Valores y vectores propios

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1 Valores y vectores propios Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 20 Índice 8.. Definición de valor y vector propio Determinación de los valores propios Multiplicidad algebraica de un valor propio Multiplicidad geométrica de un valor propio Resultados teóricos Procesos operativos Definición de valor y vector propio Los vectores propios de una matriz son vectores invariantes bajo la multiplicación por ella. Veamos la definición matemática: Definición 8. Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x o tal que: Ax o = λ x o Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene la dirección, posiblemente sólo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x o se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio λ. Ejemplo 8. Para la matriz A Indique cuáles vectores son vectores propios: ( ( 2 v =, v 2 = 3 Solución: Veamos si v es vector propio de A: Av = Ahora veamos si Av es un múltiplo de v : Av = [ 2 2 ( 3 3 [ 2 2 (, v 3 = ( = 3 = ( ( 3 3 ( 0, v 4 = 2 = 3 v

2 Por tanto, v sí es vector propio de A y está asociado al valor propio 3. Veamos si v 2 es vector propio de A: [ ( ( Av 2 = = Ahora veamos si Av 2 es un múltiplo de v 2 : Por tanto, v 2 no es vector propio de A. Veamos si v 3 es vector propio de A: Av 3 = Ahora veamos si Av 3 es un múltiplo de v 3 : Av 2 = Av 3 = [ 2 2 ( 8 7 ( k ( = ( 2 3 = ( ( Por tanto, v 3 sí es un vector propio de A y está asociado al valor propio -. Veamos si v 4 es vector propio de A: [ ( ( Av 4 = = Ahora veamos si Av 4 es un múltiplo de v 4 : por tanto, v 4 no es vector propio de A Ejemplo 8.2 Indique cuáles de los siguientes valores son valores propios de la matriz A: Av 4 = ( 4 2 k ( 0 2 λ =, λ 2 =, λ 3 = 2, λ 4 = 2 [ Solución λ es valor propio ssi existe un vector x diferente de cero tal que: Es decir, ssi no tiene solución única: [A λ I 0 = A x = λ x (A λ I x = A x λ I x = A x λ x = 0 [ 5 ( ( 0 2 [ /2 0

3 Como el sistema tiene una variable libre, el sistema tiene infinitas soluciones: por tanto además de la solución x = 0, existen muchos vectores x diferentes del vector cero tales que Ax = λ x. Por tanto, λ sí es valor propio de la matriz A. De hecho, podemos encontrar la solución general al sistema anterior: [ /2 0 {x /2y = 0 Por tanto, todos los vectores propios asociados a λ se obtienen: ( /2 x = y, con y 0 Veamos si λ 2 es valor propio de A: [A λ 2 I 0 = [ 5 ( ( 0 { x = /2 y y = y [ Como el sistema tiene solución única x = 0, por tanto no existe un vector diferente de cero x que cumpla A x = λ 2 x. Por tanto, λ 2 no es un vector propio de A. La regla es : λ es valor propio de A ssi al reducir [A λ I 0 se tiene al menos una variable libre. Veamos si λ 3 es valor propio de A: [A λ 3 I 0 = [ 5 ( (2 0 Una variable libre; por tanto, λ 3 sí es valor propio de A. Veamos si λ 4 es valor propio de A: [A λ 4 I 0 = [ 5 ( ( 2 0 Ninguna variable libre; por tanto, λ 4 no es valor propio de A [ 0 [ Determinación de los valores propios Sea λ o un valor propio de la matriz cuadrada A, esto será cierto si y sólo si existe un vector x o (x o 0 tal que: Ax o = λ o x o = λ o I n x o Por tanto: Ax o λ o I n x o = (A λ o I n x o = 0 Si B = A λ o I n, esto será cierto si y sólo si el sistema homogéneo n n Bx = 0 tiene, además de la solución trivial, otra solución (x = x o 0. Es decir, si y sólo si no tiene solución única. Y esto será cierto, si y sólo si el determinante de la matriz B es cero: det(b = det (A λ o I n = 0 3

4 es decir, que todo escalar λ o es valor propio de A si y sólo si es raíz del polinomio característico asociado a A: p A (λ = det (A λi n y un vector propio asociado a λ o debe ser solución al sistema homogéneo (A λ o I n x = 0 Note al ser p A (t un polinomio de grado igual que n, habrá a lo más n valores propios. Ejemplo 8.3 Determine los valores y los vectores propios correspondientes a la matriz: [ 2 2 Solución Determinemos el polinomio característico de A: p A (λ = det (A λi 2 = det ([ 2 p A (λ = det 2 [ λ 0 0 λ ([ 2 2 [ 0 λ 0 ([ λ 2 = det 2 λ p A (λ = λ 2 2 λ = ( λ2 4 p A (λ = λ 2 2λ 3 = (λ 3 (λ + Por tanto, los únicos valores propios son λ = 3 y λ 2 =. Vector propio para λ = 3 Debe ser solución al sistema homogéneo: (A λi 2 x = 0 Es decir: ([ 2 2 [ 0 (3 0 Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan: [ [ x = x = 0 [ 0 Convirtiendo en ecuación y poniendo en la notación vectorial: ( x x y = 0 x = y = y y (, y 0 Lo anterior indica que cualquier vector de la forma: ( y, y 0 4

5 es un vector propio asociado a λ = 3. Es importante señalar que la variable libre y no puede ser cero, pues de otra manera el vector que obtendríamos sería el vector cero, el cual por definición no puede ser vector propio. Nosotros nos conformaremos con un vector propio: digamos el que se obtiene para y = : ( Vector propio para λ 2 = Debe ser solución al sistema homogéneo: (A λi 2 x = 0 Es decir: ([ 2 2 [ 0 ( 0 Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan: [ [ x = x = 0 [ 0 Convirtiendo en ecuación y poniendo en la notación vectorial: ( x x + y = 0 x = y = y y Lo anterior indica que cualquier vector de la forma: ( y, y 0 (, y 0 es un vector propio asociado a λ 2 = ; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = : ( Ejemplo 8.4 Determine los valores y los vectores propios correspondientes de la matriz: [ 0 Solución Para la matriz A: ([ p A (λ = det 0 p A (λ = [ λ 0 0 λ λ 0 λ Por tanto, el único valor propio de A es λ =. Vector propio para λ = Debe ser solución al sistema homogéneo: (A λi 2 x = 0 Es decir: ([ 0 [ 0 ( 0 5 ([ λ = det 0 λ = ( λ2 x = 0

6 Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan: [ [ 0 0 x = 0 0 Convirtiendo en ecuación y poniendo en la notación vectorial: ( ( x y = 0 = x, x 0 y 0 Lo anterior indica que cualquier vector de la forma: ( x 0, x 0 [ 0 0 es un vector propio asociado a λ = ; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para x = : ( 0 Ejemplo 8.5 Determine los valores y los vectores propios correspondientes de la matriz: [ 2 2 Solución Obtengamos el polinomio carcterístico: ([ 2 p A (λ = det 2 El polinomio característico queda: [ λ 0 0 λ p A (t = t 2 3 t + 4 ([ λ 2 = det 2 λ Como este polinomio tiene raíces complejas, A no tiene valores ni vectores propios Multiplicidad algebraica de un valor propio Sea A una matriz cuadrada y λ o un valor propio. Como hemos visto λ debe ser raíz del polinomio característico de A p A (λ así: (λ λ o p A (λ Al mayor exponente m que cumple p A (λ = (λ λ o m q(λ le llamaremos la multiplicidad algebraica o dimensión algebraica de λ o. Ejemplo 8.6 Determine los valores propios y sus multiplicidades algebraicas para la matriz:

7 Solución Primeramente determinemos el polinomio característico: 2 t 3 6 p A (t = det(a t I = 0 5 t t desarrollado sobre la primer columna queda: p A (t = (2 t 5 t t = (2 t ((5 t ( 4 t (3( 6 = t 2 t 3 factorizando tenemos: Por lo tanto: p A (t = (t ( (t 2 2 Los únicos valores propios de la matriz A son t = y t = 2. La multiplicidad algebraica de t = es. La multiplicidad algebraica de t = 2 es Multiplicidad geométrica de un valor propio Un resultado importante es que el conjunto de vectores invariantes asociados a un escalar es un espacio lineal: Teorema Sea A una matriz cuadrada n n y λ un escalar cualquiera entonces es un espacio lineal de R n. E λ = {x R n Ax = λx} Demostración E λ Efectivamente, como A 0 = 0 = λ 0, entonces 0 E λ. E λ es cerrado bajo la suma Sean x y x 2 en E λ. Por tanto, A x = λ x y A x 2 = λ x 2. Por consiguiente, Por tanto, x + x 2 E λ. A (x + x 2 = A x + A x 2 = λ x + λ x 2 = λ (x + x 2 E λ es cerrado bajo el producto Sean x en E λ y c R. Por tanto, A x = λ x. Por consiguiente, Por tanto, c x E λ. A (c x = c A x = c λ x = λ (c x 7

8 Lo anterior prueba que E λ es un espacio lineal Siendo λ un valor propio, el anterior conjunto que se llama el espacio invariante o espacio propio o eigenespacio asociado a λ y es un espacio lineal diferente de {0} así tiene dimensión mayor que cero: la dimensión del espacio anterior se llamará multiplicidad geométrica o dimensión geométrica del valor propio λ. Note que E λ corresponde al espacio nulo de la matriz A λ I. Así pues la dimensión geométrica de λ es el número de columnas sin pivote en la matriz reducida que se obtiene de A λ I. Ejemplo 8.7 Determine los valores propios y sus multiplicidades geométricas para la matriz: Solución Primeramente determinemos el polinomio característico: p A (t = det(a t I = 2 t 2 + t 4 = (t 2 (t ( 2 De lo anterior concluimos que los únicos valores propios son t = y t 2 = y que ambos tienen multiplicidad algebraica 2. Determinemos ahora sus multiplicidades geométricas: Para t = Al resolver [A t I 0 tenemos: [A t I Al haber una columna sin pivote hay una variable libre, concluimos que la dimensión geométrica de t = es. Para t 2 = Al resolver [A t 2 I 0 tenemos: [A t 2 I Al haber dos columnas sin pivote hay dos variables libres, concluimos que la dimensión geométrica de t 2 = es 2 Ejemplo 8.8 Determine la multiplicidad algebraica y geométrica de cada uno de los valores propios de la siguiente matriz

9 Solución El polinomio característico de A es: y sus raíces son p A (t = det(a t I = t 35 t t t 4 8 t 5 + t 6 t = 3, t 2 = 4, t 3 = 4, t 4 =, t 5 =, t 6 = Análisis de t = 3 Como t = 3 aparece como raíz una sola vez, entonces su multiplicidad algebraica es. Para determinar su multiplicidad geométrica analicemos [A (3 I 0 0 / /3 0 0 / /3 0 0 de donde todos los vectores propios asociados a t = 3 son de la forma: c < /3, 0, /3, /3, 2/3, >, c 0 Por tanto, la multiplicidad geométrica de t = 3 es. Análisis de t = 4 Como t = 4 aparece como raíz dos veces, entonces su multiplicidad algebraica es 2. Para determinar su multiplicidad geométrica analicemos [A (4 I /3 0 0 / /3 0 0 de donde todos los vectores propios asociados a t = 4 son de la forma: c < 0, 0, /3, /3, 2/3, >, c 0 Por tanto, la multiplicidad geométrica de t = 4 es. Análisis de t = Como t = aparece como raíz tres veces, entonces su multiplicidad algebraica es 3. Para determinar su multiplicidad geométrica analicemos [A ( I de donde todos los vectores propios asociados a t = son de la forma: c <,,, 0, 0, 0 > +c 2 < 0, 0, 0, 0,, 0 > +c 3 < 0, 0, 0, 0, 0, >, c, c 2, c 3 0 Por tanto, la multiplicidad geométrica de t = es 3. 9

10 8.5. Resultados teóricos Los principales resultados teóricos adicionales al hecho de que el subespacio invariante es efectivamente un subespacio vectorial son los siguientes: Teorema Teorema La dimensión geométrica de un valor propio es menor o igual que la dimensión algebraica: dimensión geométrica λ multiplicidad algebraica de λ ( Si los vectores x, x 2,..., x k son vectores propios asociados a valores propios diferentes entonces el conjunto formado por ellos es linealmente independiente. Demostración Digamos que el vector x i es vector propio asociado al valor propio λ i. Supongamos que el conjunto formado por los vectores x i es linealmente dependiente. Como el vector cero no es vector propio, los vectores dados no son cero. Por tanto, la suposición de que sea linealmente dependiente indica que existe un vector x i que es combinación de los anteriores en la lista. Tomemos el primero x i que es combinación de los anteriores. Así, x i es combinación de B = {x, x 2,..., x i } y el conjunto B es linealmente independiente al no ser ninguno de sus elementos combinación lineal de los anteriores. De todo esto tenemos que existen c,c 2,...,c i tales que x i = c x + c 2 x c i x i multiplicando por A lo anterior y aprovechando que los x j son valores propios asociados a λ j tenemos: λ i x i = c λ x + c 2 λ 2 x c i λ i x i Multiplicando primera relación por λ i y restando a la segundo se tiene: 0 = c (λ i λ x + c 2 (λ i λ 2 x c i (λ i λ i x i Como el conjunto B es linealmente independiente, se deduce que todos los coeficientes de la relación anterior son cero: c j (λ i λ j = 0, para j < i como los valores propios son todos diferentes debe cumplirse c j = 0 para j < i. Por tanto, x i = 0. Imposible. Esta contradicción indica que el conjunto no puede suponerse linealmente dependiente: debe ser linealmente independiente Procesos operativos A continuación listamos los procesos de cálculos referentes a valores y vectores propios:.- Cómo saber si v es vector propio de A Calcule vector u = A v v es vector propio si y sólo si u es un múltiplo escalar de v. Esto se puede hacer formando la aumentada [u v y reduciendo: v es vector propio si y sólo si tal sistema es consistente. 0

11 2.- Cómo saber si α es valor propio de A Forme y reduzca el sistema [A αi 0. α es valor propio si y sólo el sistema tiene al menos una variable libre. 3.- Cómo saber si v es vector propio asociado al valor propio α de A Calcule vector u = A v v es vector propio asociado al valor propio α si y sólo si u = α u. 4.- Cómo determinar todos los valores propios de una matriz A Calcule el polinomio característico de A, p A (t = det(a t I. Obtenga todas las raíces de p A (t: Sólo las raíces reales de p A (t son los valores propios de A. 5.- Cómo determinar todos los vectores propios de un valor propio de A Forme y resuelva el sistema [A αi 0. Un vector v es vector propio asociado al valor propio α de A si y sólo si no es el vector cero y es solución al sistema anterior. Alternativamente, utilice su equipo computacional y determine el espacio nulo de la matriz [A αi. 6.- Cómo determinar la multiplicidad algebraica de un valor propio de A Calcule el polinomio característico de A, p A (t = det(a t I. Aplique división repetidamente para determinar cuántas veces divide t α a p A (t. El número mayor de veces es la multiplicidad algebraica de α. 7.- Cómo determinar la multiplicidad geométrica de un valor propio de A Forme y reduzca el sistema [A αi 0. El número de variables libres es la dimensión o multiplicidad geométrica de α.