Γ(X, x, y) el conjunto de caminos en X con origen en x y final en y. Supongamos que (α : [0, 1] X) Γ(X, x, y) y que (β : [0, 1] X) Γ(X, y, z) con α(1) = β(0), entonces definimos la suma de caminos como el camino (α β : [0, 1] X) Γ(X, x, z) tal que α β(t) = { α(2t) si t [0, 1] 2 β(2t 1) si t [ 1, 1]. 2 Definimos el camino inverso de α como el camino (α : [0, 1] X) Γ(X, z, x) tal que α (t) := α(1 t). Diremos que β es una reparametrización de α si existe un homeomorfismo creciente h : [0, 1] [0, 1] tal que β = α h. Ejercicio Demuestra que α β es efectivamente un camino, es decir, que es una aplicación continua. Observaciones Si α : [0, 1] X es un camino, entonces el camino α α es un camino cerrado. 2. Si Y X es un subespacio, entonces Γ(Y, x, y) Γ(X, x, y). 3. En ocasiones nos puede interesar extender la definición de camino como aplicaciones continuas de un intervalo cerrado cualquiera, es decir, α : [a, b] X. Si α : [a, b] X es continua, entonces considerando f : [0, 1] [a, b] definida por f(x) := a + x(b a) se tiene que α f es un camino que une α(a) con α(b), y viceversa, si α : [0, 1] X es continua y tomamos g : [a, b] [0, 1] definida por g(x) := x a se tiene b a que α := α g : [a, b] X cumpliendo que α(a) = α(0) y α(b) = α(1).

2 TEMA 3. CONEXIÓN POR CAMINOS Dado que [0, 1] es conexo y compacto, si α : [0, 1] X es un camino, entonces im(α) = α([0, 1]) X es conexo y compacto en X. Consideremos en X la siguiente relación: x c,x y Γ(X, x, y) Ejercicio Demuestra que c,x es una relación de equivalencia. Definición A cada clase de equivalencia de la relación c,x le denominamos componente conexa por caminos de X. c,x Un espacio topológico se denomina conexo por caminos si sólo tiene una clase de equivalencia, es decir, si x, y X, se tiene que Γ(X, x, y). Observación Obsérvese que si f : X Y es aplicación continua, entonces Γ(X, x 1, x 2 ) implica que Γ(Y, f(x 1 ), f(x 2 )). El motivo es el siguiente: si α Γ(X, x 1, x 2 ), entonces tomando f α : [0, 1] Y se tiene un camino cuyo origen es (f α)(0) = f(α(0)) = f(x 1 ) y cuyo final es (f α)(1) = f(α(1)) = f(x 2 ), es decir, tal que f α Γ(Y, f(x 1 ), f(x 2 )). En otras palabras, c,x six 1 x 2 f(x 1 ) c,y f(x 2 ). Por lo tanto, si f : X Y es homeomorfismo, Γ(X, x 1, x 2 ) es equivalente a que Γ(Y, y 1, y 2 ), donde f(x i ) = y i. Así pues, el número de componentes conexas por caminos de un espacio topológico es una propiedad topológica, en particular, ser conexo por caminos es propiedad topológica. Observación Si X, observa que X es conexo por caminos si y sólo si existe x 0 X de forma que Γ(X, x 0, x) para cualquier x X. El motivo es que c,x tiene una clase de equivalencia si y sólo si todo punto x X es equivalente a uno dado x 0, o bien si cualquiera dos puntos x, y X son equivalentes. Ejemplos Recordemos que un subconjunto I R es un intervalo si cumple la siguiente propiedad: x, y I son dos puntos de I, (supongamos que x < y) entonces [x, y] I (Teorema ), es decir, si x z y se tiene que z I. Esto es equivalente a que x + t(y x) I para cualquier t [0, 1]. Así pues, la aplicación α : [0, 1] I definida por α(t) = x+t(y x) es un camino que une x con y, y por tanto I es conexo por caminos (de hecho la Proposición y el Ejemplo (1) probarán que este resultado es un si y sólo si).

3 ESPACIOS CONEXOS 2. Sea x 0 = (0, 0,..., 0) R n y tomemos un punto cualquiera x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. La aplicación α : [0, 1] R n α(t) = x 0 + tx es claramente un camino de x 0 a x. Por lo tanto R n es conexo por caminos. 3. Como la conexión por caminos es una propiedad topológica (Observación ), sabemos que S n \ {P } ( R n por el Ejemplo 8.5.5) es conexo por caminos (ya que R n lo es por el apartado (2)), es decir, que Γ(S n \ {P }, x, y). Ahora bien, tomando Q = (0, 0,..., 1) el polo sur de S n, obtenemos que S n \{Q} ( R n ) es conexo por caminos, y por tanto Γ(S n \ {Q}, x, y). Fijemos x 0 S n \ {P, Q}, como consecuencia de la Observación (2) sabemos que Γ(S n \ {P }, x 0, y 1 ) Γ(S n, x 0, y) (si y 1 S n \ {P }) y que Γ(S n \ {Q}, x 0, y 2 ) Γ(S n, x 0, y) (si y 2 S n \ {Q}). Por tanto, Γ(S n, x 0, y) para cualquier y (S n \ {P }) (S n \ {Q}) = S n. 4. Este razonamiento se puede generalizar de manera análoga para obtener el siguiente resultado: Sea X e.t. y sean {X λ } λ Λ una familia de subespacios de X de manera que: a) X λ es conexo por caminos, b) λ Λ X λ = X, y c) λ Λ X λ, entonces X es conexo por caminos. A continuación recogemos este y otros resultados análogos a los de conexión. Propiedades (Conexión por caminos). Sean X e Y e.t, y entonces se tienen las siguientes propiedades: (1) Si K X conexo por caminos y f : X Y continua, entonces f(k) Y es conexo por caminos. (2) Sea {X λ } una familia no vacía de subespacios conexos por caminos de X, se tiene que λ Λ X λ X es conexo por caminos si se cumple una de las propiedades siguientes: (a) λ Λ X λ (b) Λ = N y X n X n+1, n N. (c) Λ = {0, 1,..., k} y X n X n+1, n N \ {k}. (3) X Y es conexo por caminos si y sólo si X e Y son conexos por caminos. Ejercicio Sea f : X Y aplicación continua y X e.t. conexo por caminos. Demuestra que Γ f := {(x, f(x)) x X} es conexo por caminos. Proposición Todo espacio conexo por caminos es conexo. Ejemplos

4 TEMA 3. CONEXIÓN POR CAMINOS Un subconjunto de R es conexo por caminos si y sólo si es un intervalo. Por el Ejemplo (1) sabemos que todo intervalo es conexo por caminos. Recíprocamente, si un subconjunto de I R es conexo por caminos, entonces por la Proposición , es conexo y esto implica (Ejemplo (1)) que I es un intervalo. 2. El recíproco de la Proposición no es cierto. Para probarlo, utilizaremos el seno del topólogo, definido en el Ejemplo Consideremos un camino γ : [0, 1] X tal que γ(0) = (0, y 0 ) X 2. Sea A := γ 1 (X 2 ) [0, 1]. Sabemos que A es no vacío ya que 0 A; además es cerrado ya que X 2 es cerrado y γ es continua. Veamos que A es además abierto. Para ello, sea t A. Fijemos un entorno abierto de γ(t) = (x, y) de la forma U := (x ε, x+ε) (y ε, y+ε) (ε suficientemente pequeño como en el Ejemplo ) y V un entorno de t de la forma V := (t δ, t + δ) en [0, 1] tal que γ(v ) U. Por tanto, γ(v ) es conexo y está contenido en la componente conexa de U X que contiene a γ(t) X 2, es decir en U X 2. Así pues, V A, y por tanto A es abierto. Como [0, 1] es conexo, A = [0, 1]. Por lo tanto el punto (0, y 0 ) no puede unirse por ningún camino a un punto de X 1, y por tanto X no es conexa por caminos. A continuación estudiaremos las propiedades de la descomposición de X en componentes conexas: Lema Sea A una clase de equivalencia de la relación c,x. Entonces, (1) Si B es conexo por caminos y A B, entonces B A. (2) A es conexo por caminos. Propiedades (Componentes conexas por caminos). Sea (X, T ) e.t, entonces se tiene que (1) X es unión disjunta de sus componentes conexas por caminos. (2) Sea x X y sea K x la componente conexa por caminos que contiene a x, entonces K x es el mayor conexo por caminos que contiene a x (por la relación de orden ). (3) Si A X es un conexo por caminos no vacío, entonces existe una única componente conexa por caminos K tal que A K. (4) Sea K X el espacio cociente de X por la relación c,x. Entonces K X admite una estructura de e.t. cociente y cumple que si X Y entonces K X K Y. En particular, el cardinal de K X es un invariante de X por homeomorfismo.

5 ESPACIOS CONEXOS (5) X es conexo por caminos si y sólo si posee una sola componente conexa por caminos. (6) Toda componente conexa por caminos de X está contenida en una única componente conexa de X. (7) Toda componente conexa de X es unión disjunta de componentes conexas por caminos de X. Ejemplo La demostración de que el seno del topólogo no es conexo por caminos (Ejemplo ) demuestra precisamente que X 2 es componente conexa por caminos de X. Por otra parte, X 1 es el grafo de la aplicación continua f : (0, 1] R, definida por f(x) = sen ( 1 x). Como (0, 1] es conexo por caminos (Ejemplo (1)), entonces X 1 también es conexo por caminos (Ejercicio 10.7). Por lo tanto X tiene exactamente dos componentes conexas por caminos: X 1 y X 2, mientras que sólo una componente conexa (Ejemplo ). Obsérvese además que X 1 es componente conexa por caminos, pero no es cerrado en X.