PUBLICACIONES DE 4º CURSO

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1 PUBLICACIONES DE 4º CURSO Grado: DERECHO-ADE Asgnatura: ECONOMERÍA Grupos: Únco ema: ESQUEMA EMA Profesores: Inmaculada Vllanúa Departamento de ANÁLISIS ECONÓMICO Curso Académco 04/5

2 ema : El Modelo Lneal General. Especfcacón y estmacón. 3. Introduccón e hpótess del Modelo Lneal General. 3. Estmacón por Mínmos Cuadrados Ordnaros (MCO) de los parámetros del modelo. Propedades. 3.3Estmacón por Máxma Verosmltud (MV) de los parámetros del modelo. Propedades. 3.4 Estmacón por ntervalo. 3.5 Modelo Lneal General en desvacones.

3 3.. INRODUCCIÓN E HIPÓESIS BÁSICAS DEL MODELO El MLG puede escrbrse como: Y = β + β X + + β X + u k k Alternatvamente: (,, ) Y = x β + u = sendo = ( X X X 3 k ) x y β β β βk = Además, exste una tercera forma de expresar el MLG, de forma concsa, para todos los ndvduos de la muestra: y=xβ+u y Y X X k u Y X X k ; u X = ; u = Y X X k u = 3

4 HIPÓESIS DEL MODELO LINEAL GENERAL Hpótess : anto la varable endógena (Y) como las exógenas ( X,, Xk ) son magntudes cuyos correspondentes conjuntos de valores ( Y Y ),( X X ),( X X ),,,,,,,,( X,, X k k ) son el 3 3 resultado de la observacón de una muestra aleatora smple de tamaño. Hpótess : Relacón lneal Y = β + β X + + β X + u k k ó ben y=xβ+u donde xβ es la parte sstemátca, y u es la parte aleatora. Hpótess 3: Esperanza matemátca cero para cada una de las perturbacones. E ( u ) = 0 El conjunto de varables ndvdualmente rrelevantes se compensan en promedo, es decr, no actúan sempre en la msma dreccón. 4

5 Hpótess 4: (homoscedastcdad y no autocorrelacón): odas las perturbacones tenen la msma varanza y no presentan autocorrelacón por pares. ( ) V( u) = E uu = σ I Hpótess 5: Dstrbucón normal de la perturbacón aleatora. Unda a las hpótess 3 y 4 nos permte escrbr: (, ) u N 0 σ I Funcón de densdad: ( u) ( ),, exp πσ σ = f = f u u = u Hpótess 6: no hay nnguna restrccón sobre los parámetros del. modelo ( β, β,, β, σ k ) Hpótess 7: la parte sstemátca y la aleatora son ndependentes. ( Xu ) C ov, = 0 Supuesto más restrctvo: las X son fjas para muestras repetdas, esto es, los elementos de la matrz X son no estocástcos, fjos. Hpótess 8: El número de observacones ha de ser superor al número de parámetros k. > k 5

6 Hpótess 9: odas las varables explcatvas son lnealmente ndependentes (ausenca del multcolnealdad). Esto mplca que el rengo de la matrz X es k: r ( X ) = k De aquí se derva que: r ( ) XX = k y XX 0 Hpótess 0 (hpótess de convergenca): XX lm = Σ xx sendo Σ xx una matrz de constantes. Una vez defndas las hpótess, podemos conclur la dstrbucón del vector correspondente a la varable endógena: (, ) y N xβ σ I 6

7 CÁLCULO DIFERENCIAL EN NOACIÓN MARICIAL Dervada parcal de una combnacón lneal S x y a son vectores de varables y constantes, respectvamente: x X X X = ; a a a a = una combnacón lneal de las varables puede escrbrse como: xa = ax + ax + + a X Las dervadas parcales de la combnacón lneal, con respecto a cada varable ( ax ) X X X ( ax ) ( ax ) = a = a = a X serán: Esto puede escrbrse de forma concsa como: ( ax ) x = a = ( xa ) x S las dervadas las hacemos respecto a un vector fla x, entonces el resultado es un vector fla, esto es, 7

8 ( ax ) x = a = ( xa ) x Dervada parcal de una forma cuadrátca Una forma cuadrátca se defne a partr de un vector columna, por ejemplo de elementos, y una matrz smétrca, de orden. Utlzando el msmo vector x anteror: x Ax = ( X X X ) = ax + axx j j = j a a a X a a a X a a a X S dervamos parcalmente esta últma expresón respecto a cada X, obtenemos: ( x Ax) X ( x Ax) X ( x Ax) X ( a X a X a X ) = ( a X a X a X ) = ( a X a X a X ) = S estos resultados los escrbmos de conjuntamente en forma de vector columna, el resultado puede obtenerse tambén como: 8

9 ( x Ax) x = Ax S dervamos respecto x el resultado es un vector fla: ( x Ax) x = xa 3..- ESIMACIÓN MCO DE LOS PARÁMEROS DEL MODELO. PROPIEDADES PARÁMEROS DE POSICIÓN ESIMACIÓN Mnmzar ( ˆ ) ( ˆ β ˆ β ˆ β ) S = u = Y Y = Y X X ˆ k k ( Y ˆ β ˆ β X ˆ β X k k ) S = 0 0 ˆ = β S ˆ β ( ˆ β ˆ β ˆ β ) = 0 Y X X X = 0 k k ( ˆ β ˆ β ˆ β ) S = 0 Y X X X 0 k k k ˆ = βk Las ecuacones normales resultantes son: ˆ ˆ ˆ Y = β + β X X + + β k k YX = ˆ β X + ˆ β X + + ˆ β X X k k YX = ˆ β X + ˆ β X X + + ˆ β X k k k k k 9

10 Una manera alternatva de obtener las ecuacones normales: escrbr la funcón objetvo en notacón matrcal: yˆ = uˆ = Xβ ˆ y-xβ ˆ u ˆ = uu ˆˆ ( ˆ ) ( ˆ) Mn S=ˆ uu ˆ= y-xβ y - Xβ = yy-yxβ-βxy+βxxβ ˆ ˆ ˆ ˆ = yy βxy ˆ + βxxβ ˆ ˆ S = 0 - X y + X Xβ ˆ = 0 ˆ β S ˆ β ˆ β = X X > 0 (mínmo) Ecuacones normales: Xy=XXβ ˆ El vector de estmadores MCO: ( ) ( ) ˆ - β= XX XY 0

11 X X k X X X X k XX= X X X X k k k Y = Xy X Y XY k Propedades dervadas de las ecuacones normales: Xu=0 ˆ yu ˆˆ = 0 PROPIEDADES Propedades para muestras fntas a) Lneales ( ) - βˆ = XX Xy = Ay sendo A una matrz de orden k como: A a a a a a a a a a k k k =, que podemos escrbr

12 = Ay = a a a Y ay a a a Y ay = = a a a Y k k k ay k = por lo que cada elemento del vector ˆβ puede escrbrse como: ˆ β = ay j j = b) Insesgados - - βˆ ( XX ) ( Xy ) ( XX ) X ( Xβ+u) - - ( XX ) XXβ + ( XX ) Xu = = = ( ) ˆ - β=β+ XX Xu ( β ˆ ) E = β Por tanto ( β j) E ˆ = β j =,, k j Matrz de varanzas y covaranzas del vector de estmadores: ( ˆ ) σ = ( ) V β XX c) ELIO: estmadores lneales nsesgados óptmos d) Efcentes

13 Propedades asntótcas a) Insesgadez asntótca b) Consstenca Condcones sufcentes de consstenca: lm E ( βˆ ) ( βˆ ) lmv = 0 = β PARÁMERO DE DISPERSIÓN ESIMACIÓN uˆ uu ˆˆ ˆ σ = = k k Objetvo que justfca esta expresón: obtener un estmador nsesgado del parámetro de dspersón, tenendo en cuenta que uu ˆˆ σ χ k ( uu ) σ E ˆˆ = ( k) ( ˆ ) E σ = σ 3

14 ˆ = u My - M = I - X(X X) X Propedades de M:.Smétrca ( M=M) uˆ = Mu uˆˆ u = y My = u Mu. Idempotente (MM = M) 3. r( M) = tr( M ) = k 4. MX = 0 ˆ σ = yy βxy ˆ k PROPIEDADES Para muestras fntas: sólo mantene la nsesgadez Asntótcas: asntótcamente nsesgado y consstente. ( ˆ ) lm E σ = σ ( ˆ σ ) lm var = 0 4

15 Obtencón de la varanza u Mu χ σ k Resultado utlzado: dstrbucones de formas cuadrátcas (rívez (004), proposcón 5, pag ) S x es un vector que se dstrbuye como una N ( 0I, ) y A es una matrz smétrca e dempotente con rango y traza gual a r, entonces: x Ax χ r Aplcacón a nuestro caso: u es el vector N (, σ ) M smétrca e dempotente: var u Mu χ σ ( ˆ ) k 4 σ σ = k 0 I y Estmacón de V ( ˆ β ): ( ˆ ) = ˆ σ ( XX ) Vˆ β 5

16 3.3.- ESIMACIÓN MV DE LOS PARÁMEROS DEL MODELO. PROPIEDADES. ESIMACIÓN (, σ ) y N Xβ I ( ) = (, ) y y β = exp ( y Xβ) ( y Xβ ) ( ) f L σ πσ σ = ln L = ln ln + σ ( π) σ ( yy βxy βxxβ ) β = + σ ( Xy XXβ ) ( yy βxy + βxxβ ) = = + 4 σ σ σ ( yy βxy + βxxβ ) σ 4 σ Igualando a cero ambas dervadas: Xy = XXβ yy βxy + βxxβ = σ 6

17 Conclusón: ( ) β = βˆ = XX Xy σ yy βxy + = βxxβ uu = ˆˆ PROPIEDADES Muestras fntas Parámetros de poscón: lneales, nsesgados, óptmos y efcentes. Parámetro de dspersón: sesgado, no cumple nnguna propedad en muestras pequeñas. E ( σ ) ( uu ) σ ( ) ˆˆ E k) = = σ Asntótcas Parámetros de poscón: asntótcamente nsesgados y consstentes. Parámetro de dspersón: asntótcamente nsesgado y consstente. ( ) lm E σ = σ ( σ ) lm var = 0 7

18 E var ( σ ) ( ) σ k = ( σ ) 4 σ = ( k) ESIMACIÓN POR INERVALO PARÁMEROS DE POSICIÓN ( σ ( ) ) βˆ N β, XX ˆ β N, ( β σ ( XX ) ) j j jj ˆ β β σ j j ( XX ) jj N ( 0,) ( ˆ β j β j) σ ( XX ) ( k) ˆ σ ( k) jj σ t k 8

19 Condcón: ndependenca entre la N(0,) y la Por tanto: ( ˆ β j β j) ˆ σ ˆ β j t k χ k. ˆ β ± ˆ σ j t ε ˆ β j PARÁMERO DE DISPERSIÓN ( k) ˆ σ σ χ k ( k) ˆ σ ( k) χ ; ε χ ε ˆ σ 9

20 3.5.- EL MODELO LINEAL GENERAL EN DESVIACIONES Y = β+ βx + + β X + u Y = β+ βx + + βkxk + u k k k k ( ) y = β x + + β x + u u d ( ) y = x β + u u = y donde x ( x x x ) d 3 k β β = β k Y ˆ = ˆ β ˆ ˆ + βx + + β X Y ˆ β ˆ ˆ = + βx + + βkx k k y = ˆ β x + + ˆ β x ˆ k k k y ˆ = x β ˆ d Expresón matrcal: = X β ˆ ˆ d d y 0

21 y d y y y = X d x x x x x x k k = k u u u u = u u u u Y = ˆ β + ˆ β X + + ˆ β X + uˆ k k ˆ ˆ ˆk k Y = β + β X + + β X y = ˆ β x + + ˆ β x + uˆ k k y = x ˆ β + uˆ d ˆ y = X β + u ˆ d d sendo uˆ uˆ uˆ u = ˆ ˆ uu ˆˆ = y X β y Xβ ˆ = yy β ˆ Xy + β ˆ XXβ ˆ S= ( ) ( ) d d d d d d d d d d S ˆ β = 0 Xy = XXβ ˆ d d d d ( ) ˆ β = XX Xy d d d d