2. Modelos y Control

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1 SESIÓN 8 2. Modelos y Control PARTE 4-2: LOS ELEMENTOS DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS JCMG

2 Los elementos de los circuitos eléctricos En la ingeniería eléctrica los circuitos juegan un rol muy importante, en los que la potencia en forma de corrientes y campos es canalizada a través de conductores (alambres) que conectan elementos discretos. NOTA 66 Para comprender de manera fina el comportamiento de los elementos constitutivos de los circuitos eléctricos es necesario resolver ecuaciones en derivadas parciales de Maxwell. Afortunadamente la mayoría de estos elementos pueden ser tratados de una manera aproximada que simplifica la situación enormemente. Esta aproximación es denominada la aproximación por parámetros concentrados, que se ilustra a continuación con algunos ejemplos. JCMG

3 Ejemplo 13 (Resistor). Considere un conductor hecho de un material homógeneo en forma de cilindro de longitud l y área transversal S. Se supone que la densidad de corriente j y el campo eléctrico E dentro del material conductor son constantes y que actúan en la dirección del eje del cilindro ẑ. Una versión más general de la ley de Ohm dice que j = se, donde s es llamada la conductividad del material. JCMG

4 MODELOS MATEMA TICOS Y SIMULACIO N El voltaje V entre los extremos te rminales del cilindro y la corriente total I esta n dados por: V = Z l 0 he, z i ds = kek l, I = Z S hj, ni ds = kjk S. dado que kjk = s kek, se tiene V = sls I = RI, donde R = sls es la resistencia. El ingle s James Prescott Joule razono en 1841 y luego lo confirmo experimentalmente que la energı a disipada como calor cuando una corriente I fluye en un conductor meta lico de resistencia R es RI 2. JCMG

5 Ejemplo 14 (Capacitor). Considere dos placas paralelas cargadas con cargas constantes de igual magnitud pero con signo opuesto. Si la distancia entre las placas es pequeña en comparación con la superficie de las placas, el campo elécrico será cero en el interior de las placas y fuera de los bordes de estas el campo eléctrico entre ambas placas es aproximadamente normal a ellas. En consecuencia en esta región entre las placas el potencial cambiará únicamente en una dirección x 1 perpendicular a las placas. JCMG

6 Por lo tanto la ecuación de Poisson para el potencial en coordenadas cartesianas se reduce a F x1 x 1 = 0 (ecuación de Laplace), donde () x1 = x 1. La solución de esta ecuación tiene la forma F(x 1 )=ax 1 + b donde a y b son constantes. Suponga que las placas están en x 1 = a y x 2 = b y que los potenciales son constantes sobre cada placa y son F(a) =V a y F(b) =V b, entonces (al pha = (V b + V a )/(a b), b =(bv a av b )/(b a)): F(x 1 )= (V b V a )x 1 + bv a av b. b a JCMG

7 Considere ahora una superficie cilíndrica cerrada S donde el eje del cilindro está en la dirección de x 1 y los planos en los extremos son de área A y están en x 1 = a e y en x 1 = a + e con e b a. Si q es la densidad constante de superficie (positiva sobre la una en x 1 = a y negativa sobre la otra), entonces la carga encerrada en S es qa. En consecuencia: Z Z qa/e 0 = he,nids = hgrad F,nidS = V a S S 1 b donde S 1 es la superficie el plano en x 1 = a + e. Z V b a ds = (V a V b )A S 1 b a, JCMG

8 Así: V a V b = Q C, C = Ae 0 b a, donde Q es la carga total sobre la placa en x 1 = a. Por lo tanto el cambio del potencial (o voltaje) entre las placas es proporcional a la carga. La constante de proporcionalidad C es llamada la capacitancia y tal configuración es llamada un capacitor o condensador. Los resultados precedentes no toman en cuenta la distorsión del campo eléctrico en las orillas de las placas. JCMG

9 En lo que respecta a la energía almacenada en el capacitor se tiene lo siguiente: El capacitor se carga al conectar las placas a un circuito con una batería que tiene el efecto de transferir carga de una placa a la otra. Si una pequeña cara dq es llevada de una posición x 1 = b donde el potencial es F(b)=V b a una posición x 1 = a donde el potencial es F(a)=V a, entonces el trabajo realizado es dw =(V a V b )dq. En consecuencia dw =(Q/C)dQ y por lo tanto el trabajo total realizado es W = Q 2 /(2C), donde ±Q son las cargas finales en las placas. JCMG

10 Ejemplo 15 (Inductor). Considere una bobina consistente de n vueltas de alambre que están firmemente enrolladas sobre un marco toroidal de sección transversal rectangular y con permeabilidad µ 0, como muestra la figura siguiente: Los radios interno y extero del marco son r 1 y r 2, rspectivamente, la altura del marco es h y hay una corriente en el alambre conductor de magnitud I (t), t 0. Suponga que las coordenadas cilíndricas son tales que el eje z es el eje de simetría y el marco está localizado entre r 1 y r 2. JCMG

11 MODELOS MATEMA TICOS Y SIMULACIO N Sea Cr una trayectoria circular dentro del marco toroidal de radio r con r1 < r < r2. Se supone que el eje de simetrı a axial es tal que el campo magne tico B = B (r, z,t) so lo depende de r, z y t. Por la ley de Ampe re aplicada a la superficie del disco acotado por Cr, se tiene: µ0ni (t) = I Cr hb, ti ds, donde t es el ector unitario tangente a Cr. Si B2 es la magnitud del campo magne tico en la direccio n t, entonces: I Cr hb, ti ds = Z 2p 0 B2 (r, z,t) ds = 2prB2 (r, z,t). En consecuencia B2 (r, z,t) = µ0 (2pr) 1 ni (t). JCMG

12 MODELOS MATEMA TICOS Y SIMULACIO N Dado que la bobina esta enrollada de manera muy apretada alrededor del marco toroidal, cada bucle le da forma aproximadamente al perimetro de una superficie que es la seccio n transversal del marco. En lo que sigue se aplica la ley de Faraday a una superficie S como esta. La normal a esta superficie es n = t. Por lo tanto si V (t) es el voltaje inducido: V (t) = = Z Z Z d h r2 B (r, z,t) drdz dt 0 r1 2 Z hz r 2 µ0n di µ0nh r di (t) r 1drdz = ln 2 (t). 2p dt 2p r dt 0 r1 1 d hb, ni ds = dt S Dado que hay n bobinas de este tipo, si V es el voltaje total se tiene entonces µ0 n2 h que V (t) = LI (t), L = ln r2. La constante L es llamada la inductancia y tal 2p r1 configuracio n es llamada un inductor. JCMG

13 MODELOS MATEMA TICOS Y SIMULACIO N En lo que respecta a la energı a magne tica almacenada en el inductor: Cada carga en el alambre esta recibiendo energı a a la tasa he, vi, donde E es la fuerza sobre esta y v es su velocidad. Por lo tanto si r es la densidad de carga por unidad de longitud la tasa de realizacio n de trabajo sobre la bobina es: dw dt = I bobina he, vi rds = I bobina he, ji ds = I I bobina he, ti ds di. dt En consecuencia la energı a requerida para generar la corriente I en el inductor es W = (L/2) I 2. = V I = LI JCMG

14 NOTA 67 Los elementos clásicos de los circuitos eléctricos son los inductores, los capacitores y los resistores. Sus símbolos y sus leyes constitutivas se muestran en la tabla siguiente: Símbolo Ley constitutiva Variables V 1 V 2 = LI cambio en el voltaje a través de un inductor de inductancia L con corriente I V 1 V 2 = Q/C cambio en el voltaje a través de un capacitor de capacitancia C con carga Q sobre una placa y Q sobre la otra V 1 V 2 = IR voltaje a través de un resistor de resistencia R con una corriente I JCMG

15 Los inductores, los capacitores y los resistores tienen sus contrapartes mecánicas: las masas, los resortes y los amortiguadores. Esta correspondencia se muestra en la tabla siguiente, donde M, k, c son la masa, la constante del resorte y el coeficiente del amortiguador, respectivamente; F es la fuerza, v es la velocidad y T, W y D son la energía cinética de la masa, la energía potencial del resorte y la energía disipada por el amortiguador. masa inductor resorte capacitor amortiguador resistor M L k 1/C c R F V 1 V 2 F V 1 V 2 F V 1 V 2 v I y Q v I F = M v V 1 V 2 = Lİ F = ky V 1 V 2 = Q/C F = cv V 1 V 2 = IR T =(M/2)v 2 W =(L/2)I 2 W =(k/2)y 2 W = Q 2 /(2C) D = cv 2 W = RI 2 JCMG

16 NOTA 68 La correspondencia matemática que exite entre los elementos ideales de los circuitos eléctricos (inductor, capacitor, resistor) y los elementos mecánicos ideales (masa, resorte, amortiguador, respectivamente) motivo en la primera mitad del siglo XX que se simularan sistemas mecánicos por medio de circuitos eléctricos (es más fácil medir cantidades eléctricas tales como el voltaje o la corriente, que cantidades mecánicas tales como fuerza o la velocidad), lo que llevo al diseño de computadoras analógicas para la simulación de sistemas dinámicos descritos por sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (representación en variables de estado). JCMG

17 Ejemplo 16 (Circuito lineal RLC) Considere el circuito manejado por una fuente de voltaje c(t) como se muestra en la figura siguiente: Una manera sistemática de determinar las leyes de movimiento para el circuito se explicará posteriormente. JCMG

18 Más tarde se verá que por la ley de voltajes de Kirchhoff la suma de los voltajes alrededor del circuito cerrado es igual a cero. Para mayor precisión, si la corriente está en la dirección mostrada en la figura, entonces habrá una caída en el voltaje a través de cada elemento. La ley de Kirchhoff establece que la caída total de voltaje a través de estos elementos debe ser balanceada por el voltaje suministrado por la fuente. Así, si los voltajes a través del resistor, del capacitor y del inductor en el tiempo t son V R (t), V C (t) y V L (t), respectivamente, se tiene: e(t) V R (t) V C (t) V L (t)=0, t 0. JCMG

19 Pero si la corriente alrededor del circuito en el tiempo t es I (t) y la carga sobre el capacitor es Q(t): V R (t)=i (t)r, V C (t)=q(t)/c, V L (t)=li (t), I (t)= Q(t), t 0. Consecuentemente: e(t)=l Q(t)+R Q(t)+Q(t)/C = 0, t 0. Haciendo x 1 = Q, x 2 = Q, la ecuación de movimiento se puede escribir como el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden: apple apple apple apple ẋ1 0 1 x1 0 = + ẋ 2 1/LC R/L x 2 1/L e. JCMG

20 Si se tuviera la necesidad de determinar la carga en el capacitor se llegaría rapidamente a la conclusión de que esto es complicado. Por lo que tal vez sería conveniente indagar si es posible determinar la carga midiendo la corriente I = Q = x 2. Haciendo y = x 2 = 0 1 x, se tiene un problema de observabilidad: esto es, dado la observación de y( ) y la entrada e( ) sobre un intervalo, es posible determinar el estado x( )? En el siguiente ejemplo se ilustra como la ley de Lorentz para la fuerza (esto es F = q(e + v B)) puede ser utilizada para describir la interacción entre fuerzas electromagnéticas y el movimiento mecánico. JCMG

21 Ejemplo 17 (Altavoz) Un altoparlante es un sistema electromecánico en el cual la parte mecánica es un diafragma de altoparlante. En este aparato se utilizan fuerzas electromagnéticas para mover el diafragma y el movimiento genera entonces sonido, el cual es transmitido a través del aire a lo escuchas. Basicamente una señal proveniente de una grabación (o de un micrófono) genera un voltaje de entrada e(t) en un circuito. Parte de este circuito está formada por una bobina con un magneto permanente. JCMG

22 El movimiento de cargas eléctricas en la bobina interactá con el campo magnético generado por el magneto permanente, lo cual produce una fuerza de Lorentz (esto es F = q(e + v B)). Dado que el diafraga está atado rigidamente a la bobina, la fuerza hace que el diafragma se mueva. La idea es que el movimiento del diafragma que produce el sonido debe ser proporcional a la señal de entrada original. Un modelo idealizado se muestra en la figura siguiente. JCMG

23 Modelo aproximado de un altavoz. JCMG

24 El magneto es cilíndrico con un núcleo cilíndrico sólido interno que consitituye el polo sur y otro cilindro concéntrico externo que es el polo norte. Esta configuración resulta en un campo magnético radial en la brecha de aire que está entre los polos norte y sur dirigido al eje del magneto. En la figura precedente el magneto se muestra como como rectángulos con pequeños puntos. El diafragma está a la derecha de la figura y se muestra como un rectángulo con pequeños círculos, mientras que la bobina (que está conectada de manera rígida al diafragma) está situada en la brecha de aire que hay entre los polos Norte y Sur y se representa por medio de pequeños círculos negros dentro de otros círculos. La bobina consiste de n vueltas de alambre, cada una de las cuales está a una distancia a del eje del magneto. JCMG

25 El movimiento del diafragma se modela como un oscilador con masa m, amortiguamiento c y rigidez k, mientras que el circuito eléctrico se modela como un circuito que contiene un resistor con resistencia R y un inductor con inductancia L. Suponga que (r,q,z) son coordenadas cilíndricas donde el ej z está a lo largo del eje central del magneto dirigido del magneto a diafragma. Se supone que el diafragma y la bobina tienen movimiento restringido y que sólo se permite el movimeinto en la dirección z. Entonces, si F (t) es el componente de la fuerza de Lorentz en la dirección z, dado que el diafragma y la bobina están rigidamente conectados, la traslación mecánica está dada por: m z(t)+cż(t)+kz(t)=f (t) Siendo V (t) el voltaje inducido como consecuencia del movimiento de la bobina, se tiene como ecuación de movimiento de la corriente en el circuito I (t): LÏ (t)+ri (t)=e(t)+v (t) JCMG

26 Para completar el cuadro se hallan expresiones para F (t) y V (t). La magnitud del campo magnético B en r = a se denota por medio de B y se le supone independiente de z, q y t. JCMG

27 MODELOS MATEMA TICOS Y SIMULACIO N Geometrı a del sistema magneto-bobina. Si en un punto en la bobina parametrizado por medio de un a ngulo q, q 2 [0, 2np) hay una carga q (t, q ) con velocidad v (t, q ), la fuerza de Lorentz sobre e sta es qv B. La velocidad v tiene un componente v1 en la direccio n del eje z, pero dado que v1 B es perpendicular al eje z no contribuye en nada a F (t). El otro componenente de la velocidad de la carga es debido al movimiento de la carga alrededor de la bobina. Si su magnitud en (t, q ) es v2 (t, q ), entonces la magnitud de la fuerza de Lorentz F2 en la direccio n del eje z es: F2 (t, q ) = q (t, q ) v2 (t, q ) B. JCMG

28 Así: d dt F 2 (t,q)=b d dq (q(t,q)v 2 (t,q)) = abi (t). Por lo tanto la fuerza total en la dirección del eje z es F (t)=2npabi (t). Como puede verse el modelo matemático del movimiento del diafragma corresponde a un oscilador manejado por una fuerza proporcional a la corriente I (t) en la bobina. JCMG

29 MODELOS MATEMA TICOS Y SIMULACIO N El voltaje inducido V (t) en el circuito es debido al movimiento de la bobina en la direccio n z. Para obtenerlo se aplica la ley de Faraday con C siendo un bucle de la bobina en el magneto. Si t es el vector unitario tangente a C, se tiene: V = I C (v1 B, t) = abz Z 2p a dq = 2paBz. Y dado que la bobina consiste de n vueltas de alambre, el voltaje total inducido esta dado por V (t) = 2npaBz (t). JCMG

30 MODELOS MATEMA TICOS Y SIMULACIO N Haciendo x1 = z, x2 = z, x3 = I, se obtiene el siguiente sistema en el espacio de estados: x 1 (t) x1 (t) 0 4 x 2 (t) 5 = 4 k/m c/m 2npaB/m 5 4 x2 (t) e (t). x 3 (t) 0 2npaB/L R/L x3 (t) 1 Suponiendo y (t) = x1 (t) = z (t), entonces el problema de disen o consiste en escoger algunos o todos los para metros k, c, L, R, n, a, B, para que y (t) aproxime la entrada e (t) para todo t 0. JCMG