Ingeniería Técnica Industrial, todas especialidades. Ingeniería Técnica Telecomunicaciones, Telemática Problemas de examenes

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1 Universidad Politécnica de Cartagena Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Métodos estadísticos de la ingeniería, Estadística Problemas de examenes: Métodos estadísticos de la ingeniería Ingeniería Técnica Industrial, todas especialidades Estadística Ingeniería Técnica Telecomunicaciones, Telemática Problemas de examenes

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3 Estadística descriptiva 1 Universidad Politécnica de Cartagena Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Métodos estadísticos de la ingeniería, Estadística Problemas de examenes: Estadística descriptiva Problema 1 I.1 Un ingeniero estudia la relación entre dos variables X e Y. Dispone de los valores de Y para 15 valores de X, y sabe que la media y la varianza de los valores de X valen x = 20, s 2 x = 4. Decide ajustar una recta de regresión y encuentra la ecuación siguiente: y = 32 x 1. Cuál es el signo de la correlación entre X e Y? Justifica tu respuesta. 2. Calcular la covarianza de X e Y. 3. Cuánto vale y? I.2 La siguiente tabla muestra la puntuación de los 20 equipos de segunda división B (después de 25 partidos jugados). Construir un diagrama de caja y bigotes para las puntuaciones de los equipos y comentar sus aspectos más relevantes: Problema 2 I.1 El Instituto Nacional de Estadística proporciona los datos siguientes sobre el crecimiento vegetativo, es decir la diferencia entre el número de nacimientos y defunciones, en las comunidades autónomas: Comunidad crecimiento Comunidad crecimiento Galicia Ceuta 455 Castilla y León Valencia 543 Asturias Melilla 599 Aragón Cataluña 779 País Vasco Baleares 1230 Cantabria Murcia 3730 Cast.-La Mancha -837 Canarias 5668 Extremadura -553 Madrid La Rioja -384 Andalucía Navarra Calcular la mediana y los cuartiles de estos datos.

4 2 Estadística descriptiva 2. Realizar el diagrama de cajas y bigotes para estos datos. Para qué sirve este diagrama? Hay datos atípicos? Qué representan estos últimos? I.2 Se ha comprobado que las aleaciones amorfas tienen una excelente resistencia a la corrosión. En un estudio se recocieron cinco especímenes de la aleación a cada uno durante un intervalo de tiempo distinto (x, en minutos). Despueés se midió el potencial de pasivación (y, en mv)- una medida de resistividad de la aleación cristalizada- para cada especimen. Los datos experimentales son los siguientes: x y Suponiendo que la mejor forma de describir la relación entre las variables es lineal, ajustar una recta de regresión a los datos. Calcular r 2 e interpretar el resultado. 2. Cuál es el potencial de pasivación cuando el tiempo de recocido es de 30 minutos? Problema 3 1. Con el fin de determinar la profundidad de un lago subterráneo, se midió el contenido de oxígeno, en miligramos/litro, a distintas profundidades, en metros, obteniéndose los siguientes resultados: Se pide: profundidad ( m ) oxígeno ( mg/l ) (a) Ajustar una recta a los datos obtenidos por el método de los mínimos cuadrados. (b) Estudiar la bondad del ajuste. (c) A qué profundidad es previsible que nos encontremos si el contenido en oxígeno medido es de 3.2 mg/l?. Problema 4 I.1 En la dirección se pueden encontrar los datos de emisión de CO2 por fuentes fósiles para los distintos paises europeos entre los años 1985 y Se indican a continuación los datos de emisión total de este contaminante para España entre los años 1990 y Año (X) Emisión total (Y ) ( Megatoneladas) Se pueden utilizar las cantidades numéricas siguientes: xi = 748; x 2 i = 69980; y i = ; y 2 i = ; x i y i = Realizar el ajuste lineal de la emisión total en función del año. Calcular el valor de R 2 y comentar la bondad del ajuste.

5 Estadística descriptiva 3 2. Según nuestro modelo, se está produciendo un aumento o un descenso de la emisión de CO2? 3. Según nuestro modelo, cuál sería la cantidad de CO2 emitida en 1998 por España? I.2 A continuación se presentan los diagramas de caja-bigotes para la emisión total de cuatro paises de la Unión europea entre 1990 y ( ES= España, FR= Francia, GB= Gran Bretaña, y IT= Italia ). 1. Cómo se construye un diagrama de caja-bigotes? 2. Cómo clasificaría estos cuatro paises en cuanto a contaminación por CO2? 3. Cuál es el país que presenta mayor dispersión entre sus datos de contaminación? Qué quiere decir? 4. Si se realiza un ajuste lineal de la emisión de CO2 en función del año para cada uno de los paises, obtenemos las rectas siguientes: España Emisión= año Francia Emisión= año Gran Bretaña Emisión= año Italia Emisión= año Qué paises han ido reduciendo sus emisiones entre 1990 y 1997? Qué paises las han incrementado? Cuál es el país que más ha reducido sus emisiones de CO2? Cuál es el país que más las han incrementado? Problema 5

6 4 Estadística descriptiva I.1 En la siguiente tabla están representados los datos referidos al alquiler pagado mensualmente por 45 familias que habitan pisos de alquiler en una determinada ciudad: Se pide: Alquiler en miles de ptas. Número de familias (0 15] 5 (15 30] 12 (30 60] 16 (60 90] 10 (90 120] 2 1. Representar gráficamente la variable mediante un histograma. Cuáles son las características de dicho histograma? Qué medidas de centralización y dispersión son más adecuadas para resumir los datos? Razonar la respuesta. 2. Calcular el alquiler medio pagado por las familias analizadas. En qué intervalo se sitúa la mediana? Cuál es el intervalo modal? 3. Cuál es la proporción de familias que pagan un alquiler menor o igual a sesenta mil ptas.? I.2. Los siguientes datos se refieren al crecimiento de una colonia de bacterias en un medio de cultivo: x y siendo x los días desde la inoculación e y el número de bacterias. 1. Representar y en función de x para verificar que es razonable ajustar una curva exponencial. 2. Ajustar una curva exponencial a los datos. 3. Estimar, usando el modelo ajustado en el apartado anterior, el número de bacterias al término de 20 días. Problema 6 I.1- Según el principio de la termodinámica, la presión P y el volumen V de una determinada masa de gas están relacionados por la siguiente fórmula : P V γ = C donde γ y C son dos constantes. Supongamos que disponemos de n mediciones de la presión y del volumen, (p 1, v 1 ),..., (p n, v n ) cuál es la manera de obtener valores de las dos constantes γ y C? (pensar en una transformación de los datos).

7 Estadística descriptiva 5 I.2- La comisión de comercio federal americana midió el número de miligramos de tar (X) y monoxido de carbono (C0) (Y ) por cigarrillo en las distintas marcas comerciales disponibles. Se tomo una muestra de 12 marcas, obteniendo para cada una: X Y a) Calcula el porcentaje de marcas con un nivel de C0 inferior a 8. Calcula los cuartiles de la distribución de X. b) Ajusta una recta de regresión de Y sobre X y discute la bondad del ajuste. (Ayuda: x = 110; y = 121; xy = 1294 x 2 = 1234; y 2 = 1411) I.3- Se realizaron investigaciones con el fin de estudiar la relación entre la elevación de la temperatura de las celdas solares en C o por encima de la temperatura ambiente (y) y la cantidad de aislamiento en megawatts por centimetro cuadrado (x), obteniéndose los siguientes datos: x y Se quiere desarrollar un modelo que explique la evolución de y en función de la variable x. LLevar a cabo el ajuste correspondiente y comentar su bondad. 2. Para un aislamiento de 62 qué temperatura cabe esperar? Problema 7 I.1.- Describir las características globales del histograma siguiente. En tu opinión, para ese conjunto de datos, cuáles son las medidas de centralización y de dispersión más representativas? Justifica tu respuesta.

8 6 Estadística descriptiva I.2- Una fábrica de refrescos ha tomado aleatoriamente 6 semanas del año observando la Temperatura media correspondiente a cada una de ellas, y la Cantidad de refrescos pedidos durante cada una de estas semanas. Los datos obtenidos son los siguientes: Temperatura media ( o C ) Cantidad de refrescos pedidos (miles de litros) (a) Calcular la media y la varianza de cada variable. (b) Realizar un ajuste por mínimos cuadrados de la Cantidad de refrescos pedidos respecto de la Temperatura media. Comentar la bondad del ajuste. (c) Si el modelo lineal es correcto, cuál sería la cantidad de refrescos pedidos para una semana donde la temperatura media sea igual a 20 o C? Problema 8 I.2.- En un estudio sobre la rapidez de combustión del grafito artificial en un flujo de aire húmedo, se llevó a cabo un experimento para investigar la difusividad del Oxígeno a través de una mezcla de vapor de agua. Para ello se prepararon muestras de Nitrógeno y Oxígeno con una fracción molar de agua de a 9 temperaturas distintas, midiéndose la difusividad del Oxígeno en cada una, obteniéndose: T emperatura DifusividadO (a) Realice el diagrama de dispersión correspondiente. Es posible el ajuste de un modelo de regresión lineal simple, que relacione la difusividad del O 2 en función de la temperatura? Cómo debe salir el coeficiente de correlación? ( positivo, negativo, cerca de 0?). (b) En caso afirmativo, obtener la correspondiente recta de regresión utilizando la técnica de los mínimos cuadrados. (c) Hallar el coeficiente de determinación r 2 e interpretar su valor. (d) Cuál sería la predicción sobre la difusividad del O 2, para una temperatura de 3 o a partir del modelo construido?. Problema 9 I.3 La tabla siguiente representa los datos correspondientes a 9 pruebas donde se ha estudiado el volumen de desgaste de una pieza (Y ) dependiendo de la viscosidad del aceite (X) X(aceite) Y (desg.) (a) Construye un gráfico de dispersión ( es decir nube de puntos) de los datos. Parece plausible el uso de un modelo de regresión lineal simple? Cómo debe salir el coeficiente de correlación?.

9 Estadística descriptiva 7 (b) Ajusta una recta de regresión utilizando la técnica de los mínimos cuadrados. Comentar la bondad del ajuste. (c) Cuál sería la predicción sobre el desgaste para una viscosidad de 45?. Obtener el valor ajustado de y para x = 22 y calcular el residuo correspondiente. Problema 10 I.3.- Con el fin de estudiar la relación existente entre la densidad de tráfico, representada en número de automóviles por kilómetro, y la velocidad a la que se circula en una determinada avenida de una ciudad, el ayuntamiento decide tomar una muestra durante un mes seleccionando aleatoriamente 10 días laborables del mismo. Los resultados que se obtuvieron vienen reflejados en la siguiente tabla: Densidad de tráf ico V elocidad (a) Calcular la media y varianza asociada a cada una de las variables. (b) Calcular la covarianza existente entre ambas variables así como el coeficiente de correlación. (c) Realizar un ajuste por mínimos cuadrados de la Densidad de tráfico respeto a la V elocidad. (d) Deducir, suponiendo que la relación proporcionada por las rectas de regresión es válida, (d.1) A qué velocidad se estima que se circulará, si la densidad de tráfico es de 85 automóviles/km?. (d.2) Si se desea regular la velocidad modificando los semáforos que dan acceso a la avenida, calcular a partir de la recta de regresión correspondiente, cual debe de ser la densidad de tráfico para que la velocidad sea de 30 Km/h. Problema Una empresa encarga a su departamento de recursos humanos un estudio con el fin de determinar si existe relación entre el tiempo que llevan en la empresa sus empleados y el absentismo laboral (faltas al trabajo). Con el fin de realizar dicho estudio se seleccionan al azar 10 empleados obteniéndose los siguientes resultados: Antigüedad en la empresa Días perdidos (año) (a) Puede afirmarse que los empleados de mayor antigüedad faltan con mas frecuencia al trabajo?. Razona tu respuesta utilizando el coeficiente de correlación. (b) Que podemos afirmar de un empleado con una antigüedad de 15 años?

10 8 Estadística descriptiva Problema En un lago, se ha medido, para diversos valores de la profundidad, el contenido en oxígeno, en miligramos/litro, obteniéndose los siguientes datos. P rof undidad Contenido. O (a) Calcular la media y la varianza asociada a cada variable. (b) Calcular la covarianza de las dos variables así como el coeficiente de correlación. Interpretar los resultados obtenidos. (c) Realizar el ajuste de mínimos cuadrados del contenido respecto de la Profundidad así como el ajuste de la profundidad respecto del contenido. Si la relación proporcionada por las rectas de regresión es válida, cuál sería el valor del contenido de oxígeno a una profundidad de 45m. Problema 13 I.3.- Con el fin de determinar si existe relación entre la cantidad de polímeros de látex incluida durante el proceso de mezclado de cemento Portland y su resistencia adhesiva a tensión, una empresa encargada de realizar certificaciones de obras toma una muestra de tamaño 10, obteniendo los siguientes resultados: P olímeros latex (mgr/kg) Resistencia (kgf/cm 2 ) (a) Calcular la media y varianza asociada a cada una de las variables. (b) Calcular la covarianza existente entre ambas variables así como el coeficiente de correlación. (c) Realizar un ajuste por mínimos cuadrados de la resistencia respeto a la cantidad de polímeros añadida en la mezcla. (d) Deducir, suponiendo que la relación proporcionada por las rectas de regresión es válida, (d.1) El valor estimado para la resistencia si la cantidad de polímero agregado es de 11.5mgr/kg. (d.2) Si un determinado constructor desea que la argamasa tenga una resistencia de 16.5kgf/cm 2, calcular a partir de la recta de regresión correspondiente, cual debe de ser la cantidad de polímero de látex que se debe añadir. Problema 14

11 Estadística descriptiva 9 1. Se quiere estudiar la relación entre la proliferación de una cierta especie de planta silvestre y la cantidad de lluvia caída. Para ello, se define en varias comunidades autónomas un coto de prueba de 1 hectárea y se realiza el recuento de ejemplares en el coto. En la tabla siguiente se han recogido los resultados obtenidos junto con la precipitación acuosa registrada ese año. Comunidad Madrid Extremadura Andalucía Castilla-León Murcia Precipitación (mm) N o de ejemplares: (a) Calcular, para esos datos, la media, la varianza así como el coeficiente de variación asociada a cada variable. (b) Calcular la covarianza existente entre ambas variables así como el coeficiente de correlación. Interpretar los resultados obtenidos. (c) Realizar un ajuste por mínimos cuadrados del número de ejemplares respecto a la precipitación, y de la precipitación respecto al número de ejemplares. Comentar la calidad del ajuste. Si las relaciones proporcionadas por las rectas de regresión son válidas, qué número de ejemplares se asociaría a una precipitación de 500mm? Problema Con el fin de estudiar la relación existente entre la fuerza de torsión aplicada a un tipo de acero (en miles de libras) y su alargamiento medido en milésimas de pulgadas, se seleccionaron aleatoriamente 6 probetas de prueba de longitud dada y se sometieron a distintas cargas. Los resultados que se obtuvieron vienen reflejados en la siguiente tabla: Torsión aplicada Alargamiento (a) A la vista de los resultados, resulta evidente que una mayor Fuerza de Torsión produce un mayor alargamiento de la probeta. Desde un punto de vista estadístico, en qué se traduce esta información? (b) Realizar un ajuste por mínimos cuadrados que nos permita predecir el alargamiento de la probeta para distintas Fuerzas de Torsión aplicables. (c) Deducir, a partir del ajuste que nos proporciona el criterio de mínimos correspondiente, el alargamiento que debe producirse al aplicar una fuerza de torsión de 3500 libras. Podríamos predecir el alargamiento si aplicamos libras?. Razona tu respuesta. Problema Con el fin de estudiar la congestión de tráfico que se produce en una determinada vía, se decide tomar una muestra seleccionando 10 días laborables en una determinada hora y se anotan tanto el número de vehículos que se encuentran en la vía en ese momento como la velocidad promedio de los vehículos que se encuentran en ese momento en la vía. Los resultados que se obtuvieron vienen reflejados en la siguiente tabla: Num vehículos Velocidad (km/h)

12 10 Estadística descriptiva (a) Deducir, en función de los valores que se presentan, el signo de la covarianza entre estas características. Cómo podemos interpretar esta información? (b) Si llamamos X= Núm. de vehículos y Y= Velocidad promedio, sabiendo que: xi = 687 x 2 i = y i = y 2 i = x i y i = realizar un ajuste por mínimos cuadrados de la Velocidad promedio en función del Número de vehículos y comentar la bondad del ajuste. (c) Deducir, a partir del ajuste que nos proporciona el criterio de mínimos correspondiente: i. Cuál será la velocidad promedio estimada si nos encontramos con 80 vehículos en la avenida? ii. Si deseamos regular la velocidad promedio modificando la secuencia de los semáforos, cuántos vehículos deben encontrarse en la avenida para que la velocidad promedio sea de 30 km/h.? Problema Con el fin de analizar el tiempo de respuesta de una base de datos de consulta se tomaron 15 datos correspondientes a 3 semanas consecutivas obteniéndose los siguientes resultados: Lun Mart Miérc Juev Viern Semana Semana Semana (a) Calcular la media, mediana, cuartiles y desviación típica correspondiente a estos datos. (b) En función de los valores observados, entre que valores podemos decir que se encuentran los datos no atípicos?, existen datos que puedan considerarse atípicos? (c) Qué medida de dispersión utilizarías? Razona tu respuesta. (d) Con el fin de determinar la relación entre el tiempo de respuesta de la base de datos y el número de usuarios se midieron simultáneamente a la obtención del tiempo de respuesta, el número de usuarios activos en ese instante, obteniéndose un conjunto de 15 datos cuyo valor medio era y cuya varianza era El estudio concluyó con la siguiente relación lineal entre ambas características: T iempo = 0.51 Usuarios 5.42 i. Determinar el coeficiente de determinación asociado al ajuste. ii. Determinar el número de usuarios activos, si el tiempo de respuesta de servidor es de 32. Problema 18

13 Estadística descriptiva 11 I.1 Sea x 1, x 2,..., x n una realización muestral de una M.A.S. de tamaño n. Justifica como queda afectada la media y la varianza muestral en los siguientes casos: (a) A todas las observaciones se les suma una constante k. (b) Todas las observaciones se multiplican por una constante k. Problema Después de la jornada 22 en la liga 02/03, los puntos de la clasificación quedan como sigue: Puntos (a) Calcular la mediana y los dos cuartiles asociados a este conjunto de datos. (b) Realizar un diagrama de caja-bigotes de los datos. Aparecen datos atípicos? (c) Cómo interpreta el hecho de que el primer cuartil está muy próximo a la mediana? Quien va a ganar la liga? 2. Un ingeniero estudia la relación entre una variable Y y otra variable X. Para ello dispone de los valores de Y para 15 valores de X y sabe que la varianza de X vale 3.4. Decide ajustar una recta de regresión y encuentra la ecuación siguiente: y = 2.3x + 5. (a) Cuál es el signo de la correlación entre X e Y? Justifica tu respuesta. (b) Cuánto vale la covarianza de X y de Y? (c) Si x = 5.3, cuanto vale ȳ? (d) Qué medida debe el ingeniero calcular para cuantificar la bondad del ajuste? Cuando se considera que el ajuste es bueno? Problema 20 Se mide el tiempo que tienen que esperar los usuarios para que llegue el ascensor B en la planta baja del hospital de Marina. Después de varios días de recogida de datos, los resultados obtenidos (en segundos) se presentan en la tabla siguiente: Tiempos de espera N o de usuarios [0, 125] 66 [125, 250] 21 [250, 375] 10 [375, 500] 3 I.1 1. De cuántos datos disponemos? Representar gráficamente la variable mediante un histograma.

14 12 Estadística descriptiva 2. De los modelos de variables aleatorias vistos en clase, escoge uno que pueda describir aproximadamente la distribución de los valores de esta tabla. Justificar la respuesta. 3. Utilizando las marcas de clases (es decir el punto medio de cada intervalo en la tabla de frecuencias) calcula la media y la varianza del conjunto de datos. Problema 21 I.1 Para tener una buena imagen de la pantalla del ordenador es necesario que la tensión de la rejilla metálica situada detrás de la pantalla no sea ni demasiado alta ni demasiado baja. Por este motivo, durante la producción el fabricante controla la tensión de dicha rejilla. Los siguientes resultados corresponden a estas mediciones sobre 20 rejillas: Se pide: Mediciones de la tensión N o de rejillas 257 X < X < X < X < X < X < I.1 1. Representar gráficamente la variable mediante un histograma. Comentar las características más relevantes de dicho histograma. Qué medidas de centralización y dispersión son más adecuadas para resumir los datos? Razonar la respuesta. 2. Calcular la tensión media de las rejillas analizadas. En qué intervalo se sitúa la mediana? Cuál es el intervalo modal? 3. Para que una rejilla sea apta para su ensamblaje en la pantalla de un ordenador su tensión media debe de situarse en el intervalo [306,328]. Debe el fabricante iniciar una investigación del proceso productivo? Razonar la respuesta. I.2 Con el fin de determinar la relación existente entre la resistencia de una determinada pieza de plástico y uno de sus componentes (componente A) se fabrican 10 piezas de prueba, cada una con una concentración distinta y se obtienen los siguientes resultados: P ieza X (% A) Y (Rotura) donde la variable rotura indica la fuerza empleada a tracción en el instante de su rotura. A partir de los datos anteriores se obtienen las siguientes cantidades: xi = 50.9; x 2 i = ; y i = ; y 2 i = ; x i y i = Realizar un ajuste lineal de la rotura en función del contenido en el componente A. Calcular el valor de r 2 y comentar la bondad del ajuste.

15 Estadística descriptiva Según nuestro modelo, cuál sería la resistencia para un 3% de contenido de componente A? 3. Un determinado comprador nos pide que le fabriquemos piezas con un 6% de componente A y nos exige que tengan una resistencia de 10 Nwt a tracción. Podemos afirmar que somos capaces de cumplir las especificaciones? Razonar la respuesta. Problema 22 I.1 Qué densidad de siembra de maíz debe utilizar un agricultor para obtener el máximo rendimiento? Si crecen pocas plantas obtendrá un rendimiento bajo. Por otro lado, si hay demasiadas plantas, éstas competirán entre sí por el agua y los nutrientes, y en consecuencia el rendimiento bajará. Para averiguar cuál es la mejor densidad de siembra, se planta maíz con distintas densidades de siembra en 32 parcelas de idénticas características y se obtienen los siguientes datos: Y [130, 218) [218, 306) [306, 394) X X: N o de plantas por hectárea ( 10 4 ), Y : Rendimiento (Tm. por Ha.). 1. Cuál es el número de plantas por hectárea más habitual? Y el número medio de plantas por Ha.? 2. Obtener el rendimiento medio por Ha.. Determinar el porcentaje de parcelas cuyo rendimiento es mayor o igual que el rendimiento medio. 3. Calcular el porcentaje de parcelas, en las que se plantaron más de plantas, cuyo rendimiento por Ha es mayor a 262 Tm/Ha. 4. Con el fin de determinar la relación entre la rentabilidad por Ha. y el número de plantas de maíz plantadas por Ha., un ingeniero agrónomo analiza los anteriores datos y decide ajustar el siguiente modelo lineal entre las características X e Y : Y = X con r 2 = Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre X e Y? Razona tu respuesta Para una densidad de siembra de plantas por Ha., cuál sería la rentabilidad por Ha. estimada con el modelo? Es fiable esta estimación? Razona tu respuesta. 5. Cuál sería tu conclusión sobre la densidad de siembra para obtener el máximo rendimiento? Problema 23

16 14 Estadística descriptiva I.1 Los datos que a continuación se detallan corresponden a la producción (en miles de toneladas) de hortalizas y frutales en España durante una campaña agrícola: Hortalizas 10 3 T m. Hortalizas 10 3 T m. Frutales 10 3 T m. Espárrago 62.8 Sandía Avellana 16.2 Guisantes verdes 63.2 Pimiento Cereza 54.4 Habas verdes 69.5 Cebolla Ciruela Ajos 160 Melón Albaricoque Judías verdes Lechuga Almendra Alcachofa Tomate Plátano Fresa y Fresón Pera Col repollo Manzana 719 Coliflor 353 Melocotón El diagrama de caja y bigotes realizado con Statistix es el siguiente: 1. Colocar en cada línea del gráfico su valor numérico. 2. Comentar las características más relevantes del gráfico. En ambos diagramas las cajas aparecen divididas en dos partes desiguales, cómo interpretas esta situación? 3. Existen datos atípicos en algunas de las producciones? Qué representan? I.2 En una determinada región se sabe que las precipitaciones caídas dependen de la cantidad de vegetación en la zona. Se dispone de los siguientes datos: X Y X: número de árboles por Ha., Y : número de litros caídos por m Realizar un ajuste por mínimos cuadrados del volumen de agua caída por m 2 en función del número de árboles por Ha. Calcular una medida de la bondad del ajuste realizado. 2. Utilizando la recta ajustada en el apartado anterior, predecir el volumen de agua caído cuando el número de árboles por Ha. en la zona es 175. Es fiable esta predicción? Razona tu respuesta. Problema 24 I.1 La edad de un árbol se estudia atendiendo al número de anillos en la sección transversal del tronco. Con el fin de analizar la edad de los árboles de un determinado bosque, mediante un proceso de simulación por ordenador se determina el número aproximado de anillos en la sección transversal del tronco según el diámetro de éste. Para una muestra de 40 árboles se obtienen los siguientes resultados: N o de anillos (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] N o de árboles

17 Estadística descriptiva Calcular la media y la desviación típica correspondiente al número de anillos en la sección transversal del tronco. Qué tipo de información proporcionan acerca del conjunto de datos? 2. Representar gráficamente la variable mediante un histograma. De los modelos de variables aleatorias que hemos visto, escoge uno que pueda describir aproximadamente el número de anillos en la sección transversal de un árbol. Razona tu respuesta. 3. Un árbol se considera anciano si el número de anillos en su sección transversal es superior a 30. Determinar la proporción de árboles no ancianos obtenidos en la muestra. 4. El estudio concluyó con la siguiente relación entre la edad, en años, de un árbol y el número de anillos en la sección transversal de su tronco: Edad = 0.51 N o de anillos (a) Determinar razonadamente el signo de la covarianza entre la edad de un árbol y el número de anillos de su tronco. Podrías dar un valor numérico para ella? (b) Determinar la edad aproximada para un árbol que se le han contado 24 anillos en su tronco? Problema 25 I.2 Se quiere estudiar la relación entre la rentabilidad del trigo respecto del nivel de nitrógeno (N). Para ello, se plantó trigo en 7 parcelas de tierra de idénticas características y se les suministraron diferentes niveles de nitrógeno. Los resultados aparecen en la tabla siguiente: Unidades (N/acre) (x) Rentabilidad (Tm/acre) (y) Se pueden utilizar las cantidades numéricas siguientes: xi = 700 y i = x 2 i = y 2 i = x i y i = Ajustar una recta para predecir la rentabilidad del trigo en función del nivel de nitrógeno. Calcular r 2 e interpretar su valor. 2. Estimar, utilizando el modelo ajustado en el apartado anterior, la rentabilidad del trigo cuando el nivel de nitrógeno es de 60 unidades. Es fiable esta predicción? Razona tu respuesta. Problema 26 I.1 Describir las características globales del siguiente histograma. Indicar de manera razonada cuáles serían las medidas de centralización y dispersión más adecuadas para resumir dicho conjunto de datos:

18 16 Estadística descriptiva I.2 En julio, las cepas producen racimos de pequeñas bayas, y se quiere utilizar un recuento de esos racimos para predecir la cantidad de uva que se recogerá. En la tabla siguiente aparece, para varios años, la cosecha de uva en toneladas por acre y la cantidad de racimos contabilizados en julio: Año N o racimos (x) Producción (y) Se pueden utilizar las cantidades numéricas siguientes: xi = 754 y i = 31.4 x 2 i = y 2 i = x i y i = Se quiere desarrollar un modelo que explique la producción de uva respecto del número de racimos contabilizados en julio. Llevar a cabo el ajuste correspondiente y comentar su bondad. 2. Si en julio se contabilizaron 122 racimos, cuál será el ingreso esperado de la producción de uva si en dicho año el precio de venta del kilo de la uva es de 1.40 euros? Problema 27 I.1 Una empresa vitivinícola desea realizar un estudio sobre la influencia de las campañas publicitarias en sus cifras de ventas. Para ello dispone del gasto destinado a publicidad y sus ventas en los últimos cinco años. AÑOS GAST OS EN P UBLICIDAD( ) V ENT AS( ) ( ) Los gastos en publicidad y las ventas vienen en millones de pesetas. Se pide: 1. Se quiere desarrollar un modelo que explique la evolución de las ventas en función de los gastos en publicidad. Llevar a cabo el ajuste correspondiente y comentar su bondad. 2. Predecir las ventas para este año 2001, si se tiene previsto invertir en publicidad 4 millones de pesetas. I.2 Se ha aplicado un test sobre capacitación laboral a 90 empleados de una industria, obteniéndose los siguientes resultados: P UNT UACIONES N o de EMP LEADOS [38, 44) 7 [44, 50) 8 [50, 56) 15 [56, 62) 27 [62, 68) 18 [68, 74) 9 [74, 80] 6

19 Estadística descriptiva 17 Se pide: 1. Representar gráficamente la variable mediante un histograma. Comentar las características más relevantes de dicho histograma. Qué medidas de centralización y dispersión son más adecuadas para resumir los datos? Razona tu respuesta. 2. Calcular la puntuación media obtenida en el test. En qué intervalo se sitúa la mediana? Cuál es el intervalo modal? 3. Qué proporción de empleados tiene una puntuación mayor o igual a 62? Problema 28 I.1 Una empresa productora de cítricos constata que las producciones de dos fincas son de calidad distinta aunque utilizan la misma especie de árboles. Después de notar que los dos tipos de suelo son distintos (la finca A está constituida de suelo fino y homogéneo mientras que la finca B tiene una mezcla de suelo fino y suelo más grueso) decide hacer mediciones de la densidad del suelo en las dos fincas: FINCA A FINCA B Realiza en un mismo gráfico un diagrama de caja y bigotes de la densidad de la finca A y la finca B. Comentar las características más relevantes. 2. Te parece que la densidad se distribuye sensiblemente de la misma manera para las dos fincas? I.2 Una empresa de productos lácteos quiere estudiar la relación entre el contenido en materia grasa de la leche de vaca y la cantidad de lluvia caida (a mayor precipitación acuosa mejor será el forraje para la alimentación del ganado). Los siguientes datos se refieren al porcentaje de contenido en grasa junto con la precipitación acuosa registrada durante el primer semestre del año: contenido de grasa % precipitación (l/m 2 ) Realizar el diagrama de dispersión correspondiente. Cuál es el tipo de relación entre las dos variables? Se trata de una relación positiva o negativa? 2. Realizar un ajuste por mínimos cuadrados del contenido de materia grasa respecto de la precipitación. Hallar el coeficiente de correlación e interpretar su valor. 3. Estimar, usando el modelo ajustado en el apartado anterior, el contenido de materia grasa para un mes con una precipitación de 450 l/m 2. Problema 29 La mejora de la tecnología (mecanización, fertilizantes, nuevas variedades de plantones, etc,) ha dado lugar que la productividad (P ) y el tiempo (t) estén relacionados por la fórmula P = β e α t donde α y β son dos constantes. Supongamos que tenemos n datos de la productividad y el tiempo, qué transformación de los datos nos lleva a obtener las constantes α y β? Realiza dicha transformación y propón las fórmulas para obtener las citadas constantes. (1 pto)

20 18 Estadística descriptiva

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