INTEGRALES Prueba de Evaluación Continua Grupo A1 10-XI Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

Transcripción

1 INTEGRALES Pruea de Evaluación Coninua Grupo A -XI-.- Enunciar y demosrar el Teorema Fundamenal del Cálculo Inegral. Ver eoría de la maeria..- Calcular las derivadas de las siguienes funciones: a) F() = ln ( ) d ) G() = ln d 5 6 a) F () = ln ( ) ln. 4 ) G() = ln d 5 4 G'() d. 5 4 ln Hallar el área de la región comprendida enre la curva en polares 7 cos6 circunferencia de cenro el origen y radio 6. r y la 7 cos6 6,,... 6 Por las simerías de las curvas, el área A pedida es veces el área rayada de la figura. Por ano, A = 6 7 cos6 d 6 6 d = 9 7 = 6 6 = 6 = u Calcular la superficie generada por un lazo de la esrofoide alrededor del eje de ascisas. S = y ' y' d, ( ) al girar U. D. de Maemáicas de la ETSITGC Asignaura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA /5

2 - ( - ) #:, ( - ) #4: SOLVE =, =, [] + + #5: [ = -, = ] - ( - ) #6: SOLVE =, =, [] + + #7: [ = ] 4 d - ( - ) #6:, = -, - d + + ( + ) ( + ) 4 ( - ) #84: ( + ) ( + ) 4 ( - ) ( ) #85: ( + ) 4 ( - ) ( ) π #86: d = ( + ) S = y ' y' d = π (π ) u,5 u U. D. de Maemáicas de la ETSITGC Asignaura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA /5

3 5.- Calcular la longiud de la curva 9y ( ) L = f '() a d #9: 9 y = ( - ) Punos de core con OX (y = ): = = #95: SOLVE(9 y = ( - ), y) ( ( - )) ( ( - )) #96: y = - y = d ( ( - )) - #97: = d 6 ( ( - )) - #99: + 6 ( ( - )) - L= + d = u 6 ( ( - )) 6.- Calcular el volumen del sólido engendrado por la roación alrededor del eje de ascisas del arco de la curva y = ln comprendido enre y. Indica, en su caso, si la inegral que has uilizado es impropia, a qué ipo perenece y si es convergene o divergene. V = f ( ) d V u ln ( ) d lim ln d c c Es una inegral impropia de segunda especie: función no acoada en inervalo de inegración finio pues lim ln Es convergene. U. D. de Maemáicas de la ETSITGC Asignaura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA /5

4 INTEGRALES Pruea de Evaluación Coninua Grupo A -XI-.- Demosrar la regla de Barrow a parir del Teorema Fundamenal del Cálculo Inegral. Ver eoría de la maeria..- Calcular las derivadas de las siguienes funciones: g a) F() = sen d. g ) G() = sen cos d. sen sen(g ) a) F () = sen(g ). cos cos g ) G() = sen cos d = sen cos d G'( ) sen g sen cos cos d sen cos(g ) cos cos(sen ) cos g sen =..- Calcular el área comprendida enre las curvas en polares: r cos y r cos. Amas curvas son periódicas de periodo π y siméricas respeco del eje polar por serlo el coseno, en consecuencia, el área es veces la región por encima del eje de ascisas 4.- Calcular la superficie del elipsoide de revolución engendrada por la roación alrededor cos del eje de ascisas de la elipse cuyas ecuaciones paraméricas son:. y sen (Usar el comando para hallar el valor numérico de la inegral Por lo ano, A= ( ) r d 5 cos cos d d u 4 La elipse es simérica respeco de los ejes y periódica de periodo π (por serlo e y), en consecuencia, el elipsoide se genera roando la miad superior (inervalo [, π]. U. D. de Maemáicas de la ETSITGC Asignaura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA /5

5 Para = (,) y para = π (-,) S = y ' y' d = d =8 π - sen sen cos ln 5 89 u 5.- Hallar el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje OX, el arco de la curva y =sen comprendido enre = y =. f d d u 8 V = ( ) sen a 6.- Calcular la longiud de la curva y ( ). Indica, en su caso, si la inegral que has uilizado es impropia, a qué ipo perenece y si es convergene o divergene. La curva corresponde a una semicircunferencia. Su dominio es el inervalo [,] que son los valores donde ( ) L = f '() d = a d ( ) =.5.5 d lim d u ( ) ( ) c c Es una inegral impropia de segunda especie: función no acoada en inervalo de inegración finio pues lim ( ) e igual para - Es convergene. U. D. de Maemáicas de la ETSITGC Asignaura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA /5

6 INTEGRALES Pruea de Evaluación Coninua Grupo B -XI-.- Saiendo que la longiud de un arco de curva en eplícias es L= f '() d, deducir la fórmula para oener la longiud de un arco de curva dada por sus ecuaciones paraméricas. Ver eoría de la maeria..- Calcular las derivadas de las siguienes funciones: ln a) F() = g d. ) G() = g sen d. a) F () = g( l g( n ) n l ). ) G() = g sen d = g sen d G'( ) g ' sen d g sen d ' = sen d g sen sen cos..- Calcular el área comprendida enre las curvas en polares: r cos y r cos. Amas curvas son periódicas de periodo π y siméricas respeco del eje polar por serlo el coseno, en consecuencia, el área es veces la región por encima del eje de ascisas a Por lo ano, A= ( ) r d / 5 cos cos d d u 4 U. D. de Maemáicas de la ETSITGC Asignaura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA /5

7 4.- Calcular la longiud de un arco de la cicloide sen. y cos L = ' ' 5.- Hallar la superficie del sólido generado por la roación alrededor del eje OX l arco de la curva y = ln comprendido enre = y =. y d Un arco compleo de la cicloide se oiene para π, Pues para y = -cos = =, π. luego L= (cos ) (sen ) d= 8 u f f d = a S = ( ) ' ln d,856 u 6.- Calcular el volumen del sólido engendrado por la roación alrededor del eje de ascisas de la curva y. Indica, en su caso, si la inegral que has uilizado es impropia, a qué 4 ipo perenece y si es convergene o divergene. V = lim ( ) a 4 c c f d d d u 4 8 Es una inegral impropia de primera especie (función coninua en inervalo de inegración infinio: (, ) y es convergene. U. D. de Maemáicas de la ETSITGC Asignaura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA /5

8 INTEGRALES Pruea de Evaluación Coninua Grupo C -XI-.- Saiendo que la superficie oenida por la roación de un arco de curva en eplícias alrededor del eje OX es S = f '() d f a, deducir la fórmula para oener dicha superficie cuando la curva viene dada por sus ecuaciones paraméricas. Ver eoría de la maeria..- Calcular las derivadas de las siguienes funciones: a) F() = cos d. ) G() = cos sen d. a) F () = cos ) G() = cos sen d. sen sen d cos sen sen G'()..- Hallar el área de la región comprendida enre la curva en polares 9 cos8 circunferencia de cenro el origen y radio 8. r y la 9 cos8 8,, Por las simerías de las curvas, el área A pedida es 6 veces el área rayada de la figura. Por ano, A = cos8 d 8 8 d = = 8 8 = 8 = 6 6 cos 4.- Hallar la superficie del sólido generado por la asroide de ecuación al girar y sen alrededor del eje OY. U. D. de Maemáicas de la ETSITGC Asignaura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA /5

9 Por las simerías de la curva, el volumen oenido al girar alrededor del eje OY coincide con el oenido al girar alrededor de OX: La curva en el primer cuadrane se oiene para por ano: S = y ' y' d, y amién:,, S = ' y' d, #5: COS(), SIN() d #5: COS(), SIN() = - SIN() COS(), SIN() COS() d π/ π COS() ((- SIN() COS() ) + ( SIN() COS() ) ) d π #58: u Calcular la longiud del lazo de la esrofoide, ( ) L = ' y' d U. D. de Maemáicas de la ETSITGC Asignaura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA /5

10 Hallamos los punos de core - ( - ) #:, ( - ) #4: SOLVE =, =, [] [ = -, = ] ( - ) #6: SOLVE =, =, [] [ = ] d - ( - ) #6:, = -, - d + + ( + ) ( + ) ( ) #6: = ( + ) ( + ) + La longiud del lazo será el dole de la longiud del medio lazo del primer cuadrane: L = ' y' d 4 #66: ( ) d = u Calcular el volumen del sólido engendrado por la roación alrededor del eje de ascisas del arco de la curva y = e - para. Indica, en su caso, si la inegral que has uilizado es impropia, a qué ipo perenece y si es convergene o divergene. V = f d - V = π c - e d lim e d c 4 u Es una inegral impropia de primera especie (inervalo de inegración infinio y función coninua en el inervalo) convergene. U. D. de Maemáicas de la ETSITGC Asignaura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA /5