Ejercicios Propuestos Inducción Electromagnética.

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1 Ejercicios Propuestos Inducción Electromagnética. 1. Un solenoide de 2 5[] de diámetro y 30 [] de longitud tiene 300 vueltas y lleva una intensidad de corriente de 12 [A]. Calcule el flujo a través de la superficie de un disco de 5[] de radio que está colocado de forma perpendicular y centrado al eje del solenoide. 2. Una espira circular de alambre de radio R se coloca en un campo magnético uniforme B y entonces se impulsa para que gire con una velocidad ω alrededor de un eje a través de su diámetro. Determine el flujo magnético a través de la espira como función del tiempo si el eje de rotación está: (a) Perpendicular a B. (b) Paralelo a B. 3. Se coloca una espira plana en un campo magnético uniforme cuya dirección es perpendicular al plano de la espira. Si el área de la espira aumenta a razón de 0 04 [ 2 /] se induce una fem de 0 16 [V ], cuál es la magnitud del campo magnético?. 4. Una bobina circular tiene un diámetro de 16 7[] y 24 vueltas. El campo magnético es perpendicular al plano de las espiras. Si el campo aumenta linealmente de 2[µT] a 8[µT] en un tiempo de 0 6[], cuál es la fem inducida?. 5. Un campo magnético uniforme y constante B =0 5[T ] pasa a través de una bobina plana circular de alambre de 16 vueltas, donde cada una de las espiras tiene un área de 4 8[ 2 ]. Si la bobina gira sobre un eje que pasa por su diámetro con una

2 236 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética. velocidad angular ω = 60π [/], calcule la fem inducida como función del tiempo, si inicialmente en =0[] el campo magnético es perpendicular al plano de la bobina. 6. Una bobina de N vueltas y área A está situada en el interior de un solenoide coaxialmente (el eje del solenoide coincide con el de la bobina). El solenoide tiene vueltas por metro, y por él circula una corriente variable en el tiempo de acuerdo a la expresión I = I 0 (1 exp α). Calcule la fem inducida en la bobina. 7. Existe un campo magnético a través de una bobina circular de radio R y N vueltas de alambre; la dirección del campo es perpendicular al plano de la bobina. La magnitud del campo en el plano de la espira es B = B 0 (1 /2R) cos(ω), donde es medida desde el centro de la espira. Determine la fem inducida en la espira. 8. Un solenoide largo de radio y longitud L de N vueltas tiene a su alrededor una espira de radio R coaxial al solenoide. Con una resistencia variable se hace que la intensidad de corriente disminuya linealmente de 10 [A] hasta 5 6[A] en 1 5[]. Si =4 5[], L =2[] y N = 4000 vueltas, calcule la fem inducida en la espira circular. 9. Una corriente que varía en el tiempo de acuerdo a la expresión I = 5 exp 0 4 [A], donde está en segundos, circula por un solenoide circular de radio 4[] que tiene 2500 vueltas/metro. Calcule la magnitud del campo eléctrico inducido a una distancia de 8[] del eje del solenoide en el instante =3[]. 10. Una barra de longitud L se mueve sobre dos rieles con una velocidad constante. Los rieles están conectados en uno de sus extremos por una resistencia R, como muestra la figura 4.33, y un campo magnético uniforme de 352 [T ] está dirigido hacia dentro de la página. Suponiendo que R =8 6 [Ω] y L = 120 [], con qué velocidad debería moverse la barra para producir una intensidad de corriente de 0 5[A] en la resistencia?. Figura 4.33: (Problema 10).

3 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética Dos rieles conductores forman un ángulo θ en donde se unen sus extremos. Una barra conductora en contacto con los rieles y formando un triángulo isósceles con ellos empieza a moverse en el vértice en el instante =0y se mueve a rapidez contante ν hacia la derecha, como muestra la figura Un campo magnético uniforme B apunta hacia fuera de la página. Encuentre la fem inducida como función del tiempo. Figura 4.34: (Problema 11). 12. Una espira rectangular de área A y resistencia R se coloca en una región donde el campo magnético es perpendicular al plano de la bobina. La magnitud del campo varía como función del tiempo de acuerdo a la expresión B = B 0 exp /τ, donde B 0 y τ son constantes positivas. El campo tiene una magnitud de B 0 para 0. (a) Encuentre la magnitud y dirección de la intensidad de corriente inducida en la espira. (b) Obtenga el valor numérico de la intensidad de corriente para =4[] cuando A =0 45 [ 2 ], R =0 4 [Ω], B 0 = 659 [T ] y =5[]. 13. En un campo magnético uniforme B se deja caer una espira rectangular de masa 200[], resistencia 1 [Ω] y dimensiones 50 [] de base y 2[] de altura. Note que las partes de los lados verticales dentro del campo son de igual longitud. La espira se acelera hasta alcanzar su velocidad terminal 3[/] (velocidad constante). Calcule la magnitud de B. 14. Un generador consta de 97 vueltas de alambre formadas en una bobina rectangular de 50 [] por 20 [], situada por completo dentro de un campo magnético uniforme de

4 238 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética. magnitud 3 5[T ]. Calcule el valor máximo de la fem inducida cuando gira la bobina a razón de 1200 revoluciones por minuto alrededor de un eje perpendicular al campo. 15. Un alambre conductor con una longitud de 60 [] puede ser enrollado en N vueltas cuadradas y usado como la armadura de un generador de CA de frecuencia 60 [H]. Si se usa un campo magnético de 1 23 [T ], cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado de la armadura para generar una fem máxima de [V ]?. 16. Un alambre rígido doblado en forma semicircular de radio 4 4[] gira con una frecuencia de 120 [H], dentro de un campo magnético uniforme de magnitud 2 5[T ], como muestra la figura Calcule el valor máximo de la fem inducida en el conductor. Figura 4.35: (Problema 16). 17. Considere un inductor con núcleo de aire de una longitud de 28 [] y [ 2 ] de área de sección transversal. Cuántas vueltas por metro debe tener el inductor para tener una inductancia de 77 [µh]?. 18. Una intensidad de corriente de 45 [A] circula por un solenoide con núcleo de aire de 450 vueltas y 14 [H]. Calcule el flujo magnético a través del solenoide. 19. Por un solenoide de 1 53 [H] pasa una intensidad de corriente que varía con el tiempo de acuerdo a la expresión I() = ( )A, donde está medido en segundos. (a) Calcule la magnitud de la fem inducida en =2[] y =4[]. (b) Para qué valor del tiempo la fem será cero?.

5 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética Tres inductores de 400, 200 y 100 vueltas están conectados en serie y separados por una gran distancia. Los tres inductores tienen el mismo radio (0 5[]) y la misma longitud (6 []). Cuál es la inductancia equivalente de las 700 vueltas cuando los inductores se conectan en serie?. 21. Dos inductores L 1 y L 2 están conectados en paralelo y separados por una gran distancia. Calcule la inductancia equivalente. 22. Un toroide de sección transversal circular, con núcleo de aire, con N vueltas, radio interior R y radio de la sección transversal. Si R, el campo magnético en el interior del toroide es básicamente igual al de un solenoide muy largo, el cual ha sido doblado para formar un circulo de radio R. Utilizando el campo uniforme de un solenoide largo, muestre que la autoinductancia del toroide está dada (aproximadamente) por L = µ 0 N 2 A/2πR. 23. Dos alambres paralelos largos, cada uno de radio, cuyos centros están separados por una distancia, conducen corrientes iguales en dirección contraria. Despreciando el flujo en los alambres mismo, calcule la inductancia de una longitud de tal par de alambres. 24. Un solenoide largo consta de N 1 vueltas con un radio R 1. Un segundo solenoide, con N 2 vueltas de radio 2, tiene la misma longitud que el primero y se encuentra completamente dentro de este, con sus ejes coincidentes. (a) Suponiendo que por el solenoide 1 circula una intensidad de corriente I, calcule la inductancia mutua. (b) Ahora suponga que por el solenoide 2 circula la misma intensidad de corriente I (y no circula corriente por el solenoide 1). Calcule la inductancia mutua. Se obtiene el mismo resultado?. 25. Una intensidad de corriente de 5[A] circula por un solenoide de 120 vueltas, 7[] de largo y 1 5[] de diámetro. Una espira de radio 4[] tiene su centro en el eje del solenoide; el plano de la espira es perpendicular al eje del solenoide y pasa por el centro de éste. Calcule la inductancia mutua de los dos, si el plano de la espira pasa por el centro del solenoide. 26. Dos espiras de alambre circulares con centro común y que están en el mismo plano tiene radios R y, con R.

6 240 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética. (a) Encuentre la inductancia mutua. (b) Calcule la inductancia mutua para =1[] y R = 15 []. 27. Considere un inductor de núcleo de aire de 5980 vueltas, 8[] de radio y 1 2[] de longitud. Por el solenoide circula una intensidad de corriente de 3 43 [A]. Determine la energía almacenada en el campo magnético. 28. Se tiene un solenoide con núcleo de aire de 1220 vueltas por metro perfectamente enrollado. Encuentre la densidad de energía magnética cerca del centro si por el solenoide circula una intensidad de corriente de 5[A]. 29. Un tramo de alambre de cobre recto de diámetro 2 5[] consume una corriente de 10 [A], distribuida uniformemente. Calcule la densidad de energía magnética a una distancia de 5[] del eje del alambre. 30. En un circuito como se muestra en la figura 4.36, con una fem de 36 [V ], L =5 98 [H] y R = 7 [Ω], el interruptor se cierra en =0. (a) Calcule la rapidez con la cual se almacena energía en el inductor después de que ha transcurrido un tiempo igual a dos veces la constante de tiempo del circuito. (b) Con qué rapidez se disipa energía en forma de calor por efecto Joule en la resistencia en este tiempo?. (c) Cual es la energía total almacenada en el inductor en este tiempo?. Figura 4.36: (Problema 30). 31. Considere el circuito de la figura 4.37 con L = 104 [H], R =5 98 [Ω], ε = 12 [V ].

7 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética. 241 (a) Si el interruptor se cierra en el punto (conectando la batería), cuánto tiempo pasa antes de que la intensidad de corriente alcance los 130 [A]?. (b) Cuál es la intensidad de corriente que circula por el inductor 0 1[] después de que éste se cierra?. (c) Después de un tiempo considerablemente largo, el interruptor se mueve rápidamente de a. Cuánto tiempo debe pasar antes de que la intensidad de corriente disminuya a 250 [A]?. Figura 4.37: (Problema 31). 32. Vamos a usar la figura 4.36 con L =5[H], R = 6 [Ω], ε = 12 [V ]. (a) Si en =0se cierra el interruptor, calcule el cociente de la diferencia de potencial a través del resistor a la del inductor cuando la intensidad de corriente en el circuito es igual a 1 5[A]. (b) Calcule el voltaje a través del inductor cuando I =2[A]. 33. Considere el circuito de la figura (a) Cuál es la intensidad de corriente en el circuito en un tiempo suficientemente grande después de haber posicionado el interruptor en el punto A?.

8 242 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética. (b) Ahora el interruptor se pasa rápido de A a B. Calcule el voltaje a través de cada resistor y del inductor. (c) Cuánto tiempo pasará antes de que el voltaje a través del inductor caiga a 12[V ]?. Calcule la inductancia. Figura 4.38: (Problema 33). 34. Un circuito LC en serie, donde C =5[µF], oscila a una frecuencia de 100 [H]. Calcule la inductancia. 35. Un circuito LC en serie, donde L = 119 [H], C = 12 5[µF], donde el capacitor tiene una carga inicial de 150 [µc]. (a) Encuentre la frecuencia (en Hz) de la oscilación resultante. (b) En el instante =1[], encuentre la carga en el capacitor y la intensidad de corriente en el circuito. 36. En un circuito LC circula una intensidad de corriente que oscila con un periodo T. Si en =0la carga en el capacitor es máxima, en qué tiempo la energía almacenada en el campo eléctrico del capacitor será igual a la energía almacenada en el campo magnético del inductor? (Exprese su respuesta en fracciones de T ). 37. Un inductor de 12 6[H] y un capacitor de 1 15 [µf] se conectan en serie con un resistor. Cuál es el valor máximo del resistor que permitirá al circuito continuar oscilando?. 38. Considere un circuito RLC en serie que consta de un capacitor de 14 4[µF], conectado a un inductor de 36 [H] y a un resistor R. Calcule la frecuencia de las oscilaciones (en H) para los siguientes valores de R:

9 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética. 243 (a) R = 0 [Ω] (sin amortiguamiento). (b) R = 20 [Ω] (bajo amortiguamiento). (c) R = 100 [Ω] (amortiguamiento critico). (d) R = 200 [Ω] (sobre amortiguamiento). 39. Un inductor tiene una reactancia de 45 2 [Ω] a 50 [H]. Cuál será la corriente Peak si el inductor se conecta a una fuente de 60 [H] que entrega un voltaje de 100 [V ]?. 40. Un inductor de 452 [H] se conecta a un generador de corriente alterna que tiene un voltaje Peak de 120 [V ]. (a) Cuál es el valor de la frecuencia del generador para que la reactancia del inductor sea igual a 38 [Ω]?. (b) Calcule el valor Peak de la corriente en el circuito a esta frecuencia. 41. La reactancia de un capacitor de 25 [µf] tiene que ser menor que 377 [Ω]. (a) Cuál es el rango de frecuencias para lograr esto?. (b) Dentro de este rango de frecuencias, cuál sera la reactancia de un capacitor de 35 [µf]?. 42. Un circuito de corriente alterna puramente capacitivo con C = 27[µF], V () =V sin ω con V = 91 3[V ], = 100 [H], cuál es la intensidad de corriente instantánea en el circuito a = []?. 43. Un circuito RLC en serie tiene R = 51 2 [Ω], L = 980 [H], C = 1 93 [µf] y un generador con V = 313 [V ] que opera a 60 [H]. (a) Calcule la reactancia inductiva. (b) Calcule la reactancia capacitiva.

10 244 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética. (c) Calcule la impedancia total del circuito. (d) Calcule la corriente Peak. (e) Calcule el ángulo de fase. 44. Un inductor de 19 3[H] y un resistor de 7 47 [Ω] se conectan en serie a una fuente de corriente alterna de frecuencia variable. A qué frecuencia el voltaje a través de la bobina se adelantará a la corriente en 60?. 45. Un circuito RLC en serie tiene R = 512 [Ω], L = 193 [H], C = 19 3[µF], con un generador de corriente alterna a 70 [H] que entrega al circuito una corriente Peak de 313 [A]. (a) Calcule el voltaje Peak requerido Vm. (b) Determine el ángulo con el cual la corriente en el circuito se adelanta o atrasa respecto al voltaje aplicado. 46. Un circuito de corriente alterna conectado en serie tiene una resistencia R, un inductor L, un capacitor C y un generador V () =V cos(ω) que opera a una frecuencia ω. (a) Usando Ley de Kirchhoff, demuestre que la impedancia total del circuito está dada por Z = Z exp φ = R + ωl 1 (4.231) ωc (b) Grafique en el plano complejo la impedancia, especificando R, χl, χc, Z, φ. (c) Defina el factor de calidad de la frecuencia de resonancia. Demuestre que si tomamos valores de ω para los cuales la corriente máxima cae a 1/ 2 de su valor máximo, entonces ω ω ω 0 = ± 1 1 ω 0 ω 0 Q 1+ ω (4.232) 0 ω

11 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética Calcule la potencia promedio entregada al circuito RLC en serie descrito en el problema Un inductor de 17 2[H], un capacitor de 6 23 [µf], un resistor de 45 2 [Ω] y un generador cuya salida está dada por V () = 31 4 sin(350) [V ] se colocan en serie. (a) Encuentre la potencia promedio entregada al circuito por la fuente de poder. (b) Encuentre la potencia promedio disipada por la resistencia. 49. En un circuito RLC en serie, C = 122 [µf] y L = 193 [H]. Calcule su frecuencia de resonancia. 50. Para sintonizar una estación de radio FM que transmite a 97 7[MH] se utiliza un circuito RLC en serie. El resistor en este circuito es de 8 2 [Ω] y el inductor es de 1 2[H]. Qué capacitancia debemos utilizar?. 51. Un resistor de 75 [Ω], un inductor de 120 [H] y un capacitor de 15 [µf] se conectan en serie con un generador de corriente alterna de voltaje máximo 120 [V ] y de frecuencia variable. (a) Calcule la frecuencia de resonancia del circuito. (b) Calcule el factor de calidad del circuito. 52. Un generador suministra 150 [V ] (efectivos) al enrollado primario de un transformador ideal de 282 vueltas. El enrollado secundario tiene 920 vueltas. Cuál es el voltaje efectivo de salida?. 53. Considere un transformador ideal con N 1 y N 2 vueltas en el primario y en el secundario, respectivamente. Demuestre que un transformador de subida (uno con N 2 >N 1 ) reduce la corriente a la salida en un factor N 1 /N Un transformador ideal de subida tiene un voltaje a través del secundario de 330 [V ] (efectivos) cuando el voltaje de entrada es de 100 [V ] (efectivos). (a) Si la bobina del primario tiene 100 vueltas, cuántas vueltas tiene el secundario?. (b) Si una resistencia de carga a través del secundario consume una corriente de 10[A], cuál debe ser la corriente en el primario?.

12 246 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética. 55. En el circuito RC de la figura 4.39 con R = 282 [Ω] y C =6[µF] calcule el cociente entre V salida /V entrada para: (a) ω = 30 [/]. (b) ω = [/]. Figura 4.39: (Problema 55). 56. Considere el circuito de la figura Encuentre V salida /V entrada si el voltaje de salida se toma entre los puntos: (a) y. (b) y. (c) y. Figura 4.40: (Problema 56).

13 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética Demuestre que dos filtros RC consecutivos con los mismos valores de R y C como se muestra en la figura 4.41 entregan la siguiente ganancia: V salida 1 = V entrada 1+(RCω) 2 (4.233) Figura 4.41: (Problema 57). 58. El fragmento de circuito que se muestra en la figura 4.42 se conoce como divisor de voltaje. (a) Si R load no está conectado al circuito muestre que R2 V = V R 1 + R 2 (4.234) (b) Si R 1 = R 2 = 10 [Ω], cuál es el menor valor de R que puede ser usado de manera que el voltaje de salida V disminuya menos que un 10 % de su valor sin R?(V es medido con respecto a tierra). Figura 4.42: (Problema 58).

14 248 Ejercicios propuestos Inducción Electromagnética.

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