INDICE UNIDAD I UNIDAD II

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1 INDICE UNIDAD I TEORIA DEL MUESTREO Muestras aleatorias Errores e el muestreo Distribucioes muestrales Teorema del límite cetral Distribució muestral de medias Distribució muestral de proporcioes Distribució muestral de diferecia de medias Distribució muestral de diferecia de proporcioes Distribució Muestral de úmero de defectos Problemas propuestos ESTIMACION Estimació Putual Propiedades de u bue estimador Estimació por itervalos Estimació para la media Estimació de ua proporció Estimació de la diferecia etre dos medias Estimació de la diferecia de Proporcioes DETERMINACION DE TAMAÑOS DE MUESTRA Cálculo del tamaño de la muestra para estimar ua media Cálculo del tamaño de la muestra para estimar ua proporció Cálculo del tamaño de la muestra para estimar la diferecia de medias Cálculo del tamaño de la muestra para diferecia de proporcioes Problemas propuestos PRUEBA DE HIPOTESIS Hipótesis ula Hipótesis alterativa Error tipo I y tipo II Pasos para establecer u esayo de hipótesis Tipos de Esayo Uso de valores P para la toma de decisioes Error tipo II ó ß Curva característica de operació Problemas propuestos UNIDAD II

2 TEORIA DEL MUESTREO Uo de los propósitos de la estadística iferecial es estimar las características poblacioales descoocidas, examiado la iformació obteida de ua muestra, de ua població. El puto de iterés es la muestra, la cual debe ser represetativa de la població objeto de estudio. Se seguirá ciertos procedimietos de selecció para asegurar de que las muestras refleje observacioes a la població de la que procede, ya que solo se puede hacer observacioes probabilísticas sobre ua població cuado se usa muestras represetativas de la misma. Ua població está formada por la totalidad de las observacioes e las cuales se tiee cierto observa. Ua muestra es u subcojuto de observacioes seleccioadas de ua població. Muestras Aleatorias Cuado os iteresa estudiar las características de poblacioes grades, se utiliza muestras por muchas razoes; ua eumeració completa de la població, llamada ceso, puede ser ecoómicamete imposible, o o se cueta co el tiempo suficiete. A cotiuació se verá alguos usos del muestreo e diversos campos:. Política. Las muestras de las opiioes de los votates se usa para que los cadidatos mida la opiió pública y el apoyo e las eleccioes.. Educació. Las muestras de las calificacioes de los exámees de estudiates se usa para determiar la eficiecia de ua técica o programa de eseñaza. 3. Idustria. Muestras de los productos de ua líea de esamble sirve para cotrolar la calidad. 4. Medicia. Muestras de medidas de azúcar e la sagre de pacietes diabéticos prueba la eficacia de ua técica o de u fármaco uevo. 5. Agricultura. Las muestras del maíz cosechado e ua parcela proyecta e la producció los efectos de u fertilizate uevo. 6. Gobiero. Ua muestra de opiioes de los votates se usaría para determiar los criterios del público sobre cuestioes relacioadas co el bieestar y la seguridad acioal. Errores e el Muestreo Cuado se utiliza valores muestrales, o estadísticos para estimar valores poblacioales, o parámetros, puede ocurrir dos tipos geerales de errores: el error muestral y el error o muestral.

3 El error muestral se refiere a la variació atural existete etre muestras tomadas de la misma població. Cuado ua muestra o es ua copias exacta de la població; aú si se ha teido gra cuidado para asegurar que dos muestras del mismo tamaño sea represetativas de ua cierta població, o esperaríamos que las dos sea idéticas e todos sus detalles. El error muestral es u cocepto importate que ayudará a eteder mejor la aturaleza de la estadística iferecial. Los errores que surge al tomar las muestras o puede clasificarse como errores muestrales y se deomia errores o muestrales. El sesgo de las muestras es u tipo de error o muestral. El sesgo muestral se refiere a ua tedecia sistemática iherete a u método de muestreo que da estimacioes de u parámetro que so, e promedio, meores (sesgo egativo), o mayores (sesgo positivo) que el parámetro real. El sesgo muestral puede suprimirse, o miimizarse, usado la aleatorizació. La aleatorizació se refiere a cualquier proceso de selecció de ua muestra de la població e el que la selecció es imparcial o o está sesgada; ua muestra elegida co procedimietos aleatorios se llama muestra aleatoria. Los tipos más comues de técicas de muestreo aleatorios so el muestreo aleatorio simple, el muestreo estratificado, el muestreo por coglomerados y el muestreo sistemático. Si ua muestra aleatoria se elige de tal forma que todos los elemetos de la població tega la misma probabilidad de ser seleccioados, la llamamos muestra aleatoria simple. Ejemplo. Supoga que os iteresa elegir ua muestra aleatoria de 5 estudiates e u grupo de estadística de 0 alumos. 0 C 5 da el úmero total de formas de elegir ua muestra o ordeada y este resultado es 5,504 maeras diferetes de tomar la muestra. Si listamos las 5,504 e trozos separados de papel, ua tarea tremeda, luego los colocamos e u recipiete y después los revolvemos, etoces podremos teer ua muestra aleatoria de 5 si seleccioamos u trozo de papel co cico ombres. U procedimieto más simple para elegir ua muestra aleatoria sería escribir cada uo de los 0 ombres e pedazos separados de papel, colocarlos e u recipiete, revolverlos y después extraer cico papeles al mismo tiempo. Otro método parea obteer ua muestra aleatoria de 5 estudiates e u grupo de 0 utiliza ua tabla de úmeros aleatorios. Se puede costruir la tabla usado ua calculadora o ua computadora. Tambié se puede prescidir de estas y 3

4 hacer la tabla escribiedo diez dígitos del 0 al 9 e tiras de papel, las colocamos e u recipiete y los revolvemos, de ahí, la primera tira seleccioada determia el primer úmero de la tabla, se regresa al recipiete y después de revolver otra vez se seleccioa la seguida tira que determia el segudo úmero de la tabla; el proceso cotiúa hasta obteer ua tabla de dígitos aleatorios co tatos úmeros como se desee. Hay muchas situacioes e las cuales el muestreo aleatorio simple es poco práctico, imposible o o deseado; auque sería deseable usar muestras aleatorias simples para las ecuestas acioales de opiió sobre productos o sobre eleccioes presideciales, sería muy costoso o tardado. El muestreo estratificado requiere de separar a la població segú grupos que o se traslape llamados estratos, y de elegir después ua muestra aleatoria simple e cada estrato. La iformació de las muestras aleatorias simples de cada estrato costituiría etoces ua muestra global. Ejemplo. Supoga que os iteresa obteer ua muestra de las opiioes de los profesores de ua gra uiversidad. Puede ser difícil obteer ua muestra co todos los profesores, así que supogamos que elegimos ua muestra aleatoria de cada colegio, o departameto académico; los estratos vedría a ser los colegios, o departametos académicos. El muestreo por coglomerados requiere de elegir ua muestra aleatoria simple de uidades heterogéeas etre sí de la població llamadas coglomerados. Cada elemeto de la població perteece exactamete a u coglomerado, y los elemetos detro de cada coglomerado so usualmete heterogéeos o disímiles. Ejemplo.3 Supoga que ua compañía de servicio de televisió por cable está pesado e abrir ua sucursal e ua ciudad grade; la compañía plaea realizar u estudio para determiar el porcetaje de familias que utilizaría sus servicios, como o es práctico pregutar e cada casa, la empresa decide seleccioar ua parte de la ciudad al azar, la cual forma u coglomerado. E el muestreo por coglomerados, éstos se forma para represetar, ta fielmete como sea posible, a toda la població; etoces se usa ua muestra aleatoria simple de coglomerados para estudiarla. Los estudios de istitucioes sociales como iglesias, hospitales, escuelas y prisioes se realiza, geeralmete, co base e el muestreo por coglomerados. 4

5 El muestreo sistemático es ua técica de muestreo que requiere de ua selecció aleatoria iicial de observacioes seguida de otra selecció de observacioes obteida usado algú sistema o regla. Ejemplo.4 Para obteer ua muestra de suscriptores telefóicos e ua ciudad grade, puede obteerse primero ua muestra aleatoria de los úmeros de las págias del directorio telefóico; al elegir el vigésimo ombre de cada págia obtedríamos u muestreo sistemático, tambié podemos escoger u ombre de la primera págia del directorio y después seleccioar cada ombre del lugar úmero cie a partir del ya seleccioado. Por ejemplo, podríamos seleccioar u úmero al azar etre los primeros 00; supogamos que el elegido es el 40, etoces seleccioamos los ombres del directorio que correspode a los úmeros 40, 40, 40, 340 y así sucesivamete. Error Muestral Cualquier medida colleva algú error. Si se usa la media para medir, estimar, la media poblacioal µ, etoces la media muestral, como medida, colleva algú error. Por ejemplo, supogamos que se ha obteido ua muestra aleatoria de tamaño 5 de ua població co media µ 5: si la media de la muestra es x, etoces a la diferecia observada x-µ -3 se le deomia el error muestral. Ua media muestral x puede pesarse como la suma de dos catidades, la media poblacioal µ y el error muestral; si e deota el error muestral, etoces: X µ e Ejemplo.5 Se toma muestras de tamaño de ua població cosistete e tres valores,, 4 y 6, para simular ua població grade de maera que el muestreo pueda realizarse u gra úmero de veces, supodremos que éste se hace co reemplazo, es decir, el úmero elegido se reemplaza ates de seleccioar el siguiete, además, se seleccioa muestras ordeadas. E ua muestra ordeada, el orde e que se seleccioa las observacioes es importate, por tato, la muestra ordeada (,4) es distita de la muestra ordeada (4,). E la muestra (4,), se seleccioó primero 4 y después. La siguiete tabla cotiee ua lista de todas las muestras ordeadas de tamaño que es posible seleccioar co reemplazo y tambié cotiee las medioas muestrales y los correspodietes errores muestrales. La media poblacioal es igual a µ (46)/3 4. Ver la tabla e la siguiete págia. Notese las iteresates relacioes siguietes coteidas e la tabla: 5

6 La media de la colecció de medias muestrales es 4, la media de la població de la que se extrae las muestras. Si µx deota la media de todas las medias muestrales etoces teemos: µx ( )/9 4 La suma de los errores muestrales es cero. e e e 3... e 9 (-) (-) 0 (-) Muestras ordeadas x Error muestral e x - µ (,) 4 - (,4) (,6) (4,) (4,4) (4,6) (6,) (6,4) (6,6) E cosecuecia, si x se usa para medir, estimar, la media poblacioal µ, el promedio de todos los errores muestrales es cero. Distribucioes Muestrales Las muestras aleatorias obteidas de ua població so, por aturaleza propia, impredecibles. No se esperaría que dos muestras aleatorias del mismo tamaño y tomadas de la misma població tega la misma media muestral o que sea completamete parecidas; puede esperarse que cualquier estadístico, como la media muestral, calculado a partir de las medias e ua muestra aleatoria, cambie su valor de ua muestra a otra, por ello, se quiere estudiar la distribució de todos los valores posibles de u estadístico. Tales distribucioes será muy importates e el estudio de la estadística iferecial, porque las iferecias sobre las poblacioes se hará usado estadísticas muestrales. Como el aálisis de las distribucioes asociadas co los estadísticos muestrales, podremos juzgar la cofiabilidad de u estadístico muestral como u istrumeto para hacer iferecias sobre u parámetro poblacioal descoocido. Como los valores de u estadístico, tal como x, varía de ua muestra aleatoria a otra, se le puede cosiderar como ua variable aleatoria co su correspodiete distribució de frecuecias. La distribució de frecuecia de u estadístico muestral se deomia distribució muestral. E geeral, la distribució muestral de u estadístico es la de todos sus valores posibles calculados a partir de muestras del mismo tamaño. 6

7 Supoga que se ha seleccioado muestras aleatorias de tamaño 0 e ua població grade. Se calcula la madia muestral x para cada muestra; la colecció de todas estas medias muestrales recibe el ombre de distribució muestral de medias, lo que se puede ilustrar e la siguiete figura: X Muestra Muestra Muestra 3 Muestra K POBLACION X X 3 X k X X S X 3 X k Distribució muestral de medias (x) Supoga que se elige muestras aleatorias de tamaño 0, de ua població grade, y se calcula la deviació estádar de cada ua. La colecció de todas estas desviacioes estádar muestrales se llama distribució muestral de la desviació estádar, y lo podemos ver e la siguiete figura: s Muestra Muestra s s s s 3 Muestra 3 Muestra K POBLACION Ejemplo.6 s3 sk s k Distribució muestral de desviacioes estádar (s) Se elige muestras ordeadas de tamaño, co reemplazo, de la població de valores 0,, 4 y 6. Ecuetre: µ, la media poblacioa., la desviació estádar poblacioal. µ x, la media de la distribució muestral de medias. x, la desviació estádar de la distribució muestral de medias. Además, grafique las frecuecias para la població y para la distribució muestral de medias. 7

8 Solució: a) La media poblacioal es: µ 3 4 f Gráfica de frecuecias para la població x b) La desviació estádar de la població es: ( 0 3) ( 3) ( 4 3) ( 6 3) 4.36 c) A cotiuació se lista los elemetos de la distribució muestral de la media y la correspodiete distribució de frecuecias. Muestra x (0,0) 0 (0,) (0,4) (0,6) 3 (,0) (,) (,4) 3 (,6) 4 (4,0) (4,) 3 (4,4) 4 (4,6) 5 (6,0) 3 (6,) 4 (6,4) 5 (6,6) 6 Distribució de frecuecias de x x f Gráfica de frecuecias para las medias de las muestras x 8

9 La media de la distribució muestral de medias es: Σ ( f x ) ( 0 )( ) ( )( ) ( )( 3 ) ( 3 )( 4 ) ( 4 )( 3 ) ( 5 )( ) ( 6 )( ) µ x Σ f d) La desviació estádar de la distribució muestral de medias es: x Σ 6 ( x µ ) ( 0 3) ( 3) ( 3) 3 ( 3 3) 4 ( 4 3) 3 ( 5 3) ( 6 3) Σf x f x 6.36 De aquí que podamos deducir que: x. 58 Como para cualquier variable aleatoria, la dsitribució muestral de medias tiee ua media o valor esperado, ua variaza y ua desviació estádar, se puede demostrar que la distribució muestral de medias tiee ua media igual a la media poblacioal. Esto es: ( ) 3 µ E x µ x Distribucioes muestrales Después de haber realizado el ejercicio aterior se puede ver que ua distribució muestral se geera extrayedo todas las posibles muestras del mismo tamaño de la població y calculádoles a éstas su estadístico. Si la població de la que se extrae las muestras es ormal, la distribució muestral de medias será ormal si importar el tamaño de la muestra. 3 Població Normal Distribució muestral de medias geerada co muestras de Si la població de dode se extrae las muestras o es ormal, etoces el tamaño de la muestra debe ser mayor o igual a 30, para que la distribució muestral tega ua forma acampaada. Mietras mayor sea el tamaño de la muestra, más cerca estará la distribució muestral de ser ormal. Para muchos propósitos, la aproximació ormal se cosidera buea si se cumple 30. La forma de la disitribució muestral de medias sea aproximadamete ormal, aú e casos dode la població origial es bimodal, es realmete otable. Població Expoecial Distribució muestral de medias geerada co muestras de tamaño 9

10 Teorema del límite cetral Si se seleccioa muestras aleatorias de observacioes de ua població co media µ y desviació estádar, etoces, cuado es grade, la distribució muestral de medias tedrá aproximadamete ua distribució ormal co ua media igual a µ y ua desviació estádar de. La aproximació será cada vez más exacta a medida de que sea cada vez mayor Ejemplo Para la dsitribució muestral de medias del ejercicio pasado, ecuetre: a) El error muestral de cada media b) La media de los errores muestrales c) La desviació estádar de los errores muestrales. Solució: a) E la tabla siguiete se ve las muestras, las medias de las muestras y los errores muestrales: Muestra x Error muestral, ex-µ (0,0) (0,) (0,4) (0,6) (,0) 3 - (,) 3 - (,4) (,6) (4,0) 3 - (4,) (4,4) (4,6) (6,0) (6,) (6,4) (6,6)

11 b) La media de los errores muestrales es µ e, es: ( 3) ( ) ( ) 0... µ e 6 3 c) La desviació estádar de la distribució de los errores muestrales e, es etoces: e Σ [( e µ ) f ] ( 3 0) ( 0) ( 0) 3 ( 0 0) 4 ( 0) 3 ( 0) ( 3 0) N e La desviació estádar de la distribució muestral de u estadístico se cooce como error estádar del estadístico. Para el ejercicio aterior el error estádar de la media deotado por x, es.58. Co esto se puede demostrar que si de ua població se elige muestras de tamaño co reemplazo, etoces el error estádar de la media es igual a la desviació estádar de la distribució de los errores muestrales. E geeral se tiee: Cuado las muestras se toma de ua població pequeña y si reemplazo, se puede usar la formula siguiete para ecotrar x. N x N dode es la desviació estádar de la població de dode se toma las muestras, es el tamaño de la muestra y N el de la població. Como rfegla de cálculo, si el muestreo se hace si reemplazo y el tamaño de la població es al meos 0 veces el tamaño de la muestra (N 0), etoces se puede usar la fórmula. N El factor se deomia factor de correcció para ua població fiita. N Ejemplo: Supoga que la tabla siguiete muestra la atiguedad e años e el trabajo de tres maestros uiversitarios de matemáticas: Maestro de matemáticas Atiguedad A 6 B 4 C Supoga además que se seleccioa muestras aleatorias de tamaño si reemplazo. Calcule la atigüedad media para cada muestra, la media de la distribució muestral y el error estádar, o la desviació estádar de la distribució muestral. Solució: Se puede teer 3 C 3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras posibles de tamaño, co sus respectivas medias muestrales. Muestras Atigüedad Media Muestral A,B (6,4) 5 x e

12 A,C (6,) 4 B,C (4,) 3 La media poblacioal es: 4 6 µ 4 3 La media de la distribució muestral es: µ x 4 3 La desviació estádar de la població es: ( 6 4 ) ( 4 4 ) ( 4 ) 3.63 El error estádar o la desviació estádar de la distribució muestral es: ( 5 4 ) ( 4 4) ( 3 4) x Si utilizamos la fórmula del error estádar si el factor de correció tedriamos que:.63.5 x Por lo que observamos que este valor o es el verdadero. Agregado el factor de correcció obtedremos el valor correcto: x N N El diagrama de flujo resume las decisioes que debe tomarse cuado se calcula el valor del error estádar: Comiezo Es la població ifiita? Sí x No Se muestrea co sustitució? Sí No Es N 0? Sí x N N

13 Distribució Muestral de Medias Si recordamos a la distribució ormal, esta es ua distribució cotiua, e forma de campaa e dode la media, la mediaa y la moda tiee u mismo valor y es simétrica. Co esta distribució podíamos calcular la probabilidad de algú eveto relacioado co la variable aleatoria, mediate la siguiete fórmula: µ z x E dode z es ua variable estadarizada co media igual a cero y variaza igual a uo. Co esta fórmula se puede a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizado la tabla de la distribució z. Sabemos que cuado se extrae muestras de tamaño mayor a 30 o bie de cualquier tamaño de ua població ormal, la distribució muestral de medias tiee u comportamieto aproximadamete ormal, por lo que se puede utilizar la formula de la distribució ormal co µ µ x y x, etoces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamieto del estadístico, e este caso la media de la muestra, quedaría de la siguiete maera: x µ z y para poblacioes fiitas y muestro co reemplazo: x µ z N N Ejemplo: Ua empresa eléctrica fabrica focos que tiee ua duració que se distribuye aproximadamete e forma ormal, co media de 800 horas y desviació estádar de 40 horas. Ecuetre la probabilidad de que ua muestra aleatoria de 6 focos tega ua vida promedio de meos de 775 horas. Solució: z Este valor se busca e la tabla de z P x 775 P z ( ) ( ) 006 La iterpretació sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 6 focos sea meor a 775 horas es de Ejemplo: Las estaturas de 000 estudiates está distribuidas aproximadamete e forma ormal co ua media de 74.5 cetímetros y ua desviació estádar de 6.9 3

14 cetímetros. Si se extrae 00 muestras aleatorias de tamaño 5 si reemplazo de esta població, determie: a) El úmero de las medias muestrales que cae etre 7.5 y 75.8 cetímetros. b) El úmero de medias muestrales que cae por debajo de 7 cetímetros. Solució: Como se puede observar e este ejercicio se cueta co ua població fiita y u muestreo si reemplazo, por lo que se tedrá que agregar el factor de correcció. Se procederá a calcular el deomiador de Z para sólo sustituirlo e cada iciso. a) N N z x µ N N z p ( 7.5 x 75.8) b) z p( x 7) (0.7607)(00)5 medias muestrales (0.0336)(00) 7 medias muestrales Distribució muestral de Proporcioes Existe ocasioes e las cuales o estamos iteresados e la media de la muestra, sio que queremos ivestigar la proporció de artículos defectuosos o la proporció de alumos reprobados e la muestra. La distribució muestral de proporcioes es la adecuada para dar respuesta a estas situacioes. Esta distribució se geera de igual maera que la distribució muestral de medias, a excepció de que al extraer las muestras de la població se calcula el estadístico proporció (px/ e dode x es el úmero de éxitos u observacioes de iterés y el tamaño de la muestra) e lugar del estadísitico media. 4

15 p Muestra Muestra Muestra 3 Muestra K p p 3 p p p 3.. p k p POBLACION p k Distribució muestral de Proporcioes Ua població biomial está estrechamete relacioada co la distribució muestral de proporcioes; ua població biomial es ua colecció de éxitos y fracasos, mietras que ua distribució muestral de proporcioes cotiee las posibilidades o proporcioes de todos los úmeros posibles de éxitos e u experimeto biomial, y como cosecuecia de esta relació, las afirmacioes probabilísticas referetes a la proporció muestral puede evaluarse usado la aproximació ormal a la biomial, siempre que p 5 y (-p) 5. Cualquier eveto se puede covertir e ua proporció si se divide el úmero obteido etre el úmero de itetos. Geeració de la Distribució Muestral de Proporcioes Supoga que se cueta co u lote de piezas, el cual tiee 4 artículos defectuosos. Se va a seleccioar 5 artículos al azar de ese lote si reemplazo. Geere la distribució muestral de proporcioes para el úmero de piezas defectuosas. Como se puede observar e este ejercicio la Proporció de artículos defectuosos de esta població es 4//3. Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote está defectuosas. El úmero posible de muestras de tamaño 5 a extraer de ua població de elemetos es C 5 79, las cuales se puede desglosar de la siguiete maera: Artículos Bueos Artículos Malos Proporció de artículos defectuoso Número de maeras e las que se puede obteer la muestra 4 4/50.8 8C * 4 C /50.6 8C * 4 C 3 3 /50.4 8C 3 * 4 C /50. 8C 4 * 4 C /50 8C5*4C056 Total 79 5

16 Para calcular la media de la distribució muestral de proporcioes se tedría que hacer la sumatoria de la frecuecia por el valor de la proporció muestral y dividirla etre el úmero total de muestras. Esto es: ( 0.8 * 8) ( 0.6 *) ( 0.4 * 336) ( 0. * 80) ( 0 *56) µ p Como podemos observar la media de la distribució muestral de proporcioes es igual a la Proporció de la població. m p P Tambié se puede calcular la desviació estádar de la distribució muestral de proporcioes: p ( 0.8 /3) *8( 0.6 /3) * ( 0.4 /3) *336 ( 0. /3) *80 ( 0 /3) * La variaza de la distribució biomial es pq, por lo que la variaza de la distribució muestral de proporcioes es p (Pq)/. Si se sustitute los valores e esta fórmula teemos que: ( / 3)( / 3) p 0.08, este valor o coicide co el de 0.68, ya que os 5 falta agregar el factor de correcció para ua població fiita y u muestreo si reemplazo: ( / 3)( / 3) 5 p p Pq N N p Gráfica de frecuecias para las proporcioes de las muestras La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad e ua distribució muestral de proporcioes está basada e la aproximació de la distribució ormal a la biomial. Esta fórmula os servirá para calcular la probabilidad del comportamieto de la proporció e la muestra. z p P Pq 6

17 A esta fórmula se le puede agregar el factor de correcció de las codicioes ecesarias. N N si se cumple co Ejemplo: Se ha determiado que 60% de los estudiates de ua uiversidad grade fuma cigarrillos. Se toma ua muestra aleatoria de 800 estudiates. Calcule la probabilidad de que la proporció de la muestra de la gete que fuma cigarrillos sea meor que Solució: Este ejercicio se puede solucioar por dos métodos. El primero puede ser co la aproximació de la distribució ormal a la biomial y el segudo utilizado la fórmula de la distribució muestral de proporcioes. Aproximació de la distribució ormal a la biomial: Datos: 800 estudiates p0.60 x (.55)(800) 440 estudiates p(x<440)? Media p (800)(0.60) 480 x p z pq ( 0.60)( 0.40).9 p(x<440) Este valor sigifica que existe ua probabilidad del 0.7% de que al extraer ua muestra de 800 estudiates, meos de 440 fuma cigarrillos. Distribució Muestral de Proporcioes Datos: 800 estudiates P0.60 p 0.55 p(p<0.55)? (0.5/800) p P z.9 Observe que este valor es igual al obteido Pq ( 0.60)( 0.40) 800 e el método de la aproximació de la distribució ormal a la biomial, por lo que si lo buscamos e la tabla de z os da la misma probabilidad de

18 Tambié se debe de tomar e cueta que el factor de correcció de 0.5 se esta dividiedo etre el tamaño de la muestra, ya que estamos hablado de ua proporció. La iterpretació e esta solució, estaría efocada a la proporció de la muestra, por lo que diríamos que la probabilidad de que al extraer ua muestra de 800 estudiates de esa uiversidad, la proporció de estudiates que fuma cigarrillos sea meor al 55% es del 0.7%. Ejemplo: U medicameto para malestar estomacal tiee la advertecia de que alguos usuarios puede presetar ua reacció adversa a él, más aú, se piesa que alrededor del 3% de los usuarios tiee tal reacció. Si ua muestra aleatoria de 50 persoas co malestar estomacal usa el medicameto, ecuetre la probabilidad de que la proporció de la muestra de los usuarios que realmete preseta ua reacció adversa, exceda el 4%. a) Resolverlo mediate la aproximació de la ormal a la biomial b) Resolverlo co la distribució muestral de proporcioes a) Aproximació de la distribució ormal a la biomial: Datos: 50 persoas p0.03 x (0.04)(50) 6 persoas p(x>6)? Media p (50)(0.03) 4.5 x p z pq ( 0.03)( 0.97) p(x>6) Este valor sigifica que existe ua probabilidad del 7% de que al extraer ua muestra de 50 persoas, mas de 6 presetará ua reacció adversa. b) Distribució Muestral de Proporcioes Datos: 50 persoas P0.03 p 0.04 p(p>0.04)? (0.5/50)

19 p P z 0.96 Observe que este valor es igual al obteido y la Pq ( 0.03)( 0.97) 50 iterpretació es: existe ua probabilidad del 7% de que al tomar ua muestra de 50 persoas se tega ua proporció mayor de 0.04 presetado ua reacció adversa. Ejemplo: Se sabe que la verdadera proporció de los compoetes defectuosos fabricadas por ua firma es de 4%, y ecuetre la probabilidad de que ua muestra aleatoria de tamaño 60 tega: a) Meos del 3% de los compoetes defectuosos. b) Más del % pero meos del 5% de partes defectuosas. Solució: a) Datos: 60 artículos P0.04 p 0.03 p(p<0.03)? (0.5/60) 0.06 p P z 0.73 La probabilidad de que e ua muestra de 60 Pq ( 0.04)( 0.96) 60 artículos exista ua proporció meor de 0.03 artículos defectuosos es de b) Datos: 60 artículos P0.04 p 0.0 y 0.05 p(0.0<p<0.05)? (0.5/60) (0.5/60) z p P Pq ( 0.04)( 0.96) z p P Pq ( 0.04)( 0.96)

20 Distribució Muestral de Diferecia de Medias Supoga que se tiee dos poblacioes distitas, la primera co media µ y desviació estádar, y la seguda co media µ y desviació estádar. Más aú, se elige ua muestra aleatoria de tamaño de la primera població y ua muestra idepediete aleatoria de tamaño de la seguda població; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferecia etre dichas medias. La colecció de todas esas diferecias se llama distribució muestral de las diferecias etre medias o la distribució muestral del estadístico x x. X X Muestra Muestra X X -X X -X X Muestra Muestra Muestra 3 Muestra K X 3 X 3 -X 3 X k -X k X 3 X k Muestra 3 Muestra K X k POBLACION Distribució muestral de Diferecia de Medias POBLACION La distribució es aproximadamete ormal para 30 y 30. Si las poblacioes so ormales, etoces la distribució muestral de medias es ormal si importar los tamaños de las muestras. E ejercicios ateriores se había demostrado que µ µ x y que x. que o es difícil deducir que µ x µ x µ µ y que x x, por lo La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferecia de medias es: ( x x ) ( µ µ ) z Ejemplo: E u estudio para comparar los pesos promedio de iños y iñas de sexto grado e ua escuela primaria se usará ua muestra aleatoria de 0 iños y otra de 5 iñas. Se sabe que tato para iños como para iñas los pesos sigue ua distribució ormal. El promedio de los pesos de todos los iños de sexto grado de esa escuela es de 00 libras y su desviació estádar es de 4.4, mietras que el promedio de los pesos de todas las iñas del sexto grado de esa 0

21 escuela es de 85 libras y su desviació estádar es de.47 libras. Si x represeta el promedio de los pesos de 0 iños y x es el promedio de los pesos de ua muestra de 5 iñas, ecuetre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 0 iños sea al meos 0 libras más grade que el de las 5 iñas. Solució: Datos: µ 00 libras µ 85 libras 4.4 libras.47 libras 0 iños 5 iñas ( x x 0) p? z ( x x ) ( µ µ ) 0 ( 00 85) ( 4.4) (.47) µ -µ 5 0 x x Por lo tato, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de iños sea al meos 0 libras más grade que el de la muestra de las iñas es Ejemplo: Uo de los pricipales fabricates de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tiee ua vida media de 7. años co ua desviació estádar de 0.8 años, mietras que los de la B tiee ua vida media de 6.7 años co ua desviació estádar de 0.7. Determie la probabilidad de que ua muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tega ua vida promedio de al meos u año más que la de ua muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B. Solució: Datos: µ A 7. años µ B 6.7 años A 0.8 años B 0.7 años A 34 tubos B 40 tubos ( x A x B ) p? z ( xa xb ) ( µ A µ B ) ( ) ( 0.8) ( 0.7) A A B B µ A -µ B x A x B

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