Inductancia. Auto-Inductancia, Circuitos RL X X XX X X XXXX L/R 07/08/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL

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1 nductancia Auto-nductancia, Circuitos R X X XX X X XXXX X X XX a b R a b e 1 e1 /R B e ( d / dt) Vx f( ) t

2 A NERCA Y A NDUCTANCA a oposición que presentan los cuerpos al intentar cambiar su estado de movimiento, inercia, tiene su equivalente en los circuitos eléctricos, inductancia dv dt F m di dt e a oposición que presentan los circuitos al intentar cambiar su corriente se conoce como NDUCTANCA 2

3 a nductancia Mutua Se induce una corriente en una espira cuando se cambia la corriente en una espira vecina Se puede describir este efecto cuantitativamente en términos de la inductancia mutua, la relación entre el flujo en una espira para la corriente en la espira opuesta. b a ab ba M b a ab = flujo a través del lazo a debida a la corriente en el lazo b 3

4 Aplicaciones de nductancia Mutua Transformadores (a) Un transformador-elevador tiene mas vueltas en la bobina del secundario que en la bobina del primario. (b) Un transformador-reductor tiene mas vueltas en la bobina del primario que en la del secundario. Ver animacion 4

5 Transformadores Típicos UCSD: Physics 8; Spring 2006

6 Hierro e ~ V 1 V 2 N 1 N 2 (primario) (secundario) P V V V N N

7 Detector de Metales (Aeropuertos) Corriente Pulsante pulso de campo B nduce una fem en el metal Metales Ferromagnéticos producen mayor B mayor inductancia mutua mayor fem fem corriente ( cuánta?, qué duración?, depende de la resistividad del material) Decaimiento de la corriente genera decaimiento del campo magnético induce una corriente en espiras vecinas Magnitud & duración de la señal depende de la composición y geometría del objeto metálico. 7

8 Marca-Pasos Marca-Pasos No es fácil cambiar la batería! Se utiliza una fuente externa de CA. Corriente alterna alternado B alternado Ф B paciente dentro del induce una corriente AC que energiza el marcapasos. ~ 8

9 V R Q C V A AUTONDUCCÓN Y A NDUCTANCA a fem autoinducida en un circuito es el resultado de la variación del flujo a través del circuito debido a la variación de la corriente en el propio circuito. d d dt dt d d N NDUCTANCA DE CRCUTO Similar a la Resistencia y la Capacitancia, la nductancia depende únicamente de la geometría del conductor. a inductancia es una propiedad de los conductores. 9

10 Auto-nducción y la fem Autoinducida Usted sabe que una corriente que cambia en un lazo induce un FEM en el otro circuito vecino. Usted puede apreciar que si los dos lazos son parte de la misma bobina, un cambio en la corriente en uno de los lazos inducirá una FEM en otro lazo de la misma bobina. De hecho, una corriente que cambia en un solo lazo induce una FEM en sí mismo. Esto se llama autoinducción. Puesto que para cualquier inductor Pero la ley de Faraday dice. e N d dt B di dt N i B entonces i di dt N N B d dt a FEM auto-inducida se opone a la dirección en que cambia la corriente di e dt B 10

11 UNDADES DE A NDUCTANCA () d e dt 1H 1V 1A s N i B Unidad de la nductancia: henry (H) 1 H = 1 T-m 2 /A 11

12 Dirección de la fuerza electromotriz (fem) autoinducida Si la corriente es constante NO hay fem autoinducida Si la corriente aumenta, la fem autoinducida aparece oponiéndose a la dirección de la corriente. Si la corriente disminuye, la fem autoinducida aparece sumándose en la misma dirección de la corriente 12

13 Regla de Kirchhoff para los inductores (a) con el aumento de la corriente, y (b) con la corriente que disminuye. a fem autoinducida está presenta mientras la corriente está variando en el circuito. Una vez que la corriente se estabiliza, la fem autoinducida vale cero. 13

14 Auto-nductancia: Resumen Todo conductor presenta inductancia, de la misma forma que presenta resistencia y tiene capacitancia. a inductancia de un inductor (e.g., solenoide) puede ser calculada por su geometría solamente, si el dispositivo es construido de conductores y aire (similar a la capacitancia de un capacitor). Si hay un material extra añadido (e.g., núcleo de hierro) la inductancia se incrementará (igual como un dieléctrico aumenta la capacitancia de un capacitor) 14

15 El arquetipo de un inductor es un solenoide, de la misma forma que un par de placas planas es el arquetipo de un capacitor. l r r << l d A d A N vueltas 15

16 Cálculo de la nductancia de un solenoide Solenoide deal: l N: total de vueltas, radio r, ongitud l N r l B 0 l Para una vuelta, 2 N 2 A r BA 0 r l El flujo total a través del solenoide viene dado por: 2 N 2 0 r r N vueltas B N l a nductancia de un solenoide puede ser calculada: 2 2 NB N 2 N 2 0 r 0 l r l l 1 16

17 Considere los dos inductores mostrados: El nductor 1 tiene longitud l, N vueltas e inductancia 1. El nductor 2 tiene longitud 2l, 2N vueltas e inductancia 2. Cual es la relacion entre 1 y 2? l r N turns r 2l r 2N turns (a) 2 < 1 (b) 2 = 1 (c) 2 > 1 17

18 Similar a la Resistencia y la Capacitancia, la nductancia depende únicamente de la geometría del conductor. a inductancia es una propiedad de los conductores o l N A R l r C e A l d 18

19 PROPEDADES FÍSCAS DE OS CONDUCTORES Dispositivo Propiedades Representación Nomenclatura Resistor Resistencia R Capacitor Capacitancia C nductor nductancia 19

20 Un inductor de 10 mh y un resistor de 10 se conectan en paralelo. uego estos dos elementos se conectan en serie con una batería de 12 V y un resistor de 20 Cuál es la rapidez de cambio de la corriente en el inductor cuando la corriente en la batería es 0,50 A? a) 600 A/s b) 400 A/s c) 200 A/s d) 800 A/s e) 500 A/s 20

21 Regla General: os inductores resisten cambios de corriente cuando son conectados a una fuente 21

22 nicialmente, al cerrar el interruptor de un circuito, el inductor se comporta como un interruptor abierto. Se produce la máxima variación de corriente. (máximo valor de fem autoinducida). 22

23 Después de que el interruptor permanece cerrado por un tiempo muy largo, el inductor se comporta como un corto. a corriente se ha estabilizado. (la fem autoinducida vale cero). e di di t 0 0 dt dt 23

24 Desconectemos el inductor de la fuente de corriente. Pasemos el interruptor de la posición a a la posición b nicialmente, el inductor se comporta como una fuente de corriente (fem auto inducida). Después de un tiempo relativamente grande, el inductor entrega toda su energía, la corriente a través de él se hace cero. a e b R 2 24

25 Pregunta de concepto: recordemos A t = 0 el switch se pasa de la posición b a la posición a en el circuito mostrado: a e b R R Cuál es el valor de la corriente 0 inmediatamente después de cerrar el switch? (a) 0 = 0 (b) 0 = e/2r (c) 0 = 2e/R 25

26 Determine el valor de la corriente que maneja la fuente en el instante de cerrar el interruptor y después de que el interruptor permanece cerrado por un tiempo muy largo. 26

27 Análisis del Circuito R A t=0, se cierra el interruptor y la corriente comienza a fluir. a b R Suma de voltajes: d e R dt 0 e Note que esta ecuación es idéntica en forma a la del circuito RC con las siguientes sustituciones: R RC: Q dq ε R 0 RCR: C dt Q Por tanto, RC RC R 27 R 1 C R CONSTANTE DE TEMPO NDUCTVA

28 Circuito R Para encontrar la corriente en función del tiempo t, necesitamos escoger una solución exponencial que satisfaga las condiciones de frontera: d ( t ) 0 dt t ( ) En consecuencia: e R a caída de voltaje a través del inductor está dada por: d V εe dt ε R Rt / 28 a 1e Rt / b R R = R

29 Q Max = e/r Corriente e 1 e R Rt/ 63% Max a t=/r Voltaje en d V dt Max = e/r ee 37% Max a t=/r Circuito R (e on) Rt/ f( x) 1 e/r e 0 0 f( xv) /R 2/R x t/rc t t Dibuje las curvas!

30 Un circuito en serie contiene una batería de 12 V, un resistor de 2000, un inductor de 3 H. Si el interruptor que conecta el circuito es cerrado a t = 0, determine el tiempo requerido para que la corriente en el circuito alcance el 63% de su valor final. a. 1.5 ns b. 3.0 ns c. 4.0 ns d. 5.0 ns 30

31 Circuitos R Después que el switch pasó un largo tiempo en la posición a, el interruptor pasa a la nueva posición b a t=0. Suma de voltajes: R d dt 0 a condición inicial apropiada es: a solución debe tener la forma: 31 V a e b e e R d dt ( t Rt/ 0) ee R e R Rt/

32 Q Corriente e e R Max = e/r Rt/ 37% Max a t=/r Voltaje en V Max = -e d dt 37% Max a t=/r ee Circuito R (e off) Rt/ f( x) e/r 1 f( x) V0.5 -e 0 /R 2/R x x t t 4

33 Energía de un nductor Cuánta energía almacena un inductor cuando una corriente circula en él? a b R Suma de voltajes: d e R dt e Multiplicando por 2 d e R dt 33

34 2 d ε R dt Rapidez con que la fuente entrega energia Rapidez con que la resistencia disipa energia Rapidez con que el inductor almacena energia De esta ecuación, identificamos P, la rapidez con que se almacena energía en el inductor: du dt d dt P U du dt 1 du d U d dt 2 34

35 Dónde está la Energía Almacenada? a energía es almacenada en el campo magnético (igual que en el capacitor, en su campo eléctrico). Para calcular esta densidad de energía, consideremos el campo magnético uniforme generado por un solenoide: a inductancia es: Energía U: 2 N 0 r l B 0 N l U 2 r l l r N vueltas N N U r o r l B r l l 2 0 l 2 0 Podemos convertirla en densidad de energía dividiéndola para el u volumen que contiene el campo: B 0

36 densidad de energía magnética u m 2 B 2 o Esta expresión tiene su similar para el campo eléctrico. densidad de energía eléctrica u E e E

37 Para el circuito mostrado en la figura. Después que el interruptor en el circuito ha permanecido cerrado por un tiempo muy largo, determine la energía que finalmente almacenan el inductor y el capacitor. 37

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